人教B版（2019）选择性必修一第一章空间向量与立体几何章节测试题(含答案).docx

人教B版(2019)选择性必修一第一章空间向量与立体几何章节测试题学校：姓名：班级：考号：一、选择题1 .已知直线/经过点4(2,1,1),且=(1,0,1)是/的方向向量,则点P(4,3,2)到/的距离为()A.lB巫C.逑D.JT2 22V2.在正方体ABCD-A,gCQ中,点E为上底面AG的中心,若AE=AAi+xAB+)，A£>,则,y的值是()A.=,y=B.=l,y=C.=-,y=D.=l,y=l22223 .如图,在三棱柱ABC-D比中MO分别是CE8的中点,pq=qAB+ZMC+cA。,则a+b+c=()A.lB.-lC.0.5D.-24 .已知正四棱柱ABCO-AgGQ中,A41=2A8,则CQ与平面8。G所成角的正弦值等于()A.-B.立C.立D.133335 .在空间直角坐标系。-型中,已知A(1,2,0),8(0,1,2),C(1,0,2),则点。到平面ABC的距离是()C5D2立A&B36 .如图,在平行六面体A8Cf>-AqCQI中，AB+A。一CG=()C.D1BD-DB17 .在三棱锥ABCD中,AB=AC=AD=6,AB,AC,A。两两垂直,E为的中点,F为A。上一点,且A7=2jFZ>O为AbCD的重心,则。到直线石尸的距离为()A.2B.1c22658 .如图，在棱长为2的正方体488-4BGR中，E,尸分别为棱8©,B片的中点，G为4。上的一个动点，则下列选项中错误的是()A.三棱锥B1-EFG的体积为定值8 .存在点G,使ACJL平面ER7C.存在点G,使平面EFG平面ACAD.设直线/G与平面ADAA所成角为。，则Sin。的最大值为半二、多项选择题9 .点M在Z轴上,它与经过坐标原点且方向向量为S=(1,-1,1)的直线I的距离为遥,则点M的坐标是()A.(0,0-3)B.(0,0,3)C.(,3)D.(,O,-3)10 .若=(3x,-5,4)与B=(X,2x,-2)的夹角为钝角,则X的取值可能为()A.lB.211.在如图所示的空间直角坐标系中,C.3D.4ABS-ABCQ是棱长为1的正方体，则()A.平面ABqA的一个法向量为(0,1,0)B.平面BCO的一个法向量为(IjI)C.平面4CA的一个法向量为(1,1,1)D.平面ABGR的一个法向量为(0,1,1)12 .已知平面a的一个法向量为=(1,2,-6点P(l,2,3)在内,则下列点也在“内的是()A.(3,6,l)B.(2,3,6)C.(0,3,4)D.(3,3,T)三、填空题13 .已知空间向量)=(2,1,2)力=(1,2,2),则"H=.14 .如图,正四棱柱ABCD-ABGDl中,设Ao=1,OR=3,点P在线段CC1上,且CTP=2PC,则直线A1P与平面PBD所成角的正弦值是.15 .如图,在三棱锥OABC中,。是BC的中点,若OA=,03=b,OC=c，则AD等于16 .如图,在长方体/WCO-AgCQ中,瓦尸分别为AR,BG的中点,G是线段EF上一点,满足EF=4GF，若DG=xD1A+yDl4+z则工+>+z=.四、解答题17 .如图,四棱锥尸一ABC。的底面为正方形,W底面48CD设平面RIo与平面(1)证明：/_L平面PDC;(2)已知PD=4)=1,。为/上的点,求PB与平面QCO所成角的正弦值的最大值.18 .如图,在四棱锥P48CD中,平面R4Z)J_平面ABCD,E为AO的中点、,PA工AD，BE/CD，BEdLAD，PA=AE=BE=2,CD=lP(1)求点A到平面PCD的距离；(2)求直线PE与平面PBC所成角的余弦值；(3)在线段PE上是否存在点M,使得DMH平面P8C?