专题02空间向量的坐标表示及用向量法证明平行垂直共面问题（解析版）.docx

专题02空间向量的坐标表示及用向量法证明平行垂直共面问题考点预测(1) (x,y,zj,b=(x2,y2,z2),则rI(1)a+h=(xi+X2,yl+y2l+Z2).X*(2) a-b=&-赴，M-必，-z2)(3) /a=(/x1,/JpZzl).r1(4) ac!bxix2+j,y2+z1z2.(5)若功为非零向量，则之bfab-0?x1x2J1y2+zlz2=0.(6)若bI0,则5/"?alb?XJ/x2,jl=Iy2tz,=Iz2.(7) a=yfa2aJAf+N；+z；.(8) COSJ=,X，产_：向WM+y；+z：?JR£+z；(9) A(xpypz1),B=(x2,y2,z2),则ab=:B=J(-芭一+(力-犷+一/.2.在空间中，取定点O作为基点，那么空间中任意一点R的位置可以用向量OR来表示.向量OR称为iM.niuuu点R的位置向量.3 .空间中任意一条直线/的位置可以由/上一个定点A以及一个定方向确定.点A是直线/上一点，向量aUUUirr表示直线/的方向向量，则对于直线/上的任意一点R,有AR=S,这样点A和向量。不仅可以确定直线/的位置，还可以具体表示出直线/上的任意一点.4 .空间中平面4的位置可以由内的两条相交直线来确定.设这两条相交直线相交于点O,它们的方向向r1uuur1量分别为,bR为平面上任意一点，存在有序实数对(x,y),使得OR=m+yb,这样点O与向量;，力就确定了平面的位置.5 .直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量：UlIlUlMl若A、B是直线/上的任意两点，则AA为直线/的一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线/的方向向量.平面的法户量：若向单，所在直线垂直于平面,则称这个向量垂直于平面。，记作力人白,如果,人。，那么向量;?叫做平面。的法向量.平面的法向量的求法(待定系数法)：建立适当的坐标系.设平面"的法向量为7=(x,y,z).求出平面内两个不共线向量的坐标=(1,a2,3),b=Sl也也).、rrH9/10根据法向量定义建立方程组.nib0解方程组，取其中一组解，即得平面。的法向量.(如图)6.用向量方法判定空间中的平行关系线线平行设直线/的方向向量分别是4、6,则要证明/4，只需证明。匕，即4=&力（&?R）.即：两直线平行或重合=两直线的方向向量共线。线面平行（”一）设直线/的方向向量是,平面的法向量是，则要证明/,只需证明。人u,即0.即：直线与平面平行=直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.面面平行若平面"的法向量为，平面力的法向量为y,要证b,只需证y,即证=/丫.即：两平面平行或重合=两平面的法向量共线。7 .用向量方法判定空间的垂直关系线线垂直设直线的方向向量分别是：、力，则要证明只需证明力，即：?力0.即：两直线垂直=两直线的方向向量垂直。线面垂直（法一）设直线/的方向向量是,平面的法向量是，则要证明",只需证明。111，BPa=/M.（法二）设直线/的方向向量是i平面内的两个相交向量分别为；?、；，若、ru-Ialm0rll,Irr,则/八内储?0即：直线与平面垂直=直线的方向向量与平面的法向量共线=直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。面面垂直若平面的法向量为平面方的法向量为；，要证b,只需证i,即证0.即：两平面垂直=两平面的法向量垂直。例1.（2021山东高二阶段练习）如图，已知四棱锥尸底面是矩形，且A4_L平面ABCD,E、尸分别是A8、PC的中点.（用向量法解决下列问题）（1）求证：浮，AP,AD共面.（2）求证：EFVAB【解析】（1）如图，以A为原点，分别以AB，AZ），AP分别为X轴，）'轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系A-g，z.设AB=2,BC=2b,PA=2c,则A(0,0,0),8(2,0,0),C(24,2Z>,0),D(O,2,O),P(0,0,2c),因为E为A8的中点，尸为PC的中点，所以E(,0,0),F(a,b,c),EF=(O,b,c),AP=(0,0,2c),Ao=(0,2b,0),所以E/=LaP+'aZ),22所以浮'，AP,Az)共面.