专题06圆的方程（解析版）.docx

专题06圆的方程考点预测1 .圆的标准方程(x-a)2+(y-h)2r2f其中(0,)为圆心，一为半径.2 .点和圆的位置关系如果圆的标准方程为(x-a)2+(y-份2=/，圆心为eg,3，半径为，则有(1)若点M(,%)在圆上TCMI=FO(Xoa)?+(y0-b)2=r2(2)若点如为)在圆外OlCMI>r=(%-a)?+(%-)>r2(3)若点(x0,%)在圆内OICM|<o(x0-a1+(y0-Z?)2<r23 .圆的一般方程(np当£>2+石2-4厂>0时，方程/+丁+6+尸=0叫做圆的一般方程一,一一为圆心,I22)1.Z)2+e2-4尸为半径2诠释：-22,、LLD?(EYD2+E2-4F由方程f+y2+瓜+&+尸=0得X+y+=2JI2)4DFDE(1)当。2+严-4/=0时，方程只有实数解1=-5,y=-,.它表示一个点(一不,).(2)当。2+炉-4厂0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.(3)当。2十七2-4厂0时，可以看出方程表示以(一2,_£1为圆心，Lg+EF为半径的圆.122J24 .用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据已知条件，建立关于。、b、或。、E、尸的方程组.(3)解方程组，求出、。、r或。、E、尸的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.5 .轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量匹之间的方程.(1)当动点满足的几何条件易于“坐标化''时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法).(2)求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等.(3)求轨迹方程的步骤：建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标；列出关于x,y的方程；把方程化为最简形式；除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)；作答.例I.(2021广东佛山市南海区南海执信中学高二阶段练习)已知两个定点A(-2,0),3(1,0),如果动点尸满足¼=2P耳(1)求点尸的轨迹方程并说明该轨迹是什么图形；(2)若直线Ly=匕+1分别与点/>的轨迹和圆*+2)2+(y-4)2=4都有公共点，求实数人的取值范围.【解析】(I)设P(XM,由IPd=2PB,则J(+2)2+y2=2j(7)2+y2,化简得：(-2)2+y2=4:.P的轨迹是以(2,0)为圆心，半径为2的圆.,1-2-31(2)直线/与圆(x+2)2+(y-4)2=4相切或相交，即圆心到直线的距离不大于半径：4=!一广，七2,解2+l得卷，直线/与圆(x-2)2+V=4相切或相交，即圆心到直线的距离不大于半径：d=gHL2,解得A,综上，直线/：)，=履+1分别与P的轨迹和圆Q+2)2+(y-4)2=4都有公共点时，实数丘18,一总.例2.(2021山东平邑高二期中)已知圆M：X2+y2-2nx-6y+2m+9=0.(1)求?的取值范围；(2)已知点A(2,l)在圆M上，若圆N过点P(l,-),且与圆M相切于点A,求圆N的标准方程.【解析】(1)将X?+P?-2，?IX-6y+2m+9=0变形为(JV-+(y-3)2=m2-2m,由根2一2机>0,得z<0或m>2,所以m的取值范围是(7,0)_(2,+).(2)将点A(2,l)t入圆M:丁+/一2侬一6y+2m+9=0,可得帆=4,所以圆M的方程为/+y2-8-6y+17=0,化为标准方程可得(x4)?+(y=8,故圆M的圆心为(4,3),半径为2五，设圆N的标准方程为(X4+(y,圆心为N(a,b),因为圆N与圆M相切于点A,所以A、M.N三点共线，故直线AM的方程为柒=三I,即y=x-,3-14-2把N(a,b)代入得力=。