专题02空间向量研究距离、夹角问题（考点清单）（解析版）.docx

专题02空间向量研究距离、夹角问题（考点串讲）目录一、思维导图2二、知识回归2三、典型例题讲与练3考点清单01点到平面距离4【考试题型1】利用空间向量求点面距4【考试题型2】利用等体积法求点面距8考点清单02异面直线所成角12【考试题型11异面直线所成角12【考试题型2】异面直线所成角的最值或范围16【考试题型3】已知线线角求参数19考点清单03直线与平面所成角21【考试题型1】直线与平面所成角（定值）21【考试题型2】直线与平面所成角（最值或范围）25【考试题型31直线与平面所成角（探索性问题）31考点清单04两个平面所成角36【考试题型1】两个平面所成角（定值）36【考试题型2】两个平面所成角（最值或范围）41【考试题型3】两个平面所成角（探索性问题）49一、思维导图二、知识回归知识点Oh点到平面的距离如图，已知平面。的法向量为，/4是平面内的定点，P是平面。外一点.过点P作平面的垂线/,交平面a于点。，则是直线/的方向向量，且点P到平面a的距离就是AP在直线/上的投影向量QP的长度.PQ=|AP=I='P''nnn知识点02：用向量运算求两条直线所成角已知。，人为两异面直线，A,C与B,。分别是。，上的任意两点，。，b为所成的角为夕，则ACBDaCBDcos<AC,BD>=cos=cos<AC,BD>=j-.IACIlBOlIACH8。y知识点03：用向量运算求直线与平面所成角设直线/的方向向量为，平面a的法向量为，直线与平面所成的角为。，CI与U的角为少，则有COS0=猿彳Sine=Icose=上曲.（注意此公式中最后的形式是：Sine）知识点0%用向量运算求平面与平面的夹角若R4_La于A，PB工0于B，平面交/于E，则NAEB为二面角。一/一夕的平面角,ZAE8+ZAP8=180.若4%分别为面。，夕的法向量cosed/>=/L工COSe根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角;I1Il«2I若二面角为锐二面角（取正），则COSe=ICOS<4,%>1；若二面角为顿二面角（取负），则COSe=-ICoSVnI,%>|；三、典型例题讲与练考点清单Ol点到平面距离【考试题型1利用空间向量求点面距【典例1】(2023上广东佛山高二华南师大附中南海实验高中校考期中)如图，正方体ABcd-ABCA的棱长为2,E为线段。的中点，尸为线段B瓦的中点，则直线FG到平面ABIE的距离为.【详解】AE/G，尸GU平面ABE,AEU平面AqE,.FC1/ABiE,所以直线FC1到平面AB1E的距离等于点G到平面AB1E的Ef漓，如图以O为坐标原点，DA所在直线为X轴，OC所在直线为y轴，OR所在直线为Z轴，建立坐标系,则A(2,0,0),4(2,2,2),G(0,2,2),打0,0),尸(221),F=(-2,0,l),AE=(-2,0,1),AB1=(0,2,2),ClBt=(2,0,0),设平面ABlE的法向量=(x,y,z)fi-AE=-2x+z=0n-ABl=2y+2z=0另z=2,则7=(1,-2,2),设点G到平面AqE的距离为d,故答案为：g【典例2】(2023上四川绵阳高二绵阳中学校考阶段练习)已知正三棱柱48C-AUG的所有棱长均为2,。为线段CG上的动点，则A到平面AiBD的最大距离为.【答案】2【详解】取BC的中点E,连接AE,因为三棱柱ABC-AqG为正三棱柱，所以AE_L8C,AAJ平面A8C,因为AEU平面ABC,所以A1LAE,所以以A为原点，AE所在的直线为轴，AA所在的直线为Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正三棱柱ABC-AlMG的所有棱长均为2,所以A(0,0,0),8(1,5,0),C(T,I),A(0,0,2)，设。