2.5.2圆与圆的位置关系公开课教案教学设计课件资料.docx

2.5.2圆与圆的位置关系国课前颈习二素养启迪手知识梳理,两个圆之间的位置关系两个圆之间存在以下三种位置关系(1)两圆相交,有两个公共点;两圆相切,包括处切与内切,只有一个公共点；两圆相离,包括外离与内含,没有公共点.问题初中学习过判断圆与圆的位置关系的结论是什么？答案:设圆G的半径为r1,圆C2的半径是r2,则当连心线的长大于r1+r2,圆G和圆C2外离；当连心线的长等于n+n时，圆G和圆C2外切；当In-nI连心线的长<n+时，圆G和圆C2相交；当连心线的长等于In-。时，圆G和圆C2内切；当连心线的长小于In-。!时，圆G和圆C2内含.叁预习自测,1 .圆2+y2=l与圆2+y2=2的位置关系是(C)A.相切B.外离C.内含D.相交解析:圆x2+y2=l的圆心O1(0,0),半径n=l,圆x2+y2=2的圆心O2(0,0),半径r2=2,则d=10102=0,Ir2-rI=2-l,所以d<r2-r,所以这两圆的位置关系是内含.2 .圆2+y2=4与圆(-4)2+(y-7)2=l公切线的条数为(D)A.1B.2C.3D.4解析：圆2+y2=4的圆心6(0,0),半径r尸2,圆(x-4V+(y-7y=1的圆心O2(4,7),半径r2=l,则d=10102=J(4-0)2+(7-0)2=65>r1+r2=3,所以这两圆的位置关系是外离,有4条公切线.3.(多选题)圆C1r(-a)2÷yM与圆C2rx2÷(y-2)2=1有且仅有两条公切线,实数a的值可以取(AB)A.1B.2C.3D.4解析：因为圆G：(x-a)2+y2=4与圆C2"2+(y-2)2=l有且仅有两条公切线,所以两圆相交,因为圆C1的圆心为(a,0),半径r1=2,圆C2的圆心为(0,2),半径r2=l,所以r-r2<C1C2<r1÷r2,BP2-1<HT4<1÷2,解得-伤3<遮.4.已知圆Cv2+y2=10与圆C2：x'2+y2+2x+2y14=0相交，则两个圆的公共弦方程为,两圆的公共弦长为.解析：由圆Gd+y2=10,与圆C2x2÷y2+2x+2y-14=0,-得2x+2y-14=-10,即x+y-2=0,即两个圆的公共弦方程为x÷y-2=0;两圆的公共弦长即为圆Clx2÷y-10与x+y-2=0相交产生的弦长，弦长为2JlO-弓)2=4答案:x+y-2=0425.已知圆O1r(-l)2÷yM和圆O2：x2+(y-V5)2=9,则两圆公共弦所在直线的方程是解析:两圆圆心分别为(1,0),(0,5),圆心距为2,两圆半径分别为2,3,易知两圆相交.两圆对应的方程相减得两圆公共弦所在直线的方程，为2-23y-3=0.答案:2x-2V3y-3-0豌课堂探究二素养培育好探究点一J圆与圆位置关系的判定例1已知圆Ci:x2+y2-2ax-2y+a-15=0,C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).试求a为何值时,两圆：(1)相切；(2)相交；(3)相离.解:对圆G,C2的方程,经配方后可得Cl:(-a)2÷(y-l)2=16,C2:(x-2a)2+(y-l)2=l,所以圆心Ci(a,1),=4,圆心C2(2a,1),r2=l,所以CQ=J(q-2q)2+(1-1)2=a.当ICIC2Un+r2=5,即a=5时,两圆外切，当ICCI*3,即a=3时，两圆内切.当3<C1C21<5,即3<a<5时,两圆相交.(3)当IcgI5,即a>5时,两圆外离，当ICCl<3,即0<a<3时，两圆内含.，方法总结判断两圆位置关系的方法有两种,一是代数法,看方程组的解的个数,但往往较烦琐;二是几何法,看两圆圆心距d,当d=n+n时,两圆外切,Cl=InFI时,两圆内切,d>r+m时,两圆外离,d<r1-r2l,两圆内含，In-n<d<n+r2时,两圆相交.j针对训练(1)圆x2÷y2=2和圆x2÷y2-6y÷5=0的位置关系为()A.外切B.相交C.相离D.内含(2)两个圆C1x2+y2+2x+2y-2=0,C2x2+y2-4-2y÷l=0的公切线有()Al条B2条C.3条D4条解析:(1)根据题意，圆x2÷y的圆心为根0),半径R=2,圆x2+y2-6y+5=0,即x2+(y-3)M,其圆心为(0,3),半径r=2,圆心距d=3,则有2-2<d<2+2,因此两个圆相交.故选B.