《5.4.1正弦函数、余弦函数的图象》2023年高频易错题集答案解析.docx

人教A版(2019)必修第一册541正弦函数、余弦函数的图象2023年高频易错题集参考答案与试题解析一.选择题(共10小题)1"己知y=sin(3x÷)(一条对称轴为X=兀，则叩=(A.B.-C.D.4436【分析】既然是对称轴，所以应该在此处取得最值，由此将X="代入函数值，令其4为1或-1,进而求角.【解答】解：因为y=sin(3x+0)(|<£)一条对称轴为=7l,*sin(3×=±,即Sin(+-)=÷1.44¢+4=2+k兀，kWZ,TrTr=-+k,kCZ，易知，女=0时，。号.故选：.【点评】本题考查三角函数的图象与性质，注意此类问题要将最值与对称轴综合考虑解题.属于基础题.2 .己知函数f()=sin(3T")(3>0)，f(-)=f=0-3的最小值为OIZLZ()A. 2B. 1C. 4D. 6【分析】要使3最小，只需周期最大，即两个零点间的距离为半个周期，由此求解.【解答】解：由题知，周期最大为=2x(4-)=,故选：A.【点评】本题考查三角函数的性质，属于基础题.3 .已知a=2,b，2?，c=sin.l,则mb,C的大小关系正确的是()打K2A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.b>a>c0.90.9【分析】b=M=2V2="=小构造函数，利用函数的单调性比较a,c,2由此可解决此题.0.90.9【解答】解：b=0.9 3="=, :a>b,TrTrTT又/(O)=g(0),则当XC(0,)时，Sinx>x,6兀TT又0.1(0，)f贝USin0.则c>a,9.c'>a'>b.故选：B.【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、函数性版等基础知识，考查数学运算能力及直观想象能力，属于基础题.4.函数y=2sin-l的定义域是()jrOTTA2k兀?2k兀勺(kz)B2k兀吟，2k+2L(kz)C.2k,2k-A(kz)66QJTTTD2k冗-玲，2kK-(kz)OO【分析】由2sinie,结合正弦函数的图象即可确定其定义域.【解答】解：*2sinx-I0sinx/，2k兀X<2k兀（&WZ）,故选：B.【点评】本题考查正弦函数的定义域和值域，着重考查学生灵活应用正弦函数图象及其性质解决问题的能力，属于基础题.5.函数y=sin2+25cosx的定义域为制，,值域为得，22则。的取值范围是()QTrTTTTA.0,箸B.O,jC.q，0D.片，【分析】应用同角三角函数基本关系式把函数化为关于COSX的二次函数，令,=COSX得原函数为y=(r-2)2+3,利用二次函数的最值求解即可.【解答】解：y=sin2x+252Cosx=I-cos2x+22Cosx=-(Cosx-y2)2+3,令cost,得：y=-(/-5/2)2+3,显然当Z=COS(-22L)=-返_时，y=-3,422当，=1时，y=2&,由xL"，可知Cos返，1,使函数的值域为-S,22,422所以有20,且”，4所以的取值范围是：O,¾.4故选：A.【点评】本题考查了三角函数的值域问题，也考查了转化思想，以及含参数的求解最值问题，是中档题.6.已知函数/(x)=ISinX|+|COSXI,则下列说法正确的是()A. /(x)的最小值为OB. /(x)的最大值为2TTCf(-2-)=f(X)Df(x)总在0,上有解【分析】把函数化为/Cr)=l+sin2xI的形式,再求函数的周期和最值，从而判断命题的真假性.【解答】解：对于4,VR,f(x)=si0r+cosx=1+si112xI1»所以f(x)的最小值是1,选项A错误；对于8,VR,f(x)=sir+cosx=1+sin2xIV2»所以/(x)的最大值是J5，选项8错误；对于C,函数/(W-)=sin-x)÷cos(W-x)=CoSXI+SinXI=/(x),222所以选项C正确；-X4-T*八LrCJrltl_LTT_rTT3兀17TTLryJ11对于£),0,时，x+,sin(x+)pL三-,I,244442所以函数/(x)=sinx÷cosx=V2sin(x+-)l,2>4f(x)=x0,匹上无解，选项。