《5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式》2024年压轴同步卷答案解析.docx

A. (0, 3人教A版(2019)必修第一册551两角和与差的正弦、余弦和正切公式2024年压轴同步卷参考答案与试题解析一.选择题(共8小题)1 .如图，在直角梯形ABCO中，AB±AD,AD=DC=,AB=3,动点P在以点C为圆心,且与直线8。相切的圆内运动,设而=!B+Ig(,R)5J+的取值范围是()D.(1,立)3【分析】建立直角坐标系，写出点的坐标，求出B。的方程，求出圆的方程；设出产的坐标，求出三个向量的坐标，将尸的坐标用,表示，代入圆内方程求出范围.【解答】解：以。为坐标原点，8为X轴，OA为)，轴建立平面直角坐标系则D(0,0),A(0,1),5(-3,1),C(-1,0)直线BD的方程为+3y=0以点。为圆心，且与直线8。相切的圆方程为(+l)2+y2=-设P(X,y)则AP=(x,y-l)*AD=(0,-1),AB=(-3,0).,.(x,y-1)=(-3,-)x=-3,y=-aTP在圆内,(-3+1)2+(1-)2<可令=l+rsin6,=(l+rcos),(r2<-)则+=9+r(sin。+LOSe)=生H1°rsin(+),3333即有×4-<+<-i+Vl×->33103310即有1<+B<-.故选：D.【点评】通过建立宜角坐标系将问题代数化、考查直线与圆相切的条件、考查向量的坐标公式.，32 .若实数X,y满足方程组X÷cosx+-2=°则CoS(+2y)=()8y3-2cos2y+2y+3=0A.OB.C.D.13 2【分析】将方程组中的第二个方程第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后设t=-2y,变形后与第一个方程完全相同，可得出t=t进而得到尤与y的关系式X=-2y,即+2y=0,代入所求的式子中，利用特殊角的三角函数值化简即可求出值.【解答】解：卜%cosx+x20,8y3-2cos2y+2y+3=0由化简得：8y3-(l+cos2y)+2y+3=0,整理得：8y3+cos2y-Iy-2=0,即(-2y)3+cos(-2y)+(-2y)-2=0,设，=-2yf则有z3÷cosr+/-2=0,设g(x)=x3+cosx+l,则g'(,)=3x2-sinx+1>0,即/(x)在R上单调递增，与方程对比得：，=%,即x=-2y,.x+2y=0,则CoS(x+2y)=1.故选：D.【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，利用了换元的思想，灵活变换第二个方程是解本题的关键.3.若是锐角，且满足sin(-J-)=,则COS(X的值为()63Ag+1B蛔Tc2«+1D2愿-1-6-6-4-V【分析】先根据是锐角，且满足sin(-5-)=!求出cos(a)的值，再由636cos=COS(玲)WT根据两角和与差的余弦公式得到最后答案【解答】解：由是锐角，且sin(-)"可得cqs(CI工)里2，6363r.JT.,cosCt=CosL()÷-J=cos(-)CoS-Sin(。-)sinr-26-16故选：B.【点评】本题主要考查两角和与差的余弦公式、同角三角函数的基本关系.4.己知/(x)=sin2(x+H),若=(g5),b=f(-),则()45A.a+b=0B.a-b=0C.a+b=D.a-b=【分析】由题意，可先将函数/Cr)=sin2(X+)化为/()=l+si112x,再解出。42=(5),b=f层)两个的值，对照四个选项，验证即可得到答案5【解答】解：/(x)=Sin2(X+2L)=132x÷=+sin2x422又=(g5),b=f(Ig±)=f(-5),5.+b=l+sin21g5+5sin21g5=,_匕=l+sin21g5-I-Sin21g5=疝2磔2222故。选项正确故选：C.【点评】本题考查二倍角的余弦及对数的运算性质，解题的关键是对函数的解析式进行化简，数学形式的化简对解题很重要5.在RtBe中，ZC=90o,那么SinACoS2(450-D)-SinACOs&()222A.有最大值上和最小值为O4B.有最大值上，但无最小值4C.既无最大值，也无最小值D.