专题02空间向量研究距离、夹角问题（考点清单）（原卷版）.docx

专题02空间向量研究距离、夹角问题（考点串讲）目录一、思维导图2二、知识回归2三、典型例题讲与练3考点清单01点到平面距离4【考试题型1】利用空间向量求点面距4【考试题型2利用等体积法求点面距4考点清单02异面直线所成角5【考试题型11异面直线所成角5【考试题型2】异面直线所成角的最值或范围6【考试题型3】已知线线角求参数7考点清单03直线与平面所成角7【考试题型1】直线与平面所成角（定值）7【考试题型2】直线与平面所成角（最值或范围）8【考试题型31直线与平面所成角（探索性问题）9考点清单04两个平面所成角11【考试题型1】两个平面所成角（定值）11【考试题型2】两个平面所成角（最值或范围）12【考试题型3】两个平面所成角（探索性问题）13一、思维导图二、知识回归知识点Oh点到平面的距离如图，已知平面。的法向量为，/4是平面内的定点，P是平面。外一点.过点P作平面的垂线/,交平面a于点。，则是直线/的方向向量，且点P到平面a的距离就是AP在直线/上的投影向量QP的长度.PQ=|AP=I='P''nnn知识点02：用向量运算求两条直线所成角已知。，人为两异面直线，A,C与B,。分别是。，上的任意两点，。，b为所成的角为夕，则ACBDaCBDcos<AC,BD>=cos=cos<AC,BD>=j-.IACIlBOlIACH8。y知识点03：用向量运算求直线与平面所成角设直线/的方向向量为，平面a的法向量为，直线与平面所成的角为。，CI与U的角为少，则有COS0=猿彳Sine=Icose=上曲.（注意此公式中最后的形式是：Sine）知识点0%用向量运算求平面与平面的夹角若R4_La于A，PB工0于B，平面交/于E，则NAEB为二面角。一/一夕的平面角,ZAE8+ZAP8=180.若4%分别为面。，夕的法向量cosed/>=/L工COSe根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角;I1Il«2I若二面角为锐二面角（取正），则COSe=ICOS<4,%>1；若二面角为顿二面角（取负），则COSe=-ICoSVnI,%>|；三、典型例题讲与练考点清单Ol点到平面距离【考试题型1利用空间向量求点面距【典例1】（2023上广东佛山高二华南师大附中南海实验高中校考期中）如图，正方体ABcd-ABCA的棱长为2,E为线段。的中点，尸为线段B瓦的中点，则直线FG到平面ABIE的距离为.【典例2】（2023上四川绵阳高二绵阳中学校考阶段练习）已知正三棱柱A8C-A4G的所有棱长均为2,D为线段CG上的动点，则A到平面AiBD的最大距离为.【专训11】（2023上广东深圳高二校考阶段练习）在三棱锥P-ABC中，PC_L底面ABC.ZBAC=90.AB=AC=4,ZPBC=45,则点C到平面QAB的距离是.【专训l-2（2023上安徽高二合肥一中校联考阶段练习）如图，四棱锥P-ABCD中，平面PBC/平面A8CO,底面ABCo是边长为2的正方形，JPBC是等边三角形，M,N分别为AB和PC的中点，则平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值为.【考试题型2】利用等体积法求点面距【解题方法】等体积法【典例1】（2023上上海高二校考期中）已知三棱锥尸-A8C,¼=P8=LPC=日且24、PB、PC两两垂宜，则点尸到平面ABC的距离为.【典例2】（2023上山西大同高二统考期中）在长方体A8CO-A4CQ中，OA=2D4=2OC=2,E,尸分别是棱AB,CG上的动点（不含端点），且AE=C尸，则三棱锥A-。E尸体积的取值范围是.【专训11】（2023上山东高二校联考期中）将边长为2的等边乂BC沿BC边中线A。