错误.22故选：C.【点评】本题主要考查了三角恒等变换以及三角函数的性质应用问题，也考查了命题的真假性判断问题，是中档题.7 .将函数f()=4cos伶X)和直线g(x)=X-I的所有交点从左到右依次记为4,A2,A3,，4”若P点坐标为(O,I),则|PA；+PA；+PA；I=()A.5&B.3V2C.2D.0【分析】根据题意作出图象，结合余弦函数的中心对称性化简各个向量的和，即可得解.【解答】解：由题意作出图象如图，共得5个交点，根据余弦函数的中心对称性可知，Al和A5,A2和A4关于43对称，PA；=(1，1)，所以两+两=两+西=2两，所以I西+花+西=5的=551CIl故选：A.TV-4-7【点评】本题考查了数形结合，余弦函数的对称性，向量加法运算问题，是中档题.A. 1个B. 2个C. 3个D.无数个8 .已知)WR,0,2),若对任意实数X均有SinX2cos(3+),则满足条件的有序实数对(3,)的个数为()【分析】根据SinAa-1,1,可分类讨论3=0,3W0时，结合正弦函数的图象与性质，即可得出答案.【解答】解：3R,0,2),任意实数X均有SinX2cos(+),1°当3=0时，任意实数A均有SinX2cos,且SinX-l,1,V0,2),'=冗时,符合题意；2°任意实数X均有SinX2cos(+),即SinX2sin(x+-),TTVsinx-I,sin(x+-)-1,1>，当且仅当任意实数X均有SinX=Sin(x+-),则3=±1,'JI'11'JI当3=1时，sinx=sin(x+-),则+-=2h,解得=-项-+2内1,&Z,.0,2),=-52L,符合题意；JI,JI"J(当=-1时，SinX=Sin(-x+)=-sin(x-)=sin(x-+),222-+=2,解得=2L.-2&,AZ,又.0,2),=-5-,符合题意，综上所述，满足条件的有序实数对(3,)为(0,),(1,空)，(-1,工)，共有3个,故选：C.【点评】本题考查正弦函数的图象与性质和函数恒成立问题，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.9.己知x(0,3j-),设函数/(x)=2COSX与函数g(X)=3tanx的图象交于为、22两点，过点P、P2作y轴的垂线，垂足分别为“、K,则四边形P1P2KH的面积为()A.3B.愿兀C.D.22【分析】先根据2cosx=3tanx,结合x的范围求出人然后结合题意可知所得四边形为一个直角梯形，据此求解.【解答】解：由已知得2cosx=3tanx,化简得2sin2x+3sinx-2=0,解得SinX=工或-2(舍)，由x(0,旦三)可知X=工或且L,2266故交点为Pld-,3)>P2(器，3),则“(0,3),K(0,-3),166由题意可知该四边形为以“Pi,KP2为底边，K为高的直角梯形，所以S梯形=(hp1÷kp2)kh1 Z乙宗去噜)(-(一)=«兀Z00故选：A.【点评】本题考查三角方程的解法，以及三角函数图象性质的应用，属于中档题.10.若函数f(x)=2cos(2X-)-1在0,6上的最小值小于零，则m的取值范围为3()a.2L,-2Lb.2L,+8)c.(-t22Ld.(,+)333333【分析】由己知可求Zr-2L-匹，2m-,利用换元法求出角的范围，结合余弦333函数的图象求出函数的零点，利用数形结合进行转化求解即可.【解答】解：0,m,：.2x- -e-33设=2r-W-,P!J-t2m-f333作出函数y=2cosf-1的图象如图，由y=2cos-1=0得cos/=TrTT则r=+2或，=-+2内,33则当AO时的，第一个零点为/=三，3即当-ZLWf2L时，y=2cosr-120,33要使y=2cos-1在任-?