(2)因为A8=(24,0,0),EF=(O,¼c)所以A8EE=24x0+00+0c=0,所以ABLEF，所以ALEF例2.(2021全国高二课时练习)如图，已知在正方体4BCO48CQl中，M,MP分(2)平面MNP平面CCIGD.【解析】(1)证明：以。为坐标原点，D4，DC，DD的方向分别为x,y,Z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0),(l,0,1),Ml，1，0),P(l,2,1).所以。A=(2,0,0)为平面CeDI。的一个法向量.由于MN=(O，I，-1),则MNDA=0×2÷l×0+(-1)×0=0,所以mN"LD4又MNa平面CGD所以MN平面CGz)D.(2)证明：因为0A=(2,0,0)为平面CGdD的个法向量，由于Mp=(0，2，0),MN=(0，1,1)»MPDA=O则，MNDA=O即。A=(2,0,0)也是平面MNP的一个法向量，所以平面MNP平面CCIf>D.例3.(2021.北京通州.高二期中)在空间直角坐标系Oqz中，已知向量45=(1,0,0),AC=(0,2,0),Ao=(0,0,3).(1)求向量AB在向量CB上的投影向量；(2)求平面BCo的法向量；(3)求点A到平面BC。的距离.【解析】(1)因向量AB=(LO,0),AC=(0,2,0),则CB=48-AC=(1,-2,0),于是得148ICOS48,C8色二丝与。=!。,-2,0)=(±二0),CBIC55512所以向量AB在向量CB上的投影向量=(g,-,O).(2)因向量AC=(0,2,0),AQ=(0,0,3),则Co=4。一AC=(O,-2,3),由(1)知C3=(1,-2,0),设平面38的一个法向量=*,y,z),则F二"：°八，令尸3,得=(6,3,2),nCD=-2y+3z=0所以平面3CQ的法向量=(6,3,2).(3)由(2)得点A到平面BCD的距离d=四Wl=：=,HI62+32+227所以点A到平面BCQ的距离为亨.过关测试一、单选题1. (2021.四川省绵阳南山中学高二阶段练习(理)空间直角坐标系中，己知47,1,3),则点A关于XOZ平面的对称点的坐标为()A.(1,1,-3)B.(1,1,3)C.(1,1,-3)D.(1,1,3)【答案】D【分析】根据空间直角坐标系的对称性可得答案.【详解】根据空间直角坐标系的对称性可得A(T,1,3)关于XOZ平面的对称点的坐标为(TT3),故选：D.2. (2021全国高二课时练习)己知.ABC的三个顶点分别为A(U,0),8(0,1,2),C(2,l,l),则BC边上中线的长度为()A.!B.1C.-D.222【答案】C【分析】利用空间中两点间的距离公式求解.【详解】因为.4?C的三个顶点分别为A(l,1,0),8(0,1,2),C(2,l,l),所以BC的中点坐标为(14,),所以5C边上中线的长度为J(17)2+(1-1)2+(-oJ=,故选：C.3. (2021黑龙江哈九中高二期中)设x,yeR,向量a=(x,l,l),=(1,>1),3=(2,<2),且al.c，b/cf则卜+|=()A.22B.10C.3D.4【答案】C【分析】根据空间向量垂直与平行的坐标表示，求得x，y的值，得到向量a+b=(2,2),进而求得a+ht得到答案.【详解】由题意，向量=(x,l,l),b=(l,y,l),c=(2,-4,2),因为J.c，可得c=2x-4+2=0,解得X=1,即=(ljl),又因为5c，可得;=弓，解得y=-2,即b=(l,-2,l),可得+b=(l,1,1)+(1,-2,1)=(2,-1,2),所以卜+b=J4+1+4=3.故选：C.4. (2021.全国高二课时练习)若：=(x,2y-l,-是平面。的一个法向量，且=(-1,2,1),；=(3,g,-2)与平面都平行，则等于()<2753ln(9531)a-豆LMRB-立一米一句(927B(911、c,C52,52,-4ylD-52,26,4,l【答案】D【分析】出题意可得平面。的一个法向量与b=(T,2,l),；-2)均垂百.，即可得到结果.