2023一模分类汇编-立体几何专题汇编（解析版）.docx

立体几何1点,战.而核五关东1.（2023东城一模06）设是两条不同的直线，a,是两个不同的平面,且mu,aH,则“机_L”是itnLn的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】充分性：当?U,zJ_时，且z_L，不满足J.6,充分性不成立；必要性：当a/，_L/时，有JLa；又因为wua,所以zn_L，必要性成立：故B正确。【知识点】本题考查立体几何平行、垂直证明。2. （2023石景山一模10）已知正方体AHs-A4GR的棱长为2,点尸为正方形ABe。所在平面内一动点，给出下列三个命题：若点P总满足PRj.DQ,则动点尸的轨迹是一条直线；若点?到直线BBl与到平面CDDC的距离相等，则动点P的轨迹是抛物线；若点?到直线的距离与到点C的距离之和为2,则动点尸的轨迹是椭圆.其中正确的命题个数是A.0B.1C.2D.3【答案】C3. （2023丰台一模10）如图，在直三棱柱ASC-44G中，ACA-BC,AC=2,BC=I,AA=2,点。在棱AC上，点E在棱B8上，给出下列三个结论：£三棱锥E-AM的体积的最大值为2；3A。+OB的最小值为2+5；点。到直线GE的距离的最小值为平.其中所有正确结论的个数为A.0C.2【答案】C【分析】根据锥体的体积公式判断，将将A8C翻折到与矩形ACGA共面时连接A产交AC于点。，此时AQ+O8取得最小值，利用勾股定理求出距离最小值，即可判断，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出点到距离，再根据函数的性质计算可得.【详解】在直三棱柱A6CA4G中期，平面A8C,对于：因为点E在棱8用上84=AAI=2,所以8E0,2,又丫=3BES.,又ACLBC,AC=2,BC=I,点。在棱AC上，所以AP,2,sd=1ad.bc=1ado,i,所以匕3o=35ESAQq,当且仅当。在C点、E在四点时取等号，故正确；对于：如图将_A8C翻折到与矩形ACGA共面时连接AB交AC于点。，此时4。+。8取得最小值，C因为AG=CG=2,BC=I,所以3G=3,所以A8=Jqcj+C/?=il,即4。+。8的最小值为J",故错误;对于：如图建立空间直角坐标系，设。(凡0,0),a0,2,E(O,l,c),CO,2,C1(0,0,2),所以GD=(,0,-2),GE=(OjC-2),当c=2时d=ya2+42»z、2i/iI1、5o<-当0c<2时0<(。-2)4,/1歹"正7力则l+*5，所以当*取最大值?且=o时dij=n=平,(c-2)+15V55即当。在C点E在8点时点。到直线GE的距离的最小值为詈，故正确;故选：C4. （2023海淀一模15）在ZVWC中，ZACB=90o,AC=BC=2,。是边Ae的中点，E是边AB上的动点（不与4,8重合），过点后作AC的平行线交BC于点尸，将ABEF沿EF折起，点B折起后的位置记为点P,得到四棱锥P-AUE,如图所示.给出下列四个结论：AC/平面在尸；?MEC不可能为等腰三角形；7J存在点E,P,使得PZ）_LA£；/B当四棱锥P-AC在:的体积最大时，AE=2.么'"7/其中所有正确结论的序号是.【答案】a2/-Q【分析】根据线面平行的判断定理，判断；证明一PFCwEFC,即可判断；利用垂直关系转化，结合反证法，即可判断；表示四棱锥的体积后，利用导数计算最值，即可判断©.【详解】因为ACM,EFU平面PEF,ACa平面PEF,所以AC/平面尸EF,故正确；因为二ABC是等腰直角三角形，所以！尸所也是等腰直角三角形，则M=W,因为AC上BC,EFHAC,所以EF工BC,且EFsF当N尸尸C=90时，APFC_EFC,所以EC=PC,此时IPEC是等腰三角形，故错误；因为EF上BC,且EF_LPF,BCPF=F,且BCu平面PCF,PFU平面PCF,所以铲/平面PCF,E尸U平面A3C,所以平面ABC/平面所，且平面ABCC平面尸ER=BC,如图，过点P作尸M/3C,连结D,则PMJ_平面ABC,AEU平面ABC,所以PM_LAE,若PDlAE,PDCPM=P,H）U平面DW,AWu平面PDW,所以AEJ_平面PDW,OMU平面产。M,所以AEJ_OM,如图，AC=2t延长M。，交AB于点N,则ADCM和A4M）都是等腰直角三角形，则CW=1,点N到直线AC的距离等于上，这样在翻折过程中，若能构成四棱锥，则Bb>SFC=X,则2-x>l+x,则0<%<g,当底面ACFE的面积一定时，平面平面ABCI平面庄户时，即尸“_1_平面ABC时，四棱锥尸-AeRE的体积最大，设FC=X,EF=BF=PF=2-x,0<x<2½>-C.