=W(OKm2),则0(1,后,，所以A8=(1,3,0),B=(l,3,-2),BD=(-2,0w),当机=O时，BD=(-2,0,0),设平面A8。的法向量为=(,y,z),则nA.B=x+3y-2z=0_/-,令z=L则=0,2,，nBD=-Ix=H'7设A到平面4/。的距离为"，则JA823221d='l-l=,n4+37当TMWO时,设平面ASD的法向量为百=(,b,c),则nAiB=a+>3b-2c=0(4-m2、«_.»令=l,则=I,一,BD=-2a+me=0kj3mf11)设A到平面4/。的距离为“，则4-ndAB1+-Wp三4V3trr43m2+16-8/?i+w2+12JmT）2+6，所以当机=1时，d取得最大值专=应,所以A到平面AB。的最大距离为,故答案为：近【专训11】（2023上广东深圳高二校考阶段练习）在三棱锥尸-ABC中，PC，底面ABC,/8AC=90,AB=AC=4,/PBC=45,则点C到平面BAB的距离是.【答案】±633【详解】解：建立如图所示的空间直角坐标系，A则A(0,0,0),B(4,0,0),C(0,4,0),p(0,4,4),所以AP=(0,4,42),=(4,0,0),PC=(0,0,-4).设平面RAB的一个法向量为Z=(X,乂z),mAP = O, 则<m AB = O,4y+4>z = 0, 4x = 0,46令Y=叵,则z=T,所以加=仅,应,一1),pC-m所以点C到平面PAB的距离为d=Lrr-°网3故答案为：还3【专训l2*2023上安徽高二合肥一中校联考阶段练习)如图，四棱锥P-ABCD中，平面PBC/平面ABCD,底面ABCO是边长为2的正方形，二PBC是等边三角形，M,N分别为A8和PC的中点，则平面OMN上任意点到底面ABC。中心距离的最小值为.连接AC,8。相交于点0,。点为底面ABCZ)的中心，取5C中点为E,连接EaEP,则EP_LBC,因为平面尸8C上平面48CD,则EP/平面ABCO,以点E为原点，分别以EaEaE户为XMZ轴正半轴，建立如图所示空间百角坐标系,且底面48C。边长为2,PBC是等边三角形，则。(2J0),M(l,TO),C(OJO),P(0,0网,则 N3,0(1,0,0),则 MN= -1,-,DN-2,总,O。= （IJO）,设平面OMN的法向量为=（乐y, Z）,、33n MN = -x + -y + X- Z = O2 2r,解得，-13DN = -2xy + z = 022X = -2y1- ,取 z = 7 ,则 y = -3 , 3z = -Jyx=23,所以=仅有,-6,7）,旦平面力MN上任意一点到底面ABa）中心距离的最小值即为点。到平面DnJ33DMN的距离，则d=jj=-j=-64o故答案为：立8【考试题型2利用等体积法求点面距【解题方法】等体积法【典例1】（2023上上海高二校考期中）已知三棱锥P-ABCPA=P8=l,PC=2,且RtPB、PC两两垂直，则点P到平面ABC的距禽为.【答案】吸加【详解】设点P到平面ABC的距离为d因为PA、PB、PC两两垂直，且尸A=P8=1,PC=近,所以A5=,AC=3,BC=BS么Zi=IXIxl=；,在JIBC中，CoSC=罢乎=|，所以SinC=Mly=岑所以XSinC=x冷=4所以VP-ABC=VA-PBC=；X与h=O应解得：h=叵.5故答案为：叵5【典例2】（2023上山西大同高二统考期中）在长方体ABez）中，DA=2D4=2OC=2,E,尸分别是棱AB,CG上的动点（不含端点），且AE=b,则三棱锥4-0防体积的取值范围是.【答案】罟【详解】法一：以。为原点，分别以亶线以DCDA为苍Mz轴建立空间直角坐标系£)一%.如图所示，设 E( 1,办 O) (O V m < 1),而 D(0,0,0), A (1。