【详解】由题意可得ab=-x+22y-l)-=0“c=3x+g(2y-1)+/=0-+4r0,解得3x+y = O9 X 5227V =一5291_52,26,4j故选：D5. （2021山东烟台高二期中）已知空间向量=（2,-2,-1）,力二（3,0,1）,则向量在向量上的投影向量是（）A.10 _20 _5 9",9,-9B.10 _20 5T,-T,-3C.【答案】A【分析】根据向量投影的概念，结合向量的数量积计算得出结果.【详解】根据题意，同=6+22+1=3,=32+0+l=0ah=6+0-1=5B在上的投影向量可为WCOSIO_20T9,故选：A.6. （2021全国高二课时练习）己知届"可是空间的一个单位正交基底，若向量P在基底4,Ac下的坐标为（3,2,1）,则它在基底+d-Ac下的坐标为（）.【答案】D【分析】根据题意，可设向量=（1,0,0）,=（0,1,0）fC=（0,0,1）,根据向量加减法运算求出4+6和的坐标,结合条件可设p=x（+4+y（-b）+zd=（3,2,l）,联立方程组求出2,z,即可得出向量P在基底+bM-仇c下的坐标.【详解】解：由于a),c是空间的一个单位正交基底，可设向量=(1,0,0),5=(0,1,0),C=(0,0,1),则向量+力=(1,1,0),4。=(1,T0),又向量P在基底色九可下的坐标为(3,2,1),不妨设力=x(d+)+y(d-)+zW,则(3,2,l)=(x+y,x-y,z),5X=x+y=32即-y=2,解得：j=,z=1.Z=I所以向量P在基底4+d6-。,右下的坐标为.故选：D.7. (2021.福建三明.高二期中)已知正方体A6CQ-AgCa的棱长为小定点M在棱A8上(但不在端点A,8上)，点尸是平面A68内的动点，且点P到直线AA的距离与点P到点M的距离的平方差为则点P的轨迹所在曲线为()A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线【答案】D【分析】作PE_LA£>,PElAiDlt连接所，以A为原点建立空间直角坐标系，利用勾股定理和两点间距离公式以及尸石2一?M?=",整理可知点P的轨迹.【详解】作尸尸_LA£),PE-LAdi>垂足分别为EE以A为原点建立如卜图所示的空间直角坐标系：4设M(00),O<r<a,P(x,>0),由正方体结构特征可知，W平面AORA,易证A0_L平面EfP，.PE2=y2+q2,PM2=/+(),-/)2,:.PE2-PM2y2+a2-X2-(y-t)2=a21整理得：x2=2ty-t2尸的轨迹是抛物线故选：D.8. (2021辽宁葫芦岛.高二阶段练习)已知正方体ABC。-A5CQ的棱长为4,点E是棱Cc的中点，动点P在正方形A418B内(包括边界)运动，且PA平面BQE,则PC长度的取值范围为()A.5,6B.42,6C.空4D.25,6【答案】C【分析】以力为原点，以D4，DC，。“的方向为X，y,z轴的正方向，建立如图所示的空间在角坐标系。-孙z.取AA的中点为“，连接4",2".证明出点P只能在线段用上运动.设印>=/1耳(0近/1W1)表示出“=(4,44一4,2+2；1),求出模长，利用二次函数求出PC长度的取值范围.【详解】以。为原点，以D4，DC,。的方向为X,y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。一种.则O(OQQ),A(4,0,0),8(4,4,0),C(OAO),D1(0,0,4),A(4,0,4),B1(4,4,4),C1(0,4,4),E(0,4,2).取AA的中点为H,连接与”，DiH.在正方体ABCo-ABeR中，BB=DDJlBBJiDD,所以四边形35QQ为平行四边形,所以又BPlU面HBprBDU面HBpI,所以8。/面H3A同理可证：DE/面HBR.又DBCDE=D,所以平面4R平面BOE.因为PA平面比应，所以点P只能在线段”反上运动.易知H(4,0,2),设HP=2HB(02l),”4=(0,4,2),则“P=(0,442/1),DP=DH+HP=(4,U,2)+(0,4,2)=(4,4,2+2),CP=DP-jDC=(4,42+2)-(0,4,0)=(4,4-4,2+2),CP2=16+16(-1)2+4(+1)2=202-24+36.当丸=|时，IM取得最小值母；当/1=0时，IM取得最大值36.12/7'故PC长度的取值范围为长,6.