【代数法】存在性问题之等腰三角形.docx

【代数法】存在性问题之等腰三角形一、两点间距离公式设两个点A、B以及坐标分别为(卬如)、(跋出)，则A和B两点之间的距离为：AB=J(NI数)2+(仍一改)2二、例题讲解例1、如图，已知抛物线解析式为2/=/+21+3,与乂轴交于人、B两点，与y轴交于点C。在抛物线对称轴上是否存在一点P1使得PCB为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的P点坐标；若不存在说明理由？分析：根据题意我们可以求出B、C点坐标，分别为(3,0),(0,3),P点是抛物线对称轴上一动点，所以需要先设P点坐标，既然P点在x=l这条直线上,所以横坐标为1,则设P点坐标为Q,m),分别计算BC、PC、PB的长度,使用两点间距离公式，但是一般我们使用平方来表示，即：BC2=(0-3)2+(3-O)2=18PC2=(10)2+(m3产=m26m+10PB2=(1-3)2+(m-O)2=m2÷4下面分别以不同的点为顶点进行分类讨论： 当PB=PC时(以P点为顶点)，则：n2÷4=n26m+10； 当BC=PB时(以B点为顶点)，则：18=n2+4；当BC=PC时(以C点为顶点)，则$:18=n26n+10计算上面三种情况下m的值,但是还需要进行检验，可能求出的P点刚好与B、C共线呢？所以还需要求出BC所在直线的解析式，将上面的点代入到解析式中进行验证即可。解：由题意得，B、C点坐标分别为(3,0),(0,3),设P点坐标为(Lm),则：(1)当PB=PC时，即:BC2=(0-3)2+(3-O)2=18PC2=(10)2+(m3产=m26m+10PB2=(1-3)2+(m-O)2=m2÷4解得：m=lP(Ll)(2)当BC=PB时,即:18=n2+4；解得：m=±I3p(i,)三Jcp(i,-)(3)当BC=PC时，即：18=n26n+10解得：m=3±T7P(l,3+17)或P(l,3-17)VB、C点坐标分别为(3,0),(0,3).BC所在直线的解析式为：y=-x+3经检验，以上各点都不在直线BC上综上所述：满足ABCP是等腰三角形的P点坐标为：(1,1)、(l,g)、(1,-11)、(1,3+I7)、(1,3-I7).例2、如图，抛物线y=ax2+bi+4交X轴于A(3,0),B(4,0)两点，与y轴交于点C,连接AC,BC.点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m.(1)求此抛物线的表达式；(2)过点P作PM，X轴，垂足为点M,PM交BC于点Q.试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q,使得以AfC,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；分析：本题中A、C都是定点，P是抛物线第一象限内的一动点，则Q点也是一动点，且在线段BC(不含B、C两点)上运动，所以本题需要先求出BC所在直线的解析式，然后根据等腰三角形存在性问题代数法求解即可。解：(1)将(-3,0),(4,0)代入抛物解析式得：(93÷4=016a+4b+4=0解得：所以抛物线的解析式为：1 21y=-+-X+4（2） /抛物线的解析式为：1,1.针÷3x+4.C点坐标为(0,4)C(0,4),B(4,0)BC所在直线解析式为：y=-x+4Q点是直线CB上一动点，设Q点坐标为(mz-m+4).A(-3,0),C(0,4)AC2=25,CQ2=m2+(n+44)2=2m2,AQ2=(m+3)2+(-m+4)2=2m2-2m+25(1)当AC=AQ时，即：25=2n22m+25解得：m=0(舍去)或m=lP(L3)（2）当AC=CQ时，即：25=2m2解得：m=型或m=-跳（舍去）22P（竽,4竽）（3）当AQ=CQ时，即：2m2=2m22m+15解得：15m=2（舍去）综上所述：满足AACQ是等腰三角形的Q点坐标为：（3） 3）、（竽,4一竽）三、使用代数法步骤1、先计算出三角形每边的距离，采用两点间距离公式，通常用平方表示；2、以各点为顶点，分类讨论腰相等三种情况，建立方程并求解；3、检验所求点是否符合题意，不符合则舍去。