2),则 F(Xni)yDE = (l,w,0),DF = (0,1,叫 DAI =(1,0,2),设平面DEF的一个法向量为=(演y, z),DE Zi = 0x+My = 0,则= 八，令 z = T,则 y = w,x = -mDFn=Oy + mz = 0所以平面£石户的个法向量为"=(,zn,-i),点A到平面DEF的距离d =坨"=/ "八2z+n2 + l因为IDEI=I W7I= Jl +>,I= 2(z-z+l)设ADEF中的EF边上的高为h ,则h = J DE |2-rm l 2nr +m+2S DEF =婀力 KM?-" + J病+m + l Iyjm4 +m2 +1 »所以匕W)M诋d = "/(0 < "2 < 1),所以三棱锥A - DEF的体积的取值范围是故答案为:法二：设4E = CF = x(0<x<l),延长BC到G,使得CG = ,WiJtanZCFG = -=- CF 2tan ZC1CB1 =CC1 2则 NCR7 = NCC4,于是尸G /80,而长方体ABCo-A4GA的对角面A1BC。是矩形，则有4Q80FG,又ADU平面AOE,尸Ga平面AQE,于是FG平面A。所以产到平面4。E的距离等于G到平面DE的距离，12由等体积法可知匕_£)所=%_,他£=-AlDE=-DEG=，S.DEG=,SDEG»IS=S-S-S。+1+彳)xlxx(l-x)(l+-)12乂“ADEG-J梯形ABGD°DE°CD2,x2*,='"'，,''=十'22224【专训11】(2023上山东高二校联考期中)将边长为2的等边JWC沿8C边中线AO折起得到三棱锥A-BCD,当所得三棱锥体积最大时，点。到平面ABC的距离为.【答案】叵7【详解】由题意知：当Cz)J时，三棱锥A-BCQ有最大体积，此时：BC=4bD2+DC?=e所以：SwC=gBCJa8?-()=*'SBCD=QXBDXDC=Q,因为vr>-ABC=vA-BCD,所以gSmbc=SabcdAD,所以力=S A0>BC2故答案沏呼【专训l2（2023上重庆九龙坡高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱ABC-ABG中,AAi=AB=AC=BC=21点。是AC的中点，则点用到平面A8O的距离是.AB=BC=AC=I,.ABC是等边三角形，又。是AC中点，所以BOJ.AC,因为三棱柱ABC-A妫G是直三棱柱，所以AA_L平面ABC,可得AAI8。，又AA,Ae是平面AACG内两条相交直线，所以BO工平面AACC，.BDlAiDt即三角形A/。是直角三角形，又BD=BAiD=45,SAw=；义6X小'SAA明=2,因为。是AC中点，所以点D到平面“用的距离为冬B,-AtBD=VD-AlBBI，即点B1到平面AiBD的距离为竽.故答案为：平考点清单02异面直线所成角【考试题型1异面直线所成角【解题方法】向量法【典例1】（2023上上海高二校考期中）正四棱锥尸-ABa的侧面以4是等边三角形，E为尸C的中点,则异面直线跳和BA所成角的余孽值为.【答案】1333【详解】设等边a¼B的边长为2,设ACBD=Ot则POl平面ABCO,又因为四边形ABC。为正方形，则AC80,且AC=A8=2,易知。为AC的中点，则04=1aC=,2因为POI平面A3CZ）,ACU平面ABC。，则Po_LAC,所以，OP=yJPA1-OA1=22-2=2以点0为坐标原点，0A。8、OP的方向分别为X、八Z轴的正方向建立如下图所示的空间"角坐标系,所以，AP=(-2,0,2),BE=-冬一五,专，ddAPBE23所以，c。Sw=阿网=亚丁不因此，异面直线鹿和QA所成角的余弦值为3.3故答案为：曲.3【典例2】(2023上四川成都高二校考阶段练习)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A4CQ,其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是60.