专题1.1勾股定理中的最短路线与翻折问题专项讲练（解析版）.docx

专题1.1勾股定理中的最短路线与翻折问题专项讲练勾股定理中的最短路径问题几何体中最短路径基本模型如下:长方体将军饮马问题阶梯问题基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解。题型1.圆柱有关的最短路径问题【解题技巧】计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算。要点总结:1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开一定点一连线一勾股定理的步骤进行计算;2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。例1.（2022山东青岛八年级期末）如图，一个圆桶，底面直径为16cm,高为18cm,则一只小虫从下底点）（4取3）A处爬到上底8处再回到A处，则小虫所爬的最短路径长是（B. 40cm【答案】AC. 30cmD. 20cm【分析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值.【详解】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短.由题意，得AC=3x16÷2=24,在HAdBC中，由勾股定理，得AB=AC2+BC2=242+182=30cm.一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处，最短路径长为60cm.故选：A.【点睛】本题考查了圆柱侧面展开图的运用，两点之间线段最短的运用，勾股定理的运用.在解答时将圆柱的侧面展开是关键.24变式1.（2022吉林长春八年级期末）如图，有一个圆柱，底面圆的直径A5=cm,高BC=IoCm,在BC的中点P处有块蜂蜜，聪明的蚂蚁能够找到距离食物的最短路径，则蚂蚁从点A爬到点尸的最短路程【答案】13【分析】化“曲”为“平”，在平面内，得到两点的位置，再根据两点之间线段最短和勾股定理求解即叽【详解】将圆柱体的侧面展开，如图所示：48=；底面周长=；x4x=12（cm）,BP=WBC=5（cm）f211所以A尸=JlZ?+5?=13（的），故蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为13cm,故答案为：13.【点睛】本题考查最短距离问题，化"曲''为"平"，在平面内，利用两点之间线段最短和勾股定理是常用求解方法.4变式2.（2022浙江金华初三月考）如图，圆柱底面半径为一cm,高为18cm,点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（）A.24cmB.30CmC.TCmD.4597cm【答案】B【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答.【解析】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：ACCDDB;即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对44角线运动到B的路线最短；.圆柱底面半径为一cm,长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2×-=8cm;又圆柱高为18cm,J.小长方形的条边长是6cm：根据勾股定理求得AC=CD=DB=IoCm；,AC+CD+DB=30cm：故选：B.【点睛】本题主要考查了圆柱的计算、平面展开一路径最短问题.圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高.本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决.题型2.长方体有关的最短路径问题想【解题技巧】计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论。要点总结：1)长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、"前+上''和“左+上”三种情况进行讨论；2)两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。例2.(2021.陕西八年级期末)如图，长方体的棱AB长为4,棱BC长为3,棱BF长为2,P为HG的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体的表面爬行到点P处吃食物，那么它爬行的最短路程是.,zc方7/B【答案】5【分析】利用平面展开图有3种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可.【详解】解：分三种情况：如图1,AP2=(2+3)2+22=29.如图2,AP2=(2+2)2+32=25,AP=5,如图3,AP2=(2+3+4)2+22=85,25<29v85,它爬行的最短路程为5,故答案为：5.P【点睛】此题主要考杳了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有3种情况分析得出是解题关键.