2023-2024学年北师大版选择性必修第一册空间中直线平面的垂直学案.docx

2023-2024学年北师大版选择性必修第一册空间中直线平面的垂直学案学习任务1 .能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.(数学抽象)2 .熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的垂直关系.(逻辑推理、数学运算)必备知识情境导学探新知情境我习素养感知【情境与问题:由直线上一点及直线的方向向量可以刻画直线的位置，由平面内一点及平面的法向量可以刻画平面的位置，那么就可以利用向量运算来判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.下面我们就利用向量来研究垂直问题.知识点空间中直线、平面垂直的向量表达式位置关系向量表达式线线垂直设直线人，入的方向向量分别为1，小，则人_L，2=m_L2=小小=0线面垂直设直线/的方向向量为，平面a的法向量为,则IL=出入£R，使得a=入面面垂直设平面a,£的法向量分别为久，,则a-L_1_兄=】E=Oe牌前自主他验。思考辨析(正确的打“，错误的打“X”)(1)若两条直线的方向向量的数量积为0,则这两条直线一定垂直相交.()(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.()(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直.(4)若两平面a,旧的法向量分别为小=(1,0,1),2=(0,2,0),则平面a,互相垂直.()提示：(DX两条直线可能异面垂直.(2) 根据线面垂直的定义可知.(3) X也可能平行.(4) 由人ZZ2=O知2,从而4_L£.关键能力合作探究释疑难疑难问题解惑学科素养形成Il类型I直线和直线垂直【例1】如图，在四棱锥Z2力四中，月LL平面力腼，四边形力腼是矩形，PA=AB=LF是用的中点，点E在边加上移动.P求证：无论点Zf在边欧上的何处，都有½,L<证明法一：以力为原点，以也AB,所在直线分别为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系.设力=a,则力(0,0,0),A0,0,1),取0,1,0),CS,1,0),于是(0,p£在BC上，、设E5,b0),PF=U,1,-1),AF=(,：),PF4F=0,：.PELAF.J无论点E在边陇上何处，总有PELAF.法二：因为点E在边上，可设露=A近，于是而.存=(可+万+丽)(AP+AB)=(PA+AB+BC)(AB+AP)=(PA-AB+PAAP+ABABAB-AP+BC-AB+BCAP)=(0-l+l+0+0+0)=0.因此匠_L而.故无论点E在边以上的何处，都有些L"：反思领悟用向量法证明直线与直线垂宜的方法和步骤（1）基底法：选取三个不共面的已知向量（通常是它们的模及其两两夹角为已知）为空间的一个基底；把两直线的方向向量用基底表示；利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0;由方向向量垂直得到两直线垂直.（2）坐标法：根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；计算两直线方向向量的数量积为0;由方向向量垂直得到两直线垂直.跟进训练1.如图，力比和及力所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2,NABC=/DBC=W,E,Z7分别为力乙%的中点.求证：EFLBC.证明法一：(基底法)设瓦5=a,BC=b,BD=C,则&b,c为空间的一个基底.'：AE=ECfDF=Fa：.EF/AD,且EF=2.EF=AD=(D-网=c-a).又丽=儿AB=BC=BD=2,NABC=NDBC=,：.EFBC=-(ca)b=-(cbait)=0,22：.EF-LBCfEF-LBC.法二：（坐标法）由题意，以点8为坐标原点，在平面脑内过点8作垂直于比的直线为X轴，肉所在直线为y轴，在平面力内过点6作垂直于8。的直线为Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,易得5(0,0,0),4(0,-1,3),j9(3,-1,0),(0,2,0),所以0,务喈,Y。）,所以加=(苧，O,-y),BC=(0,2,0),因此前玩=0,从而前_L说，所以EFIBC.Il类型2直线和平面垂直【例2】如图，在长方体力8办4笈G中，AB=2,BC=CC=1,E是口的中点.求证:笈EL平面力即.思路导引建立空间直角坐标系,如"毗1平一叱写出相关点的坐标一求平面AEDi的-个法向量一证明瓦:与平面AEDx的法向量平行一台反！平面AED1证明建立如图所示空间直角坐标系，P(0,0,0),4(1,0,0),(0,0,1),C(0,2,0),BI(1,2,1).又£为切的中点，以0,1,0),瓦万=(-1,-1,-1),AE=(-1,1,0),珂=(一1,0,1).设平面月切的法向量为=(%y,z),则y=l,z=l,工A=(1,1,1)是平面49的一个法向量.又Bll=-ZbB1E/n,瓜瓦！平面AEI.反思领悟证明直线与平面垂直的方法(1)选基底，将相关向量用基底表示出来，然后利用向量的计算来证明.(2)建立空间直角坐标系，利用坐标将向量的运算转化为实数(坐标)的运算，以达到证明的目的.跟进训练2.如图所示，在正方体川Q4544中，E,F分旗是BB,笈的中点.求证：除L平面BiAC.证明法一：设荏=a,而=c,AAi=b,则辟5=西+瓦?=X西+瓯)=(A4÷FD)=(A47÷4D-A&)=：(&+6+c).2'：AB1=AB+丽=a+b,FF4F1'=(-a÷A÷c)(8+b)=(2-a"÷ca÷cb)=(b22+0÷0)=0.FF±X,即哥工力尻同理，EFIBC又ABGBIC=&,AR,8夕=平面打47,工斯，平面BxAC.