则8%与AC所成角的余弦值【详解】设M=4,A8=0,Az)=WJBD1=a+c-b,AC=b+c,因为以顶点A为端点的三条棱长均为6,H它们彼此的夹角都是60,故。=>c=6×6×cos60=6×6×-=18,2故16。J=J(+e-"=ya+b1+c1+2a-c-2bc-2ab=36+36+36÷2×18-36-36=6，IAel=J ÷c2+2bc=36÷36+36=63>BDlAC=(a-c-b(b-c=ab+ac-b'C+c'f-62-bc=18+18+18+36-36-18=36,故 COSBQ】,AC)3AAC36直D1C62×636,BA与AC为异面直线，所成角范围为大于0小于等于90，故BDi与AC所成角的余弦值为好,6故答案为：西62一【专训11】（2023上上海高二校考期中）如图，在正四面体A-BCO中，CE=CD,则异面直线AE与6。所成角的余弦值为.【答案】17770-。一2221【详解】因为CE=-CO,所以AE=Ae+CE=AC+-CO=AC+-AD-Ae=-Ao+-AC,333333BD=AD-AB,设正四面体A-8C。的棱长为1,则,4=1,所以4E卜根Cy4 - 9在3=I - 2X X 11X4 - 9+ 2IIX1 - 9+2Xl4 -v9-4E.BO=(AO-AB)(“O+；AC)3333=-AIf+-ADAC-ADAB-ACAB_IArncAE-BD34所以cos(AE,BD)=IJ=/I同Hxi73即异面直线AE与BD所成角的余弦值为f故答案为：立7【专训12】（2023上浙江金华高二校考阶段练习）如图，己知三棱锥4-8Co中，8C_L，JABC和都是边长为2的正三角形,点E,尸分别是A从CO的中点.那么异面直线AF和CE所成角的余弦值等于.【答案】f6【详解】设AB=,AC=bAD=c>因为点E,尸分别是A8,CO的中点，所以A/=J(AC+A)21722CE=(CB+C4)=(-C+C)=A-AC=->,因为BCLBD,且8C=8D=2,所以8=2/,又AC=Ao=2,则AC2+4。2=Co2,所以4C_L4O,即bc=O,又ab=2×2×>=2,ac=2×2×-=2,22所以异面宜线AF和CE所成角的余弦值为好.6故答案为：立.6【考试题型2】异面直线所成角的最值或范围【解题方法】向量法【典例1(2023上河北张家口高二校联考阶段练习)如图，在正方体ABCz)-A4GA中，点尸在线段与。上运动，则直线GP与直线AG所成角的余弦值的最大值为.【答案】21633【详解】设正方体的边长为1,以。为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系,A(LO，G(OJI)Q(OJO)由(Ll,1),AG=(T,1,1),C4=(1,0,1),设。？=/1。耳=(40,；1)(；1勺),定义。P=DC+CP=(0,l,0)+(40,/I)=(ZI,%),即尸(ZW),所以G户=(J(U-1),设直线GP与直线AG所成角为6,所以当)=-g=t时CoSe取得最大值为耳.厂飞12222XJ-2×i÷l【典例2】(2023上吉林高二东北师大附中校考阶段练习)若三棱锥A-BCQ中，ABlAC,BCLBD.AB=AC=AD=BQ=L点E为8C中点，点尸在棱A。上(包括端点)，则异面直线AE与O'所成的角的余弦值的取值范围是.【答案】【详解】因为AB=AC=AD=B0=1,所以NBAO=E,3又A8上AC,所以8C=0,因为点E为8。