专题06椭圆、双曲线、抛物线（含直线与圆锥曲线的位置关系）（考点清单）（解析版）.docx

专题06椭圆、双曲线、抛物线（含直线与圆锥曲线的位置关系）（考点清单）目录一、思维导图2二、知识回归2三、典型例题讲与练4考点清单Oh直线与圆锥曲线的位置关系4【考试题型D直线与圆锥曲线的位置关系的判断4【考试题型2】根据直线与圆锥曲线的位置关系求参数6考点清单02：中点弦问题8【考试题型D中点弦问题8【考试题型2】中点弦问题10考点清单03：弦长（椭圆、双曲线）13【考试题型D求弦长（定值）13【考试题型2】求弦长（最值或范围）16【考试题型3】根据弦长求参数18考点清单04：弦长（抛物线）21【考试题型U抛物线非焦点弦问题21【考试题型2】抛物线焦点弦问题23考点清单05：圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题25【考试题型D圆锥曲线中的三角形（四边形）面积（定值问题）25【考试题型2】圆锥曲线中的三角形（四边形）面积（最值或范围问题）28考点清单06：圆锥曲线中的向量问题32【考试题型D圆锥曲线中的向量问题32考点清单07：圆锥曲线中的定点问题35【考试题型D圆锥曲线中的定点问题35考点清单08：圆锥曲线中的定值问题37【考试题型D圆锥曲线中的定值问题37考点清单0%圆锥曲线中的定直线问题40【考试题型D圆锥曲线中的定直线问题40一、思维导图弦长二、知识回归知识点OL相交弦中点(点差法)：直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。主要有以下几种问题：(1)求中点坐标；(2)求中点轨迹方程；(3)求直线方程；(4)求曲线；,pwz、1+2y+y>中点M(Xo,>),=-2>y0=2知识点02t点差法：设直线和曲线的两个交点A(X,%),B(X,为)，代入椭圆方程，得M+卷=1;+=l;a-b-ab将两式相减，可得三+勺Jo；4上，2=_值+2最后整理得:。2(凹+%)也一%)Z72(xi+x2)(x1-2)2/、/、2同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：1n1=-b-(xl+x2)(x1-x2)b-x0设直线和曲线的两个交点A(%,y),B(x2,y2),代入抛物线方程，得y2=2vy=2px2;将两式相减，可得(m-%)(M+%)=2p(x-m);整理得：上二1=3一司一期y+%知识点03：弦长公式A8=J(Xl-工2)2+(%一%)21.4=7(l+k2)U1-X2)2=1÷2x1-x2=(l+2)(x,+x2)2-4xix2(最常用公式，使用频率最高)M+ %)2 -4Xy2知识点04：三角形面积问题直线AB方程：y = kx + m,1 kxn - yn + md = PH = °. 1 117FSjIM"百当恒/利=酶件网AA 阱 2l 12" IAI I7F2Al知识点05：焦点三角形的面积直线AB过焦点八,ABK的面积为SSBf、=；恒用)L 囚=中'%| =需JS/dA?+/。2)ICl a2A2-ib2B2 A2 + B2_+从82-，242 a2A2 +b1B1注意：a，为联立消去X后关于y的一元二次方程的二次项系数知识点06：平行四边形的面积直线A8为)，=依+小，直线CD为丁 =履+祖21481=1+21-X2=>J+k2y(xi+x2)2-4x12=1+2J(-；)2-4-=含YAAIAlS3i=g*=5注意：a，为直线与椭圆联立后消去y后的一元二次方程的系数.知识点07：探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值。