2022届一模分类汇编-导数、解析几何、圆锥曲线专题练习（解析版）.docx

目录导教21导教大题2斛析几何151支线与Si152捕BJ,抛物线，双曲线基础163解析琮合小题204HJ般曲为大题21导教1导救大典1. (202204东城一模19)已知函数/(X)=三.(I)若曲线y=f(x)在点(2J(2)处的切线斜率为-1,求的值；(II)若/(x)在(L+oo)上有最大值，求的取值范围.【答案】解：(I)函数义功的定义域为(-oo,-l)U(Tj)U(I，”)tty.,.X-Cizart,.-x2+Iax1由/(x)=F得f,M=；L.jX2-I(X2-I)2则八2)=-L解得。=一15分(II)fx)=X.令g(x)=-X2+2-l(x>l),(XT)当0时，2a0,因此9(©=-公+2奴-10恒成立,所以八幻=十2<0,所以/(x)在(1,+oo)上单调递减，没有最大值.当O<l时，gCr)=*+20r-l<g0恒成立，所以.(X)=T212T<o.(X-1)所以/(x)在(1,+oo)上单调递减，没有最大值.当G>l时，方程-X2+A-I=O的两个根为xi=a-tJa2-1,x2=a+Ja2-1.由>l得0<<1,且l<<w当x(l,+)时有X(1.&)X2(#2,+8)r3)+O-/()/极大值X函数(x)在X=+夜-1处取得最大值.综上，。的取值范围为(1,+8)15分2. (202204西城一模20)已知函数/(x)=*-l,a0.ex+a(I)当=l时，求曲线y=(x)在x=0处的切线方程；求证：，(幻在(0,+)上有唯极大值点；(Il)若/(x)没有零点，求。的取值范围.【答案】解：(I)若=l,则Szt,H.在X=O处，q>l,/(O)=-I.所以曲线在i=j=2处的切线方程为yr-=-'(+当L4K+1k4k+1三一-4。j*'令g(x)=ev+1-xex,m,在区间(O,+oo)上，a、=-一,则g()在区间(O,E)上是减函数.又g(l)=l>O,g(2)=-e2+l<0,所以g(x)在(0,w)上有唯一零点n>2.r)与/(X)的情况如下：X(0,M)X。(,+)f,()+0/()极大值所以/(x)在(0,+)上有唯一极大值点%9分(II)fM=axeae+令h(x)=ex+aax,则,(x)=qxa.若"v,则"(x)>0,z(x)在R上是增函数.因为+(1)=e>0,所以h(x)恰有一个零点.令e"+a=O,得=ln(-.代入力(Xo)=0,-a+a-an(-a)=O,解得=-l.所以当。=一1时，力。)的唯一零点为0,此时/(x)无零点，符合题意.若>0,此时/(x)的定义域为R.当XVlna时，"(x)v,力(X)在区间(-,Ina)上是减函数：当X>In时，/(x)>O,(x)在区间(Ina,+)上是增函数.所以h(x)min=(Ina)=2a-ana.又A(O)=l+iz>O,由题意，当2z-ln4>0,即OVaVe?时，/(x)无零点，符合题意.综上，。的取值范围是一lU(O,e?).15分3. (202203海淀一模19)已知函数/(x)=e*(0?-x+l).(I)求曲线y=f(x)在点(OJ(O)处的切线的方程；(II)若函数/Cr)在x=0处取得极大值，求”的取值范围；(III)若函数/Cr)存在最小值，直接写出。的取值范围.【答案】解：(I)因为/。)=(加7+1把',所以7(0)=l,(x)=x(ax+2a-l)ex,所以r(0)=0,所以切线为：y=.(II),(x)=(ox+20-l)ev.(1)当=0时，f,(x)=-xex,令r(x)=0,得X=0,/U)与r(x)的情况如下：X(一8,0)0(0,+)f,+0f()/此时，/(x)在X=O处取得极大值，符合题意；(2)当>0时，令r()=0,Wx=O,或X=,-2.当OVaV)时,L-2>0J(x)与广(力的情况如下:2aX(-,0)0(*-2)1-2af,+00+fWZ/此时，/(x)在X=O处取得极大值，符合题意；当a=时，1-2=0,/'(x)0,/(x)单调递增，无极大值，不符合题意;2a当>)时,，一2VOj(X)与/'(X)的情况如下：2aXSATi-2O")0(0,+8)M+00+f/X/此时，/(x)在X=O处取得极小值，不符合题意;(3)当<0时，l-2<0./(x)与/'(X)的情况如下:Xf-2)1一一2aG-2，。)