变式1.（2022重庆八年级期中）如图，长方体的底面边长是ICm和3cm,高是6cm,如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达4,那么用细线最短需要（）A.12cmB.IOcmC.13cmD.1Icm【答案】B【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短“，利用勾股定理求出所需结果.【详解】解：如图，将长方体展开，连接A、BS则AA'=l+3+l+3=8（cm）,AB=6cm,B,A,根据两点之间线段最短，由勾股定理得：AB=AAr2÷ArB'2=82+62=102cm,所以AB，=IOcm.故选：B.【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，本题的关键是把长方体的侧面展开'化立体为平面“，构造直角三角形运用勾股定理解决.变式2.（2022陕西咸阳八年级期末）如图，在长方体的顶点G处有一滴糖浆，棱AE上的P处的蚂蚁想沿长方体表面爬到容器G处吃糖浆，已知容器长A8=5c切，宽AO=4cm,高AK=4cm,AP=cmt那么蚂蚁需爬行的最短距离是cm.(结果保留根号)【答案】74【分析】求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短''得出结果.【详解】解：t.*AE=4cm,P=cmtLPE=3an,如图1,如图2,PG=PF2÷FG2=(3+5)2+42=(cm)；如图3JPG=J(5+4)2+4?=屈(cm)t故蚂蚁需爬行的最短距离是SJ(W.故答案为：74.【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可.题型3.阶梯中的最短路径问题【解题技巧】根据两点之间线段之和最小进行解决。要点总结：展开一定点一连线一勾股定理例3.(202】重庆八年级期末)如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8而2、3dm、2dm,A和8是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为dm.=A8【答案】17【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答.【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm,宽为(2+3)3M%则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长.可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为Xdm,由勾股定理得：x2=82+(2+3)×32=172,解得x=17故答案为：17.【点睛】本题考查了平面展开一最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答.变式1.(2022山西八年级期末)如图所示，ABCO是长方形地面，长AB=20,宽AO=IO,中间整有一堵砖墙高MN=2,一只蚂蚁从A点爬到。点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走()A.20B.24C.25D.26【答案】D【分析】将题中图案展开后，连接AG利用勾股定理可得AC长，将中间的墙展开在平面上，则原矩形长度增加宽度不变，求出新矩形的对角线长即为所求.【详解】解：展开如图得新矩形，连接Ae则其长度至少增加2MM宽度不变，由此可得：A=20+4=24,AD=IO根据勾股定理有：AC=JAB2+BC?=J24?+10?=26故选【点睛】本题考查平面展开图形最短路线问题以及勾股定理得应用；解题关键在于根据题意画出正确的平面展开图.题型4.将军饮马与最短路径问题【解题技巧】解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决。要点总结：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。例4.（2022重庆初二月考）圆柱形杯子的高为18,，底面周长为24c?，己知蚂蚁在外壁A处（距杯子上沿2”）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4口），则蚂蚁从A处爬到B处的最短距离为（）J蚪蚁4B蜂蜜,、×A.8如B.28C.20D.22【答案】C分析：将杯子侧面展开，建立4关于E尸的对称点4,根据两点之间线段最短可知48的长度即为所求.【解析】如图所示，将杯子侧面展开,作A关于E尸的对称点4,连接H仇则即为最短距离，A1B=A,D2+BD2=122+162=20(CM)故选C.点睛：本题考杳了勾股定理、最短路径等知识.将圆柱侧面展开，化曲面为平面并作出A关于“'的对称点4是解题的关键.变式1.（2022.山东荷泽八年级阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆，其边缘A8=CD=20m.小明要在AB上选取一点E,能够使他从点。滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（）m.（兀取3）A.30B.28C.25D.22【答案】C【分析】根据题意I画出侧面展开图，作点C关于A8的对称点片连接。E根据半圆的周长求得BC,根据对称求得C尸二28C,在RSCO尸中，勾股定理求得Of【详解】其侧面展开图如图：作点C关于人3的对称点凡连接。尺中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5cm的半圆，8C=R=2.5=7.5cm,AB=CQ=20cm,CF=2C=l5cm,在RSCO/中，DF=Jcf2+CbI=Jl5?+20?=25cm,故他滑行的最短距离约为25CnK故选C.【点睛】本题考查了勾股定理最短路径问题，作出侧面展开图是解题的关键.变式2.（2021陕西长安八年级期中）有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸,高AB=60cm,水深A£=40cm,在水面线瓦'上紧贴内壁G处有一粒食物，且EG=60cm,一只小虫想从水缸外的A处沿水缸壁爬到水缸内的G处吃掉食物.（1）你认为小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路线最短，请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注.（2）求小虫爬行的最短路线长（不计缸壁厚度）.【答案】（1）见解析；（2）100cm【分析】（1）做出A关于BC的对称点力，连接力'G,与BC交于点Q,由两点之间线段最短，此时彳'G最短，即AQ+QG最短：（2）*G为直角/!EG的斜边，根据勾股定理求解即可.【详解】解：（1）如下图所示，作点A关于BC所在百线的对称点4,连接4G,A，G与BC交于点Q,由两点之间线段最短，此时力'G最短，则AQ+QG为最知路线.（2）VAE=40cm,A4,=2AB=120cm,A'E=80cm.在RA'EG中，EG=60cm,A'E=80cm,A'G=>jA,E2+EG2=100cm.由对称性可知AQ=A'Q,AQ+QG=4Q+QG=4G=100cm.故小虫爬行的最短路线长为100cm.【点睛】本题考查的是利用勾股定理求最短路径问题，本题的关键是根据对称性作出A的对称点Al再根据两点之间线段最短，从而可找到路径求出解.课后专项训练：1.（2022河南洛阳市八年级期中）如图是一圆柱形玻璃杯，从内部测得底面直径为12cm,高为16cm,现有一根长为25Cm的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是（）A.6cmB.5cmC.9cmD.25-2J13cvt【答案】B【分析】吸管露出杯口外的长度最小，则在杯内的长度最长，此时若沿杯子的底面直径纵向切开，则当吸管在矩形的对角线所在直线上时，杯内吸管最长，然后用勾股定理即可解决.【详解】如图，沿杯子的底面直径纵向切开，则当吸管在矩形的对角线所在直线上时，杯内吸管最长，则吸管露出杯口的长度最小，由勾股定理得：杯内吸管的长度为：122+162=20（cm）所以吸管露出杯口外的长度最少为25-20=5（Cm）故选：B.【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，关键是构造直角三角形，利用勾股定理解答.2. （2022山东前泽八年级阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆，其边缘A8=8=20m.小明要在AB上选取点E,能够使他从点。滑到点石再滑到点。的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为()m.(花取3)A.30B.28C.25D.22【答案】C【分析】根据题意画出侧面展开图，作点C关于48的对称点匕连接。匕根据半圆的周长求得BC,根据对称求得。尸二28。，在RACD尸中，勾股定理求得。尸.【详解】其侧面展开图如图：作点。关于AB的对称点尸，连接OR中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5Cm的半圆，8C=R=2.5=7.5cm,AB=CD=20cm,CF=2BC=15cm,在RSCDF中,DF=yCF2+CD2=152+202=25cm,故他滑行的最短距离约为25cm.故选C.【点睛】本题考查了勾股定理最短路径问题，作出侧面展开图是解题的关键.3. （2022江苏八年级专题练习）如图是一个饮料罐，下底面半径是5,上底面半径是8,高是12,上底面盖子的中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）的取值范围是（）A.12<013B.1215C.512D.513【答案】A【分析】最短距离就是饮料罐的高度，最大距离可根据勾股定理解答.【详解】解：由题意可得：4的最小长度为饮料罐的岛.，即为12,当吸管斜放时，如图，此时的长度最大，即为A8,下底面半径是5,B=52+122=13,a的取值范围是12a13,故选A【点睛】本题考查正确运用勾股定理.主要是运用勾股定理求得4的最大值，此题比较常见，难度不大.4. （2022山东淄博七年级期末）如图，桌面上的长方体长为8,宽为6,高为4,8为。