常考题型：与面积有关的定值问题；与角度有关的定值问题；与比值有关的定值问题；与参数有关的定值问题；与斜率有关的定值问题三、典型例题讲与练考点清单01：直线与圆锥曲线的位置关系【考试题型11直线与圆锥曲线的位置关系的判断【解题方法】联立+判别法【典例1】（2022上黑龙江哈尔滨高二哈尔滨七十三中校考期中）双曲线£一？=1与直线942y=-j+w（meR）的公共点的个数为（）A.0B.1C.0或1D.0或1或2【答案】Cfv22【详解】因为双曲线土-匕=1的渐近线方程为y=±：x,9432所以，当?=O时，直线Ly=-+m与渐近线重合，此时直线/与双曲线无交点；当m0时，直线/与渐近线平行，此时直线/与双曲线有个交点.故选：C【典例2】(2。23上高二课时练习)对不同的实数讨论直线/："»，与椭圆。(十丁=1的公共点的个数.【答案】答案见解析【详解】由y=x+mX2,7消去了并整理得5/+8Lr+4Mi一4=0,+)广=1(2),4'此方程的实数解的个数由它的判别式决定，4=(8m)2-45x(4l-4)=16(5-m2),当-有机正时，(),方程行两个不相等的实数根，代入方程可得到两个不同的公共点坐标，此时直线/与椭圆有两个公共点，即它们相交.当利=-6或/W=百时，A=O,方程有两个相等的实数根，代入方程得到一个公共点坐标，此时直线/与椭圆有一个公共点，它们在这一点相切.当m-有或m有时，(),方程没有实数根，此时直线/与椭圆没有公共点，即它们相离.综上，可得：当-小m小时,直线，与椭圆有两个公共点；当切=-正或?=有时，直线/与椭圆有一个公共点；当加-6或有时，直线/与椭圆没有公共点.2专训Ll(2023上辽宁大连高二大连二十四中校考期中)己知椭圆U三+V=1,直线/“_2)，+&=0,4则/与C的位置关系为()A,相交B.相切C.相离D.以上选项都不对【答案】A【详解】由卜消去并整理得：+2-l=0,显然=(应)2-4xlx(-1)=60,+4y=4因此方程组卜2：忘。有两个不同的解，Jr+4y=4所以，与C相交.故选：A【专训12】(2023上高二课时练习)已知抛物线Uy2=2x,直线/过定点(0,-2).讨论直线/与抛物线的公共点的情况.【答案】答案见解析详若直线/斜率不存在，此时/为y轴，与抛物线有艮仅仃一个交点(o,o);若直线/的斜率存在，记为k,则可设直线/的方程为：y=kx-2t由一2得：22-(4+2)x÷4=0:y=2x当&=O时，x2-(4+2)x+4=-2x+4=0,解得：x=2,此时y=-2,，直线/与抛物线有且仅有一个公共点(2,-2)当A0时，方程-f-(4k+2)x+4=0的判别式A=(4A+2)2-16F=i6A+4;若AvO,即4<-；，方程F?一(软+2)x+4=0无实根，则真线/与抛物线无交点；若A=。，即左=5，方程公/-(4k+2)x+4=0有两个相等实根，则百线/与抛物线相切，有且仅有一个公共点；若A>0,即2>-；艮&¥0时，方程i-(4Z+2)x+4=0有两个不等实根，则直线/与抛物线有两个不同交点；综上所述：节直线/斜率不存在或直线/斜率欠=0或-!时，直线/与抛物线有且仅有个公共点；当直线/斜率Av一时，直戊/与抛物线无公共点；当直线/斜率Q-LfUwO时，直线/与抛物线仃两个公共点.44【考试题型2根据直线与圆锥曲线的位置关系求参数【解题方法】联立+判别法【典例1(2023上黑龙江哈尔滨高二哈尔滨三中校考期中)已知双曲线F:/-/=1,直线Ly=+l,若直线/与双曲线E的两个交点分别在双曲线的两支上，则k的取值范围是()A.k<-ik>-33C.k<y3k>y/3【答案】BR 33D .