《5.4.1正弦函数、余弦函数的图象》2023年压轴同步卷答案解析.docx

人教A版(2019)必修第一册5.4.1正弦函数、余弦函数的图象2023年压轴同步卷叁考答案与试题解析一.选择题(共io小题)1 .直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数/(X)的图象恰好通过攵N*)个格点，则称函数/(外为Z阶格点函数.下列不是一阶格点函数的是()A.fCx)=SinXB.f(X)=(X-I)2+3C. f(x)=(y)xD.f(x)=logo.6r【分析】根据一阶格点函数的定义，再根据各个函数的定义域和值域以及函数的图象特征，逐个进行判断.【解答】解：A、显然点(0,0)在函数f(4)=SinX的图象上，是一个格点，除此外，本函数的格点只有最高点和最低点以及图象与X轴的交点处，但这些点的横坐标都不是整数，故函数/(%)=SinX是一阶格点函数；B、函数f(x)=3(X-I)2+3图象上点(1,3)为整点，当X取xl的整数时，函数值都不是整数，故函数/(x)=3J-1)2+3是一阶格点函数；C函数flx)=/广中，当X取负整数或者零时，都是整点，故函数f()=格点有无数个，故不是一阶格点函数；。、函数f(x)=logot,显然点(1,0)为其格点，当x=l时函数是整数，没有其它的整数4使得函数是整数，故函数f(x)=IogO.6X是一阶格点函数.综上，只有C满足条件；故选：C.【点评】本题以新定义的形式命制，考查的重点是函数的图象与性质，考查计算能力，逻辑推理能力.2.方程一图口，L=Aa>o)有且仅有两个不同的实数解,(>),则以下有关两根关系的结论正确的是()A. sin=cosC. cos=sinB.sin="cosD. sin="sin【分析】由题意构造函数y=IsiaxI,户=丘，然后分别做出两个函数的图象，利用图象和导数求出切点的坐标以及斜率，即可得到选项.【解答】解：依题意可知x>0(X不能等于0)令y=khu,y=kf然后分别做出两个函数的图象.因为原方程有且只有两个解，所以”与N仅有两个交点，而且第二个交点是V和力相切的点，即点(8,sin)为切点，因为(-sin)'=-cos,所以切线的斜率k=-cos.而且点(,sin)在切线”=履=-cos8x上.于是将点(,sin)代入切线方程”=xcos。可得：sin=-cos.故选：B.【点评】本题是中档题，考查数形结合的思想，函数图象的交点，就是方程的根，注意：”的图象只有X轴右半部分和)，轴上半部分，且原点处没有值(因为K不等于0);J2的图象是过原点的一条直线.3.设x(0,),关于X的方程2Sin('V-)=。有2个不同的实数解，则实数的取值范围是()A.(-3,2)B.(-3,3)C.(5,2)D.(-2,3)【分析】根据x(0,),可得，-喙VSina+专)4,由于关于X的方程2Sin(XW")=。有2个不同的实数解，故近V3V1,求出实数。的取值范围.22【解答】解：Vx(0,),-<x+2L<12L,.-1_VSin(x+)1,由于关于X的方程2Sin(X令)=。有2个不同的实数解，.2Z<A<1,3<a<2,22故选：C.【点评】本题考查正弦函数的图象特征，得到l<A<,是解题的关键.224 .曲线Cl：y=sinx(R)和Q：7+(六r)2=r2(r>0)交点的个数()A.没有B.有，且为奇数个C.有，且为偶数个D.有，但不能确定【分析】根据两个曲线的图象特征，可得这两个曲线一定有一个交点是原点，但由于圆的半径不确定，故这两个曲线的交点个数不确定.【解答】解：由于圆C2：/+(y+r)2=2(r>0)圆心为(0,-r)过原点且半径等于/»正弦曲线Ci：y=sinx也过原点，故这两个曲线一定有一个交点是原点.但由于圆的半径不确定，故这两个曲线的交点个数不确定.故选：D.【点评】本题主要考查圆的标准方程、正弦函数的图象，属于基础题.5 .