O(0,+8)f,MO+Of/X此时，/(x)在X=O处取得极大值，符合题意.综上,(III).4. (202203朝阳一模19)己知/(x)=x-ae*,R.(I)若曲线y=f(x)在点(IJ)处的切线与4轴重合，求。的值；(II)若函数/(x)在区间(1,微)上存在极值，求的取值范围；(III)设g(x)=f(2-x),在（三）的条件下,试判断函数g(x)在区间(l,+)上的单调性，并说明理由.【答案】解：(I),(x)=l-fle,因为曲线y=/(x)在点(IJ)处的切线与X轴重合，所以广=1g=0.所以经检验符合题意.4分e(II)当心0时，f,(x)=-flex+1>O,函数/(x)在区间(Yo,”)上单调递增，所以在区间(LE)上无极值.所以小0不合题意.当>0时，令f'(x)=-"e'+1=0,解得X=Ina当x<ln时，,(x)>0,函数/(x)在区间(-co,InL)上单调递增；aa当x>ln,时，f(x)<O,函数/(X)在区间(InL+)上单调递减.aa所以当X=Inl时，函数/(x)取得极大值.令ln'>l,解得0<avJ.ae所以"的取值范围是(0-).10分e(III)由题可知，g(x)=f(2-x)=2-x-ae2x,OVaVLe则g'(x)=e2-*-l令g'(x)=O,即优2-'-1=0,解得x=2+ln4.因为O<<J,则Ina<-1,所以2+lnvl.当XW(L+oo),g'(x)v,所以函数g(x)在区间(1,+)上单调递减.15分5. (202203丰台一模20)已知函数O(X)=X-x.(I)当=1时，求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程;(II)若函数g(x)=(x)-亍恰有两个不同的零点，求。的取值范围.【答案】解：(I)当时，=11(i),所以广(工)=2-3x令;(X)=1,解得X=0.因为/(0)=0,所以切点坐标为(0,0).故切线方程为y=x.5分(II)因为g(x)=xja-x一g(x),所以g'(x) =2a-3x2>a-x令/(x)=0,解得X=三.3当W时，由XWa,得2-3x2-420,所以g'(x)20,则g(x)在定义域(-,上是增函数.故g*)至多有一个零点，不合题意，舍去.当0>0时，随X变化g'(x)和g(x)的变化情况如下表:X(-8号)2aT(pa)a()+0一g(%)单调递增1j3afa-609单调递减2aT故g(x)在区间(9,手)上单调递增，在区间(手,幻上单调递减，当x=g时，g(x)取得最大值g(g)=若0<W3时，g仔)=2J(f此时g()至多有一个零点;若>3时，g(争>0，又g(O)=g()=一彳<0,由零点存在性定理可得g(x)在区间(0,手)和区间(IM)上各有一个零点，所以函数g(X)恰有两个不同的零点，符合题意.综上所述，4的取值范围是(3,+oo).15分6. (202203石景山一模19)设函数/(x)=V+勿Hn(X+1)。力R).(1)若"Z=-I,(i)求曲线/(x)在点(0,/(0)处的切线方程；(ii)当X(l,+8)时,求证：f(x)<X3.(II)若函数/(x)在区间(0,1)上存在唯一零点，求实数机的取值范围.【答案】解：(I)m=-,所以f(x)=f-ln(x+l)(i)f,(x)=2x,k=f(0)=-.x+1又/(0)=0,所以/(x)在(0,/(0)点处的切线方程为y=r4分(ii)令/(X)=f(x)-x3=炉-In(X+1)-3,w=2-L-3=-3-+2%-!=,x+1x+1x+1X(l,+8)时，F,(x)<0,/(X)在(1,+8)上单调递减，所以产(X)VF(D=-ln2v,所以当xe(l,+8)时，f(x)<X3.10分(11)/()=x2+mln(x+l),F(X)的定义域为(T,+8),fx)=2x+-=2v+2x+m=0,即2f+2x+m=0.,÷l+l当4-8m0即时，f(x)>O,/(幻在(一1,+)上单调递增，又/(0)=0,所以在(0,1)上无零点，不合题意；当4一8机>O即?