< K <33D. 3 < k < /3【详解】由；二擞；：3消去y并整理得：（1一3公）/一66一6=O,由直线/与双曲线E的两个交点分别在双曲线的两支上,1-32O得，A=36k2-24(322-l)>O,解得_3<%<立,33所以女的取值范围是-正女立.33故选：B【典例2（2023上上海宝山高二上海交大附中校考期中）若直线），=丘T与椭圆江+片=1恒有公共点,5m则实数m的取值范围是.【答案】相1且相。5【详解】由直线y=履-1,则可知其过定点（0,-1）,易知当该点在椭圆内或椭圆上时，宜线与椭圆恒有公共点，iM,则J5m，解得"zl且m工5.m5故答案为：ml且m5【专训”2023上高二课时练习）若直线一以与椭圆有唯一公共点，则实数w一【答案】±32y=2x+m【详解】直线/的方程与椭圆C的方程联立但/.T+T消去y,得9x2+Sntx+Im2-4=0.方程的判别式A=（8m）2-4乂9、（24一4）二一8渥+144.因为直线/与椭圆C有唯公共点.则A=O,解得n=±3j故答案为：±32【专训12】（2023下上海长宁高二校考期中）已知直线y=0x-l与曲线/-V=2只有一个公共点，求实数。的值;【答案】±,±-.2V=ClX-Izx22)=(-2片+2加3=0,X-y=2'7当1一/=0即。=±1时，方程是一元.次方程，有唯一解;当1-2工0时，方程为一元二次方程，方程有唯一解时，=4cf2-4×(l-6r2)×(-3)=12-8a2=0,解得=±如，2故直线.y=atT与曲线/-丁=2只有一个公共点时，。的值为±,土且.2I考点清单02：中点弦问题【考试题型1】中点弦问题【解题方法】点差法【典例1】(2023上安徽芜湖高二安徽师范大学附属中学校考期中)已知A,8是椭圆E：£+.=1上的164两点，点P(-2,l)是线段AB的中点，则直线AB的方程为()A.x-2y+4=0B.x-y+3=0C.2x-y÷5=0D.x-4+6=0【答案】A【详解】设AQ,y),B(x2,J2),则AB的中点坐标为(上1上,入尹),- -2214 2& 4作差可得五井+工 16所以笥上=_2,七&=1,将A,8的坐标代入椭圆的方程,所以Z=.lx±=lX-X2422所以直线A8的方程为y-l=；(x+2),即x-2y+4=0.故选:A.【典例2】（2023上宁夏高二六盘山高级中学校考期中）已知A8为抛物线V=2上的两点，且线段AB中点的纵坐标为2,则直线AB的斜率为.【答案】I/0.5【详解】由题意，AB为抛物线y2=2%上的两点，旦线段AB中点的纵坐标为2,设A（X,）,B（再，%），线段AB中点为。，Y+%=2x2=4,<l）,2=2x2尤一员=（y-必）（X+片）=4（y%）=2（%-9）即75=7=1Ai一人7/,直线AB的斜率为：；故答案为：T【专训11】（2023上广西玉林高二校联考阶段练习）已知椭圆U+!=l,过点尸的直线与椭6222J圆C交于A,8两点，且满足P4+PB=O，则直线AB的斜率为.【答案】-1【详解】因为弓尸+弓尸_1<，则？（:，当在椭圆内，可知出线A6与椭圆总有两个交点，622z2因为P4+P3=0,即点P为线段AA的中点，设A（K,y）,y2）,显然XlWX2，则%+%=1，y+%=3,- -22L6 2A6+ +2x1-2 ,三22K-6£+则3（%+%）（占一%）+（必+乂）（必一）1）=。,即（-）+（%-）=°，所以为二"=T,即直线A8的斜率A=1,x2xi故答案为：-1【专训1-2(2023上江苏盐城高二盐城市大丰区新丰中学校联考期中)双曲线C：J-21=l(a>0>0)的渐近线方程为y=±,一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求C的方程；(2)是否存在直线/,经过点M(l,4)且与双曲线C于A,B两点,M为线段A8的中点，若存在，求/的方程；若不存在，说明理由.