折起得到三棱锥A-BCD,当所得三棱锥体积最大时，点。到平面ABC的距离为.【专训l2（2023上重庆九龙坡高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱ABC-AxBxCx中，AAl=AB=AC=BC=It点。是AC的中点，则点与到平面A/。的距离是.78、/I考点清单02异面直线所成角【考试题型1异面直线所成角【解题方法】向量法【典例1】（2023上上海高二校考期中）正四棱锥P-ABC。的侧面BAB是等边三角形，E为PC的中点,则异面直线BE和PA所成角的余尊僮为.【典例2（2023上四川成都高二校考阶段练习）如图，一个结晶体的形状为平行六面体A8CZ）-A4GA，其中，以顶点A为端点的三条梭长均为6,且它们彼此的夹角都是60.则BA与AC所成角的余弦值为DC12【专训11】（2023上上海高二校考期中）如图，在正四面体中，CE=-CD,则异面直线A石与30所成角的余弦值为.【专训12】（2023上浙江金华高二校考阶段练习）如图，己知三棱锥A-88中，8C_L8。ABC和zM8O都是边长为2的正三角形,点E,尸分别是43,CO的中点.那么异面直线4尸和CE所成角的余弦值等于.【考试题型2】异面直线所成角的最值或范围【解题方法】向量法【典例U（2023上河北张家口高二校联考阶段练习）如图，在正方体A8CD-ABCA中，点尸在线段4。上运动，则直线GP与直线AG所成角的余弦值的最大值为.【典例2】（2023上吉林高二东北师大附中校考阶段练习）若三棱锥A-BCO中，ABlAC,BCLBD,AB=AC=AD=BD=I,点E为BC中点，点尸在棱A。上（包括端点），则异面宜线AE与C厂所成的角的余弦值的取值范围是.【专训11】（2023上山东高二校联考阶段练习）在正方体A8CD-AqCQ中，M为线段4。的中点，N为线段AiB上的动点，则直线ABl与MN所成角的正弦值的最小值为.【专训12】（2023上河南高二长葛市第二高级中学校联考开学考试）在三棱锥P-ABC中，底面ABC为正三角形，PA_L平面A3C,PA=AB,G为APAC的外心，。为直线BC上的一动点，设直线AD与BG所成的角为凡则6的取值范围为【考试题型3】已知线线角求参数【解题方法】向量法【典例1】（2022下江苏常州高二校考期末）如图，在正三棱柱ABC-AI片£中，AB=AAi=2.E.尸分别是8C、AG的中点.设。是线段4G上的（包括两个端点）动点，当直线8。与仃所成角的余弦值为巫，则线段8。的长为.【专训11】（2022下江苏常州高二校联考期中）如图，在直三棱柱ABC-A与G中，NRAC=90,AAI=Aq=AG=4,点E是棱CG上一点，且异面直线Ab与AE所成角的余弦值为笔，则GE的长为.考点清单03直线与平面所成角【考试题型H直线与平面所成角（定值）【解题方法】向量法，法向量【典例1】（2023上高二课时练习）正方体ABCZ）-48CR中，E,尸分别是48的中点，则A声与截面AxECF所成角的正切值为.【典例2（2023上河北邯郸高二校联考期中）如图,在直三棱柱ABC-AiBC，AA1=AB=AC=-BC,。为BC的中点，E为AA的中点.求证：QE/平面ABC；（2）求直线OE与平面EB1C1所成角的正弦值.【专训1-1*2023上河南高二校联考期中）在如图所示的几何体PQ-ABC。中，PQ。/。，平面人歌。,四边形ABCO是边长为4的正方形，PD=PQ=2,则直线A。与平面Ab所成角的正弦值为一.【专训12】（2023上广东广州高二校联考期中）如图，在直三棱柱ABC-AEC中，ABlAC,AB=AC=JLvT,点M,N分别为AB和BC的中点.（1）证明：MN平面AACC；（2）求直线A,N与平面CMN所成角的正弦值.【考试题型2】直线与平面所成角（最值或范围）【解题方法】向量法，法向量，二次函数，基本不等式【典例1】（2022下.