力的中点.一只蚂蚁从A点出发沿长方体的表面到达8点，则它运动的最短路程为（）=6=229当经过正面和上底面时，如图2所示，最短路径:A.10B.52C.14D.18【答案】A【分析】根据题意，分情况讨论，当经过左侧面和上底面时，当经过正面和上底面时，勾股定理求解即可.【详解】解：如图I所示，当经过左侧面和上底面时，最短路径为:2月10运动的最短路程为10故选：A【点睛】本题考查了勾股定理求最短路径问题，分类讨论是解题的关键.5. （2022陕西渭南八年级期中）如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点8在棱上且离点C的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点4爬到点8,需要爬行的最短距离是（）A0A.25B.529C.105+5D.537【答案】A【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答.【详解】只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图图1长方体的宽为10,高为20,点B离点C的距离是5,/.>CD+C=l0+5=15,AD=20,在直角三角形ABO中，根据勾股定理得：/.AB=4BD1+AD'=152+202=25;只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图:A图2长方体的宽为10,高为20,点8离点C的距离是5,.BQ=CQ+8C=20+5=25,在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：AB=>jBD2+AD2=102+252=529：只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图:A20D10C图3长方体的宽为10,高为20,点6离点。的距离是5,.AC=>+AZ）=20+10=30,在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB=AC2÷BC2=302+52=537：:25V5屈V5后，蚂蚁爬行的最短距离是25,故选：A.【点睛】本题主要考查两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答.6. （2022陕西宝鸡八年级期中）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=I8,BC=I2,BF=IO,点M在棱A8上，且A"=6,点N是尺7的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N,它需要爬行的最短路程为（）A.20B.2U）6C.234D.18【答案】A【分析】平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可.【详解】解：如图1,VB=18,BC=G尸=12,8尸=10,点N是尸G的中点,f=18-6=12,8N=10+6=16,：.MN=122+162=20；如图2,V=18,BC=GF=12,BF=10,点N是尸G的中点，P=18-6+6=18,NP=10,；.MN=Jig+10?=J424=2J1O6.V20<2i06,J蚂蚁需要爬行的最短路程为20.故选：A.【点睛】本题考查平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，解题的关键是将立体图形展为平面图形，利用勾股定理的知识求解.7. （2022四川达州八年级期末）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔，则条长16c,的直吸管露在罐外部分。的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A.4<a5B.3a<4C.23D.a2【答案】B【分析】如图，当吸管底部在。点时吸管在罐内部分人最短，此时N遨就是圆柱形的高；当吸管底部在A点时吸管在罐内部分。最长，此时4可以利用勾股定理在RQABO中即可求出.【详解】解：如图，当吸管底部在地面圆心时吸管在罐内部分b最短，此时。就是圆柱形的高，即b=12；.=16-12=4,当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分最长，=122+52=13»，此时。=3,所以34故选：B.【点睛】本题考查正确运用勾股定理.善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键.8. （2022江西抚州八年级期末）为筹备元旦晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕彩色油纸，如图所示，己知圆筒的高为48cm,其横截面周长为5cm,如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪油纸的长为（）A. 48cmB. 52cmC. 60cmD. 64cm【答案】B【分析】将圆柱体沿一条母线展开，可得图形，如下图，只需求出每一圈所需的油纸的长度即可，展48开后即转化为求解直角三角形的问题，在mABC中,AB已知，BC=3=12,根据勾股定理即可得出AC的长度，由于油纸缠绕4圈，故油纸的总长度为4AC的长度.