<；时2f+2x+m=O有两根xitx2(xx<x2)；2×(1)"+2×(-l)+w>OBPO<<1>X.(1,),X0(,0)»222此时/(x)在(苍，+8)上单调递增，又/(0)=0,所以在(0,1)上无零点，不合题意；当m=0时f(x)=x2,此时/(x)在(0,1)上无零点,不合题意；当m<0时(x>,-l),X,(0,+oo),此时/(x)在(0,工2)上单调递减，在($，+Oo)上单调递增，/(0)=0，所以2)<o,/a)在区间(0,1)上存在唯一零点，即/>o即可.解得?>一二-.In2综上，若/(x)在区间(0,1)上存在唯一零点，则加£(-一，0)15分In27. (202203门头沟一模19)已知/(x)=ksinx+2x.(I)当A=2时，判断函数/(x)零点的个数;(II)求证：-sin%+2x>ln(x+1)(x(0,);2(In)若/(x)>In(X+1)在Xe(0,今恒成立,求人的最小值.【答案】解：(I)当2=2时，,(x)=2cosx+20,f(x)=2sinx+2x单调递增，/(0)=0,/(x)只有一个零点X=0；(II)设g(x)=2X-SinX-In(X+1)ng，(X)=2-cos%!>0ng(x)增，x÷lg(x)>g(O)=O.(III)解法一：当时，由(II)-sinx+2x>ln(x+l),恒成立.当<1时，设h(x)=f(x)-In(X+1)n,(x)=2+kcosxn*(x)=-ksinx+-7>0x÷l(x+l)/x(0) = + l<0,1(f) = 2->0由零点定理,“(%) =。，所以/?*)在(0,小)上减，/Z(M)<A(O)=O不恒成立，所以人的最小值为-1.解法二：设(X)=/()-In(X+l)nf(X)=2+Acosx.x+1当攵7-1时，,(x)=Arcosx+2>0>z(x)在(0,工)增，(x)>A(O)=0,x+12/(x)>In(X+1)在X(0,3恒成立.2当k<T时，设h(x)=f(x)-ln(.r+l)nh'(x)=2+女COSX!n*(x)=-Zsinx+!->0.x+1(x+l)“(X)增，,(O)=r+l<O,/(一)=2一一L>0由零点定理，"(Xo)=O,所以2”2MX)在(0,不)上减，人(陶)<力(O)=O不恒成立，所以女的最小值为-1.8.(202203房山一模19)己知函数/(x)=(lnx-)e'.(I)当。=0时，求曲线y="，在X=I处的切线方程;(Il)若"x)在区间(0,e存在极小值，求的取值范围.【答案】(I)当。=0时，fM=nxex(x>0)则r(x)=(lnx+与X.X所以八l)=e,/(1)=0所以曲线y=/(x)在x=l处的切线方程为y=e(x-)(II)f,(x)=(InX-a)'/+(Inx-a)(ex),=-e+(Inx-d)ex=(-+lnx-d)ex令g(x)=1+lnx-,x(0,e.则g<x)=-=J"!1(6)Xxx解g'(x)=0,得X=Lg'(x)与g(x)的变化情况如下:X(0,1)1(Le)g'()-0+g()极小值/所以函数g(x)在区间(0,8上的最小值为g(l)=l。方法1：当把1时，g(l)=L0,所以g(x)O恒成立，即/(x)0恒成立,所以函数/(x)在区间(0,e上是增函数，无极值，不符合要求.当IVaVI+,时，因为g(l)=l-V0,g(e)=l+->0,ee所以存在Xo(l,e),使得g(x0)=0X(1，Xo)XO(Me)g()()-0÷极小值/所以函数/(x)在区间(1,e)上存在极小值/(xo),符合要目当l+'时，因为g(l)=l-0<O,g(e)=1+-<0ee所以函数/(幻在区间(1,e)上无极值.SZX=(0,1)»则()=ae-na-aae-(a-Y)-a=a(e-2)>0.aeae所以存在七(0,1),使得g(%)=0.易知，均为函数f(x)在区间(0,1)上的极大值点.所以函数/(X)在区间(0,e)上有极大值，无极小值，不符合要求综上，实数a的取值范围是(1,1+工).e方法2：“f(X)在区间(0,6上存在极小值”当且仅当“1前D<解得1<。<1+Lg(e)>Oe证明如下：当l<vl+!"时，e因为F所以存在即，使得g(xo)=0.g(e)>OX1,XoXo(Xo,e)gM(fx)-0+/W极小值Z所以函数/()在区间(l,e)上存在极小值.