江苏淮安高二马坝高中校考期中）在正方体ABCQ-AAGA中，点。为线段8。的中点.设点尸在线段88（P不与8重合）上，直线Op与平面48。所成的角为。，则Sina的最大值是.【典例2】（2023上河南开封高二统考期中）如图，在四棱锥P-ABCfPt*,APS平面ABC。，ABHCD,AD±CD,CD=AD=AP=2AB=2fE为线段AP上一点，且CP平面3QE.求AE的长；（2）广为线段CP上的动点，求直线。与平面双出所成角正弦值的取值范围.【专训11】（2022高二单元测试）如图所示，在正方体ABCOAB'CTy中，AB=3,M是侧面BCCH内的动点，满足AM_L8。'，若AM与平面8CC"8所成的角。，则tan。的最大值为.【专训12】（2023上湖南长沙高三湖南师大附中校考阶段练习）如图所示，已知三棱柱ABC-AqG的所有棱长均为1.（1）从下面中选择两个作为条件，证明另一个成立；B、C=冬NABC为直角；平面AeCS平面48用A.（2）设点尸是棱BBl上一点.在（1）中条件都成立的情况下，试确定点尸的位置，使得直线CP与平面ACGA所成的角最大.【考试题型3】直线与平面所成角（探索性问题）【解题方法】向量法，法向量【典例1】（2023上浙江杭州高三统考期中）在四棱锥尸-ABS中，底面48CO是直角梯形，/840=90。，AD/BCtAB=BC=a,AD=b(b>a),KE4ACD,PO与底面ABCD成30°角，且尸f>=4PE（2）当直线PC与平面ME所成角的正弦值为迎时，求:的值.4b【典例2】（2023上广东广州高二广东广雅中学校考期中）在等腰梯形ABCQ中，A8CaN84。=1,48=24。=2。=4,2为48的中点，线段AC与OP交于。点（如图）.将AACz）沿AC折起到“CO位置，使得平面AC。_L平面ABC（如图）.（2）线段尸。上是否存在点。，使得C。与平面BS所成角的正弦值为玄？若存在，求出黑的值；若不存在，请说明理由.【专训7】（2023上上海高二校考期中）在正方体48Cz）-A4CQ中，求：（1）二面角C-Aq-G的大小（2）点M在棱Cz）上，若AM与平面所成角的正弦值为噜，判断点M位置并说明理由【专训12】（2023上宁夏吴忠高二吴忠中学校考期中）在直角梯形ABCD中，AD/BCfBC=2AD=2AI3=2j2NABC=90。，如图把AABZ）沿Bo翻折，使得平面A8Z）_L平面BCQ（如图）.(I)求证：CD1B;（2）在线段8C上是否存在点N,使得AN与平面ACO所成的角为60。？若存在，求出空的值；若不存在,请说明理由.考点清单04两个平面所成角【考试题型H两个平面所成角（定值）【解题方法】向量法，法向量【典例1】（2023上广东佛山高二佛山市南海区桂城中学校考阶段练习）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架A3CQ,AB斯的边长都是1,且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M,N分别在正方形对角线AC和M上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM=BN=当MN的长最小时，平面MNA与平面MNB夹角的正弦值为.【典例2】（2024上.重庆沙坪坝.高三重庆八中校考阶段练习）如图，已知四边形AcDE是直角梯形，且EDUAC,平面ACz）Ej_平面ABC,ABAC=ZACD=90,AB=AC=AE=2fED=ABf尸是Be的中点.（2）求平面E8。与平面ABC所成角的余弦值.【专训11】（2023全国高二课堂例题）已知在三棱锥。-ABC中，NACB=NABO=90。，CA=CB,N84D=30。.若点C在平面48。