圆G的半径r1=2,圆心C1(-1,-1),圆C2的半径r2=2,圆心C2(2,1),C1C2=13.由于Irfl<CGKn+n,故两圆相交,因而公切线有2条.故选B.手探究点二,两圆相交问题例2已知两圆C1x2+y2-2x+10y-24=0和C2x2+y2+2x+2y-8=0.试判断两圆的位置关系；求公共弦所在的直线方程；求公共弦的长度.解：将两圆方程配方化为标准方程为Cu(-l)2+(y+5)2=50,C2r(x+l)2+(y+l)2=10,则圆G的圆心为半径r1=52;圆C2的圆心为半径r2-10.又IC1C21=25,r1+r2=52+10,r1-r2=52-10,所以rl-r2<ClC2<r+r2,所以两圆相交.将两圆方程相减,得公共弦所在直线方程为-2y+4=0.法一两方程联立,得方程组X2+y2-2x+1Oy-24=0,X2+y2÷2x+2y-8=0,两式相减得x=2y-4,把代入得y-2y=0,解得y1=0,y2,所以或屋:所以交点坐标为(-4,0)和(0,2),所以两圆的公共弦长为J(-4-0产+(0-2)2=25.法二两方程联立,得方程组(x2+y2-2x+1Oy-24=0,Ix2+y2+2x+2y-8=0,两式相减得-2y÷4=0,为两圆相交弦所在直线的方程.由x2÷y2-2x+10y-24=0,得(-l)2+(y+5)2=50,其圆心为G(1,-5),半径r1=52.圆心G到直线-2y÷4=0的距离d广(5)+4二3",所以两圆的公共弦长为Jl+(-2)22-d2=250-45=25.8方法总结求两圆的公共弦所在直线的方程的方法:将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程,但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时,才能如此求解,否则应先调整系数.求两圆公共弦长的方法:一是联立两圆方程求出交点坐标,再用距离公式求解;二是先求出两圆公共弦所在的直线方程,再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解.已知圆Gd+y"Dx+Ey+F尸0与圆C2：x"+y2+D2x+E2y+F2=0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2+y2÷D1x÷E1y÷F1÷(x2+y2÷D2x+E2y+F2)=0(-l).j针对训练已知圆C1:x2+y2+2x-6y+l=0,与圆C2x2÷y2-4x+2y-ll=0交于A,B两点,求A,B所在的直线方程和公共弦AB的长.解：由圆G的方程减去圆C2的方程,整理得3-4y+6=0,又由于方程3-4y÷6三0是由两圆相减得到的，即两圆交点的坐标一定是方程3-4y÷6=0的解.因为两点确定一条直线，故3-4y÷6=0是两圆公共弦AB所在的直线方程.因为圆G：x2+y2+2x-6y+l=0,所以圆心为C(T,3),半径厂3,所以圆心G到直线AB的距离j1-3-12+69d=j=-=-255所以 IABl=27N涯=2卜) 2：24 T所以A,B所在的直线方程为3-4y÷6=0,公共弦AB的长为g.营探九点二,两圆相切问题例3求半径为4,与圆(-2)2+(y-DM相切,且和直线y=0相切的圆的方程.解:设所求圆C的方程为(-a)2+(y-b)2=d(r>0).由圆C与直线y=0相切,且半径为4,得圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a,-4).已知圆(-2)2+(y-l)2=9的圆心A的坐标为(2,1),半径为3.由两圆相切,得ICAl=4+3=7或ICAl=4-3=1.当圆心为C1(a,4)(a-2)2÷(4-l)2=72或(a-2)?+(4-1)?=-(无解),得a=2±210,故所求圆的方程为(-2-2IU)2+(y-4)2=16或(-2÷210)2+(y-4)2=16.当圆心为C?(a,-4)时，(a-2)2+(-4-l)2=72或(a-2)2÷(-4-l)2=l2(无解)，得a=2±26,故所求圆的方程为(-2-2+(y+4)2=16或(-2+26)2+(y+4)2=16.综上所述,所求圆的方程为a-2-2同)2+«-4)2二16或(-2+210)2+(y-4)2=1611K(-2-26)2+(y+4)2=16或(-2+26)2+(y+4)2=16.