1，又由IANl=IPNI=/可得，r2=(-2)2+(-l)2=(fl-l)2+(+2)2，联立，解得=l,Zj=O»所以r=a(1-2)2+(0-1)2=2,故圆N的标准方程为(X-1):+/=2.例3.(2021重庆巴蜀中学高二阶段练习)在直角坐标系宜8中，直线/：x-3y-4=0,以。为圆心的圆与直线/相切.(1)求圆。的方程;(2)设点N(M,%)为直线y=-x+3上一动点，若在圆。上存在点尸，使得NaVF=45。，求与的取值范围.【解析】(I)原点到直线/的距离为0-0-4+3所以圆。的方程为/+y2=4.OP2(2)如图直线材与圆。相切，设“版则Sina=Er加'根据图象可知，N越靠近。点，ON越小，Sina越大，由sin45°=>OV=22,ON2设N(x,3r),由距离公式/+(3一力2=8,解得X=三立，3-币3÷72'2例4.(2021江苏丹阳高二期中)已知圆C过坐标原点O和点A,2J),且圆心。在X轴上.(1)求圆C的方程：(2)设点M(-10,0).过点M的直线/与圆C相交于P,。两点，求当aPCQ的面积最大时直线/的方程；a若点丁是圆C上任意一点，试问：在平面上是否存在点N,使得7MI=可川h若存在，求出点N的坐标,若不存在，请说明理由.【解析】(1)因为圆C过坐标原点。(0,0)和点A,2JJ),且圆心C在轴上，设圆心C(G0),则J(-6)2+(2G)2=7,解得。=4所以圆心C(4,0),半径r=4故圆。的方程为(x-4)2+y2=i6(2)设圆心到直线的距离为“，则PQ=2-Q2=2ji6-d?.，SvWQ=gIPQd=J16-/."16-，；+小=&,当且仅当16-/=/，即d=2j时等号成立，设直线/的方程为=my-o,则圆心到直线的距离d=7彳=2企，解得加=±典yjm+12所以直线/的方程为x=±")，一10,即x+半,y+10=0或X芈y+10=0假设存在N(皿)，T(x,y)t由网I77"，知|所=?叫代入得(X+10)2+y2=-(x-zn)2+(y-)J化简整理得5/+5丁_(18”?+80)X-ISny+9w2÷9-400=0又点T在圆上，.x2-8x+y2=0,则(186+40)工+18町一962-92+400=018n+40=0所以"8=0解得=0,但机无解，-9w2-9+400=0所以不存在点M使得7M=3过关测试一、单选题1. (2021广东深圳实验学校高中部高二阶段练习)若圆G：*-1)2+y2=9和圆G：*+3)2+(y+2)2=9关于直线/对称，则直线/的方程是()A.y=-2x-3B.y=-2x+3【答案】A【分析】由题意可知直线/即为线段GG的中垂线，求出线段GC2的中点坐标和GG所在直线的斜率，从而可求的直线/的斜率，即可得出答案.【详解】解：因为圆G：(x-l)2+y2=9和圆C2：(x+3)2+(y+2)2=9关于直线/对称,所以直线/即为线段GG的中垂线，C1(1,0),C2(-3,-2),则线段C1C2的中点坐标为(-1,-1),M=zz7=:,所以直线/的斜率A=-2,所以直线/的方程是y+l=-2(x+l),即y=-2x-3.故选：A.2. (2021广东广州奥林匹克中学高二阶段练习)己知在平面直角坐标系中，A,B两点的坐标分别为(U),(0,4),若经过A,B两点的圆与X轴正半轴相切，则该圆的方程为(A. ÷-8x-5y + 4 = 0B. x2 + -8x-5y + 16 = 0C.x2+y2+4x-5y+4=0D.x2+y2-4x-5y+4=0【答案】D【分析】先求出A8的中垂线，进而设出圆心CG,|),然后根据圆与X轴正半轴相切确定出半径，并且>O,最后根据圆心到A的距离为半径求得答案.【详解】由题意，AB的中垂线为y=,则设圆心为c(4,又因为圆C与X轴正半轴相切，所以半径r=M>O.于是，r=CA=J/+(g1)=弓=2.所以圆的方程为：(X一2+(y_g)=-x2+j2-4x-5y+4=0.故选：D.3. (2021.四川省绵阳南山中学高二阶段练习(理)圆(x-lf+(y+2)2=2关于直线y+l=0对称的圆的方程为()A.(x+1)?+(y-3)2=2B.(-l)2+(y+3)2=2C.(+3)2+(j-2)2=2D.(x-3)2+(j+2)2=2【答案】C【分析】圆关于直线的对称圆问题，第一步求圆心关于直线的对称点，半径不变，第二步直接写出圆的方程.