有最大工，但无最小值2【分析】先根据二倍角公式将sincos2(45°-旦)-SinACOSA化简，然后再由RtAC222中，NC=90°,确定A的范围，进而根据正弦函数的性质可得到答案.【解答】解：VSinAcos2(450-)-sin-cos222.a1+cos(90°-B)1.xl+sinB1a2222_sinAcosA_Sin2A-24TRtZXABC中，ZC=90o0o<A<90o0o<2A<180o里磔有最大值上，但无最小值44故选：B.【点评】本题主要考查二倍角公式的应用和正弦函数的性质.考查基础知识的综合应用.6 .计算cos20°sin50osin170°=()A.B.C.D.36816【分析】先将三角函数式看成分母为1的分式，再分子、分母同乘以8sin20o,凑出连续的二倍角正弦公式，从而化简三角函数式.【解答】解：CCo/c。CCo&in200COS20"CoS400COS80"_§inl6001cos20cos40cosou=C1CCoI11=C.8sn208sn208故答案为1.8故选：C.【点评】本题考查凑公式的能力及考查二倍角的正弦公式.解答关键是配个分母后逆用二倍角公式，属于基础题.7 .如果。是第二象限角，且满足CQa-Sin-I=Vl京了，那么£-()A.是第一象限角8 .是第三象限角C.可能是第一象限角，也可能是第三象限角D.是第二象限角【分析】先根据的范围确定目的范围，再由CoSAFin且=bsin可确定222”与Sin2的大小关系，进而确定目的象限.222【解答】解：是第二象限角,Tr*y+2k<<+2k兀，-1+kT<”-<一+k兀（&EZ）当人为偶数时，且在第一象限；2当女为奇数时，且在第三象限；2.Ir-5-l,Vl-Sin6=J-COS）-ICOS-Sin-|-cos-sin- 、cos-2sn-2 旦是第三象限角2故选：B.【点评】本题主要考查象限角和二倍角公式以及同角三角函数的基本关系.属基础题.8.对任何180。<<360o,CO或的值等于（）、l÷cosCIBJl-CoSTCl+cosQDJI-CoSU【分析】先根据余弦的半角公式求得cos4_的值，再根据的取值范围判断正负.2【解答】解：Tcosa=Zcos?-1V180o<<360o90°<-<180o.一八 COSVO2故选：C.【点评】本题主要考查了余弦函数的半角公式.属基础题.填空题(共10小题)9 .己知函数/(x)=CoS2x+sinx在区间(0,n)(wN')内恰有9个零点，则实数。的值为±1.【分析】依题意，f(x)=s2x+asirv,令F(x)=COS2r+sinx=0,方程尸(x)=O等价于关于X的方程=-华红，x(AZ).问题转化为研究直线y=与曲线y=/?sinx(x),x(O,)U(,2)的交点情况.通过其导数，分析即可求得答案.【解答】解：依题意，令尸(X)sinx+cos2x=0,现研究x(0,)U(,2)时方程=-华红的解的情况.sinx令人(X)=-c?s2x,x(0,)U(,2),sinx则问题转化为研究直线y=与曲线y=力(X),x(0,)U(,2)的交点情况.h,W,令=。，得Xw或尸等当X变换时，由(x),h(X)的变化情况可得：当x>0且X趋近于0时，力(X)趋向于-8,当XV且X趋近于时，力(1)趋向于-8,当x>且%趋近于时，h(X)趋向于+8,当XV2r且X趋近于2r时，h(X)趋向于+8,故当>l时，直线y=与曲线y=A(x)在(0,)内无交点，在(,2)内有2个交点；当a<-1时，直线y=a与曲线y=h(x)在(0,)内有2个交点，在(,2)内无交点;当IVaVl时，直线y=a与曲线y=(x)在(0,)内有2个交点，在(,2)内有2个交点；由函数力(X)的周期性，可知当±l时，直线y=”与曲线)，=力CV)在(0,m)内总有偶数个交点，从而不存在正整数，使得直线y=与曲线y=z(x)在(0,Tr)内恰有9个零点；又当a=或a=-1时，直线y=a与曲线y=A(%)在(0,)U(,2)内有3个交点，由周期性，9=3X3,，依题意得=3X2=6.综上，当=l,n=6,或=-l,=6时，函数/(x)=COS2x+sinx在(0,)内恰有9个零点.故答案为：±1.【点评】本题考查同角三角函数基本关系，三角恒等变换，三角函数的图象与性质，考查函数、函数的导数、函数的零点、不等式等基础知识，考查运算求解能力，抽象概括能力，推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想，属于难题.10 .