=×2x(2-+2)x'(2-)1324=-x-X+X63Vz=x2-2x+=(3x2-12x+8)=0得x=2+G(舍)或x=2一33当xe2-芋Vz>0,函数单调递增，当xe(2-竽,2),V,<0,函数单调递减，所以当x=2-"时，函数取得最大值，此时AE=2应-浊，故错误；33故答案为：5.(2023西城一模15)如图，在棱长为2的正方体ABa)-CA中，点M,N分别在线段AA和耳£上.给出下列四个结论:MN的最小值为2；四面体NWRC的体积为±；3有且仅有一条直线MN与AD1垂直;存在点”,N,使AMBN为等边三角形.其中所有正确结论的序号是.【答案】®【解析】因为公垂线段是异面宜线上两点间的最短距离，OG是AA与片。1的公垂线段,所以当N分别与AC重合时，MN最短为2,所以正确；由AA平面N8C可知，当点M在上运动时，点M到平面NSC的距离不变，距离h=2,由8C6C可知，当点N在屁。上运动时，N到BC的距离不变，！陨。的面积不变'¼fNBC=,VBC=×-×2×2×2=-,所以正确；4»>_J*<-3j*323当M,N分别与A，C重合时，MNJ.叫；当M为AR中点，N与禺重合时，MNlADi,所以错误；在ADl上取一点N1,使得AiNl=BN,连接AM,MN-则Mfi2=MAi+AB2=MA2+4,BN2=AN；=A+AM2=A1N12+4,MN?=MN；+NN12=MN；+4,若！MBN为等边三角形,则MB=BN=MN,即MA=AM=M叫，要判断！MBN能否为等边三角形，只需考虑在MA=AM的条件下，MA与“乂能否相等.设MA=AN=?，MM=n,当Nl与A重合时，m<n,在连续变化过程中，必定存在某个位置使得m=，即！MBN可能为等边三角形，所以正确.2 会同向量笈立体几何中的应用故答案为.1.（2023海淀一模16）如图，直三棱柱ABC-ABe中，AC=BC=I,AA=2,ACVBC,Bl。是AAI的中点.(I)证明：GZ)_L平面3C。；(II)求直线CD与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析芈【分析】（I）以点C为坐标原点，CA.CB、Ca所在直线分别为x、y、Z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明出qLC8,ClDlCDt再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）利用空间向量法可求得直线。与平面BG。所成角的正弦值.【详解】（1）证明：在直三棱柱A3CA4G中，CGL平面A8C,且AC/8C,以点C为坐标原点，CA.CB、CG所在直线分别为X、y、Z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则点B(0,l,0)C(0,0,0)、G(0,0,2)、£>(1,0,1),CB=(OJO)'CD=(1,0,1).C1D=(l,0,-l),所以，CBGD=0,CD-C1D=HO-I=O,则GOJ_C3,ClDlCD,又因为CBCD=C,CB、CQU平面3CQ,因此，GOJ平面8CO.（2）解：设平面BCQ的法向量为m=（,y,z）,BG=（O,-1,2）,mBC.=-V+2z=0z、,取z=l,可得m=(1,2,1),/H-C1D=X-Z=O所以，COS（8,6）二CDm23CDp-×63，因此'CO与平面BCO所成角的正弦值为坐2. (2023朝阳一模16)如图，在三棱柱A8CA4G中，平面A8C,RE分别为ACAG的中点，AB=BC=下,AC=AAx=Z.(I)求证：ACJ_平面8。£；(II)求直线小与平面A的所成角的正弦值;(Ill)求点O到平面ABE的距离.(I )在三棱柱ABC-A8&中,因为A1 _L平面ABC, 所以 AAl VAC .又O,E分别为AC, AG的中点，则。七A4,，所以 AC _L OE.因为AB = BC ,所以AC工BD.又 BD DE=D,所以ACi.平面班坦.( )由(I )知 AC_L£>E, ACVBDi DElM .又AA _L平面ABC, 所以OEJ_平面ABC.所以。石_L8£>.所以D4,O七两两垂直.如图建立空间直角坐标系D-xyz ,则 Q(0,0,0), A(l,0,0), 3(0,2,0), £(0,0,2).所以笳=(0,0,2), AB =(-1,2,0), AE = (-1,0,2).4分设平面ABE的一个法向量为w = (x,y,z),tn - AB =0, 即.wAE=0,- x + 2y = 0, -x + 2z =0.令 y = l,则 X=2, Z = I.于是 m = (2,1,1).设直线Z)E与平面/腔所成角为0,则sin=cos(m,DE)W DF 6mDE 6所以直线用与平面ABE所成角的正弦值为46Il分(III)因为直线DE与平面ABE所成角的正弦值为614分所以点D到平面ABE的距离为d=DESma=西33. (2023东城一模18)如图，在长方体A88中，AAi=AD=2,和四。