对于函数/(x),若存在区间M=,b,(a<b),使得)b=(x),xEM=M,则称区间M为函数/Cr)的一个“稳定区间”现有四个函数：®f(X)=ex®f(x)=/®f(X)=Sin-Xf(x)=Inx,其中存在“稳定区间”的函数有()A.B.C.D.【分析】根据“稳定区间”的定义，我们要想说明函数存在“稳定区间”，我们只要举出一个符合定义的区间M即可，但要说明函数没有“稳定区间”，我们可以用反证明法来说明.由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案.【解答】解：对于函数f(%)=，若存在“稳定区间”a,bt由于函数是定义域内的增函数，故有efl=at=b,即方程c'=x有两个解，即y=/和y=x的图象有两个交点，这与即y=/和），=工的图象没有公共点相矛盾，故不存在“稳定区间”.对于/（x）="存在“稳定区间”，如x0,1时,/（x）=x30,1.对于f（x）=sin子X，存在“稳定区间”，如友0,1时，f（x）=sin£/°，U-对于Fa）=Inx,若存在“稳定区间”,b,由于函数是定义域内的增函数，故有Ina=a，且bb=b,即方程/X=X有两个解，即y=zu和y=x的图象有两个交点，这与和y=x的图象没有公共点相矛盾，故不存在“稳定区间”.故选：B.【点评】本题考查的知识点是函数的概念及其构造要求，在说明一个函数没有“稳定区间”时，利用函数的性质、图象结合反证法证明是解答本题的关键.6 .若三角方程SinX=O与sin2x=O的解集分别为E,凡则（）A.EiFB.EiFC.E=FD.E尸=0【分析】利用正弦函数的零点进行转化求解是解决本题的关键，注意整体思想的运用，结合集合的包含关系进行判断验证.【解答】解：由题意E=Wr=Kr,依Z,由2x=,得出X=K2L,依Z.故尸=小2=k2L,AZ,xE,可以得出xF,反之不成立，故E是尸的真子集，A符合.2故选：A.【点评】本题考查正弦函数零点的确定，考查集合包含关系的判定，考查学生的整体思想和转化与化归思想，考查学生的推理能力，属于三角方程的基本题型.7 .若对xi2O,都有/（tl±）>Jl）+f（、2）,则称区间。为函数）=/a）22的一个凸区间（如图）.在下列函数中，y=2v;y=zu;），=乂万；®y=cosx以（0,+8）为一个凸区间的函数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【分析】先根据题意画出各函数的图象，如图所示,根据凸区间上图象的特征：其图象是向上凸起的，观察图象可知哪一个函数是以(0,+8)为一个凸区间的函数.【解答】解：根据题意画出各函数的图象，如图所示.根据凸区间上图象的特征：其图象是向上凸起的，观察图象可知：y=zu;y=X万两个函数是以(0,+8)为一个凸区间的函数.故选：B.【点评】本小题主要考查余弦函数的图象、指数函数的图象与性质、对数函数的图象与性质等基础知识，考查数形结合思想，属于基础题.8 .已知函数火X)=Sin(3x+)(3>0,V)的最小正周期为2,且函数图像过点g,1),若/(x)在区间-2,内有4个零点，则的取值范围为()A.,f)B,(,C,f)D.(f,f66666666【分析】由三角函数的周期公式和/(工)=1,可得3,的值，进而得到了(x)的解3析式，再结合f(x)在区间-2,0内有4个零点，得到关于。的不等式，解不等式求出。的取值范围即可.【解答】解：由最小正周期丁=2="，可得3.因为函数图象过点(，1), 3所以 Sin (工+) =1,所以3+=H+2E, kWZ, 332TT因为V,所以Z=O时，=, 6所以/(x) =sin (x+-). rrTr当 xE - 2, 时,x+ - 2+, 4+，666因为f (%)在-2, 0内有4个零点，所以 2Wr0+工V3,所以JlWaVJ66所以。的取值范围为红，卫).l 66 ,故选：A.