所以实数。的取值范围是(1,1+4).9.(202203平谷一模19)设函数/(x)=ln(x+l)+2(aR).(I)当=-4时,求曲线y=/(X)在点(Oj(O)处的切线方程;求函数/(X)的最小值.（三）设函数g。)=5-1,证明：当02时，函数”(幻=f(x)-g(幻至多有一个零点.【答案】解：(I)函数/Q)定义域为(一1,内)，1分I、2x2+2x+a公"FT-3分当=Y时f(力=2.；j：4=2(xX一1)4分/(O)=OJ(O)=T所以曲线y=f(x)在点(0,7(0)处的切线方程是y=Tx5分令f(x)=O,x=l,且一l<x<lj'(x)<0,即函数/(x)递减区间(一U);x>l,f(x)>0,即函数f(x)递增区间(l,+),所以函数f(x)的最小值/(l)=l-41n27分、e“，/、x(2x+2-a),、八(II)因为)(x)=J(+4x>-l)9分令"(x)=0,A=O,毛=一1=2时，W(x)0,函数Ha)在定义域(T,+8)上单调递增，至多有一个零点；10分0时，令"(x)>0,得x>0,令得-IVXVO所以函数”(可在区间(To)单调递减，在区间(Qr)单调递增12分则函数”(力在X=O时有最小值"=1>0,此时函数“(X)无零点.0vv2时，<-i<,令"(x)>O,得T<v-1/>0,令H(X)<0,得-1<x<02所以函数H(X)在区间卜l,-l)(0,+oo)单调递增，在区间e-1,0)单调递减因为函数7(0)=l>0,所以H(I且"(x)>0在区间1-L+oo)上恒成立.所以函数Ha)在区间(T上至多有一个零点.综上，当a2时，函数"(x)=(x)-g(x)至多有一个零点15分解析几何1直战与Bl一、选择题1. (202204丰台一模04)已知圆C一2穴+/=(),则圆心C到直线=3的距离等于A.4B.3C.2D.1【答案】C2. (202204西城一模07)已知点A为圆C:(x-m产+(y-z-1)?=2上一点，点A(3,0),当机变化时，线段A3长度的最小值为A.1B.2C.2D.22【答案】C3. (202204朝阳一模02)直线y=x+1被圆f+丁二1截得的弦长为A.1B.2C.2D.22【答案】B4. (202204东城模09)在平面直角坐标系中，直线y=履+m(0)与X轴和y轴分别交于A,8两点，A用=2,若CA_LCB,则当&,加变化时，点C到点（b1）的距离的最大值为A.4&B.32C.22D.2【答案】B5. （202204石景山一模05）已知圆C:。一3）2+丁=9,过点（1,2）的直线/与圆C交于AB两点,则弦AB长度的最小值为A.lB.2C.3D.4【答案】B6. （202204门头沟一模04）若点（l,l）为圆C:/+尸一©=。的弦Ae的中点，则直线AB的方程是A.x-y2=0B.x+y-2=0C.x-yOD.x+y=0【答案】C2椭圆，抛物式，及曲式基础一、选择题1. （202204海淀一模03）双曲线=的离心率为D. 3A/R瓜cA.D.C.333【答案】C22=1的焦点尸（3,0）到其渐近线的距离为石，则2. （202204西城一模05）若双曲线-马a2b2双曲线的方程为A. 45by2D.36D.7 £._y6【答案】A3. （202204丰台一模08）已知F是双曲线CW-±=1的一个焦点，点M在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点.若IoMl=IM/1,则AOM尸的面积为3aZoA.一B.C.32D.622【答案】C4. （202204门头沟一模05）已知抛物线丁=疝，O为坐标原点，过其焦点的直线/与抛物线相交于A,B两点，且A5=10,则46中点M到y轴的距离为A.2B.3C.5D.6【答案】B5. （202204门头沟一模09）已知双曲线C:一£=1（o>0,b>0）的左、右焦点分别为FvF2,过点R作圆f+y2=/的切线，交双曲线右支于M,若N隼鸣=；,则双曲线C的渐近线方程为A.y=±75B.y=±5xC.y=±2xD.V=±j5x【答案】B6. （202204平谷一模05）设抛物线的焦点为产，准线为/,抛物线上任意一点M.