故选：C【点睛】立体几何求最值的方法有两类：(1)几何法：利用几何图形求最值；(2)代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值.二、多选题9. (2021.河北石家庄市第十二中学高二期中)在空间直角坐标系Oxyz中，以下结论正确的是()A.点A(1,3,-4)关于X轴的对称点的坐标为(一1,一3,4)B.点P(1,2,3)关于XO)，平面对称的点的坐标是(一1,2,-3)C.已知点A(-3,1,5)与点B(4,3,1),则AB的中点坐标是(g,2,3)D.两点M(1,1,2),N(1,3,3)间的距离为3【答案】BCD【分析】结合空间直角坐标系的对称关系可判断A,B；结合中点坐标公式和两点间距离公式可求C,D.【详解】点A(1,3,-4)关于X轴的对称点的坐标为(1,-3,4),故A错误；点P(1,2,3)关于M，平面对称的点的坐标为-3),故B正确；A(3,1,5)与8(4,3,1)的中点坐标为若B=,故ClE确；M(-1,1,2),N(1,3,3)间的距离为"(1+(3-1)?+(3-2)2=3,故D正确.故选：BCD10. (2021广东佛山市南海区里水高级中学(待删除学校不要竞拍)高二阶段练习)已知点?是平行四边形A8CZ)所在的平面外一点，如果AB=(2,7,-4),AO=(4,2,0),AP=(-1,2,1),下列结论正确的有()A.APLABB.AP.ADC.AP是平面A8CZ)的一个法向量D.AP/BD【答案】ABC【分析】IhARAB=O,可判定A正确：IIIAPAD=O,可第(定B正确；由QJL而且丽11痛,可判定C正确；由AP是平面A88的一个法向量，得到可判定D不正确.【详解】由题意，lAB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),4P=(T,2,-1),对于A中,由APAB=2(-l)+(-l)x2+(-4)x(-I)=0,可得AP_LAB，所以A正确；对于B中，由APAO=(T)x4+2x2+(-l)0=0,所以Ap_LAO,所以B正确；对C中，由A>J"柏且A?J_AD，可得向量4P是平面ABCD的一个法向量，所以C正确；对于D中，由Ap是平面A8CZ)的一个法向吊，可得APJ.8。，所以D不正确.故选：ABC11. (2021全国高二课时练习)如图，在长方体ASeO-A4GA中，AB=JIao=Gm=G,点尸为线段AC上的动点，则下列结论正确的是(A.当AC=2A2时，B,Pfd三点共线B.当AP_LAC时，APlDiPC.当AC=3A户时，DF平面BDaD.当AC=54P时，DPBCLl【答案】ACD【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量一一计算可得；【详解】解：在长方体A38-A耳GR中，连接AR,以点D为坐标原点，DA,DC,OA所在白线分别为X轴、V轴、Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。-邛z.因为AB=Ga力=6明=6,所以AO=AA1=I,则。(0,0,0),A(l,0,0),A。，°，1)，C(,3,),D1(0,0,1),(l,3,),C1(,3,l),B1(l,3,l),则AC=(TG,-1),D1A=(1,O,-1),AA1=(0,0,1).对于A选项，当AC=2A户时，P为线段AC的中点，则尸;#，DP=浒;/.D,=(l,3,l),则Z>4=2OP,所以乌，P,。三点共线，A选项正确；对于B选项,设A'=iAe=4(,有,)=(-4&T)(O41),AP=AAi+AiP=(-,3Z,1-A),由AP_LAC,可得APAC=521=0,解得4=1,所以4P=(-g,曰1),D,P=D,A+P=(1,O,-1)+=,y所以4341D,PP=-+-=-0,所以Ap与AP不垂直，B选项错误；对于C选项，当ac=34p时，AP=；AC=(-g,*,-g，又AA=(T,0,0)，所以AP=AP-An=,弓,-9,又c=(o,J,),DB=(l,3,),所以I2d1p=-1dc1+db,因为dp<z平面&)g，所以AP平面bog，C选项正确；对于D选项，当qc=54尸时，Alp=IAc=j-1,曰,一,所以QP=4P-aQl='曰'一，又BC=(T,0,1),所以。