上的射影恰好在AO上，则二面角C-AB-。的平面角的正弦值大小为【专训12】（2024上江西南昌高三统考开学考试）如图，在三棱锥尸-ABC中，ABlBC,M,N分别为AC,AB的中点，PM±AB.(1)求证：ABlPNi(2)若A8=8C=2,BP=PM=3,求二面角NPM8的余弦值.【考试题型2】两个平面所成角（最值或范围）【解题方法】向量法，法向量，二次函数，基本不等式【典例1*2022下四川绵阳高二统考期末）在三棱锥尸-ABC中，面EACLfA6C,NEAC=ZABC=90。，PA=BC,PB=AC,E是AB的中点.设标=4,若4e2,3,则二面角3-尸C-E的余弦值的范围为（）3ioD"bF匠彳C7iot5io4434【典例2】（2023上辽宁高二校联考阶段练习）在四棱锥P-A8C力中，底面ABC。是边长为2的正方形,2E是BC的中点，点尸在棱AD上，且¾"L4),cosZPAE=-,pa=5.PBEC（1）若平面PAAc平面Pa）=/,证明：/平面ABa）；（2）求平面尸所与平面PCQ的夹角的余弦值的最大值.【专训11】（2023上湖北武汉高二华中师大一附中校考阶段练习）如图，在三棱柱ABC-AgG中，底面是边长为2的等边三角形，CC,=2,。，E分别是线段AC,CG的中点，Cl在平面ABC内的射影为Q.若点F为线段4G上的动点（不包括端点），锐二面角尸-8。-石余弦值的取值范围为.B【专训12】（2023上陕西咸阳高二咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，在三棱柱ABC-AgJ中，棱AeCG的中点分别为RE,G在平面A8C内的射影为。，tlBC是边长为2的等边三角形，且AAI=2,点尸在棱片G上运动（包括端点）.请建立适当的空间直角坐标系，解答下列问题：（1）若点尸为棱BiCl的中点，求点尸到平面BDE的距离.（2）求锐二面角尸-如-七的余弦值的取值范围.【考试题型31两个平面所成角（探索性问题）【解题方法】向量法，法向量【典例1】（2023上江苏无锡高二江苏省太湖高级中学校考期中）如图，在四棱锥P-ABCO中，PAl.平面A3CQ,ADBCtADLCD,且AZ）=CO=2,BC=42,PA=2./z->N*<<BC求证：ABLPC；(2)在线段PZ)上，是否存在一点M,使得平面MAC与平面PBC所成角的大小为30。，如果存在，求万万的值，如果不存在，请说明理由.【典例2(2023上浙江温州高二校联考期中)如图,在三棱锥S-ABC中，面SA3J_面ABC,AB1BCASAB为等腰直角三角形，ZASB=90o,2AB=BC=ZE为线段SB上一动点.(1)若点E为线段SB的三等分点(靠近点S),求点3到平面ACE的距离；(2)线段SB上是否存在点E(不与点S、点8重合)，使得直线跖与平面ACE的所成角的余弦值为叵.若11存在，请确定E点位置并证明；若不存在，请说明理由.【专训11】(2023上河北石家庄高二石家庄二中校考阶段练习)如图，在平面五边形A88E中，四边形488为直角梯形，?B90?且AD/3C,如果已知AO=28C=2,AB=0VAoE是以AD为斜边的等腰直角三角形，现将VAOE沿AO折起，连接EB,EC得图所示的几何体.图图(I)若点M是E。的中点，求证：CM平面48E；(2)若EC=2,在棱EB上是否存在点F,使得二面角E-AD-尸的大小为60。？若存在，求出点F的位置,并求出此时直线。尸与平面BCE夹角的正弦值；若不存在，请说明理由.【专训12】(2023上浙江湖州高二吴兴高级中学校考阶段练习)在三棱柱ABC-ABC中，侧面正方形BBCC的中心为点M,AML平面且BBl=¢,48=#,点E满足AE=2AG(OW241)求点C到平面AqG的距离；若平面ABC与平面印的夹角的正弦值为亭，求4的值.