【详解】解：将圆筒展开后成为一个矩形，如图，整个油纸也随之分成相等4段只需求出AC长即可,. AC = yAB2 + BC2 =52+122 =13»，整个油纸的长为=4x13=52.故选：B.【点睛】本题考查的是平面展开一最短路径问题，本题的关键应先根据题意把立体图形展开成平面图形后,再确定两点之间的最短路径.一般情况是两点之间，线段最短，在平面图形上构造直角三角形解决问题.9.（2021.河南郑州八年级期中）如图，这是一个长方体透明玻璃鱼缸，其中AB=80cm,AD=60cm,水深即=40cm,在鱼缸内水面上紧贴内壁P处有一鱼饵，尸在水面线石户上，且EP=60cm.一只小虫想从鱼缸外的。点沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁尸处吃鱼饵，小虫爬行的最短路线长为.【答案】IOOcm【分析】作点。关于48的对称点少，连接ZrP交48于点。，小虫沿着OTQTP的路线爬行时路程最短，根据勾股定理计算即可.【详解】解：如图所示作点D关于AB的对称点。，连接。'P交AB于点。，小虫沿着。一。一。的路线爬行时路程最短.D,在直角EP中，DT=80cm,EP=60cm,DQ+QP=IXQ+QP=iyp=yD,E2+PE2=602+8O2=IoOCm.最短路线长为100Cm.故答案为：100cm.【点睛】本题考查平面展开最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型.10. （2021山东烟台市福山区教学研究中心七年级期中）如图，A,B是一棱长为3cm的正方体的顶点，点。在棱上，且BC=1cm.若一只蚂蚁每秒爬行2cm,在顶点A处的蚂蚁沿着正方体的前侧面和右侧面爬行到。点，至少爬行秒？【答案】2.5【分析】把此正方体的点A所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和C点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离，根据蚂蚁爬行的距离，即可求出爬行时间.【详解】解：将正方体的前侧面和右侧面展开，如图所示：根据题意可得：OC=D3+8C=3+l=4(cm),二蚂蚁爬行的最短距离为：AC=Jad2+DC2=32+42=5(cm),蚂蚁每秒爬行2cm,蚂蚁爬行的最短时间为:5÷2=2.5(秒).故答案为:2.5.【点睛】本题主要考查了勾股定理的拓展应用，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近''这类问题的关键.11. (2021.河南八年级期末)如图，台阶阶梯每一层高20cm,宽40cm,长50cm.一只蚂蚁从A点爬到8点,最短路程是.【答案】130Cm【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答.【详解】解：如图所示，Y楼梯的每一级的高宽长分别为20cm,宽40cm,长50cm,JAB=55O2+2(20+40)2=130(cm)即蚂蚁从点A沿着台阶面爬行到点8的最短路程是130cm.故答案为：130cm.【点睛】本题考查的是平面展开-最短路线问题，根据题意画出台阶的平面展开图是解答此题的关键.12. (2022广东八年级期中)如图，一个三棱柱盒子底面三边长分别为3cm,4cm,5cm,盒子高为9cm,一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒子的表面爬行一周到盒顶的点B,蚂蚁要爬行的最短路程是cm.【答案】15【分析】将三棱柱侧面展开得出矩形，求出矩形对角线的长度即可.【详解】解：如图,右侧为三棱柱的侧面展开图,AA,=3+4+5=12cm,A'3=9cm,NAA少=900,'AB=yJAA2+AB2=122+92=15cm,故答案为：15.【点睛】本题考查了三棱柱的侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理，画出三棱柱的侧面展开图，运用勾股定理是解题关键.13. （2022河南郑州市第八中学八年级期末）在个长11C7小宽5cm的长方形纸片上，如图放置一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且大于纸片的宽AD,它的底面边长为ICTW的等边三角形，一只蚂蚁从点A处【答案】13【分析】将木块展开看作平面后，由两点之间线段最短知蚂蚁的最短距离为线段AG由勾股定理计算即可.【详解】将长方形纸片，木块展开后如图所示此时A8长度为11-1+2=12由勾股定理有AC=JAB?+BC2即AC=JI2?+52=i而=13故答案为:3.【点睛】本题考查了图形的展开以及勾股定理，将正三棱柱的木块展开看作平面是解题的关键.14. （2021江苏宿迁八年级期中）如图，圆柱形容器高为22cm,底面周长为30cm,在杯内壁离杯底4cm的点8处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm且与蜂蜜相对的点A处，为了吃蜂蜜，蚂蚁从外壁A处沿着最短路径爬到内壁8处，它爬行的最短距离是cm.