【答案】V-9=1(2)存在,x-4y+15=0.【详解】令力= 0=> y = ±- a所以2 = 1，a又由题意可知双曲线的焦点(Go)到渐近线的距离d=卡=1=。2=2=2+从=/=从=1,所以双曲线的标准方程为：X2-/=h(2)假设存在,由题意知：该直线的斜率存在，设A(X2J,8(9，%)，直线/的斜率为A，则+2=2,J1+y2=8,又有-K=l,22-=1,两式相减得K-X2-：=0，即(乂+必)(y-必)=(x+W)(%-%2)即"g,LW=,所以必=1,解得&=；,(x1+x2)(x1-x2)4所以直线/的方程为>-4=4(1-1),即x4y+15=0,4(x-4y+5=0联立直线与双曲线方程，1得："旷=1(4y-15)2-y2-l=15/-120y+224=0=>=1202-60×224=60×(240-224)>0,即直线*-4y+15=0与双曲线C有两个交点，满足条件，所以存在直线/,其方程为x-4y+15=0.【考试题型2中点弦问题【解题方法】韦达定理法【典例1】(2022上.浙江.高三诸暨中学校联考阶段练习)已知点A(0,1),8(0,T),直线AM与直线加的斜率之积为小求点M的轨迹方程；(2)点N是轨迹上的动点，直线A8N斜率分别为占，为满足4：&=3:1,求MN中点横坐标方的取值范围.【答案】二+V=I(除去点(0,±l)4Q)XU£一：$【详解】(1)解：设M(x,y),因为直线AM与直线的斜率之积为-，所以T江1=-!，可得4XX4+y2=l(x0).4所以点M的轨迹方程为工+V=I(除去点(O,±l).4(2)解：设直线MN的方程为丁=履+，M(x,y),N(x2,y2)t区r-1由消去y得：(1+42)+8x+4(2-1)=0(*),y=kx+t,宙”一8K4(/2-1)所以"+W=/''N'由(1)知：kAMArftw=-,kANBN=.；，工；=-41。八442h=YkkAN=_4Azl.zl=_4(g+D-k2xlx2xlx24-(/一1),一8后(-1),2zlk2xix2+k(t-l)(x1+x2)+(r-1)2_y1+4k21+45+4k2得，=-：,此时方程(*)有两个不同的实根，符合题意.2X÷x2-4kt2k,Il1xa=-j-=r=I1.为21+4/1+4222【典例2】(2023上高二课时练习)过点A(6,l)作直线与双曲线/-4y2=16相交于8,C两点，且A为线段BC的中点，求这条直线的方程.【答案】3x-2y-16=0【详解】若过点A的直线的斜率不存在时，若点A为BC的中点，则点A必在X轴上，这与A(6,l)矛盾,当过百A的直线的斜率存在时，设该直线方程为y=M-6)+l,(-vl,y1),C(x2.yJ,联立方程X2-4y2=16y=Ar(x-6)+l消去y可得,(1-4A:2)x2+8A:(6A:-1)x-144A2+48A:-20=0,当1一4公=0时，=Mk2(6k-1)2-4(1-4A:2)(-1442+48A:-20)>O,整理为2072A+5>0恒成立,"Sk(6k-)1442-48Ai+20有=HLX"4J因为点A(6,l)是BC的中点，所以芭+%=的璋二D=I2,得女=)成立,4e-123所以所求直线方程为y=(x-6)+1,gp3x-2y-16=0.2【专训11】(2022高二课时练习)己知直线/"7+m=0与双曲线V-E=I交于不同的两点A,B,若2线段AB的中点在圆V+y2=5上，则机的值是.【答案】±1【详解】解：设点4(x,71),B(Xy2),线段AB的中点M(X°,%),x-y+w=0x,x2-2f11x-m2-2=0(判别式A>0),x1+x2=2m,.X0=m,yo=0+m=2m,.点Mg,%)在圆/+V=5上，则,/+(2m)2=5,故m=±l.