则以点M为圆心，以M/为半径的圆与准线/的位置关系是A.相切B.相交C.相离D.都有可能【答案】A7. （202204房山一模05）已知M为抛物线W=2py（p>0）上一点，M到抛物线的焦点的距离为4,到X轴的距离为3,则二8. 19. 2D.4【答案】C8. （202204房山模09）已知直线/被圆C:Y+丁=2所截的弦长不小于2,则下列曲线中与直线/一定有公共点的是A.y=x2-lB.（x-）2+y2=12C.+y2=1D.X2-y2=【答案】C9. （202204朝阳一模09）如图1,北京202204年冬奥会比赛场地之一首钢滑雪大跳台与电力厂的冷却塔交相辉映，实现了它与老工业遗址的有效融合.如图2,冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为16m,上口半径为17m,下口半径为28.5m,高为70m在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3所示的平面直角坐标系，iOA=16,DC=17,EB=28.5,DE=70,则双曲线的方程近似为（参考数据：绰3.17,驾1=2.81,1.I3）162172162B -= 1162 482【答案】A二、填空题1. （202204海淀一模11）若抛物线丁=2px的准线方程为=T,则P=.【答案】22. （202204西城一模11）若抛物线产=2px上任意一点到点（LO）的距离与到直线X=T的距离相等，则=.【答案】23. （202204丰台一模14）已知抛物线C:丁=4x的焦点为F,则F的坐标为；设点M在抛物线C上，若以线段产例为直径的圆过点（0,2）,则IFMI=.【答案】（1,0）;54. （202204东城一模13）已知抛物线C:丁=2PX过点P（2,4）,则P=；若点Q（4,m）,Ray2）在C上，尸为C的焦点，且IP产I,1。尸I,IRPI成等比数列，则，=【答案】4；75. （202204平谷一模13）双曲线=的离心率为多则=.焦点到渐近线的距离为.【答案】2；16. （202204房山一模11）若双曲线?一y?=（）的一条渐近线方程为y=Jx,则4=【答案】27. （202204石景山一模14）设点耳，鸟分别为椭圆C:工+产=1的左、右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得/¥；明=加成立的点恰好是4个，则实数用的一个取值可以为【答案】0（答案不唯一）.3等析综合小题一、选择题1.（202204石景山一模10）设AB为抛物线C：>=f上两个不同的点,且直线AB过抛物线C的焦点尸,分别以A3为切点作抛物线C的切线,两条切线交于点P.则下列结论：点P一定在抛物线C的准线上；4b的面积有最大值无最小值.其中,正确结论的个数是A.0B.lC.2D.3【答案】C二、填空题1. （202204朝阳一模15）在平面直角坐标系XQy中,设抛物线G丁=©的焦点为产，直线/:丁=有（1-1）与抛物线C交于点4,且点A在X轴上方，过点4作抛物线C的切线与抛物线C的准线交于点尸，与K轴交于点”.给出下列四个结论：的面积是6；点的坐标是(-G,0)；在X轴上存在点。使AQPQ=O;以“?为直径的圆与y轴的负半轴交于点N,则AF=2户N.其中所有正确结论的序号是.【答案】4囿碓曲线大题1.(202204海淀一模20)已知椭圆C:=+1=1CTb2(a>h>0)的下顶点A和右顶点8都在直线4:y=g(x-2)上.(I)求椭圆方程及其离心率;(Il)不经过点8的直线=H+m交椭圆C于两点P,Q,过点P作X轴的垂线交4于点D,点P关于点D的对称点为E.若E,B,Q三点共线,求证：直线4经过定点.【答案】解：(I)由4：y=g(x2)可知A(0,T),8(2,0),椭圆方程C：E+y2=i,4所以，离心率e=3.2(II)方法一：y=kx-mx2+4y2=4得(4k2+l)x2+kmx+W-4=0,由A=Mk2rn1-4(4/+1)(4/-4)>0,得4/+1>w2.