二，2m-?匚上的最小值小于0,33则只需要2m-工匹，即可，33得2z&L,得机匹，33,"I的取值范围为(工，+8).3【点评】本题主要考查了余弦函数的图象和性质的应用，利用换元法，求出函数的零点，以及利用数形结合思想是解决本题的关键.综合性较强，有一定的难度.二.填空题(共5小题)11.己知函数/(x)=2sin(3x+2L)-w,x0,兀,有三个不同的零点x,X2,X3,69且JnVx2V3,则阳(xi+2x2+JG)的范围是"，2").-L99'一【分析】利用换元思想，令X=3x+着，然后将问题转化为y=2sinX,X£曦，等上时的图象与y=m有三个不同交点的问题，据此求出m的范围.【解答】解：令X=3x+-三-,则原函数可化为y=2sinX-m,XWA,等有三个不同的零点,即y=M，与y=2sinX,XC竺-的图象有三个不同的交点，且62TrTTTrt=ITCxi=3xl4V,x2=3x2+V,x3=3x34V,易知X+X2=2×-=，3K乂2+乂3=2乂亍=3加所以Xi+2X2+X3-3CX+2X2+X3)十则半作出它们的图象如右：可知，当2si吟m<2sin号，故lmV2,所以加(xi+2x2+x3)的范围是昌"，驯l997TrTT12.己知函数y=2sin(OX一鼠)(30)图象与函数y=2sin(OH-)(CO0)图象相邻的三个交点依次为A,B,C,且aABC是钝角三角形，则的取值范围是(0,粤)_.【分析】作出函数y=2sin(cox-?L)和y=2sin(x+-)的图象，结合函数的图象,36求出AC、Bo的值，根据aABC是钝角三角形，列出不等式，从而求出3的取值范围.【解答】解：因为y=2sin(3-2L+2L)=2sin(x+-),所以函数y=2sin(cox-3263的图象向左平移三个单位得到函数y=2sin(x+-)的图象，画出两函数236TTFy=2sin(3X)(30)和函数y=2sin(3-k-)(3。)的部分图象，如图所示：根据图象知，AC=ZZL,取AC的中点。，连接8D,由对称性知，ZA8C是以NA8C为顶角的等腰三角形，因为BC是钝角三角形，所以NAB。？,所以tanNABO=他1,所以人。8。，4BDJTTT由2sin(x-)=2sin(O)X+),36整理可得(coX-H)+(x+H-)=+2K,*Z,可得3x=7"+,Z;3612则y=2sin(x-)=2sin(3L+-)=±yj2f所以8O=2闻=2加,要使3123ABC为钝角三角形，只需ADBD,p2L22,解得3返不，所以3的取值范围是(0,&.44故答案为：(0,&.4【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了运算求解和转化能力,是中档题.13.已知函数f()=2sin(2xW-)，g(x)=-+a，若存在1,o,1,使得/(用)=g(X2),则实数。的取值范围为1/64-y÷23-【分析】分别求出x-匹，匹时函数/(工)、g(X)的值域，根据题意列不等式求出64a的取值范围.【解答】解：.汪-工，匹时，2x+-0,旦口，所以Sin(Zr+-)O,1,64363所以函数/(x)=23sin(2x+-)的值域为O,2E,3x-,E时，g(x)=-x+的值域为-W+0,匹+；6446若存在X，x2-g,：，使得)=g(X2),则o-+23,或0-+fl23;46解得匹W工+2,或-三-fl-2L+23,4466所以实数的取值范围是-工，+2364故答案为：-+2V364【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，也考查了转化思想，是中档题.14.已知函数f(X)=Sinxsin(x+)T定义域为山，川(旭)，值域为f,工，3424则n-m的最小值是.