【详解】圆(x-l/+(y+2)2=2的圆心(1,-2)半径为应，由/：4-丁+1=。得M=I设对称点的坐标为(肛)，利用+2/« + /7 + 1=0/n - w + 5 = 077两圆心的连线弓宜线垂直,两圆心的中点在直线上列方程求解，C,化简得m+n-2,八+1=022tn=-3解得T所以对称圆的方程为(N)X-F.故选:C.4. (2021.福建省福州第一中学高二期中)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点AB的距离之比为定值2(ll)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系Xoy中,Pj1A(-2,0),(4,0),点夕满足,设点尸的轨迹为C,则下列说法错误的是()dZA.轨迹C的方程为(x+4)4y2=16PD1B.在X轴上存在异于AB的两点RE,使得H=ZC.在C上存在点M,使得IMa=2|八例D.当4伐。三点不共线时，射线P。是NAP4的角平分线【答案】C【分析】根据题意，设点坐标，结合两点之间的距离公式以及角平分线的性质，一一判断即可.【详解】/、PAlJ(x+2)2+y21.对于选项A,设P(x,y),由筋=5，得1j2=5,化简得(x+4)+y-=16,因此A正确;PD1/、/、对于选项B,你设在X轴上存在异于AI的两点，E,使得前=5，设。(机O),E(n,0),则苗)?+)'=L化简得3x2+3V-(8m23+4一2=0y(x-m)2+y22E(x+4)2+y2=16,所以3/+3丁+24x=0,ZM =-6H = -12(舍),Srn-In=-244m2一2=0PD1即在X轴上存在异于"的两点D,E,三=p故B正确,对于选项C,若在C上存在点M，使得IMOl=2M4|,设M(x,y),则"77=2J(X+2)：/,KW-2+y2+yX+y=O,与(x+4)2+y2=16联立，方程组无解，故在C卜不存在点使得MO=2MA,因此C错;对于选项D,当A,B,尸三点不共线时，周=；=犒，可知射线Po是NAm的角平分线，故D正确.故选：C.5. (2021.重庆巴蜀中学高二阶段练习)若点(U)在圆/+产+2僦-2y+2=0外，则的取值范围是()A.a>lB.a<-C.a>D.a<l【答案】C【分析】根据点在圆外得到F+2+2-2+2>0,同时结合小+炉一4尸>0即可求得实数4的取值范围.【详解】因为点(U)在圆外，所以F+12+24-2+2>0,即2z>-2,所以>1,又因为/+y2+20r-2y+2=0为圆，所以小+炉=4苏+4-8>0,即444,解得或<T,综上知，的取值范围是。,田).故选：C.6. (202L山西太原市第六十六中学校高二期中)过点”(2,-1),且经过圆/+J©4y+4=0与圆2+y2-4=0的交点的圆的方程为()A.X2+y2+x+y-6=0B.x2+-y-8=0C.X2+y2-x+y-2=0D.x2+y2-x-y-4=0【答案】A【分析】根据题意，设所求圆的方程为炉+9一4x-4y+4+4(2+y2-4)=0,再待定系数求解即可.【详解】解：由圆系方程的性质可设所求圆的方程为V+V-4x-4y+4+4(W+y2-4)=0,因为所求圆过点M(2,T),所以22+(-l)2-4x2-4x(-l)+4+l22+(-l)2-4=0,解得：=-5所以所求圆的方程为：x2+y2+x+y-=O7. (2021江苏滨湖高二期中)已知点尸在直线y=x-2上运动，点石是圆AJ(x-6)2+(y+2)2=9上的动点，则IPFl|P©的最大值为()A.6B.7C.8D.9【答案】C【分析】作出/+y2=关于直线丁=工一2的对称圆，把IPEI转化到与IP川直线="-PF-PE取最大值的位置，求出IPFl-IPEl的最大值.【详解】如图所示，yhp/+)3=1上的动点，点尸是圆2同侧的IPEJ,数形结合找到圆(工一6)2+()，+2)2=9的圆心为4(6,-2),半径为3,恒=-i/、mn=2设圆心8坐标为()，则:，解得："=211220/+,2=关于直线y=>2的对称圆为圆8,其中2,故圆8的圆心为(2,-2),半径为,由于此时圆心A与圆心B的距离为4,等于两圆的半径之和，所以两圆外切，此时E点的对称点为耳，且P4=IP4，所以IPFIPEI=IPFI-I尸41,在P点运动过程中，当巴BtA,片，/五点共线时，11.