设Pa,y),(x2,y2),Sk/n4z244F7T,X,X2=4F7,由题意得O(X,5Xl),E(,2乂)，因为B,E,Q三点共线，且直线BQ斜率存在,%,x1-2-ylX2 -2Xj 2所以 O = (X 2)% (“2 2)(X 2y)=(x1 - 2)(kx2 + m) -(x2 - 2)(xl - 2-kxx-m)=Qk -I)X/2 + (，+ 2 - 2)(x1 +x2)-(4m + 4),j 4let 71=(22 -1) - + (w + 2- 22)(-)一(4m + 4)4Z + 1422 + l化简得，/+(4& + 1)+2仪2k+ 1) = 0.所以(加 + 2k)(m + 2Zr+l)=0.又因为8(2,0)信心所以机+ 2kw0, m + 2k+=0,所以/2恒过定点(2,T)方法二：下面证明恒过定点G(2,-l).设 P(Xl, yl), Q(x2 , y2),则 D(x1, ； 1), E(Xl ,x1 -2-yl)fY 1玉 乂 2_玉 2x - 2 xj 2,Xj 2,=1,设直线5Py = %(x-2),代入/+4),2=4,得：(4i2 ÷ l)x2 -16n2x ÷ 162 - 4 = 0,16j2-4Sn2-242 + 1 ' Xp 472 + 1所以心厂2)=瑞AnI所以ZPG%+=4/+=一(2-ifXp-282C42用代替，得G=3手JWe所以即G=Zc,所以P,Q,G三点共线,所以/?恒过定点G(2,T).2. (202204丰台一模19)已知椭圆C:=+与=1Ca>b>O)的左、右顶点分别为ab2A,8,且IABI=4,离心率为正2(I)求椭圆C的方程：（三）设Q是椭圆。上不同于A,8的一点，直线抬，依与直线x=4分别交于点W,N.若IMNIW4,求点P横坐标的取值范围.2。=4,【答案】解：(I)由题意得，c3=»a2a2=b2+c2t解得=4,/?2=1.*>所以椭圆。的方程是工+V=4(II)设P(AW,)(-2<m<2),由已知得A(2,0),8(2,0),所以直线AP,BP的方程分别为y=一(x+2),y=J-(-2).W/+2m-2令x=4,得点M的纵坐标为为=旦，点N的纵坐标为以=3-n+2m-2由W6In4(加一4)所以IMNI=2.m+2m-2"4因为点P在椭圆C上，所以竺+/=1,4所以>-4=b?,即IMNl=尸心.n因为MNlW4,所以把W4,即(力4)2<16.n所以(用一4)2W-4(-4).Q整理得5裙8zW0,解得0<mW2.5所以点P横坐标的取值范围是0令.3. (202204房山一模20)已知椭圆C的离心率为且，长轴的两个端点分别为2A(-2,0),3(2,0).(I)求椭圆。的方程；(II)过点(1,0)的直线与椭圆C交于M,N(不与A3重合)两点，直线AW与直线x=4交于点Q求证:2L=MSaMBQBQ【答案】解：(I)由长轴的两个端点分别为4-2,0),3(2,0),可得。=2,由离心率为且，可得£=立，所以c=62a2=b2+c2t解得b=.所以椭圆C的标准方程为十丁=1.4J(II)方法1：当直线/斜率不存在时，直线/的方程为X=1,易得 M（I,二-）,7V（1,-所以心M=£，直线AM所在的方程为y=f*+2).66求得Q(4,6).,-3_y/3_bn=，Kqr=，所以，N,B,Q三点共线,所以W照=曾.SWBQBQI当直线/斜率存在时，设直线I的方程为y=(x-1)(&0).y=k(x-l)r由1/得(1+4k2)x2-3k2x+4k2-4=0+y2=1,.4"设M(Xl,%),%(元2，为)，则 X1 + X2 =8d42-4+ 以2，- + *kAM =-,直线AM的方程为y = 3L(x + 2)x1 +2X1 +2所以Q (4,&).X1+26y 06»所以2沿Y "M=W =焉k 二 乃 3，= k(x2 -1) 3k(x -1)bq x2-2 xl+2 x2-2 X1+2k(x2 -1)(x1 +2) - 3k(xi - l)(x2 - 2)(x2-2)(x,+2)H- 2x1x2÷5(x + 超)- 8(x2-2)(x1+2)(4-4) l + 4k-÷5T-8(x2-2)(x1+2)=0.所以，N,8,Q三点共线，所以S&A4BQBNBQ方法2：设直线/的方程为X=町y+l,x=rnx+fHl-X2、得(/+4)丁+2町一3=0.-+y2=,4设A/。