中点，所以AE=LBC=正,22又因为BC工BD,所以CZ）=L所以 COSNC40 =AC2 +AD2-CD22ACAD记AB=,AC=/?,AZ)=c,AF=e(02l),贝IJAE=g(d+b),C=/le-，因为4b=0,ci=-,be=-',22所以AECb=g(+Z(>IC)=；(41一上”+4万年一2)=一；，ICH=Juc町=y2c2-2bc+b2=22+l»记异面直线AE与CT所成的角为6,因为0W/IW1,所以i(zl+L+-3,所以述cos6也.I2j462【专训11】（2023上.山东.高二校联考阶段练习）在正方体ABCQ-A4G。中，M为线段4。的中点，N为线段AB上的动点,则直线AS1与MN所成角的正弦值的最小值为.【答案】1633【详解】设正方体A68-ABCa的棱长为2,以点A为坐标原点，AM、AA、A4所在直线分别为X、y、Z轴建立如卜.图所示的空间直角坐标系,设点N(Z(M),其中0442,易得A(0,0,2)B1(2,0,0),M(2,1,1),1MV所以，卜 OS（AH,MN，=MZV=(A-Z-KA-I)tABt=(2,0,-2),号HMM22(-2)2+l+(-l)211Yg一6"6=2卜|常，当=T时，卜OS（A综MN）I取得最大值七=日，此时，直线48JjMN所成角的正弦值的最小值为J11号、=9.故答案为：运3【专训12】（2023上河南高二长葛市第二高级中学校联考开学考试）在三棱锥P-A8C中，底面ABC为正三角形，PAj_平面ABC,PA=AB,G为AQAC的外心，。为直线8C上的一动点，设直线4）与8G所成的角为。，则。的取值范围为.【答案】翳OZ【详解】不妨设Z¾=A8=2,以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系ADz,z，、B则A(0,0,(),b(61,o),C(O,2,O),P(0,0,2),由题意得G为尸C的中点，所以G(OJ1).设CD=IC8,R.得CT)=义(6,1,0)=(6/1,4(),则AO=AC+CZ)=(0,2,0)+(技,一40)=(&,2-2,0),因为BG=卜I0,1),所以cos2 =AD BG<MM>- 332y32+(2-9216(2-2 + 1)当=。时，COSe=o.当o时,得0<cos2综上，0cos6*,由*0,|得套6.故答案为：OZ【考试题型3】已知线线角求参数【解题方法】向量法【典例1】（2022下.江苏常州.高二校考期末）如图，在正三棱柱ABC-A内G中，AB=AA1=2.E,/分别是8C、Aq的中点.设。是线段8C上的（多举两个附卓）动点,当直线80与M所成角的余弦值为普，则线段BD的长为.则科二#g,2),8O=(V+1,2),设直线80与石尸所成角为。r+1.所以CoSe=EFBD=乙1=幽，KP23r+14r-37=0,IEflBOl5(+l)2+44解得1=1或，=一段(舍去)，所以W4=*7dF=2j,故答案为：2【专训11】(2022下江苏常州高二校联考期中)如图，在直三棱柱ABe中，NAAC=90,AA=Ag=AG=4,点E是棱CG上一点，且异面直线AB与AE所成角的余弦值为我，则GE的长10为.【答案】1【详解】设C=ICC,则A2=A8-A<,AE=AC+cE=4C+/ICC=aC+4A41,1B=42,AE=16+162,1BAE=(AB-A41)(AC+2A41)=-16.CW4)湍二&，因为异面立线AB与AE所成角的余弦值为逑，所以/',=婆102+22W解得4=,所以GE=L4考点清单03直线与平面所成角【考试题型1直线与平面所成角(定值)【解题方法】向量法，法向量【典例1】(2023上高二课时练习)正方体ABCO-AACQ中，E,尸分别是Oc*8的中点，则4蜴与截面AiECF所成角的正切值为.