交于点E,尸为AB的中点.(1)求证：E尸平面A。AA；(II)再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求(i)平面CE产与平面BCE的夹角的余弦值；(ii)点A到平面C砂的距离.条件：CElBD条件：直线妫。与平面8CGq所成的角为注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.(I)连接AA，BD,BD.因为长方体ABCD-AiBiCiD.中，BB1/DDi且BBi=DD1,所以四边形BqAD为平行四边形.所以E为3的中点，在AABA中，因为E，F分别为5。和AB的中点，所以EFAD1.因为Ma平面AoAA1,AAU平面AoAA1,(II)选条件：CEIB1D.(i)连接80.因为长方体中A1=AD=2,所以8C=2应.在aCBA中，因为E为BQ的中点，CE上BQ,所以CD=BC=26.如图建立空间直角坐标系。-Ayz,因为长方体中AA=AO=2,CD=22,则Z)(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2孤,0),(2,22,0),F(2,2,0),(2,22,2),E(I、向).所以。石=(1,-£1),CF=(2,-2,0),C=(2,0,0).设平面CEF的法向量为m = (x1,ypz1),m CE = 0, 即m CF = O,X -2y1 +zl =0,2x1 - 2yl = 0.令 XJ=1,则 y=0 z1 =1 » 可得利= (1, J,l).设平面BCE的法向量为w = (x2,y2,z2),则."CE = 0,即 zi CB = 0,x2-2y2÷z2 =0,2x2=0.令=1，则=°，z2=2.所以=(O,1,J).设平面CEF与平面BCE的夹角为。，,11lZll.ImnI6则cos=Mcos<m.n>=1川"13所以平面CF与平面BCE的夹角的余弦值为亚3(ii)因为Ab=(O,0),所以点A到平面CEF的距离为15分d=l=l.1川选条件：片。与平面BCG与所成角为4.连接BC4因为长方体ABC。ABCQ中，.8L平面BCCg，BCU平面8。百，所以COj,81C.所以NDgC为直线BQ与平面BCCS所成角，即NDBlC=所以DB1C为等腰直角三角形.因为长方体中A1=AO=2,所以4C=20.所以CD=SC=20.以下同选条件.4.(2023西城一模18)如图，在四棱锥P-A58中，EAX5FffiABCD,ABHCD,AB±AD,AB=I,PA=AD=CD=I.E为棱PC上一点,平面ABE与棱PD交于点尸.再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，完成下列两个问题：(I)求证：/为P力的中点；(II)求二面角5-尸C-P的余弦值.条件：BE/AFi条件：BEA.PC.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.选条件：BE/AF .5分6分(1)因为458,AB(Z平面PeD,所以AB/平面PCD.1分因为平面ABEFrl平面P8=£F,所以AB即.2分又BE/AF，所以四边形ABE尸为平行四边形.所以AB所且Afi=所.3分因为AB8且A8=!CD,所以所CD且E/=CO.22所以EF为ZXPCD的中位线.所以产为PQ的中点.(II)因为平面A8C。，所以QAJ_AB,R4J_A£>.又AB_LAZ),所以A6,AL),AO两两相互垂直.如图建立空间直角坐标系A-XyZ,7分则A(0,0,0),BQ,O,O),C(2,2,0),P(0,0,2),D(0,2,0),F(0,l,l).UUUIlUUUlflU所以8C=(l,2,0),8尸=(T,1,1),AF=(0,1,1).UlinmBC=0,fx+9V-设平面的法向量为雁=(",z),则IUl即广十刀一5m.BF=0,I-X+j+z=0.令y=-l,则x=2,z=3.于是Wl=T3).9分因为AB_L平面以力，且ABCD,所以CZ)J平面¾O.所以AFJ_CQ.又QA=4),且F为尸力的中点，所以A尸J.PD.UUD所以AFj_平面尸CD,所以A尸是平面PCQ的一个法向量.11分IllHlr-IUBnAFJl,cos(w!,AF)=ma=.3分IwIlAFI7由题设，二面角B-FC-尸的平面角为锐角，所以二面角8广CP的余弦值为，.14分选条件：BELPC.(I)因为以_!_平面ABCD,所以QAJ在Rt/¾8中，PB=JAB2+AP?=G1分在直角梯形48CD中，由AB=1,Ac)=CD=2,可求得BC=6，所以PB=BC.2分因为8EJ_PC,所以£：为PC的中点.3分因为ABCD,ABa平面PCQ,所以AB平面PCD.因为平面ABMl平面PcD=砂，所以AB£F.5分所以CDEF.