,%N(x2,y2)fm2m-3则),+%=一一y2=r-m+4m+4Mw=U，直线AM的方程为y=1一(x+2).x1+2X1+2所以Q(4,).X1+26必060所以&V8="於=2一,即0=上一=卫2=3_X2-2X2-2BO4-22X1+2必3乃明+3)-3y(S-1)NBbqx2-2xi+2(x2-2)(xi+2)一2%刈+3()+,2)=0(2-2)(X+2)4. (202204朝阳一模20)已知椭圆C:+2=l(>8>0)的一个焦点为/(1,0),且过点(I)求椭圆C的方程和离心率；（三）过点P(4,0)且与X轴不重合的直线/与椭圆C交于A,B两点，与直线X=I交于点。，点M满足MPJ轴，轴，试求直线MA的斜率与直线MQ的斜率的比值.【答案】解：(I)由已知得半焦距c=l,因为椭圆C过点(1g),由椭圆定义得2a=3+3=4,所以a=2.22又因为/=从+d,所以b=J.所以椭圆方程为工+)-=1.离心率e=£=.43a2(II)依题可设直线/:X=殁+4.X=my+4,r2v2得(3m2+4)y2+24/wy+36=O.+2-=l,43=576m2-144(3m2+4)=144(w2-4)>O,得切>2或m<-2.设A(X,y),8(>2,y2)，M/,则为+%=-2463w2+43ji>2 =363m2+4所以2孙为=-3(M+y2).33V_V丫2+-由题得知(4,%)，。(1,一-)，则AMA=+J,%Q=m4-1u3则%=3(%-M)=3(%-y)=3(乃一%)、"(4-X1)(y2÷-1(y2÷一冲仍一3%mm3(为-)_3(当一)_C3-(>+y2)-3>y(y2-y)5.(202204东城一模20)已知椭圆C:：+E=l(a>b>0)的离心率为正，焦距为2J.ab2(I)求椭圆C的方程；(II)过点P(4,0)作斜率为攵的直线/与椭圆C交于A,8两点.是否存在常数/,使得直线x=r与直线/的交点。在A,B之间，且总有咧=垣"？若存在，求出/的值；若P8QB不存在，说明理由.c_GT,【答案】解：(I)由题设，得2c=2>,解得=2,h=.cr=b2+c2.所以椭圆C的方程为7+y2=.(II)存在直线x=l符合题意.直线/的方程为y=A(x-4).y=(x-4),2,(42+l)x2-32k2X+(642-4)=O.+y2=14-Pl/T由A二(-322)2-4(4A2+1)(64F-4)>O得上<攵<66设A(Xl,%),B(x2,y2)(<)»则 xi+x2 =32k64二一 4设直线X=Z与直线/交于点。亿为)，因为凶=3,PBIQBI所以±±=牝£|.4-X2t-x2由题设，知一2%2,-2x22,x1X2.所以±A>o,4x7IX2所以上工=忙L4-x2t-x2整理，得理一(，+4)&+xz)+2xx,=0由山。z八32公2(Ak2-4)所以8”(f+4)77-+/=04k+14k+1解得f=l亭以椭圆的四个所以存在直线x=l符合题意.6. (202204西城一模19)已知椭圆C:*+斗=1(。>8>0)的离心率为顶点为顶点的四边形周长为45.(I)求椭圆C的方程;（三）直线y=履+m(k0)与椭圆。交于AB两点，与)，轴交于点P,线段AB的垂直平分线与AB交于点M,与y轴交于点N,。为坐标原点.如果NMoP=2NVP成立，求Z的值.【答案】解：(I)由题设，6=£=正，a2-vb2=45,a2解得a=2,b=1,所以椭圆C的方程为三+V=I.4X22_1(II)由彳y='得(442+1)%2+8k7a+4，-4=0,y=kx+m由=(8km)2-4(4/+1)(4w2-4)>0,W4A:2-am2+1>0.设A(Xl,y)，B(x29y2),则x+x2=,tK+1,/、/Sk2mC2my1÷y2=Ar(x1÷x2)+2=-7-7+2=7-i所以点M的横坐标乙“=HLlX=一学纵坐标加=tn-4F+T所以直线MN的方程为"E令X = 0,则点TV的纵坐标Mv=；A 4k2 +1因为尸（0,。，所以点N、点P在原点两侧.因为 NMoP = 24MNP ,所以 NMNO=NoMN , 所以IOMl=QM .又因为0w24hn Y ( rn Y42 + 1J +(4&2 +JI6k2m2 + m(42 + I)2QM2=卜3m442 +19w2(4Ar2 +I)2