【答案】2【详解】建立以A为原点，A4,AA,AA为X轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，设棱长为2,且注意到E,F分别是AG,AB的中点,从而AE=(120),A户=(l,0,2),A4'=(2,0,0),不妨设平面A1ECF的一个法向量为n=(x,)，,z),A1En=O(x+2y=0A尸=0'、x+2z=0令工二一2,解得y=z=l,则取平面AEC尸的一个法向量为=(-2Jl),设ABJj截面AEC户所成角为。，乂是锐角，从而cos0=JI-Sin20-=,tan0=Sinl=垃故答案为：屈.【典例2(2023上河北邯郸高二校联考期中)如图,在直三棱柱ABC-ABG中，"I=AB=AC=BC,。为qC的中点，E为AA的中点.求证：DE/平面ABC；(2)求直线。石与平面EBC所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；亘3【详解】(1)不妨设例=2,则A8=4C=2,8C=2&,有AC?+?1)=8。2,于是AC_LAB,即AGjA4，在直三棱柱ABC-A禺G中，AAL平面AMG，又AG,A4U平面AqG,则½11,c,以点A为坐标原点，A4,AiBifAG所在直线分别为X，y,Z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(0,0,0),42,0,0),E(1,O,O),C(2,0,2),B1(0,2,0),D(l,l,l),ED=(0,1,1),显然平面ABC的个法向量为AA=(2,0,0),因此AA0石二O,即平面A8C,又OEa平面A8C,所以OE/平面ABC(2)由(1)知G(0,0,2),EC1=(-1,0,2),EB1=(-1,2,0),nEC.=-x+2z=O设平面七片储的个法向量为n=(x,y,z),则,令x=2,得=(2,1,1),nEBi=-x+2y=O设直线DE与平面EBC所成角的大小为凡则sinO=cos,E。I=黑=胃=:,所以直线。E与平面E4G所成角的正弦值为追.3【专训1-1(2023上河南高二校联考期中)在如图所示的几何体八2-ABCO中，PQ!/CDPO_L平面ABC四边形ABC。是边长为4的正方形，PD=PQ=2f则直线A。与平面ACP所成角的正弦值为一.【答案】2O【详解】由题可得m“,8两两垂直，以。为原点，以DADGoP所在直线为X,MZ轴建立空间直角坐标系，则A(4,0,0),C(0,4,0),P(0,0,2),0(0,2,2),则AQ=(-4,2,2),AC=(-4,4,0),AP=(-4,0,2)设平面ACP的一个法向量为=*,乂2),HAC=-4x+4y=0令x=l,则y =Lz =2,则" = (1,1,2),则nAP=-Ax+2Z=O设在线4Q与平面ACP所成角为6,则sin=卜OS(AQ,=1IzAQn26×66'故答案为：76【专训12】(2023上广东广州高二校联考期中)如图，在直三棱柱ABC-A&C中，ABJ.AC,AB=AC=2AA/,点、M,N分别为A8和AC'的中点.(1)证明：MN平面Az(X*；(2)求直线A,N与平面CMN所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析如3【详解】(1)如图所示：以AH,4C,A'为'Kz轴建立空间直角坐标系，设A4，=应,B12,0网,C'(,2,),故FU中点N(I,应卜n=(1,0,0)是平面ACCA的一个法向量，则丽5= 0,1,0,0)=0,又MNU平面ACCA,故MN，平面AACC.(2)A,(,2),C(0,2,0),AW=(1,1,0),设平面CMN的法向量为m = （x,y,z）,则,CMm=x-2y+Z=OCNm=X-y+y2z-0取z=,得到机=卜3,-1,应）,则直线AN与平面CMN所成角的正弦值为:ArNn63 .【考试题型2】直线与平面所成角（最值或范围）【解题方法】向量法，法向量，二次函数，基本不等式【典例1】（2022下江苏淮安高二马坝高中校考期中）在正方体ABC。