所以尸为尸。的中点.6分(II)以下同条件.5.（2023石景山一模18）如图，在四棱锥P-A38中，底面448是边长为2的正方形，侧面PA。为等腰直角三角形，且NPAO=乙，点F为棱PC上的点，平面ADF与棱尸4交于2点E.（I）求证：EF/AD；（II）从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知，求平面Pa）与平面AZ）庄所成锐二面角的大小.条件：AE=日条件：平面皿_L平面488；条件：PBA.FD.注：如果选择的条件不符合要求，第（三）问得。分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.B【答案】(I)证明：因为底面ABCZ)是正方形，所以A0BC,BCU平面PBC,AOa平面P4C,所以A。平面依C又因为平面ADF与PB交于点E.4力u平面AD庄，平面PBC平面ADFE=EE所以EFHAD.(II)选条件侧面修。为等腰直角三角形，且NPAD=二，2即¾=AT>=2,PAYAD平面Q4T)_L平面ABe£),平面弘Dl平面ABCD=AD,QAU平面皿),则PA，平面ABa),又ABCf)为正方形，所以PAJ_AB,E4_LA£>,A8_LAD.以点A为坐标原点，AB,AD,AP方向分别为X轴,y轴,Z轴正方向,(方法2：因为¾B为等腰三角形，则LAf,尸8_LAD,A£：nA£)=APBJL平面D石，则后=(2。-2)平面AD/石的法向量)设平面PcD的法向量为：”=(,"c),则/1PD=2y-2z=O<,n-PC=2x+2y-2z=0令y=l,可得”=(OJl)所以ICOs<PB,n>=)""=-2IPBIlnl则两平面所成的锐二面角为二3选条件侧面RlZ)为等腰直角三角形，且NP4Q=三,即%=A£)=2,Q4_LA£)2ADlAB,4AB=A,可得Am平面¾B,PBU平面PAB,则AC)IPB.又因为尸8_LED,ADfFD=D,则PB1平面ADFEMEU平面ADFE,则PBlAE因为¾=AB,所以ARAB为等腰三角形，所以点E为PB的中点又因为AE=,所以AFAB为等腰直角三角形，下面同选条件侧面½D为等腰直角三角形，且/PAD=E,2即4=AD=2,E4"LAD平面P4O_L平面ABeZ),平面QAO)平面ABq)=AD,RlU平面Q4D,则，%_!_平面ABCD,ABCD为正方形,所以PA_LAB,AA_LA。A8_LA£).又因为PB_LFRAOfFD=D,则PBI平面ADFE,AEU平面AD户E则B_LA£；因为AA=AB,所以ARAB为等腰三角形，所以点E为PB的中点.卜面同6.（2023丰台一模17）如图，在四棱锥P-ABCO中，底面是边长为2的菱形，AC交BD于点O,NMD=60°,尸B=PQ,点E是棱隙的中点，连接OE,OP.（I）求证：OE平面PCD；（II）若平面EAC与平面Pa）的夹角的余弦值为巫，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为己知，求线段OP的长.条件：平面P8D_L平面ABCZ）；条件：PBLAC.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.B【答案】(I)证明：因为底面ABCD是菱形，所以。是AC的中点,因为E是心的中点，所以OE/PC,因为PCU平面PCD,OEa平面PCD所以。E平面PCQ；(II)选择条件：因为PB=PD,。是8。的中点，所以尸。IBQ,因为平面P以XL平面ABCDt平面PBolI平面ABC£>=5。，PoU平面尸3£>，所以POJ_平面A8CD,因为ACU平面ABez),所以P0_LAC,又ACtBD,所以。8,0CoP两两垂直，以0为原点建立空间直角坐标系。-冷N,因为菱形的边长为2,/840=60。，所以8£>=2,AC=20,所以C(0,",0),O(T0,0),设P(O,O)(f>O),所以DC=(I,"),DP=(LOj),设=(x,y,z)为平面PCD的一个法向量,n1DC,An-DC=0,x+3y=O,rLrl由，得所以<取X=6I,则V=-tiz=-3n1DP,11DP=O,x+tz=O,J所以=(,-6),因为8OJ_平面PAC,所以平面BAC的一个法向量为6=(1,0,。)，因为平面以C与平面PCD的夹角的余弦值W,所以ICoSTX=W日11IX而-15即一/L一=，(3r)2+(-r)2+(-3)2×i5所以5产=4产+3,即产=3,因为f>0,所以f=J所以线段OP的长为J.14分选择条件：因为PB上AC.在菱形A8CO中，BOlAC,因为BDU平面PBD,PBu平面PBD,PBIBD=B,所以4C_L平面PB。，因为POU平面PBD,所以ACj,P。，因为尸O_L8£>,ACJ_3O所以。8。CoP两两垂直.以下同条件.