居在圆8左侧,点尸在圆A右侧时，IPPI-1。£|最大，最大值为EF=46+3A+AF=l+4+3=88. (2021江苏高二单元测试)设有一组圆Gx)2+(yd)2=4(AR),下列命题不正确的是()A.不论人如何变化，圆心CA始终在-条直线上B.不存在圆G,经过点(3,0)C.存在定直线始终与圆C*相切D.若圆G上总存在两点到原点的距离为1,则&£(孝,手)【答案】D【分析】对于A,考查圆心C&的横纵坐标关系即可判断；对于B,把x=3,y=0代入圆G方程，由关于2的方程根的情况作出判断：对C,判断圆心G到直线x-y±2=0距离与半彳仝的关系即可；对于D,圆G与以原点为圆心的单位圆相交即可判断作答.【详解】对于A选项：圆心G(E&)的轨迹为直线)'=x,即不论女如何变化，圆心C*始终在条直线上，A正确；对于B选项：圆Q中，x=3,y=0时-，(3-)2+2=4<>22-6A+5=O,*=(-6)2-425=<0,关于&的方程无实根，B正确;1.k-±22对于C选项：选取直线/：x-y±2五=0,圆心G(2,攵)百.线/的距离”=F=2,即直线/与圆G在+(T)相切，C正确；对于D选项：到原点距离为1的轨迹是单位圆。f+y2=,当圆。与圆C*相交时满足条件，此时|。CJ="W(l,3),得女e(4,晔)或丘(-平,一乎,)，D错误.故选：D.二、多选题9. (2021江苏高二单元测试)己知圆C关于X轴对称，经过点(0,1),且被)，轴分成两段，弧长之比为2：1,则圆C的方程为()A.F+(y+争=9B.x2+(y-)2=C.(x+)2+y2=qD.(工_。)2+丁2=：【答案】CD【分析】由题意，设C3,0),结合被)，轴分成两段的弧长比有Ial=根据弦长、半径、弦心距的几何关系求参数,即可写出圆的方程.【详解】由圆C关于X轴对称，可设圆心Cm,0),又圆C被.v轴分成的两段弧长之比为2：1,；1。I=1，则(g)2+l=r2,得r2=g,a=土与,圆C的方程为(x±lg)2+y2=故选：CD.10. (2021福建宁德高二期中)圆心在直线y=2x上，与直线x=0相切，且被直线-y=0所截得的弦长为2的圆的方程()A.(x-l)2+(y-2)2=IB.(x+l)2+(y+2)2=1C.(x-2)2+(y-4)2=4D.(x+2)2+(j+4)2=4【答案】CD【分析】根据圆心在直线y=2xL设出圆心的电标，再根据圆与X=O相切得到半役，进而根据弦长为2>历求出答案.【详解】因为圆心在H.线y=2x匕所以设回心为C(,2),而圆与X=O相切，则圆的半役，=,于是圆的方程为(x-4)2+(y-2a)2=a2.圆心到直线Xy=0距离d=,则+=白2n/=4n0=±2,故圆的方程为：(x-2>+(y-4)2=4或。+2)2+()，+4)2=4故选：CD.11. (2021.江苏南京高二期中)在平面直角坐标系XS，中，圆C经过点(-26,0),(0,2),则()A.圆。的半径大于2B.圆心C不可能在第一象限C.当圆心C在X轴上时，圆C的周长为4乃D.当圆心C在第四象限时，圆C截y轴所得的弦长大于8【答案】BD【分析】对于选项A,结合两点间的距离公式求出IMM的长度，进而结合圆内最长的弦为直径即可判断；对于选项B,结合圆的对称性可知圆心在MN的中垂线上，进而求出根据MN的中垂线所经过象限即可判断；对于选项C,结合圆的几何性质求出圆心进而求得半径即可判断；对于选项D,分析可得圆心的纵坐标小厂-2,进而可判断截y轴所得的弦长.【详解】由题意可设M(26,0),V(0,2),对于选项A,MN=J(-2我2+22=4,则圆C的半径2,故选项A错误；对于选项B,MN的中垂线方程为Jx+y+2=0,可知该直线不过第一象限，且圆心C在该直线上，所以圆心C不可能在第一象限，故选项B正确；对于选项C,当圆心C在X轴上时，可令直线氐+y+2=0中的F=O,解得X=一手，即。(-手,。，则其半径为26-迈=逑,所以周长为2仃=地九，故选项C错误；333对于选项D,因为直线岳+y+2=0过定点(0,-2),且圆心C在第四象限，所以圆心的纵坐标小于-2,则圆C截y轴所得的弦长大于8,故选项D正确；故选：BD.12. (2021福建唳门双十中学高二期中)已知尸，。