曲线y=2sin(x+-)cos(X-?L)和直线y=2在y轴右侧的交点按横坐标从小到大442依次记为Pi,Pz,夕3,，则IP2P4等于.【分析】本题考查的知识点是诱导公式，二倍角公式及函数图象的交点，将y=2sin(x+)cos(X-?L)的解析式化简得y=sin(2x)+1,令y=工，解得X=匕1+3±土工44246aN),代入易得P2P4的值.【解答】解：Vy=2sin(x+?L)cos(X-?L)44c./Jix/冗、=2sn(x-+)cos(X-)424=2cos(X-)cos(x-44TT=cos2Cx-+1TT=Cos(2x)+12=sin)+1若y=2sincos(X-)=442贝Ij右=2配+迎土匹N)23x=c+32L±2L(jtN)46故P2P4=故答案为：【点评】求两个函数图象的交点间的距离，关于是要求出交点的坐标，然后根据两点间的距离求法进行求解.11 .设为第二象限角，tan(+2L)=If则Sine+cos=YlL.425-【分析】已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出tan的值，再根据为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出sin与cos的值，即可求出sin+cos的值.【解答】解：Ttan(+A)=tanj1=l,4l-ta112tan=-,3而cos2=三i=1，sin2+cos21+tan20为第二象限角,sin=l-cos2 =则sin+cos=.10105故答案为：-返.5【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键.12 .若奇函数f(x)在其定义域R上是减函数，且对任意的xR,不等式f(cos2x+sinx)+fCsiiiv-ayWO恒成立，则a的最大值是3.【分析】根据函数是奇函数且在R上是减函数，将原不等式变形为cos2x+2sinx2恒成立，结合二倍角的三角函数公式和二次函数在闭区间上求最值的方法，即可得到。的最大值.【解答】解：不等式/(cos2x+sinx)+f(sinx-a)WO恒成立，即F(COS2x+sinr)-/(sinx-a)恒成立又,：于(X)是奇函数，-f(Sinx-a)=f(-sinx+a).不等式f(cos2x+sinx)/(-sinx+a)在R上恒成立函数/(x)在其定义域R上是减函数，.*.cos2x+sinx>-SinX+。，即cos2x÷2sinxVcos2x=1-2sin2x,cos2x+2sinx=-2sin2x+2sinx+l,当Sinx=-1时cos2x+2sinx有最小值-3.因此oW-3,。的最大值是-3故答案为：-3【点评】本题在已知函数/(x)的单调性的奇偶性的前提下，解决一个不等式恒成立的问题，着重考查了函数的单调性和奇偶性、二倍角的三角函数公式和二次函数在闭区间上求最值等知识，属于基础题.13 .已知A8是半圆O的直径，点。在半圆上，Co_LAB于点。，且AO=4OB,设NCO。=0,则cos2=_.25【分析】本题考查的是二倍角公式，由AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CDLAB于点。，且AO=4O8,我们易得要求CoS2,我们可以先求8的相关三角函数值，对已知条件进行整理，不难得到RtZCOO中相应边的比例，然后代入倍角余弦公式，即可求解.【解答】解：如图，:AO=4O8,.OC+OD=4(OC-OO),即：3OC=5OD.cos2=2cos2-1=2×(黑户口【点评】要求一个角的大小，先要分析未知角与已知角的关系，然后再选择合适的性质来进行计算.由于2解构造起来比较难，固我们们可以转化求相关三角函数值，再根据倍角公式进行求解.14.设当X=B时，函数/(x)=SinX-2COSX取得最大值，则cos=二215_.【分析】/(外解析式提取遥，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=时，函数/(x)取得最大值，得到Sin-2cos=J与si/B+cos%=1联立即可求出cos的值.