【点评】本题考查正弦函数的图象和性质的应用，考查转化思想和方程思想，属于中档题.9.函数/ (x) =kinx+cosx的取值范围是()A. 0, 2 B. 0, 2C. 1, 2D. 1, 2【分析】根据X的不同范围对函数/(X)去绝对值符号，进而可得到函数/(%)的范围,确定答案.【解答】解：当 2KrWx<-+2k7 时，/(x) =ISirU1+CoSAl=Sinx+CoSX=J5sin (x÷-)：.于() 1, 2当+2k冗 <x4兀+2k 兀时'/(%)=ISirU1+1COSXl=SinX - cosx=V5sin Cx -/ (x) 1, 2当兀+2k兀x43K+2k兀时，f(x)=sinx+cosx= - SinX - COSCr= - V2sin (x+)4/ (x) 1, 2+2k兀 <x< 2兀+2k兀时，火工)=1SiM+coSXI= _ sinx+cosx= " V2sin(x - -j-)：.f (x) 1, 2故选：D.【点评】本题主要考查正弦函数和余弦函数在不同范围时的函数值的符号，考查两角和与差的正弦公式的应用.对三角函数的考查一般以基础题为主，要强化基础的夯实.10.已知函数f()=cos(+1-)(3<0)在哈，)上单调递减，则实数3的取值范围是()A4，B. , 0) o OOC苴，与 D.4，-o O0 O【分析】根据余弦函数的性质，可得单调区间长度小于等于半周期，可得2WV0,再利用整体代换法，即可求得工+2k<3<N+4k,kZ，取A=O即可得出结果.33【解答】解：函数f()=cos(3x)(3<0)的最小正周期T=啬T，所以打工<L%,即2WV0,2个2II业尸,Tl_s4,兀/7377X（-2»兀）时，y*-依题意知-J+2k兀<3兀V-兀，kwz,解得+2k<co（一+4k,kZ»又2W3VO,OO当2=0时成立，,-1.J33j故选：A.【点评】本题主要考查余弦函数的图象与性质，属于基础题.二.填空题(共6小题)a,a<b11 .规定一种运算：a0b=l、，例如：1合2=1,302=2,则函数F(X)=SinxG)COMb,a>b的值域为r-,返1.2【分析】先根据题意确定函数f(%)的解析式，再由正余弦函数的图象可得答案.【解答】解：由题意可知ZCOSX2k兀弓<x<2k兀差-f（x）=sinx*cosx=<sinx5兀/9兀2k4-<x<2k-f-44故由正余弦函数的图象可知函数/(x)的值域为：L1,粤故答案为：L1，券【点评】本题主要考查三角函数的单调性和取值范围.属基础题.12 .已知函数/(x)=sinnx,下列结论正确的是(1)(3)(4).(x2+l)(x2-2x+2)(1)方程f(x)=O在区间L100,100上实数解的个数是201个；(2)函数/(x)是周期函数；(3)函数/(x)既有最大值乂有最小值；(4)函数/(x)的定义域是IL且其图象有对称轴.【分析】方程f(X)=0即分子为0,根据正弦型函数的性质可判断(1)的真假：由于函数分母恒大于0,且不具备周期性，而分子具有周期性，可判断(2)的真假，根据分母中两项值域均为1,+8),其倒数的值域均为(0,1,故函数必为有界函数，进而判断出(3)的真假；根据函数的分母恒不为0,及/(1-X)=(x),可判断(4)的真假.【解答】解：(1)若函数f(X)=Tin*=o(x+1)(x-2x+2)则sinx=0,即xz,故方程/Cr)=O在区间-100,100上实数解的个数是201个，即(1)正确；(2)由于函数的分子呈周期性变化，而分母不具周期性，故函数/(x)不是周期函数，故(2)错误；(3)令分母(/+1)(7-2x+2)中的两项值域均为1,+8),其倒数的值域均为(0,1,故两个函数相乘后必为有界函数，故函数f(X)既有最大值又有最小值，故(3)正确；(4)由于函数的分母恒为正，故函数的定义域为R,由yn.X)=Q兀(I-W)=三in2L×=fix(l-)2+l(1-x)2-2(1-x)+2(x2-2x+2)(x2+1)可得函数的图象关于X=L对称，故(4)正确；2故答案为(1)(3)(4)【点评】本题考查的知识点是正弦函数的图象，正弦函数的对称性，三角函数的最值，是三角函数问题的综合应用，难度较大.13 .