【分析】将杯子侧面展开，建立4关于EF的对称点小，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求.【详解】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于印的对称点小，连接*8,则18即为最短距离，Y圆柱形容器高为22。"，底面周长为30cm,在杯内壁离杯底4（”的点3处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚊正好在杯外壁，离杯上沿旦与蜂蜜相对的点A处，A'O=15cm,BD=BE+DE=22-4+2=20cnA,B=JA'D2+BD2=25(cm).答：蚂蚁从外壁A处到达内壁8处的最短距离是25cm.故答案为：25.【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键.同时也考查了同学们的创造性思维能力.15. （2022.福建省泰宁县教师进修学校八年级期中）如图，圆柱形玻璃杯高为5cm,底面周长为12cm,在杯内壁底的点8处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁8处的最短距离是（杯壁厚度不计）.蚂蚁H'''Q三蜂蜜【答案】10【分析】将杯子侧面展开，建立A关于七F的对称点I,根据两点之间线段最短可知力'8的长度即为所求.【详解】解：如图，将杯子侧面展开，作A关于E尸的对称点4,连接48,则45即为最短距离，A,D=×12=6,BD=BE+DE=5+3=8,在直角AzTOB中，由勾股定理得，A'B=yAD2+DB2=62+82=10.则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为10,故答案为：10.AI?【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键.16. (2022.江西吉安八年级期末)如图，圆柱形容器的高为120cm,底面周长为100cm,在容器内壁离容器底部40Cm的点8处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40Cm与蚊子相对的点A处,求壁虎捕捉蚊子的最短距离.【答案】130cm【分析】将容器侧面展开，建立.八关于KC的对称点4,根据两点之间线段最短可知的长度即为所求.【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点A,连接交EC于尸，则48即为最短距高为120cm,底面周长为IOoCm,在容器内壁离容器底部40Cm的点B处有蚊子，此时只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40Cm与蚊子相对的点4处，A,D=50cm,BD=120cm,二在直.角ZkAQB中，AB=JA£)2+B7)?=,5()2+0O?=130(cm).故壁虎捕捉蚊子的最短距离为130cm.【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键.同时也考查了同学们的创造性思维能力.17. (2022河南南阳八年级期末)如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中48=18cm,BC=12cm,F=IOcm,点M在棱AB上，且A=6cm,点N是用7的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N,它需要爬行的最短路程是多少？【答案】20cm【分析】将长方体盒子的正面和上面展开，再根据勾股定理求出MM然后将长方体的正面和右面展开，再根据勾股定理求出MN的值，最后比较得出答案即可.【详解】解：如图1,图1VA=18cm,BC=GF=2cmtF=10cm,=18-6=12,BN=10+6=16,7V=122÷162=20(cm)；如图2,图2TAB=18cm,BC=GF=2cm,8F=10cm,JPM=18-6+6=18,NP=IO,MN=182+IO2=2>i6(cm).V2106>20，蚂蚁沿长方体表面从点M爬到点N处的最短距离为20cm.【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，构造直角三角形是应用勾股定理的前提条件.18. (2022重庆九龙坡八年级期末)如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米.(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点4处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点爬行到点C的最短路程为多少分米？【答案】(1)每一级台阶的高为2分米.(2)蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米.