产&7；=1,D选项正确，故选：ACD.12. (2021全国高二课时练习)如图，在直三棱柱ABC-A用G中，NBAC=90。，AB=AC=AA=2,E,尸分别是BC,AG的中点，。在线段上，则下列说法中正确的有()A.所平面44用8B.若£>是与G的中点，则JLEFC.若浮在平面ABC上的投影向量为则EHlC=2D.当COS(BD,律)=叵时，线段BO的长为还【答案】ACD【分析】对于A,以A8,AC,A4i为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A-型.由向量的线性运算得律=B旦+§44,根据线面平行的判定可判断；对于B,向量的坐标运算得而丽0,根据向量垂直的表示可判断；对于C,取4C的中点“，连接FH,有FHJ_平面ABC,得EH即为注在平面ABC上的投影向量，根据向量数量积的坐标运算可判断；对于D,设4力=叫。；=(-2/1,240)(0<l<l)根据向量的夹角公式计算得COS(BDEr)=述，求得4=!，由向量的模的计算公式计算可判断.【详解】所：对于A,以aB,AC,AA为正交基底，建立如图所示的空间比角坐标系A-孙z.由题意可得A(0,(),0),8(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,0,2),C1(0,2,2),E(1,1,0),F(,l,2),A(0,0,2),则M=(To,2),BB1=(0,0,2),B1=(-2,0,0),所以E产=8四+g¾A，又平面A41BB,所以EF平面AA及8,故A正确；对于B,若。是4G的中点，则0(1,1,2),BD=(-1,1,2),所以M8O=l+4=5r0，所以EF与80不垂直，故B不正确：对于C,取AC的中点“，连接N,FH,则尸”CG,因为CeJ平面ABC,所以用J_平面ABC,此时EH即为殍在平面ABC上的投影向量，则”(0,1,0),BC=(-220),£/=(-1,0,0),BCEH=2,故C正确；UUU对于D,设4。=兄与G=(-24240)(0<ll),BBi=(0,0,2),则BD=BB1+BiD=(-22,242),所以ME户=22+4,所以C。S(BDEF)=篇第=岳%、=噜,三2=,此时如卜生,2),所以BD卜平，故D正确.故选：ACD.三、填空题13. (2021河北石家庄市第四中学高二阶段练习)已知点A、8、GD的坐标分别为(0,1,2),(1,2,3),(1,3,DXx,5,3),且A,BtC,D四点共面,则X=.【答案】3【分析】转化A,BtC,。四点共面为m,"wR,使得AQ=4Ae+"A15,用坐标表示，解方程组,即得解【详解】由题意，,B,C,。四点共面故m%"R,使得Zg=JI/+正又=(1,1,1),衣=(1,尬=(x,4,1)+x=故松+4=1-+/=1解得工=3,4=一：,=；故答案为：314. (2021四川省宜宾市第一中学校高二期中(理)已知空间直角坐标系中三点A(2,1,3),3(4,2,3),C(3,3,2),则三角形ABC的面积为.【答案】上2【分析】向量计算CoSNBAC=拽得到SinSNBAC=咽，再利用面枳公式计算得到答案.1515【详解】ABAC4230A3=(20),AC=(L21),故COSAC=阿国二反而二千，故SinZBAC=JI-CoS2NBAC=，5小时=小硝4。卜而/84。=3><岳舟噂二呼.故答案为：叵.215. （2021广东广州市协和中学高二期中）在如图所示的试验装置中，四边形框架ABC。为正方形，AB所为矩形，且8E=3A8=3,且它们所在的平面互相垂直，N为对角线B尸上的一个定点，旦2FN=BN,活动弹子"在正方形对角线AC上移动，当MEMN取最小值时,倦的值为【答案W【分析】根据给定条件建立以直线84,BE,BC分别为X轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，利用空间向量即可计算MbMN，求其最小值即可.