对于定义在区间D上的函数/(X),若存在闭区间回和常数c,使得对任意xEa,b,都有f(可)=c,且对任意2D,当12q小封时，/(2)VC恒成立，则称函数/(X)为区间。上的“平顶型”函数.给出下列说法:“平顶型”函数在定义域内有最大值；“平顶型”函数在定义域内一定没有最小值；函数f(x)=-x+2-Wl为及上的“平顶型”函数；函数f(X)=SinXTSinXI为R上的“平顶型”函数.则以上说法中正确的是.(填上你认为正确结论的序号)【分析】根据题意，“平顶型”函数在定义域内某个子集区间内函数值为常数c,且这个常数是函数的最大值，但是定义并没有指出函数最小值的情况.由此定义再结合绝对值的性质和正弦函数的图象与性质，对于四个选项逐个加以判断，即得正确答案.【解答】解：对于，根据题意，“平顶型”函数在定义域内某个子集区间内函数值为常数c,且这个常数是函数的最大值，故正确；对于，根据“平顶型”函数的定义，没有指明不存在常数占使定义域内任意刈，满足f(xo)2d,故平顶型”函数在定义域内不一定没有最小值，故不正确；对于，/(外=-W+2T-1W-I(x+2)+(x1)I=-3,当且仅当x-2,1时，函数的最大值为-3,符合“平顶型”函数的定义，故正确；= Sinx-Isinxl=Psinx,0XC(一个叫兀，2k兀)X(2k,+2k)整数所以函数有最小值0,最大值2,但是不存在区间小bt对任意x,b,都有f(x)=2,所以/(%)不是“平顶型”函数，故不正确.故答案为：®®【点评】本题以命题真假的判断为载体，着重考查了函数的最值及其几何意义、带绝对值的函数和正弦函数的定义域值域等知识点，属于中档题.14 .如果函数y=2a与y=2sin中(>0,QO)在某一点取得相等的最小值，则Z的最大值是_2返_.-3-【分析】先根据二次函数的性质，知数y=7-2次在x=f时取得最小值-Z2,再根据正弦函数的性质，知函数y=2sin等(x>0,心>0)在x=2,欣或(mZ)时取得最小值2,由己知得两函数在同一点取得同样的最值，故可得/2=-2,2nk-K=/(mwZ),2从而将k用整数变量m表示，求最值即可【解答】解：函数y=x2-2a在x=f时取得最小值-落函数y=2sin'A(x>0,>O)在x=2-区(加EZ)时取得最小值2k2函数y=-2与y=2sin-(X>0,40)在某一点取得相等的最小值.-p=-2,Vf>O,=V22w-=2("iZ)22:k=-Jj(mZ)2(InW)加=1时，人取得最大值近,=会反2(T)3故答案为ZZa3【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，正弦函数的图象和性质，转化化归的思想方法15 .在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点.若函数y=(x)的图象恰好经过k个格点，则称函数y=f(X)为k阶格点函数.已知下列函数：f(x)=V2(2-l);/(X)=F+1；f()卷IQgMX；f(x)=2cos(-y)则其中为一阶格点函数的序号为(写出所有正确命题的序号)【分析】只要逐个判断函数是否过格点，过几个格点即可，用到二次函数图象，要取X取整数，)，也为整数.可借助y="的图象来判断，因为底数时e,所以只有X=O时y才可能为整数，用到对数函数图象，要取入取整数，y也为整数.用到余弦函数图象，因为f(x)=2cos(xf)的周期为如，只需判断当X=O,1，2,3,4,5时，y有是否为整数即可.