一3一【分析】对/(x)化简，根据函数的值域为L,求出X的取值范围，再判断得出-m的最小值.【解答】解：函数/Cr)=sinxsin(x+A)-1=SinX(Linr+qICoS')"-224=I(I-cos2x)+-sin2x-工444=JL(5-sin2-os2x)222=sin(2X-E-),26因为/(x)的值域为-,所以Sin(2x-三-)-1,1,624k2x-e2lc-t2la+-f626解得x-3,A+W",&Z,66所以(K+2L)-(k-)=2L,&Z;663即-m的最小值为二.3故答案为：2L,3【点评】本题考查了三角函数的化简以及二倍角公式，和三角函数的定义域、值域应用问题，是中档题.15.将函数f()=4cos啥x)和直线g(X)=x-的所有交点从左到右依次记为4,A2,A3,Ant若P点坐标为(0,2),则|PA；+PA：+PA：I=5灰.【分析】根据题意作出两函数的图象，结合余弦函数的中心对称性化简各个向量的和，求模长即可.【解答】解：由题意作出两函数的图象，如图所示，则两函数图象共有5个交点，根据余弦函数的中心对称性可知，Al和A5,A2和4,关于43对称，所以，西+可=可+西=2+两，西+西+两+两+可=5两=54F+22=5,故答案为：55【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，也考查了平面向量的运算和模长计算问题，是中档题.三.解答题(共5小题)TT16.己知函数/(x)=4Sin(x+-)(A>0,>0),g(x)=tanx,它们的最小正周期之积为22,/Q)的最大值为2g(工二_)4(1)求/(x)的单调递增区间设(X)=微-(X)+23cos2x,当xm守时，h(x)有最小值为3,求。的值.【分析】(1)首先，根据已知条件，建立周期关系式，得到相应的3和A的值;(2)结合(1),利用降基公式和辅助角公式，化简函数解析式，然后，根据正弦函数的单调性确定的值.【解答】解：(1)Yg(x)=tanx的周期为,Y它们的最小正周期之积为22,Tr，函数/(x)=Asin(x+)的周期为2,口（牛）=2tan（4÷A）=2ta11A=2,.（X）的最大值为2,A=2,函数f=2sina+q)，4k-+2)lx+-+2,&Z,242：,-+2x-+2,44：.f(x)的单调递增区间：Lw三+2E,+2itJ,Z),44(2)结合(1),得h(x)=×4×sin2+2VScos2x,24z、=6X上生1+2yX22”22=3(l+sin2x)+3cos2x+3»=3sin2+V3cos2÷3+Vs，=2V3sin(2x+工)+3+V3»6Tr.g,2L,h(X)有最小值为3,3.*.sin(2x+W-)=-工，62.*.x=Am-6.当-？L<x?L时，h(X)为单调递增,362Lx2时，h(X)为单调递减,:h(X)在=-?L时，有最小值3,66【点评】本题重点考查了三角函数的周期性和单调性、三角函数的最值、辅助角公式等知识，属于中档题.17.己知/(x)=V2sin(2-H-)(1)求函数/(%)图象的对称轴方程.(2)求/(x)的单调递增区间.(3)当xf-,邛-时，求函数/(x)的最大值和最小值.【分析】(1)由正弦函数的图象与性质，求出函数F(X)图象的对称轴方程;(2)令2E-E-2x+2L2匕r+匹，&Z求出/(x)的单调递增区间；242(3)利用正弦函数的图象与性质求出工6今，华时/()的最大、最小值.【解答】解：(I)由/(x)=2sin(2x三-),TrJT令&Z,42解得x=K2L+2L,&z;28所以函数/(X)图象的对称轴方程是X=K2L+2L,*Z;28(2)2k-2L2+2L2+2L,kWZ,242解得E-"xE+2L,zZ;88所以/(X)的单调递增区间为k兀W±,k+-三-,&Z;OO(3)当工，时，-2L2r+-1.44444所以lWsin(21-)W除，所以&勺。)1;所以当.伯叶，等时，函数/(x)的最大值为1,最小值为-E.