-AGGR中，点。为线段8。的中点.设点户在线段8耳（P不与8重合）上，直线OP与平面A"。所成的角为。，则Sina的最大值是.【答案】电3【详解】解：如图建系，不妨设正方体的棱长A8=2,A(0,0,2),8(2,0,0),D(0,2,0),A1B=(2,0,-2),BD=(-2,2,0),设平面AB。的法向量为"=(x,y,z),ABm=O2x-2z=0（z=x如=0=。+2），二。八,令1,所以时（川），又0(1,1,。)，设P(2,OJ),则，w(O,2,所以OP=(I,TJ),_mp_t_12故Sma"而"=不孱了二万商一丁，当，=2时，等号成立，所以Sina的最大值是它.3故答案为：也.3【典例2】（2023上河南开封高二统考期中）如图，在四棱锥P-48C。中，APS平面ABC。，ABHCD,ADA.CD,CD=AD=AP=IAB=IiE为线段AP上一点，且C/7/平面8。£求AE的长；（2）F为线段CP上的动点，求直线。尸与平面3。E所成角正弦值的取值范围.2【答案】（I）AE=彳设 A£ = ，则 8(l,(),(),C(2,2,(),O(),2,(),P(),(),2),E(0,(),a).BD = (-1,2,0), BE = (T,0,a), CP = (-2,-2,2),设平面BDE的一个法向量为n =(x, y, z),BD 7 = -x + 2y = O则,取y = i,则平面8。E的一个法向量为 =|BE n =-X + az =022由 CP/平面 BoE,贝IJCP_L =-22-2l + 2 = Ona =，故 a3(2)户为线段 CP 上的动点，设 F(b,b,2-b), DF = (b,b-2,2-b),记。F与平面BDE所成角为,则sin= cos(n,DF)=百筋26 + 6-2 + 3(2-份414×72+20-2)2 i42-8Z> + 8 '时,AE=a=i其中四£2,又由（1）可知。=（2,1,3）.1）如图，分别以A8，AD » AP为X，y，z轴建立空间直角坐标系/Vxyz,对于函数S)=36-助+8为W(),2,注意到46)=3,-J+:则/在Og上递减，在件2上递增，则同"b)max"0)J.J得g<3b2-86+88=sin87，7，则百线QU与平面/"九所成角正弦值的取值范围是g，丝.【专训1-1】(2022高二单元测试)如图所示，在正方体48CoAECTX中，A8=3,M是侧面BCCR内的动点，满足AMj_8£>'，若AM与平面BCC74所成的角仇则tan。的最大值为.【答案】2【详解】解：如图，以0为原点建立空间直角坐标系，则A(3,O,O),B(3,3,O),Dr(O,O,3)，设M(X,3,力卜,y0,3),则AM=(X-3,3,y),BD>=(-3,-3,3)，因为AM_L3D'，所以AMB0=(r-3,3,y)(T-3,3)=-3(x-3)-9+3y=O,所以y=x,则M(X,3/),因为AB工平面3CC'b',所以ZAMB即为AM与平面BCC,B'所成角，即6=ZAMB.mltan6>=-=1=则BMgf+22-6x÷9>3所以当x=1时，tan。取得最大值JL故答案为：2.【专训12】（2023上湖南长沙高三湖南师大附中校考阶段练习）如图所示，已知三棱柱ABC-A4G的所有棱长均为1.（1）从下面中选择两个作为条件，证明另一个成立：BC=当；NABC为直角；平面ABC/平面A8BA.（2）设点尸是棱84上一点.在（1）中条件都成立的情况下，试确定点P的位置，使得直线Cp与平面AeGA所成的角最大.【答案】（1）证明见解析；（2）P是棱BBI上靠近3的四等分点.【详解】（1）如图，设点。是A3的中点，连接CR用。.Cl若选：由于AABC是等边三角形，故AB_LC0.由NA4。