【解答】解：f()S(Jt)图象经过(1,0),(-1,0),等多个格点，f(x)=2(Jt)不是一阶格点函数./Cr)=ex+图象是函数y="图象向上平移1个单位长度，只过(0,2)点一个格点、，；.f(x)="+1是一阶格点函数.f(x)卷IogX图象经过(L。)，(2,1),等多个格点，.f()卷IQgyX不是一阶格点函数.vf(x)=2cos(Xw-)的值域为L2,2,当X在R内取值时，经过的格点只有(0，TT1)，f(X)=2cos(X寸)是一阶格点函数,故答案为：®.【点评】本题主要考查了给出新概念，在新概念下进行判断，考察了学生的理解力，以及把新知识转化为所学知识的转化能力，其中分析出函数的格点个数是解答本题的关键.16 .定义运算%为：a*b=aQfb),例如，1*2=1,则函数/(x)=sinx*cosx的值_(b(a>b)域为-1,返1.2【分析】依据题意可知首先看SinX>cosx时，X的范围，进而求得函数的表达式，根据余弦函数的性质求得最大和最小值;再看SinXWCosX时,x的范围,进而求得函数的表达式，根据正弦函数的性质求得最大和最小值，最后综合可得答案.【解答】解：当x(2E+,2Ar+§兀-)时，sinx>cosx,f(x)=COS%,44当x2A+g,2A+号口时,此时函数的最大值为火看+2也)=掾_,最小值为火节-)=-1,当x2匕r,2+H和x2A+，2A+2r时SinXWCOSx,则/(x)=Sinx,函数的最44大值为f(H-+2内r)=返,最小值为f(S兀+2K)=-1,422最后综合可知函数的值域为L1,粤.故答案为：L1,粤.【点评】本题主要考查了正弦函数和余弦函数的定义域和值域.考查了学生分类讨论思想的应用.考查了学生的分析推理能力以及做题的细心程度.三.解答题(共5小题)17.已知函数/(x)=3sin(x-的最小正周期为,其中3>0.6(1)求3的值;(2)当t时，求函数/(%)的单调区间；44(3)求函数/G)在区间0,上的值域.【分析】(1)由"=n,解3即可；3(2)由(1)知/(x)=2sin(2x-),可求单调区间；6(3)由X的范围，结合三角函数的性质逐步计算易得值域.【解答】解：(1)由题意可得22L=TT,解得3=2；Tr(2)由(1)知/(x)=3sin(2X-专)，fl2Ar-2x-2A+-11Ilc-x+-,AZ.又2626344攵=0时，单调增区间为：匹，,642A11r+2L2-2L2+-三-,解得女+?LwXWE+旦L,kZ.262361时，又x匹，-2L,单调减区间为：L匹，4446._rnTT1.-r.Tr5兀1G0,J,2wY"G-y192666JT1(2x-)-1,62k=-(3)Asin3sin (2x-) 亘，3,62函数/(x)在区间0,工上的值域为-S, 3 22【点评】本题考查三角函数的周期性和单调性，以及最值，属基础题.18.已知函数/(x) =2sin (%+) (>0, <-)的图象与y轴的交点为(O,(1)若3=2,求/G)在(匹，匹)上的值域； 42(2)若/(x)在着，专上单调递减，且w-, A, /(-2L) 2,求 3 的取值范围.【分析】(1)代入交点坐标求出,从而求出f(x)的解析式，从而求出值域；(2)由函数在工，工上单调递减，求得3的取值范围，再根据Vw工，2L,(fl-2L) 63863。2,求交集得到答案.JTO【解答】解：(1)由题意得/(O)=2sin=3,fsin=2.,V<-,=-yT故/(x)=2sin(2x+-y),.ZK九、.C_L兀兀4兀、.Z.Z_/>,/、/兀、G(-,),2x+-W(-9),/(X)mcix2,J(X)>J()423632-M，故/（X）在（三，2L）上的值域为（,2；42I 93(2)v-,j.x+-e-+2Lf2L+633633由题意得匹+2wH3+工v2L+2L<"+2,火Z,263332解得1+12ZW3W1+6亿&Z,2由1+12AWZ+6Z,&Z,解得4W3-,kWZ,212当kVO时，不符合题意，当A=O时，1WswZ,2V/(a-)=2sin(-5)+-=2sinyj2».sina2/333332-+2A7-+2A,AEZ,V-,a-,44868.TU.U兀X兀V3九,o»IUrJ+2Am¾（八）VcoW+2Ar,kWZ,4864得2+16A<o)W9+12Z,%Z,2又lWW工，2X22故3的取值范围为2,1.2【点评】本题考查求函数的解析式，以及函数的值域，依据函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题.19.