，方法总结两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，内切时，圆心距等于两圆半径差的绝对值.在题目没有说明是内切还是外切时,要分两种情况进行讨论.解决两圆相切问题,常用几何法.针对训练与圆0x2÷y5外切于点P(4,3),且半径为1的圆的方程是解析:设所求圆的圆心为C(m,n),则0,P,C三点共线,且IOCl=6,所以m=-X6=,X6=,5555所以圆的方程是(-)2÷(y-)2=1.答案：6-争2+6二1套课堂达标,1 .圆2+y2-2x=0与圆2+y2+4y=0的位置关系是(C)A.外离B.外切C.相交D.内切解析:圆x2+y2-2x=0的圆心为(1,0),半径为1,圆2+y2+4y=0的圆心为(0,-2),半径为2,圆心距为遥,因为2-l<5<2÷l,所以两圆相交.2 .已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是(D)A. (-5)2+(y+7)5B. (-5)2+(y+7)2=17c(-5)2+(y+7)2=15C. (-5)2+(y+7)2=9D. (-5)2+(y+7)2=25或(-5)2+(y+7)2=9解析：因为半径为1的动圆与圆(-5)2+(y+7)2=16相切,所以动圆圆心到(5,-7)的距离为4+1或4-1,所以动圆圆心的轨迹方程为(-5)2÷(y+7)2=25或(-5)2+(y+7)2=9.3.(多选题)已矢口圆Clx2+y2-4=0和C2x2+y2-4x+4y-12=0交于A,B两点,下列说法正确的有(ABC)A.公共弦AB所在直线方程是-y+2=0B.公共弦AB长是22C.以AB为直径的圆方程是(x+l)2+(yT)2=2D.线段AB与线段CG互相垂直平分解析：由两圆方程相减可得-y+2=0,即为公共弦AB所在直线方程,A正确；由C1(0,0)知,G到直线x-y+2=0的距离d=-=2,而圆G的半径r=2,所以ABl=2rf2=22,B正确；由直线C1C2为y=-与-y+2=0的交点(-1,1)为以AB为直径的圆的圆心,结合B知,此圆的方程为(x+l)2+(y-l)2=2,C正确；由两圆相交弦与两圆圆心所在直线的位置关系知,线段CC垂直平分线段AB,但线段AB不垂直平分两圆圆心所成的线段，D错误.4.写出与两圆(-l)2+y2=l,x2+y2-10x+6y+18=0均相切的一条直线方程_解析：由(-l)2+y2=l,圆心为(1,0),半径为1,(x-5)2+(y÷3)2=16,圆心为(5,-3),半径为4,得两圆圆心距为J(5-1)2+(-3-0)2=5=1+4,故两圆外切，如图,公切线斜率存在,设为y=kx+m,k+ml+fc25k+3+ml+fc2解得Zc = 0, m = 1所以公切线方程有y=l或4-3y-9=0或24x+7y+l=0.答案:尸1(答案不唯一)国课时作业选题明细表知识点、方法题号圆与圆的位置关系判定4,9XX2,3,8,10,13,15XX5,6,17综合1,7,11,12,14,16,18基础巩固1.圆G：(X-I)2+y2=4与圆Cz：(x-2)2+(y+l)2=l的位置关系为(A)A.相交B.内切C.外切D.相离解析：圆3的圆心G(1,0),半径rl=2,圆C2的圆心C2(2,-1),半径r1=l,则IC1C2=2,有r2-r1<C1C21<r2+r1,所以圆G与圆C2相交.2.圆x2+y2-2-5=0和圆x2+y2+2-4y-4=0的交点为A,B,则线段AB的垂直平分线方程为(A)A.x+y-l=OB.2-y+l=0C.-2y+l=0D.-y+l=O解析:法一线段AB的中垂线即两圆的连心线所在直线1,由圆心Cl(l,0),C2(-1,2),得1的方程为x+y-l=O.法二由题意,得直线AB的方程为4-4y+l=0,所以线段AB的垂直平分线斜率为-1,又过圆心(1,0),所以方程为y=-(-l),即x+y-l=O.3.若圆(-a)2+(y-b)2=b2÷l始终平分圆(x÷l)2÷(y+l)M的周长,则a,b应满足的关系式是(B)A. a-2a-2b-3=0B. a2+2a+2b+5-0C. a2+2b2+2a÷2b+l-0D. 3a2+2b2+2a+2b+l=0解析:利用公共弦始终经过圆(x+l)2+(y+l)2=4的圆心即可求得.两圆的公共弦所在直线方程为(2a+2)x+(2b+2)y-a2-l=O,它过圆心(-1,-1),代入得a2+2a÷2b+5=0.