【解答】解：方法一：/(x)=sinx-2cosx=5(返;山-cos%)=>5sin(x-55)(其中COSa=YSina=2),55"=8时，函数/(x)取得最大值，.*.sin(-)=1,BPsin-2cos=V,又sin2+cos2=l,联立得(2cos+)2+cos20=l,解得cos=-2YS.5方法二：fQx)=SinX-2cosx=Vsin(x+)(其中tan=-2,(-Tr因为当x=时，f(x)取得最大值，所以0+=冷-+2k兀(kCZ>Tr所以0=-+2k兀(kZ),所以cos=cos(-+2k九Q)=sin=-5.25故答案为：-ZzW5【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键.15.设函数f()=g)xT1,Ao为坐标原点，4“为函数y=(x)图象上横坐标为(wN*)的点，向量ar=EAk向量i=(1，0)，设。为向量的与向量，的夹k=l角，则满足ftanlz<的最大整数是3k=l3【分析】先确定点4=(，/()，再确定然后明确夹角11,进一步表示出tan。”,最后可由列举法求出满足要求的最大整数【解答】解：由题意知AZI=(，/()，£=A0A；则“为直线Ao,的倾斜角，所以tan"="Z=(工)，J、,nn(n+l)所以tan=-A=1,tan2=-4-=,tan3=-i-+-=-,tan04=-+-=22461281224162080则有14A4AJ3<1<139J34,12248380880故满足要求的最大整数是3.【点评】本题综合考查向量的夹角与运算及正切函数的定义与求值.16.对于函数/(x)=sinx+cosx,给出下列四个命题：存在(0,等)，使f(a)；，OTr存在(0,)，使f(x+)=(x+3Ot)恒成立；存在R,使函数/(x+巾)的图象关于)，轴对称；函数/(x)的图象关于点(等，0)对称；若XW0,£，则f(x)L2.其中正确命题的序号是一.【分析】利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式，化简函数)，=SiiU+COSX为2sin(X+),确定函数的值域，判断的真假；找出特殊值判断；根据函数4的对称轴判断的真假；将(S,0)代入函数解析式成立，说明正确.若4x0,£,则有+q)q,竿,可得f(x)1,2,故正确.【解答】解：函数y=sinx+cosx=J5sin(x+E"),W(0,时ye(1,V2>因42为争(1,2,所以为真命题；f(x+)=f(x+3ot)说明2是函数的周期，函数/(x)的周期为2,故=n,显然为假命题；存在6WR使函数F(X+)的图象关于)，轴对称，函数/(X)是周期函数，并且有对称轴，适当平移即可满足题意，为真命题；函数/(x)的图象关于点(Sn,0)对称，当X="时，/(")=0,满足题意，444为真命题，若XW0,-y-,则有(X+今)吁，母L,.,f()C1,2故为真命题，故答案为.【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数，正弦函数的定义域及值域，正弦函数的对称性，以及三角函数的周期性及其求法，要求学生掌握正弦函数的图象及性质，能够充分利用已知条件，灵活利用三角函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的正弦函数是解题的关键，锻炼了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.17.已知为第二象限角，且Sinel+coSa=巨，则cos2a=_1叵一.33【分析】由为第二象限角，可知Sina>0,cos<0,从而可求得Sina-COSa的值，利用cos2=-(sin-cosa)(sina+cosa)可求得cos2a.【解答】解：.si11a+cosa正，两边平方得：l+sin2a=/,33sin2a="-,3.*.(sina-cosa)2=1-sin2a=，3Ta为第二象限角，sina>0,cosa<0,'since-cosa(2)3.,.cos2a="(Sina-COSa)(sina+cosa)=(-)义近_335故答案为：j.3【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用，求得sina-cosa的值是关键，属于中档题.18.