为圆O:f+k=4以上两点，点A(U)I(2,0),C(3,0),则下列说法中正确的是()A.若PQ=2,则PQ中点W的轨迹方程为f+丁=3B.4P中点轨迹方程为(X-I)JV=1C. CP的中点轨迹方程为+ y =ID.AP的中垂线与OP的交点轨迹为圆【答案】ABC【分析】根据已知可得APOQ是等边三角形，可得OM_LP。，且IoM=5即可判断A；设P(%),8尸中点为(x,y),利用相关点法求BP中点轨迹方程可判断B,同选项B的方法可判断C由中垂线的性质以及椭圆的定义可判断D,进而可得正确选项.【详解】由圆0:/+=4可得圆心O(0,0),半径r=2,对于A：因为IPQl=Io耳=IoQl=2,所以APOQ是边长为2的等边三角形,若PQ中点为M,则OM_LPQ,且0"=6,所以点M的轨迹是以0(0,0)为圆心，半径为J的圆,所以点M的轨迹方程为f+V=3,故选项A正确;Xha+221%=2x-2对于B：设P(M,%), 8P中点为(x,y),则，所以f09V=及l%=2y2因为P(%)在圆O:f+y2=4上，所以+%2=4,所以(2-2p+(2y)2=4,所以(x-l)2+丁=1即8尸中点轨迹方程为(X-if+丁=1,故选项B正确；对于C：设P(%), b的中点(,y),则，Xq =2x-3NO = 2y因为尸(%为)在圆。*+y2=4上,所以+%2=4,所以(2x-3p+(2y<=4,即卜一2+y2=1,所以CP的中点轨迹方程为(X-I+)，故选项C正确；对于D：设AP的中垂线与。尸的交点为M,由垂直平分线的性质可得I刚=IMH,所以IMq+1MAl=IMo+MH=IoH=2>O4=l,所以点M的轨迹是以。，A为焦点，长轴长为2的椭圆,故选项D不正确；故选：ABC.三、填空题13. (2021全国高二期中(文)已知4(0,1),B(2,l),C(3,4),则，A6C外接圆的方程为【答案】(x-lf+(y-3)2=5【分析】利用待定系数法进行求解即可.【详解】设ABC外接圆的方程为(x-4+(y-协2=产,因为A(O,1),3(2,1),C(3,4),所以有：(O-)2+(l-b)2=产且(2-)2+(-力2=/且©-ay+。一与2=/，解得：=3,rX =5=5因此.ABC外接圆的方程为5-琰+(丁一3)2=5,故答案为：(x-lf+(y-3)2=514. (2021全国高二课时练习)方程H-I=J3-(x-2)2所表示的曲线的长度是.【答案】2舟【分析】将方程变形为(l-2)0(3-1)2=3,曲线表示为两个半圆，根据弧长公式求得曲线长.【详解】由IyIT=J3-(X-2)2,得y-lO,所以yi或y-l.将原式变形可得(x-2)2+(3-1)2=3,所以曲线为两个半圆，半径为L所以曲线的长度为C=2;TXG=2摄.故答案为：2>5t15. (2021全国高二课时练习)对任意实数m，圆/+V-2比一4冲+6机-2=0恒过定点，则其坐标为【答案】(U)、(聂)【分析】将圆的方程聿新按加合并同类项，由此列方程组，解方程组求得定点坐标.【详解】x+2y_3=0x=22»解得4或X+y-2=0y=l故填：（1,1）、IJR【点睛】本小题主要考查圆过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查二元二次方程组的解法，属于基础题.16. （2021全国高二课时练习）过直线2x+y+4=0与圆2+y2+2x-4y+l=0的交点,且面积最小的圆的方程为.【答案】（若J+。用W【分析】联立圆与直线的方程，求出两个交点，当两个交点之间的弦长作为直径的时候，圆的面积最小，求出此时的圆的方程【详解】由直线2x+y+4=0得：y=-2x-4,把式代入圆的方程中，得5x2+26x+33=0,解得：*=段，七二一3,代入到y=-2、-4中，解得乂=|，K=2,所以两交点为A卜日,）8（-3,2）要使圆的面积最小，只需线段AB作为圆的直径,.设AB的中点为0（?,）即为所求得圆的圆心则±=J2-=e=d所以。252513 6 5,5,设半径为r,则r = OA = J- + -6 2 55此时圆的方程为故答案为:卜+同+卜阁=J17. （2021.