法二：设正方体的棱长为2,以为原点，DA,DC,9所在直线分别为X轴、y轴、Z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则月(2,0,0),6,(0,2,0),5(2,2,2),£(2,2,1),£(1,1,2).AFF=(-1,-1,1),丽=(0,2,2),AC=(-2t2,0).丽福=(-1,-1,1)(0,2,2)=(-1)×0+(-1)×2+1X2=0,EFAC=(lf-1,1)(-2,2,0)=2-2+0=0,FF1K,ET1C,：.EFLABytEFLAC.又仍4Ul,AA,平面ZUC,，牙平面RAe法三：由法二得福=(0,2,2),Jf=(-2,2,0),EF=(-1,-1,1).设平面笈力C的法向量n=(x,/,z),则而;=0,AC=0,即12y+2z=0,(-2x+2y=0.取/=L则y=1,z=-l,=(1,1,-1),：.EF=n,EFn,；哥工平面8力。.类型3平面与平面垂直【例3】(源自湘教版教材)在四面体力腼中，L平面切9,%=切，NM?=90°,/力的=30°,E,尸分别是力G4的中点.求证：平面座FJ平面ABC.证明如图所示，以点8为原点，分别以丽，瓦?为y轴、Z轴的正方向，并取相同的单位长度，建立空间直角坐标系.设4(0,0,a),则4(0,0,0),当,y,0),Z?(0,3a,0),飕q,f,0,0,于是屈=(0,0,一a),FC=(y,y,0),丽=件,f,0,FF=(,y,0.法一：(利用平面的法向量)设1=(M,M，Z1)是平面力8C的法向量，In1AB=-az1=0,7:33n1BC=ax1+ay1=0,取小=1,得=1,Z=O,则=(1,1,0)是平面46C的一个法向量.设Q=(X2,Vl,生)是平面的7的法向量，2ZQ 一 2+O,y2=Q 2 3晓2 ÷ + 小y2 Q 3-43-2 - 屁BF取照=L得刑=L2=-3,则m=(l,L-5)是平面庞F的一个法向量.因为nn=(l,-L0)(1,L3)=0,所以平面啊！平面4凡7.法二：(利用线面垂直)加=(一日af,0),：.EFAB=OfEFBC=O,J-EFLABtEFIBC,又ABCBC=B,/1纥平面小,旌:平面力BC尸J_平面/以，又£7七平面比尸J平面啊上平面ABC.反思领悟证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.跟进训练3.如图所示，在直三棱柱力比T心G中，ABlBCfAB=BC=BBl=It£为国的中点，证明：平面4比_!_平面力4GC.证明由题意得力氏BC,为归两两垂直.以3为原点，BA,BC,郎分别为筋y,Z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则力(2,0,0),4(2,0,1),C(0,2,0),G(0,2,1),0,0,1),则初=(0,0,1),JC=(-2,2,0),遍=(-2,2,1),4E=(-2,0,；).法一：(利用平面的法向量)设平面A4£。的一个法向量为Ih=(汨，必，Zi).则瞥=o,=z=o,(n1i4C=0»(-2x1+2y1=0.令禹=1,得M=L.2=(l,1,0).设平面AECx的一个法向量为Ih=(如ye,/2).n2,=0»2必+2丫2+?2=。，则彳*=ClC(112AE=0-2x2*"2Z2=,令Z2=4,得X2=l,Y2=-l.=(L1,4).Va=1×1+1×(-l)+0×4=0._Lm，平面/£G_L平面AAlGC.法二：(利用线面垂直)取力G的中点，连接切(图略).则1,1,)ED=(l,1,0), 质祈=0,EDAC=Of：.EDVACx1EDIAC,又/1GC=4,4G,“z平面/HGC, £_L平面/1AGC,又切c平面/IEG, 平面力即_L平面力4GC.一学习效果课堂评估夯基础J谋管知识检测小结问题点皆1 .已知直线4的方向向量a=(l,2,-2),直线A的方向向量b=(2,3,而.若L心,则勿=()A.1B.2C.-D.32B由于IIj_，2,所以a_Lb,故ab=-2+62m=0,即必=2.2 .若直线，的一个方向向量为a=(l,0,2),平面。的一个法向量为=(一2,0,-4),则()A.1/aB.71C.IuaD./与。斜交BVz?=(-2,0,-4)=-2(1,0,2)=-2a,.na,；±.3.如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为2,点£是棱4?的中点，点网0,HZ)是正方体的面444上一点，旦CFLBE,则点尸(0,7,Z)满足方程()A.y-z=0B.ty-z1=0C.2yz2=0D.z1=0D因为£(1,0,0),D(2,0,2),C(2t2,0),所以瓦片=(-1,0,一2),CF=(-2,y-2,z),因为。L8£所以瓦"?而=0,即22z=0,即z=l.4 .已知平面a与平面S垂直，若平面a与平面的法向量分别为片(一1,0,5),v=*,5,1),则方的值为.5 Y平面a与平面垂直，,平面a的法向量4与平面的法向量V互相垂直，：.u-V=Qt即一1z+0X5+5Xl=0,解得£=5.HEl圜DD圈F回顾本节知识，自主完成以下问题：1 .两直线垂直的向量表达式是什么？提示：设直线71,4的方向向量分别为昭，5,则UZfc=O.2 .直线和平面垂直的向量表达式是什么？提示：设直线/的方向向量为，平面。的法向量为，则J.入R,使得U=入.3 .平面和平面垂直的向量表达式是什么？提示：设平面明£的法向量分别为，m,则a_Lj<=i±<=>n>=0.4 .证明线面垂直有哪些方法？提示：(1)基底法：把直线的方向向量和平面内两个不共线向量用同一个基底表示，然后再证明它们垂直.(2)坐标法，利用线线垂直：建立空间直角坐标系，把直线的方向向量和平面内两条不共线向量用坐标表示，再证明它们垂直.(3)坐标法，利用平面的法向量：建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量的坐标，然后证明它们平行.