【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题.18 .已知函数f()=i-a?-Sin2+2asinx,xW63(1)若f(看)口，求实数"的值；(2)若函数/(x)有两个零点，求实数。的取值范围.【分析】(I)利用/(?L)=1解方程求出的值.6(2)利用换元法，令sinx=z,函数化为y=-a2-2+2,根据零点的定义求出t=a±1,再由y=shu在-匹，生_上的图象与性质，求出/(x)有两个零点时”的取值范围.63【解答】解：(I)因为f(2L)=a21+a=：L，64所以-2+=0解得a=(2)令SinX=八则y=f(x)=1-a2-t2+2at,1-2-t2+2at=0,解得t=a±.L6223又因为y=sinx在-匹，匹上是增函数，在匹，上是减函数,所以除<t<l时，X有两个值；尸1或<t<返时，X有一个值;其它情况，X的值不存在；所以0=0时f=±l函数/(x)只有1个零点为合，4>0时，+l>l,要/(x)有2个零点，有乂3«&-1<1，所以1+亭<a<2；所以日T<a<0;综上，/Cr)有两个零点时，。的取值范围是善-1,0)2).【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化思想与分类讨论思想，是中档题.19 .己知函数/(x)=V2asin(-)+a+b(1)当=l时，求函数Fa)的单调递减区间；(2)当V0时，/(x)在O,上的值域为2,3,求,b的值.【分析】此题考查正弦型函数的单调区间求解、值域问题.需要采用换元的思想.对于(1)x-2L2L+2k,22L+2k兀，蛇Z是关键，对于(2)不妨设，="一三,4224x0,TT是关键【解答】解：(1)当。=1时，/(x)=2sina-)+l+b当X-:J+2k兀，等+2k九，kWZ422函数/(x)的单调递减区间是：x等+2k兀，等+2k兀卜依Z(2) V/(X)在O,上的值域为2,3不妨设f=x-工，x0,-,".f(X)=g(r)=2asint+a+bTT,f(x)三x=g()=-a+a+b=3(D4Trf(X)min=g(-)=J2a+a+b=2由、解得，a=l-2,b=3【点评】此题考查正弦型函数的基本性质，是一道基础题目TT20.已知定义在R上的函数/(X)=ACOS(,v+)(A>0,>0,-),满足：最大值为2,其图象相邻两个最低点之间距离为,且函数/(x)的图象关于点(瑞，0)对称.(I)求/(x)的解析式；(II)若向量Z=(-三-),1),b=(/，-2cosx),xJ-,子,设函数g(x)=ZE总,求函数g(X)的值域.【分析】(1)由题意求出A、八3、的值即得F(X)的解析式；(2)根据/(x)求出向量a，利用平面向量的数量积写出g(%)，求函数g(X)的最值即得函数的值域.【解答】解：(1)由题意可得，A=2,T=,*3=2?=2,(2分)T所以f(x)=2cos(2x+),又函数/Cr)的图象关于点(工，0)对称,；+4)+kJT，&EZ,(3分)62Jl.*.(p=lai+f*Z,又IQ1<7-F=?，(5分)/OIT/(x)=2cos(2x+)；(6分)3JT(2)*/(X)=2cos(2x+-),TTTrTr*f(x-)=2cos(2(x-)-2-=2cos2x5(7分)；=(g-A),I),b=-2cosx),x二0/d*g(x)=abH=f()×-+l×(-2cosx)总人_.,_3兀兀1令Z=Coar,.x,21f则t岑1，(10分),函数可化为g(t)=2t2-2t-y=2(t-y)2-l,又.-Y,1,2当Sl时，g(t)min=g(y)=-b当t=平时,g(t=g(夸)=Hi；函数g(X)的值域为-1,2÷-(12分)【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，也考查了平面向量数量积的应用问题，是综合题.