故选B.4.ffiB(x÷2)2+y2=l,(x-2)2÷y2=l都相切，且半径为3的圆一共有(B)A.9个B.7个C.5个D.3个解析:设圆(x+2)2+y2=l圆心G(-2,0),半径rn,(x-2)2+y2=l圆心C2(2,0),半径r2=l.由已知圆C(a,b),半径R=3.当圆C与两圆都外切时,有IlCC2I=?+r2=4,即有IeCJ=ICC2,可得C在C1C2的垂直平分线上，即a=0,ICC11=22+b2=4,可得b=±23,有2个圆满足；当圆C与圆G相外切,与圆C2相内切时,有+"=4，IlCCIl=R-T2=2,IJ(+2)2+fo2=4,即/U(-2)2+h2=2,解得有2个圆满足；同理,当圆C与圆CZ相外切,与圆G相内切时,有2个圆满足；当圆C与两圆都内切时，有CC11=R-r1-2,11CC2IRt22,BPICC11=1CC2I=2,解得；,即有1个圆满足.综上所述,共有7个圆满足情况.5.半径长为6的圆与y轴相切,且与圆(-3)2+y2=l内切,则此圆的方程为(D)A. (-6)2+(y-4)2=6B. (-6)2+(y÷4)2=6C. (-6)2+(y-4)2=36D. (-6)2+(y±4)6解析：因为两圆内切,所以圆心距离d=6-l=5,又半径长为6的圆与y轴相切，所以圆心在y轴右侧，设圆心坐标为(a,b),则a=6,再由b2+32=5可解得b=±4,故所求圆的方程为(-6T+(y±4)2=366.(多选题)点P在圆C1rx2+y2=l上,点Q在圆C2：(-3>+(y+4)2=16上,则(AC)A.IPQI的最小值为OB.两圆公切线有两条C.两个圆心所在的直线斜率为TD.两个圆相交弦所在直线的方程为3-4y-5=0解析：由圆的方程知，圆C1的圆心C1(0,0),半径n=l;圆C2的圆心C2-4),半径r2=4,所以ICiC21=J(0-3)2+(0÷4)2=5=+r2,所以两圆外切;若P,Q重合,为两圆的切点，则IPQnin=0,A正确;两圆外切，则公切线有3条,B错误;kc】C2二言=9，C正确；因为两圆外切,所以两个圆不存在相交弦,D错误.7.(多选题)已知圆Ci:x2+y2-10-IOy=O和圆C2:x2÷y2-6x÷2y-40=0,则(AB)A.两圆相交B.公共弦长4IUC.两圆相离D.公切线长4IU解析:圆C的标准方程为(x-5)2+(y-5)2=50,圆心为(5,5),半径r1=52;圆C2的标准方程为(X-3)2+(y+l)2=50,圆心为(3,-1),半径r2=52,所以两圆心的距离d=J(5-3V+5-(-l)2=2ia所以(Kdd+m,所以两圆相交，选项A正确，选项C错误；设两圆公共弦长为L,则有()2÷g)2=r2(r=r1=r2),所以>410,选项B正确，选项D错误.8 .(2022四川宜宾期中)圆C2+y2+4x=0与圆C2：x?+y22x2y2=0交于A,B两点，则直线AB的方程为.解析:两圆方程作差可得6x÷2y+2=0,即3x+y+l=0,所以直线AB的方程为3x+y+l=0.答案：3x+y+l=09 .圆x2+y2+6-7=0和圆x2+y2+6y-27=0的位置关系是.解析：圆2+y2+6-7=0的圆心为U(-3,0),半径n=4,圆x2+y2+6y-27=0的圆心为O2(0,-3),半径n二6,所以IO1O2I=J(-3-0)2+(0÷3)2=32,所以r2-r<0102<r+r2,故两圆相交.答案:相交10 .若圆x2+y2=4与圆x2÷y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为23,则a=解析:两个圆的方程作差,可以得到公共弦所在直线的方程为y-,圆a心(0,0)到直线y'的距离d=于是由(乎)2+(i)2=2；aa2a解得"L答案：111 .过圆x2÷yM外一点M(4,-1)引圆的两条切线,则经过两切点的直线方程为.解析：以线段OM为直径的圆的方程为x2÷y2-4x÷y=0,经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线,将两圆的方程相减得4-y-4=0,这就是经过两切点的直线方程.答案：4x-y-4=0能力提升12 .已知M是圆C:(-l)2+y2=l上的点,N是圆C,:(-4)2+(y-4)2=82上的点,则IMNl的最小值为(D)A.4B.42-lC.22-2D.2解析:因为ICcl=5<R-r=7,所以圆C内含于圆C',则IMNl的最小值为R-cbI-r=2.13.