故答案为：±12【专训12】(2022高二课时练习)已知双曲线±-y2=l,求过点A(3,1)且被点A平分的弦MN所在4直线的方程.【答案】3x+4y-5=0.【详解】解法一由题意知宜线的斜率存在，故可设直线方程为y+l=A(-3),即y=kx3kty=kx-3k-由Y21消去A厂=1整理得(1一422)«+8收34+1求-36/2以一8=0.设M(x11>7),MX2，”),4k2.4(3,-1)为MN的中点,.X1+X72日弘（3攵+1）3-=3*即丽匚IT?,解得人一T当女=-7时，满足A>0,符合题意，435所求直线MN的方程为y=-+,44即3x+4y5=0.:考点清单03：弦长（椭圆、双曲线）【考试题型1】求弦长（定值）解题方法弦长公式A3=J（1+式）（为+/>一所用【典例1】（2023上江西赣州高二校联考期中）已知椭圆C：+-=1,直线/与椭圆C交于AB两点.124（1）若M,N是椭圆C的短轴顶点，4B与M,N不重合，求四边形AM8N面积的最大值；（2）若直线/的方程为X=g，+1,求弦AB的长（结果用用表示）.【答案】（1）86：）2石,4/+15/+11m2+3【详解】（1）设椭圆的半长轴、半短轴长分别为。、b,则=J3=2Q=2,MN=4,设AB的横坐标分别为：4,与，则/,4w-2>,2易知四边形AMBN面积为S=S.N+Sbmn=MNx-xli=2x-xb,显然-XbLx=4历，当AB分别为椭圆左右顶点时取得最大值，此时四边形AMBN面积最大值为8J:,-+=1（2）设4（Xpy）,8（w,%）,将直线/方程与椭圆方程联立124，X=my+1消X得"+3）/+2阳-11=0,1.LIr2m11所以y+%=一-=，My2=一-0，/n+3m+3由弦长公式可知4B=Jm2+1J（y+丫2）2-4），防=2*4"i+15m+11【典例2】(2022上湖北武汉高二武汉市第十七中学校联考期中)已知双曲线C的焦点在X轴上，焦距为4,且它的一条渐近线方程为y=*.求C的标准方程；若直线/：y=；xl与双曲线C交于4,B两点，求A8.2【答案】二一y2=3IoG【详解】因为焦点在X轴上，设双曲线C的标准方程为/-g=l(>0*>0),由题意得2c=4,所以c=2,又双曲线。的一条渐近线为y=等X,所以2=3，a3又H+/.,联立上述式子解得4=6，b=l,故所求方程为V='(2)设A(X,y),8*2，%)，联立y=2-i12，整理得了V+3X6=0,43由A=3-4Xd)X(-6)=15>0,4所以X+Z=-12,X1X2=-24,即1481=Jl+k2.y(x1+x2)2-4x1x2【专训1D(2023上四川乐山高二统考期末)已知双曲线工-E=l(>0)的左焦点为耳(一3,0),过点Ea6作倾斜角为150的直线交双曲线于AB两点.求。的值；(2)求MM【答案】(l)=邪>噂【详解】(1)6(T0),."+6=9,解得=±L4>0,.a=y3.(2)设直线方程为y=-*(x+3),Z_£=i联立方程，36,整理得5f-6x-27=0y=一当(工+3)【专训12】(2023上甘肃武威高二校考期中)已知椭圆的两焦点为4(T,0),g(l,O),P为椭圆上一点，且2FlF2PFl+PF2(1)求椭圆C的标准方程；(2)斜率为4=1的直线过椭圆。的右焦点，交椭圆48两点，求A8线段的长.【答案】工+5=143小24了【详解】(1)耳(-1,0),巴(1,0),.忻闻=2,IP用+P用=2恒用=4=Za=2.