【分析】(1)设每级台阶的高为X分米，根据题意列方程即可得到结论；(2)先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答.(1)解：设每一级台阶的高为X分米，根据题意得，18x(4÷x)×4=432,解得x=2,答：每级台阶的高为2分米；(2)四级台阶平面展开图为长方形，长为18分米，宽为(2+4)x4=24分米，则蚂蚁沿台阶面从点A爬行到C点最短路程是此长方形的对角线长.由勾股定理得：AC=182÷242=3O(分米)，答：蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米.【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答.三角形和矩形中的翻折、旋转问题解题技巧：勾股定理在有关图形折叠计算的问题中的共同方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为X,将此三角形中的三边长用具体数或含X的代数式表示，再利用勾股定理列出方程,从而得出要求的线段的长度。例1.（2022江苏九年级专题练习）如图，将矩形纸片ABCO沿E/折叠，使。点与BC边的中点Zy重合.若8C=8,CD=6,则C/的长为.【答案】I【分析】设b=x,在孜ATFO中利用勾股定理求出X即可解决问题.【详解】解：YD是BC的中点，BC=S,CD=6t：.D,C=BC=4,由折叠的性质知：DF=DFt设CF=X,则D尸=Z）尸=S-C产=6%，在用ACFO中，根据勾股定理得：。尸=。尸+S?,即：（6x）2=+42,解得x=,.b=故答案为：I【点睛】本题考查翻折变换、勾股定理，解题的关键是利用翻折不变性解决问题，学会转化的思想，利用方程的去思考问题，属于中考常考题型.变式L（2022重庆南开中学八年级月考）如图，已知ABCD是长方形纸片，CQ=3,在CD上存在一点E,沿直线AE将人型）折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且Sa"8=6,则二血的面积是（）.256【答案】BD.【分析】根据面积求出BF、AF、CF,设DE为X,列方程求出即可.【详解】解：ABCD是长方形纸片，.AB=CD=3,SAAFB=gABBF,*6=3BF,BF=4,AF=yAB2+BF2=5».AF=AD=BC=5,CF=I,设DE为x,EF=DE=x,EC=3-x,x2=(3-x)2+l»解得，X=,/.Smfd-ADED=×5×-=,故选：B.32236【点睛】本题考查了勾股定理与翻折，解题关键是恰当的设未知数，根据勾股定理列方程.例2.(2021四川成都市八年级期末)如图，在长方形纸片ABCO中，A8=4,8C=3,点尸在BC边上,将ACOP沿。尸折叠，点C落在点石处，PE,DE分别交AB于点G,F,若GE=GB,则CP的长为一12【答窠】T【分析】根据折叠的性质可得出。C=O从CP=EP,由NEO产=N5ONB=NE、GE=GB可得出AGE尸经GBP,根据全等三角形的性质可得出GF=GP、EF=BP,设BF=EP=CPr,则AF=4-x,BP=3-x=EFtDF=DE-EF=A-(3/)=x+l,在RaAQ尸中，依据A尸+AQ2=。尸，可得到X的值.【详解】解：根据折叠可知：ADCP9ADEP,DC=DE=4,CP=EP./EGF=/BGPGEFfflGBP,GE=GB,.gOEFAOBP(ASA),：,EF=BP,GF=GP,JBF=EP=CP,NE=NBSBF=EP=CP=Xt则A尸=4-x,BP=3-x=EF,DF=DE-EF=A-(3-x)=v+l,VZA=90o,二RaAD尸中，AF2+AD1=DF2,1?I?12.,.(4-x)2+32=(l+x)2,*,=-,.*.CP-f故答案为：.【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，设要求的线段长为M选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程是解决问题的关键.变式L(2022.江苏靖江市靖城中学八年级期中)如图，将矩形ABCD沿E尸折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点。上.若A8=6,BC=9,则8尸的长为D,【答案】4【分析】首先求出8。的长度，设出C户的长，根据勾股定理列出关于线段。下的方程，解方程求出。下的长，即可解决问题.【详解】四边形ABCo为矩形，：,NB=90。；点C为48的中点，AB=6f.BC,=3i由题意得：CK=CT7（设为X）,则BF=9r,由勾股定理得：=32+（9-）2,解得：X=5,.BF=9-5=4.故答案为4.【点睹】本题以矩形为我体，以翻折变换为方法，以考查翻折变换的性质、勾股定理的应用等几何知识点为核心构造而成；灵活运用有关定理来解题是关键.例3.（2022全国八年级课时练习）如图，在长方形48CO中，A3=8,AO=IO,点£为BC上一点，将沿AE折叠，点B恰好落在线段OE上的点尸处，则BE的长为.【分析】设BE=X,则CE=IOx,由折叠的性质可知AF=8,EF=x,在心ti4O尸中利用勾股定理表示出。尸，在油ZXCO石中，利用勾股定理列方程求解X.【详解】解：设3E=x,则CE=IO-X,由折叠的性质可知，AF=AB=StEF=E=tZAFE=4=