已知圆Cjx2÷y2-kx+2y=0HC2x2+y2+2ky-l=0的公共弦所在直线恒过点P,则点P的坐标为(A)A.B.(l,i)C.(-1,-)D.(-1,)解析：圆C1x2+y2-kx+2y=0与圆C2=2+y42kyT=0的公共弦所在直线为-kx÷2y-2ky÷l=0,即k(x÷2y)-2y-l=0,故f：2：二;，解得故直线过定点(1,-?.14.(多选题)设集合A=(x,y)x2÷y28,B=(x,y)(-l)2÷(y-l)2y(r>0),则下列r的值满足AB=B的是(ABC)A.1B.-C.2D.22解析：由题意知，圆(xT)2+(yT)2=r2(r>0)在圆x2÷y2=8内或两圆内切(r<22),所以圆心距离d=l2+l222-r,所以O<rW故A,B,C满足条件,D不满足.15 .已知圆x2+y2-6x+2y+15-a2=0与圆x2+y-(2b-10)-2by+2b-10b+16=0相交于A(x,y),B(x2,y2)两点,且满足好+y广慰+龙，则b=解析:根据题意，圆x2+y2-6x+2y+15-a2=0,其圆心为M(3,-1),圆x2+y-(2b-10)-2by+2b2-10b+16=0,其圆心为N(b-5,b),两圆相交于A(X,y),B(x2,丫2)两点,则AB的垂直平分线为MN,又由A(x,y),B(x2,y2)满足好+y广石+秃，即IOAl=IOB,即点0也在直线MN上,则有若=曰，即3b=5-b,解得b=.300-5O4答案卷416 .已知圆C1x2+y2-2mx+4y+m2-5=0和圆C2:x2÷y2+2x=0.(1)当m=l时,判断圆G和圆C2的位置关系；是否存在实数叫使得圆C和圆C2内含？解:当In=I解圆Cl的标准方程为(xT)2+(y+2)2=9,则G(I,-2),半径n=3,圆C的标准方程为(x+l)2+y2=l,则C2(T,O),半径口二1,所以两圆的圆心距d=J(l+I)2+(-2-0)2=22,Xn+r2=4,e-*2,所以r1-r2<d<r+r2,故圆Cl和圆C2相交.不存在,理由如下：圆G的方程可化为-m)2+(y+2)2=9,则G(In,-2),半径n=3,而C2(T,0),半径n=l.假设存在实数m,使得圆G和圆C2内含,则圆心距d=J(m+l)2+(-2-0)2<3-l,BP(m+l)2<0,此不等式无解.故不存在实数叫使得圆G和圆C2内含.17.求与圆x2+y2-2x=0外切,且与直线x+5y=0相切于点(3,-3)的圆的方程.解:设所求圆的方程为(-a)2÷(y-b)2(r>0),将x2+y2-2x=0化为标准形式为(xT)2+y2=l,由题意可得VJ(al)2+b2=r÷1,+3ba=4,(a=O,解得)b=0,或Ib=-43,、r=2r=6.故所求圆的方程为(-4)2+y'2=4或x2+(y÷43)6.应用创新18.已知圆Cx2+y2-2x÷4my+4mM,圆C1x2+y5,直线l:3x-4y-15=0.(1)求圆C1rx2÷y5被直线1截得的弦长；当m为何值时，圆C与圆G的公共弦平行于直线1;是否存在实数叫使得圆C被直线1所截的弦AB中点到点P(2,0)距离等于弦AB长度的一半?若存在,求圆C的方程;若不存在,请说明理由.解：(1)因为圆C1rx2÷y5的圆心坐标为(0,0),半径为5,则圆心G到直线l:3x-4y-15=0的距离为d=y=3,所以直线1被圆C1x2+y5截得的弦长为2原于二8.(2)圆C与圆G的公共弦所在直线方程为2-4my-4m2-25=0,因为该弦平行于直线1：3-4y-15=0,所以“如皿1交,得m二.34153经检验符合题意,所以m二.不存在,理由如下:假设这样的实数m存在.设弦AB中点为M,由已知得IAB=2PM,即IAMuIBMl=IPM所以点P(2,0)在以弦AB为直径的圆上.设以弦AB为直径的圆方程为x2÷y2-2x÷4my+4m2+(3-4y-15)=0,/2-2×2+4m2+(3X2-15)=0,f4n2-9=0,i3X-4×生处-15=0ll6m-25-24=0,消去人得100m-144m+216=0,即25m2-36m+54=0,因为A=362-4×25×54=36(36-25X6)<0,所以方程25m2-36m+54=0无实数根,所以假设不成立，即不存在实数m满足题意.