【详解】解：因ABcD为正方形，则A8_L8C,而平面ABCo_L平面A8ER平面A8CD平面ABEF=AB,于是得4B_L平面4BEF,又ABE产为矩形，即BfLLA8,以射线84,BE,BC分别为X,y,z轴的非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则B(O,O,O),A(1,O,O),C(O,O,1),E(O,3,O),F(1,3,O),2因点N在3尸上，且2FN=BN,则N(q2,0),又M在线段AC上移动，则有CM=fCA=(/,O,-/),/0,1,于是得点M(f,0,l),ME=(T,3,I),MN=(N-C-I)32Q(7VSSfEf=(-)+6+(r-l)2=2r2-r+7=21+学，2因此，当时，MEMN取最小值，2AM1此时，CM=A,而下故答案为：16. (2021全国高二课时练习)已知0(0,0,0),A(l,2,3),8(2,1,2),P(l,l,2),点。在直线。户上运动，当QVQB取最小值时，点。的坐标是【答案】停翡)【分析】空间向量的数量积最值问题，利用共线设出。点坐标，列式求解，利用二次函数求最值即可得到答案.【详解】ULll设OQ=fOP,因为OP=(IJ2),所以OQ=(F/2。，所以点。的坐标为(f1,2r)又。A=(I-f,2-r,3-2/),QB=(2-tJ-t,2-2t)t所以04=2(1-。(2-，)+(3-2/)(2-2。=6产-161+10,所以当f=g时，QAQB取最(448、小值，此时点Q的坐标为j,<448、故答案为：四、解答题17. (2021全国高二课时练习)在三棱锥P-ABC中，平面尸ABJ_平面ABC,PA=PB=CA=CB=3Ji，AB=6f。为线段A8的中点，点E,F,。分别在线段AP,1121AB,AC上，且AE=q4P,A尸=AO.若PQ=彳%+彳PC,以。为坐标原点建立如图所3333示的空间直角坐标系.(1)求点。的坐标；(2)用向量法证明平面EFQ平面POC.【答案】(I)(-2,1,0)(2)证明见解析【分析】2191(1)根据PQ=PA+§PC,由(。也一3)=§(-3。-3)+§(0,3,-3)求解；(2)根据AE=gAP,AF=AOt得到八2=(0J0),再根据OC=(0,3,0),得到尸。OC,然后利用线面平行和面面平行的判定定理证明.(1)解：由题意可知。(0,0,0),3,0,0),C(0,3,0),P(0,0,3),设Q(,b,0),则尸A=(-3,0,-3),PC=(0,3,-3),尸Q=(也一3).2121又PQ=§PA+§PC,即(,43)=§(3,0,3)+3(033),所以a=2,b=l,所以点。的坐标为(-2,l,0)(2)因为AE=!AP,AF,=-AOf33所以E(-2,0,l),厂(-2,0,0),FQ=(OJO),又OC=(0,3,0),所以尸Q=；OC,所以FQ/OC,即FQOC.又OCU平面POC,R2a平面POC,所以尸。平面尸。C同理可证EfV/平面PoC,因为EFCFQ=F,所以平面ER2平面PoC.18(2021全国高二课时练习)已知向量AB=(IJl),AC=(1,2,-1),AD=(3,y,l).(1)若4DJ_AC,求丁的值；(2)若A、B、C。四点共面，求V的值.【答案】(1)y=T;(2)y=4.【分析】(1)根据AO_LAC,利用向量垂克时，数量积为0,即可得的值；(2)根据A、B、C、。四点共面，f3,使得血=/ML+MC,利用坐标运算，即可得y的值.【详解】(1)AD±AC,得AD_LAC，aAD-AC=O.(3M(1,2,-1)=0,.3+2y-l=0,解得y=f(2)由A、B、C、。四点共面，得U,jugR,使得，AD=AB+jliAC,4+=3.(l,l,l)+(h2,-1)=(3,j),/.U+2=y,解得y=4.-【点睛】本题主要考查的是空间向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，点共面的向量运算，考查学生的理解能力，计算能力，是基础题.19. （2021全国高二单元测试）如图，在四棱锥P-ABa）中，底面ABC。是矩形，PA_1平EfABCO,M.N、R分别是AB、PC、Cz）的中点，求证：（1）直线AR/平面PA/C；（2）直线MN_L直线A8（用向量方法）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）建立空间直角坐标系，设AB=,AD=b,AP=c,得出点AB,G",MR,根据向量的相等的性质和线面平行的判定可得证；（2）根据向量垂直的坐标表示可得证.