*.Z>2=£?2C2=3»所以椭圆C的标准方程为工+£=1.43(2)斜率为A=I的直线过椭圆C的右焦点6(1,0),所以直线方程为：y=-i,联立椭圆C的方程工+亡=1得：43匕+(1)=1，化简得：7x2-8x-8=0,43设 A(XQ),8(0)，则'8N+",8xx2=z-y故A=S+1J(X+/J-4XJ=【考试题型2】求弦长(最值或范围)【解题方法】AB=J(I+F)(X+2)2-4XlX2】【典例1】(2023上辽宁葫芦岛高二校联考期中)已知椭圆C:二+=l(a力0)的焦距为4,短轴长为ab2.(1)求C的长轴长：(2)若斜率为T的直线/交C于A,8两点，求IAeI的最大值.【答案】(1)2百巫32由(1)可知C的方程为1+V=设/：y=T+?，A(XPy),B(x2ty2).入21lFV=I,30,由J5,得6x-1Ontx+5m2-5=0>y=-x+m,由A=100W-4x6x(5加-5)>0,-6<zn<6.5m由韦达定理得%+/二彳， =5病一5则IA3=Ja-f）+（y-）=J（X_）2+（一+?+“2加）2=2×Ja+3丫4中2=2×手+岑当m=0时，A8取得最大值，口最大值为平.【专训1-1（2023上江苏无锡高二锡东高中校考期中）已知椭圆M:£+>l（a>b>0）焦距为2a，过点亭），斜率为2的直线/与椭圆有两个不同的交点A、B.（1）求椭圆"的方程：（2）若左=1,IM的最大值.2【答案】（D,+y2=«【详解】（1）解：由已知可得2c=2,则c=J,所以，椭圆M的两个焦点分别为耳（-夜,0）、s（2,）,则a->3»所以,b=>c-C2=J3-2=1.因此，椭圆M的方程为qy2=.（2）解：设直线”的方程为y=x+m,设点Aa,y）、8（再,%），联立y=x+m<2c2C可得4x2+6Ir+3w2-3=0,x+3y=3=36zw2-4×4×3(-l)=48-12>0,解得-2<w<2,由韦达定理可得M+/=-¥，NX,=1口24所以，IABI = JI + F . J(1 + )2 _4g = 0.-m2x2 = 6,当且仅当帆=O时，等号成立，故IAM的最大值为布.【考试题型31根据弦长求参数【解题方法】AB = J(I+F) (Xl +x2)2 -4xix2【典例1】(2022全国高二期中)已知双曲线CY2离心率为2,与双曲线£-/=1有相同的渐近线.3(1)选一个条件，求出双曲线的方程.(2)直线，与直线以-2)，-I = O平行，/被C截得的弦长为46，求直线/的方程.【答案】(I)X2_=1(2)4x-2y = O 或 4x-2>, + = 0.A = I过点(码，给出以下2个条件:解得仁;【详解】(1)解：若选，则e=£=2ac2=a2+b2所以双曲线C的方程为/-£=1；3若选，设双曲线方程为£一/=，依题意可得1-2=，即=-1,33所以双曲线C的方程为V-Zi=i;3(2)解：由题意设直线/的方程为4x-2>+m=0,Jx2-Z=I,联上,3,得4/+8犹+而+12=0.4x-2y+”?=O由=64w2-J6(+12)=48w2-I92>O,解得m<-2或6>2.设/交C于A(XI,y),BeW2)，则-r÷x2=-2机，X1X2=；12,.JABI=l+41x1-x2=y5y(xy+x2)2-4xlx2=有y4rr-(m2÷12)=4>5，解得加=±也.3直线/的方程为4x-2y-=O或4x-2y+2，=O.【典例2】(2023上山东荷泽高一统考期中)已知椭圆C的中心在原点，焦点在X轴上，长轴长为2,离心率为也.2(1)求椭圆C的方程；(2)设直线/的斜率为1,经过点M(V),且与椭圆C交于A,B两点,若IABI=半，求，值.【答案】三+丁=1(2)t=±i【详解】(1)设椭圆C的方程为*m=l(>b>0),所以2=25,£=立，解得=,c=i,a2所以b=ya2-C2=1»所以u'+y'Lx2_.(2)根据题意可得，5+v=',则3d+4笈+2(产-I)=0,y=+t1fi=-8r2+24>0,则又苔+W=一寺,WX2=,所以IABl=l+2yj(xl+x2)'-4xix2=y2×=竽'即16/一24(“-1)=16,则产=1，解得/=±1,经检验，符合题意.