福建福州三中高二期中）若平面内两定点48间的距离为2,动点P满足篙=应，则|尸牛+|叫2的最小值为.【答案】36-24忘#-24忘+36【分析】建立直角坐标系，设出P的坐标，求出轨迹方程，然后推出俨中+忸印的表达式，转化求解最小值即可.【详解】以经过A,B的直线为X轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.则A(-1,O),8(1,0),设P(XM,由兴=应，则卜=所以两边平方并整理得(1-3)2+y2=8,所以P点的轨迹是以(3,0)为圆心，2挺为半径的圆，所以y2=8-(-3)2,3-22x3+22则有IPAF+PB2=2(x2+)+2=2x2+18-2(x-3)2=12x36-242,则IpAI2+p82的最小值为3624&.故答案为：36-242四、解答题18. (2021.海南.海口一中高二期中)已知点M(L3),圆C(x-2)2+(y+l)2=4.(1)若直线！过点M,且被圆C截得的弦长为2布，求直线/的方程；(2)设O为坐标原点，点N在圆C上运动，线段MN的中点为P,求点P的轨迹方程.【答案】(I)x=l11gl5x÷8y-39=03(2)(X-)2+(y-l)2=1【分析】(I)山内线/被圆C截得的弦长为2曲，求得圆心到IT.线/的距离为"=1,分直线/的斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.fx=2x-l(2)设点P(x,y),N(,),根据线段MN的中点为P,求得勺C,结合N在圆C上，代入即可求yi=2y-3解.(1)解：由题意，圆Ua-2+()，+1)2=4,可得圆心C(2,T),半径r=2,因为直线/被圆C截得的弦长为2石，则圆心到直线/的距离为d1，当直线/的斜率不存在时，此时直线/的方程为X=I,满足题意；当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y-3=&(x-l),即辰-y-k+3=0,则|2"1+3-«=,解得左=_"，pi5x+8y-39=0,综上可得，所求直线的方程为X=I或15x+8y-39=0.(2)解：设点P(x,y),N(XQi)因为点M(l,3),线段MN的中点为尸，可得X +1=X22i2 = y2x1 = 2x-ly =2)，- 3又因为N在圆C上，可得(2x7-2)2+(2y-3+l)2=4,即(x|尸+(ylf=1,即点P的轨迹方程为(-)2+(-i)2=.19.(2021河南范县第一中学高二阶段练习)已知圆C过点A(3,-2),8(-3,6).(1)求周长最小时圆C的标准方程;(2)求圆心。在直线4-5y-1=0上时圆C的一般方程.【答案】(1) /+0,-2)2=25.(2) 2÷j2+8x+2y-33=O.【分析】(1)当AB为圆C的直径时，圆C的半径最小，从而周长最小.求出圆心和半径可得圆的方程;(2)设圆的一般方程为产了+6+小，+尸=0.代入已知条件，求解方程组可得圆的方程.(1)解：当AB为圆。的直径时，圆C的半径最小，从而周长最小.即AB的中点(0,2)为圆心，半径=5,此时圆C的标准方程为/+G,-2)2=25.(2)解：设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.0 = 8E = 2F = -339+4+3D-2E+F=0根据题意得，9+36-3D+6E+F=O,解得<D5E111=O22圆的般方程为/+y2+8+2y-33=0.20. (2021.福建南安.高二阶段练习)在平面直角坐标系Xo)，中，已知A3C的顶点坐标分别是(0,0),B(3,3),c(l,-5),记SABe外接圆为圆M.(1)求圆M的方程；(2)在圆M上是否存在点尸，使得归靖-|必=12?若存在，求点尸的个数；若不存在，说明理由.【答案】(1) X2+y2-6x=0：(2)存在；点P有两个.【分析】(1)设出圆的一般方程，根据48,C三点均在圆上，列出方程组，即可求得圆方程；(2)根据题意，设出点尸的坐标，根据点P满足的条件以及点尸在圆上，将问题转化为直线与圆的位置关系，即可求解.(2)设“5C外接圆M的方程为炉+V+6+a+F=O,D =-6，解得E = O F = OF=O符4（0,0）,3（3,3）,。