为直角，故A51_LBC：又AB"4故AB_LB0.因为BcCCD=C,BC,COu平面瓦。，于是AB工平面8。，因为gOU平面片C。，所以ABJL稣D.因为5g=l,8O=g,所以BQ=/U=号又BC=逝,。=走，B1ltB1C2=,D2+CD2,故/用。C=90°,即瓦。1.8.22又BIDtAB,ABCD=D,A8,CDu平面A6C,故瓦。1.平面ABC,而四。U平面ABBiAi,所以平面ABCI平面A8BA.若选：设点。是A8的中点，连接CR片。.由于二ABC是等边三角形，故A8_LCD.又平面MC/平面4阴&COu平面ABC,平面ABCC平面ABBiAi=AB,故SL平面ABBM.而OU平面A8MA，故CD工BQ,即N8QC=90。，所以旦£> = yBiC2-CD2又BBI=I,BD=；,故BBj=BQ?+BD',所以NBDg=90。，gpAB1B1D.结合AB,。，BIDCCD=D,3Q,CoU平面80。,又gCu平面及C因此ABJ.纥。.又ABA4,故A即4,8C为直角.若选：设点。是AB的中点，连接CR8Q,由于UmC是等边三角形，故ABj_8.由NA4。为直角，故AB、a.b、c；又ABAB1,故A8_LMC.因为BCCCD=C,gCCOu平面BC。，于是AB4平面BC。，因为BQU平面片CO,所以A8_LBQ.又因为平面ABC1平面488M,4。U平面ABgA1,平面ABCc平面ABqA=A5,所以BQ_L平面ABC.又CDu平面43C,所以BQ_LCD,即N8QC=90。.因为BBl=IID=；,所以=*.又CD=冬故Be=JBlD2+CD?=与+等=与.Vv77(2)以。为坐标原点建立如图空IuJ直角坐标系.,o,o Lbi点P是棱BBJ二一点,可设总=434,DB-DP=A(DB1-DB),故DP=ADBI+(IfDB设w=（x,y,z）是平面ACGA的法向量.AC-tn=AA1tn=/X31n(x,y,z)=-x-y=O(G10ly÷z=O22令X=1,可得y=6,z=-l,故加二（1,后-1）.设直线CP与平面ACGA所成的角为。,故Sine=Icos(w,CP)|=mCPImHCPl65Jl(l-)2+2分T+26可见当人;时，sin夕取最大值,此时点P是棱网上靠近8的四等分点.【考试题型3】直线与平面所成角（探索性问题）【解题方法】向量法，法向量【典例1（2023上浙江杭州高三统考期中）在四棱锥P-ABCO中，底面ABCD是直角梯形，NBAo=90。，AD/BC,AB=BC=a,AD=b（b>a）,fiPAlJgEABCD,PO与底面ABCz）成30。角，且PZ）=4PE求证：BE工PD；当直线PC与平面樨所成角的正弦值为萼时，求方的值.【答案】（1）证明见解析直线A4为X轴，直线AZ）为y轴建立坐标系.那么p（o,o端,D(O,O), C(,0), E(Oq号,A(,O,O).因为8E尸。=0，所以BE上PD，即BEJlQD（2）因为A3=（,0,0）,所以ABPQ=O,故AB_LPD，所以PDj_平面ABE,/J故平面ABE的法向量=Po=O也一下设直线PC与平面ABE所成角为夕，贝J:【典例2】（2023上广东广州高二广东广雅中学校考期中）在等腰梯形ABC。中,A8。,/84。=1,48=24。=2。=4,尸为48的中点，线段AC与。尸交于。点（如图）.将.48沿AC折起到ZXACO位置，使得平面ACZy_L平面ABC（如图）.Df求证：AD1LBC,（2）线段尸。上是否存在点。，使得C。与平面BC。'所成角的正弦值为玄？若存在，求出黑的值；若不8ID存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析存在爵W【详解】（1）连接PC,因为在梯形A3C。中，AB/ICD,AB=28=4,P为AB的中点，所以CD/AP,CD=AP,所以四边形AP