【详解】证明：如图，建立空间直角坐标系，4(0,0,0),3(40,0),036,0),“6,0,0)呜,a3呜也0UIIIra、UUlT(4AULmUuU(1) QAR=(a，b，0j，MC=(5，A0j，.AR=MC,.AH“C,又AR（X平面尸MC,MCU平面PMC,直线AR/平面PMUuur(2) QMN = Iiy C - 2 力-2-LlLU IlLLAB MN = Q:. MN 工 AB20. （2021福建莆田第七中学高二阶段练习）如图，在直三棱柱ABC-ABG中，AC=3,BC=4,AB=5fM=4,点。是A8的中点.向量法求证：（1） AClBC1;（2） AG平面CO”【答案】（D证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）由已知可得AC、8C、CC两两乖直，所以如图，以C为坐标原点，直线CA,CB,CC1分别为X轴，V轴，粤建立空间直角坐标系,然后求出ACBG=O,则可得结论，（2）可求得OE=TAG,从而可得OE/AG，进而由线面平行的判定定理可证得”论【详解】证明：Y直三棱柱ABC-A4G底面三边长AC=3,8C=4,AB=5,IIGC垂直底面.ACvBCxCC两两垂直.如图，以C为坐标原点，直线Ca,CB、Ca分别为X轴，y轴，Z轴建立空间直角坐标系.则C(O,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),8(0,4,0),四(0,4,4),呜2,0).(1)C=(-3,0,0),5G=(0T,4),ACBC=O.AC1BC1.(2)设CBl与C声的交点为E,连接OE,则£(022),0七=(:°，2)，AC1=(-3,0,4), DE=-AC1.:.DEHACx.2 DEU平面CDBx,AC1平面CDB1, AG平面CO4.21. (2021河北藁城新冀明中学高二阶段练习)如图，在正方体ABCZ)耳GA中，E、产分别是54，8的中点，(I)求证："71平面AOE；(2)求向量ERC片的夹角.【答案】(1)证明见解析；(2)150°.【分析】(I)以。为原点，建立空间百角坐标系，证明AFDA=0,。吠A左=0即可;.FF.R(2)由COS(EfC助=同商求解.【详解】以力为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：(I)不妨设正方体的棱长为1,则。(0,0,0),A(1,0,0),D1(0,0,1),E(1,1,y),F(0,0),则。尸=(0,；,1),)=(L0，0),AE=(0,1,J),则。尸3=0,D1FAE=O,:.DxFLDA,DlFtAE.F_L平面AoE(2)S1(1,1,1),C(0,I,0),UUUllm11故CBl=<1,0,1),卷=(-1,一5)，ef.c=-i+o-=-,网=卜泊=也,IC用S_3COS(EF,CB)=巴J=-B,闭回晨a2则,C8）=150.22. （2021山东高二阶段练习）如图，在直四棱柱AIiGQi中，底面四边形ABCDC.FAE1为菱形，E,F分别为A4,CG的三等分点（Ur=二-=1）.（用向量法解决下列问题）VCjl3（1）证明：B,F,D1,E四点共面；（2）若A8=4,/840=60。，求点尸到平面8囱。的距离.【答案】（1证明见解析；（2）23.【分析】（1）设出相应线段的长度，进而建立空间直角坐标系，然后通过空间向量方法证明BEIfFD,即可得到答案；（2）通过空间向量方法求出平面Bgq的法向量，进而求出点尸到平面BBa的距离.【详解】（1）连结4C交3。于点0,因为ABCD为菱形，故ACJ_匝）,又因为侧棱AAl，底面ABCD,设O8=a,OA=b,DDx=C,以O为原点，嬴由所在方向分别为v轴正方向建立空间宜角坐标系，如图所示.Z则B(OMO),A(O,F,c),瓦OWe)尸(FO,c所以ik=("-gc力=,-gc),所以说=Fi故BEFD,所以3，F,Dl,E四点共面.(2)VAB=4,ZzMD=60。，所以OB=2,OA=2L则8(020),D(0,-2,0),D1(0,-2,c),F-23,05设平面网A(即平面叫QQ)的法向量为i=(,y,z),=(0,-4,0).丽=(0,0,c),-4y = O cz = OmBD=O则有,即ZM-DD1=O令x=l,故m=(l,O,O),又论=(26,2,-恤“2C所以点尸到平面BBR的距离为LPrL=-=23.H