（1,-6）代入上述方程得：D+E+6=0D-5E+6=0则圆M的方程为V+炉-6x=0.(3)设点F的坐标为(,y),因为归邳2_归r=12,所以-3)2+(y-3)2-d-y2=i2,化简得：+y-=o.因为圆M的圆心M(3,0)到直线工+)，-1=0的距离为=后工=&<312+1所以直线x+y-1=0与圆M相交，故满足条件的点P有两个.21. (2021.广西.防城港市防城中学高二期中)己知点A(3,2),点8(3,6),直线/过定点(1,0).(1)求以线段A8为直径的圆的标准方程；(2)记中求得的圆的圆心为G若直线/与圆C相切，求直线/的方程；(ii)若直线/与圆C交于，PQ两点,求-CPQ面积的最大值，并求此时直线/的方程.【答案】(1) (x-3)2+(y-4)2=4；(2)x=l或3x4y3=0；(ii)最大值为2,此时/方程为：x-y-l=0或7/-)，-7=0【分析】(1)由己知求出圆心坐标与半径，则圆的方程可求；(2)(i)利用分类讨论思想的应用和点到直线的距离公式的应用求出直线的方程.(ii)利用点到直线的距离公式的应用和基本不等式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果.(1)依题可知线段48的中点为(3,4)是圆心，半径r|AB|=屈严I=2所求圆的标准方程为：(x-3)2+(y-4)2=4;(2)由(1)知：圆心C(3,4),半径r=2,当直线/斜率不存在时，方程为X=1,是圆的切线，满足题意；当直线/斜率存在时，设其方程为y=k(-l),即米-丁-攵=0,圆心到直线/距离d=P1一"=2,解得：A=；，/：3x-4y-3=OF+14综上所述：直线/的方程为X=I或3x-4y-3=0;(ii)由直线/与圆C交于P,。两点知：直线/斜率存在且不为0,设其方程为：y=k(x-),即"一y-2=0,圆心到直线/距离d=(当且仅当4-=",即"=2时取等号)，由才=2得：(21)，=2,解得：k=l或k=Lk2+一CPQ面积的最大值为2,此时/方程为：“7-1=0或7工7-7=0.22.(2021北京北师大实验中学高二阶段练习)已知过原点的动直线/与圆C：/+/一6+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆G的圆心坐标和半径；(2)求线段AB的中点M的轨迹。的方程；(3)是否存在实数3使得直线L：y=%(-4)与曲线C没有公共点？若存在，求出人的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】(1)圆心坐标为(3,0),半径为2；【分析】(1)利用配方法，将圆Cl的一般方程化为标准方程，即可得出圆心坐标和半径；(2)设M(X,y),根据圆的性质可知GM_LAB,从而有WM3h=T,化简后得出美于为了的方程，当动宜线与圆相切时，设直线方程：y=ocf联立直线和圆的方程，并根据=(),可求出切点的横坐标从而得出M横坐标的取值范围，即可得出M的轨迹C的方程；(3)由(2)知点M的轨迹是以C(I,)为圆心r=为半径的部分圆弧防，且由直线L的方程M知过定点D(4,0),当直线L与圆C相切时，根据点到直线的距离从而得出直线的斜率，从而可得当ZwIlj.直线与圆弧有公共点，最后得出直线L：y=%(x-4)与曲线C没有公共点时的取值范围.(1)解：已知圆C：x2+y2-6x+5=0,即(X-3>+y2=4,圆心坐标为(3,0),半径为2.(2)解：由于直线/过原点，FLARM都在直线/上，设M（x,y），则可知GM±AB,二"G，w（8=-1，即.）.2.=一1,整理可得：+y2=tx-3XIk2j4当动直线与圆相切时，设直线方程：y=ktX+>6x+5-0得(攵2+卜2_61+5=0,y=kx.=36-20(At2+1)=0,解得：Jt2=切点的横坐标为X=T岛=g,由惧I的性质可得：M横坐标的取值范围为0,3,部分圆弧E尸（不包括E,F）,53'而直线L：y=A（x-4）过定点。（4,0）,I-J3当直线L与圆C相切时，得=旦=3解得J=±“F7T24IL切点在曲线C匕可得当雇卜小3时，白线与圆弧有公共点,综上所述：攵e(-,-f,+jl,直线L与曲线C没有公共点.