已知函数/（x）=2sin（-y-×（1）当x2L,）时，求a）的最大值和最小值；64（2）说明/（x）的图象由函数），=SinX的图象经过怎样的变换得到？【分析】（1）由题意，利用正弦函数的定义域和值域，求得了（x）的最大值和最小值.（2）由题意，利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论.【解答】解：(1)函数6)=2sin(Ax-2L),x2L,IZL)时，Ix-2L-2L,2364234迎)，24故当，lx-2L=2L时，函数ya)取得最小值为加,当工工=2L时，函数/234232(X)取得最大值为2.(2)由函数y=sinx的图象向右平移工个单位，可得y=sin(x-)的图象；33再把横坐标变为原来的2倍，可得函数)，=Sin(lx-)的图象；23再把纵坐标变为原来的2倍，可得函数/(x)=s2in(l-2L)的图象.23【点评】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin(x+)的图象变换规律，属于中档题.20已知函数f()=l-a2-si112+2asinx,-，等卜63(1)若f(看)=1，求实数。的值；(2)若函数/G)有两个零点，求实数0的取值范围.【分析】(1)利用/(匹)=1解方程求出。的值.6(2)利用换元法，令SilU=A函数化为y=-a2-»+2,根据零点的定义求出t=a±t再由y=sinx在工，空_上的图象与性质，求出/()有两个零点时。的取值范围.63【解答】解：(1)因为f(看)=l-a21+a=l,所以a,-a=。，解得a(2)令SinX=力则y=f(x)=1-¢z2-Z2+2ah由1-/-及+2=0,解得t=a±1,又因为y=sinx在三，工上是增函数，S,”上是减函数，6223口zTT、TT1TT2兀*3TT16623322所以与<t<l时，X有两个值；1=1或t近"时，X有一个值；222其它情况，X的值不存在；所以=0时=±1函数f(x)只有1个零点为>O时，q+l>l,要/(x)有2个零点,有曰<a-l<有日l+a< 1,所以理争。<2；<O时，a-IV-1,要f(x)有2个零点,所以T<a<0;综上，/ (%)有两个零点时，的取值范围是限I，O)U普2)【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化思想与分类讨论思想，是中档题.JT21.已知函数f()=2cos(2x÷y)(1)求当/(x)取得最大值时，X的取值集合：(2)完成下列表格并在给定的坐标系中，画出函数/CO在O,上的图象.X5兀122-32x÷A6T23-2213兀6y-203【分析】(1)直接利用余弦型函数性质的应用求出X的取值范围;(2)利用函数关系式中自变量，求出函数的值，进一步画出函数的图象.【解答】解：(1)函数f()=2cos(2x哈)，TrTf由2x÷j=2k兀wz),整理得+kz).故当了(%)取得最大值时，TrX的取值集合为3X=上+k冗(kwz).12(2)函数/(x)在O,上的图象如下:X0T5兀122冗311兀12TT2x+2L6T23-2213兀6y30-2023【点评】本题考查的知识要点：余弦型函数的性质，函数的图象的画法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.