【专训11】(2023湖南益阳安化县第二中学校考三模)已知双曲线C：y-y2=l,若直线/的倾斜角为60°,且与双曲线C的右支交于M,N两点,与X轴交于点P,若IMM=乎，则点P的坐标为.【答案】(6,0)【详解】双曲线双曲线C：-y2=的渐近线方程为y=*,而直线/的倾斜角为60。，则直线/的斜率为J,可设直线/的方程为y=J5x+m,与双曲线方程5-9=1联立，化简可得82+6j5mx+3+3=0,由=108h2-32(3m2+3)=12w2-96>0,得加>22或加v-20.设MaQJ,N(Gy2)，则再+F=-1>0,MF=>0,48则nv,所以加一2五，IMNI=l+(3)x1-x2=2a(x1+x2)2-4xix2=2旧=3"-24=B解得：m=3(舍去)或根=一3,22所以直线/的方程为y=I"3,令y=0,可得x=J故点尸的坐标为(6,0).故答案为：(6,0).【专训12】(2023上广东广州高二校考期中)己知椭圆E：=+=l(>>0)的一个顶点为A(0,l),crb"焦距为2L(1)求椭圆上的方程；(2)过点尸(0,-2)作斜率为女的直线与椭圆E交于不同的两点8,C,且IBq=孚，求左的值.【答案】三+丁=14攵=±1【详解】(1)椭圆E的顶点为A(0,l),焦距为2L故6=Lc=>/3，.a=yb2+c2=2»椭圆E的方程为：÷y2=l;过点P(O,-2)作斜率为攵的直线方程为：y=kx-2ty=kx-2设见芭,y),C(%,%),联立Y,得：(l+4F)f6"+12=0,+y=114J=256-48(l+42)=642-48>0,解得卜<4或k>与,有韦达定理得：所以IBCl=J1+rJ+2)2-4XX2=J1+K+4k2VltKJ1IACD整理得：68-+9-_77=0，解得公=1或公=一(舍去)，=±1.考点清单04：弦长(抛物线)【考试题型11抛物线非焦点弦问题【解题方法AB=J(I+&?)(X+苍y-N9【典例1】(2023全国高一随堂练习)如图，直线y=%-2与抛物线V=2x相交于A,8两点.(1)求证：OA.OB(2)求IAM.【答案】(1)证明见解析(2)210【详解】(1)设A,A两点的坐标分别为,y),(w,%),由题意联立抛物线方程=2x与直线方程y=x-2tt-2(y+2)=0,整理得y2_2y-4=0,由韦达定理有yl+y2=2,yly2=-4,所以$+%=(%+2)+(%+2)=6,用电吟g=(H?)=4,所以OAOB=N再+y%=4+(-4)=0,所以OAJ。氏(2)由(I)可知再+%=6,%=4,又直线y=x-2的斜率为4=1,所以由弦长公式得14网=J(Xl-X21+(X-必)=Jl+公J(X+X2)2-4xv=逝X062-4x4=2>.【典例2】(2023全国模拟预测)抛物线具备有趣的光学性质：由焦点射出的光线经过抛物线反射后，会沿着平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线V=4x的焦点为F,AB为抛物线的过点尸的一条弦，若从点尸发出的光线分别在点A和点B反射后得到的两条平行直线之间的距离为5,则IABI=.25【答案】V【详解】由题意知F(LO),设Aa,y),8(a2,8),j1>y2,由两条平行直线之间的距离为5知y-必=5.易知A8的斜率不为0,设A8：x=my+i由匕十得)，2-4冲一4=0,y=4',+必=4，yiy2=-4t(yl-y2)2=(>,1+y2)"4>跖=16>-4x(-4)=16+16=25,33.zn=±,，人B的方程为x=±二y+l,44':IAM=l+w21-y2=Jl+j5=y.25故答案为：斗4【专训11】(2023下陕西西安高二校考开学考试)已知抛物线V=2后(>o)的准线方程是X=一；.