设sin2a=-sina,a(Z),则tan2a的值是3.2一一【分析】已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简，根据Sina不为0求出CoSa的值，由a的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sina的值，进而求出tana的值，所求式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将tana的值代入计算即可求出值.【解答】解：Vsin2a=2sinacosa=-sina»a),2cosa=-1,sina=1.cos2a=,乙乙tana=-J3，则tan2a2tant='2=3.l-tan2al-(-3)故答案为：3【点评】此题考查了二倍角的正弦、正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握公式是解本题的关键.三.解答题(共2小题)19.定义向量而二(a,b)的“相伴函数”为f(%)=s加+bcosx；函数f(x)=sinx+bcos的“相伴向量”为而=(a,b)(其中。为坐标原点).记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S.Tr(1)设g()=3sin(x÷鼠)+4SinX，试判断g(X)是否属于S,并说明理由；(2)已知力(X)=Cos(x+)+2cosx,且?(X)S,求其"相伴向量”的模；(3)己知M(,b)是函数F(X)=2x+2的图象上一动点，向量质的“相伴函数”/X(x)在X=Xo处取得最大值.当点M运动时，求tan2xo的取值范围.【分析】(1)先利用诱导公式对其化简，再结合定义即可得到证明；(2)先根据定义求出其相伴向量，再代入模长计算公式即可；(3)先根据定义得到函数/(x)取得最大值时对应的自变量刈；再结合几何意义及基本不等式求出土的范围，最后利用二倍角的正切公式及正切函数的单调性即可得到结论.a【解答】(本题满分15分)解：(1)因为：g()=3sin(X十，)+4SinX=4sinx+3cos>8(工)的相伴向量为(4，3),所以：g(x)S;(3分)(2) V(x)=Cos(x+)+2COSX=-SinaSinX+(cos+2)COSx,:h(X)的“相伴向量”为OM=Qsin,COSa+2)»三I=(-si11)2+(cosa+2)2=5+4csa(7分)(3) OM的“相伴函数"f()=asinx+bcosx=Va2+b2Sin(x+。)，其中tan。=：，当x+()=2k兀*，kZ时，/U)取得最大值，故x0=2k兀kZ，/兀a1atanx0=tan(-)v2tanx0272tan2x-*)一,9Ul-tan2x1a2且一支2ab又M(,b)是满足b=2a，a所以£=2心2，令In上2，a2*tan2Xq=J-，小2,mm2Vtan2X0=F在(L+8)上单调递减，mm*tan2X0(0,等)(15分)O【点评】本题主要在新定义下考查平面向量的基本运算性质以及三角函数的有关知识.是对基础知识的综合考查，需要有比较扎实的基本功.20.解方程cos2x=cosx+sinx,求4的值.【分析】本题是一个三角恒等变换问题，解题的关键是减小角的倍数，化异为同，利用方程的思想解题是三角函数常见的做法，最后是给值求角的问题，注意不要漏解.【解答】解：Vcos2v=cosx+sinx,22.cosX-sinx=cosx+snx,.*.(cosx+siiLv)(COSX-SinX)-(cosx+sinx)=0,.,.(cosx+sinx)(COSX-SinX-I)=0.如果COSX+sinx=0,则得l+gx=0,tgx=-I,解*4-今,(k为整数)如果COsx-sinx-I=0则得CoSX-SinX=L(2kK.近“2',x+d=2k兀÷-,x=«兀(k为整数).442k综上，x=<2k兀，kZ.2kTT-【点评】本题是一个三角恒等变换问题，与初中学习锐角三角函数一样，高中也要研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化.