(1)求抛物线的方程；(2)设直线y=Hx-2)(AwO)与抛物线相交于M,N两点,若IMNI=2加，求实数攵的值.【答案】(1)V=2%±1【详解】(1)因为抛物线y=2px(p>0)的准线方程为、=-5,所以Y=T，解得P=1，22所以抛物线的方程为V=2x(2)如图,设M(XI,y),N(X2,y2).将y=A(x-2)代入V=2x,消去丁整理得k2x2-2(2k2+)x+4k1=0.当A=4(2/+1yr/4/>O时,2(2攵、1)42+2XX_4玉+x2-L=2'KX2rKKMN=+Px1-x2=+k2y(xi+x2)2-4xix2,ll_+2)2-IMNl=71+公4_1-16=210*化简得：(1+公)(16+4)=40/,解得&2=,经检验,此时A>0,故A=±l【考试题型2抛物线焦点弦问题【解题方法】AB=X1+x2+p【典例1】(2023上河北衡水高二衡水市第二中学校考期中)若抛物线f=20,(p>O)的焦点为尸，直线/：y=2x+与抛物线交于A,B两点，且MF卜忸尸I=,则IABI=()A.4B.3C.2D.必4【答案】D【详解】抛物线x2=2py(p>0)的焦点小马，直线)，=2x+过抛物线的焦点F(,设4(内方),风”2)，根据抛物线的定义可知IMI=乂+与忸尸I=M+与IMHwl=乂一必=I，2=2py2由卜_2丫+“，消去X并化简得丁-9py+§=o，2所以,+必=9”，Hy2=勺3,99由y-必=5两边平方得(y-%y="a+%)一一肛为=-»81PfjoPF,八建,P=磊,所以IABl=y+y2+p=10p=10×-=-.【典例2】(2023上河南高二校联考期中)已知抛物线C的顶点为坐标原点，准线方程为=2.(1)求C的方程；(2)若直线/：y=x+2与C交于A,8两点，求弦AB的长.【答案】丁=-8X16【详解】(I)依题意可设C的方程为V=-2px(p>(),则片2,解得P=4.所以C的方程为V=-8x.(2)将y=x+2代入丁=一版，得2+2+4=0,则A=122-16>0x1+x2=-12,x1x2=4,因为y=x+2过抛物线J=一8X的焦点（-2,0）,所以IABI='-+w）=16.【专训11】（2023浙江模拟预测）过抛物线Uy2=4X的焦点F的直线与。交于M,N两点，从点M,N分别向准线/作垂线，垂足分别为M，M,线段MM的中点为A（TJ）,则弦MN的长为.【答案】5【详解】由已知得抛物线的准线方程为x=T,尸（1,0）,设M（APyJ,N（X2,必），M1（-l,y1）,N（T,%），所以M,M的中点A的坐标为11,"产）所以y+%=2,设直线MN的方程为X=my+1,与抛物线方程联立x=m+11、可得N-4ny-4=0,所以乂+,=4?=2,可得加=,y=4x2所以+%=（乂+%）+2=3,所以PwVI=Xl+W+2=5.故答案为：5.考点清单05：圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题【考试题型11圆锥曲线中的三角形（四边形）面积（定值问题）【解题方法】面积公式+弦长公式+点到直线的距离【典例1】（2023上广东广州高二广州市育才中学校考期中）已知产是圆O:/+y2=9上一动点，尸点在X轴上的射影是。，点M满足OM=3MP.（1）求动点M的轨迹上的方程:若A是椭圆E的右顶点，过左焦点尸且斜率为李的直线交椭圆E于民C两点，求JBC的面机【答案】卷+y2=r9.93+6611【详解】(1)根据题意可设M(,y),P(%,%),则。(,0),如下图所示:易知DM=(X-Xo，v)，M尸=(XO-,%-