若存在,求出点M的位置;若不存在,说明理由.19 .如图,在四棱锥P-ABCD中,平面P3C_L平面ABCQ,底面ABC。是矩形,0,E分别是BC.PA的中点,平面经过点OQ,E与棱PB交于点F.（1）试用所学知识确定尸在棱PB上的位置；（2）若P3=PC=xL8C=2AB=2求E/与平面PCQ所成角的正弦值.20 .如图，已知空间四边形ABCO,Et分别是边AB,A。的中点，F,G分别是边CB,C。上的点，且C户=2cb,CG=2。.用向量法证明：四边形EPG”是梯形.3321 .如图，四棱柱ABC。ABeA中，侧棱A1AL底面ABaAB/DC,ABA.AD,AD=CD=tAD=CD=fE为棱AAl的中点.（1）证明4GjCE;（2）求二面角g-CE-C的正弦值.（3）设点M在线段GE上，且直线AM与平面A。A所成角的正弦值为也，求线段AM的长.22 .如图，已知四棱台A8CO-A4GQ的上、下底面分别是边长为2和4的正方形,AA=4,且AA_L底面A8CO,点P,。分别在棱OR,BC上.(1)若P是。2的中点，证明：AilPQ;4(2)若PQ平面ABBI4，二面角P-QQ-A的余弦值为求三棱锥A-。PQ的体积.参考答案1 .答案：c解析：由题设小2),则8S画止氤I=豆EI诉诉专所以sin(AP,)=QI-CoS21AP,f=,而IAP卜3,故P到/的距离为MSin”,州半.故选:C2 .答案：A解析：根据题意,结合正方体的性质，可知AE=A4+4E=AAI+344+；AA=AAi+AB+AD,所以有X=Ly=L2 2故选：A.3 .答案：B解析：如图,连接CQ因为RQ分别是CFAB的中点，P=PC+Ce=FC+(CA+CB)=-AD+(-AC+A-AC)=B-AC-D,贝U+b+c=T故选：B.4 .答案：A解析：建立如图所示空间直角坐标系,不妨设AB=AZ)=1，AAl=2则DC=(0,1,0),DB=(1,1,0),DCi=(0,1,2)设平面BDC的法向量为=(苍y,Z),则."°'=x+y=°,令z=l,则y=-2,x=2,所以7=(2,-2,1).nDC1=y÷2z=0设CD与平面BDCl所成角为6,故选：A.5 .答案：B解析：依题意可得A8=(L1,2),BC=(I,-1,0),。A=(L2,0卜设平面ABC的一*个法向量为=(X,y,z),r,.nAB=-x-y+2z=0人r11l-rzzl/、则1,令X=I,则可得y=Lz=1，即=(1J1卜nBC=X-y=0、OA21+2L所以点。到平面ABC的距离是d=J=牛=6故选:B6 .答案：B解析：连接AC、AC,可得AB+40=Ad，又Cc=M，所以AB+AD-CG=AC-AAI=4。.故选:B.7 .答案：C解析：以A为原点/民ACAD所任的直线分别为X轴J轴,Z轴，建立如图所示的空问直角坐标系,则B(6,0,0),C(0,6,0),O(O,(),6),£(3,0,0),F(0,0,4)得0(2,2,2),Ef=(3,0,4)取4=EO=(-1,2,2)，=-i-=-(-3,0,4)=f-,0,1则方=g,an=IEF5k55)5所以点。到直线48的距离为击2_(a“)2=冬等.故选：C.8 .答案：C解析：对于A,平面A。AA平面8CG4,所以G到平面BE尸的距离为定值，又S阴所为定值，所以%m=%lMg为定值，故A正确对于B,以。为原点，DAfDC,OA的方向分别为JGy,z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则C(0,2,0),4(2,0,2),E(l,2,2),F(2,2,l),所以AC=(-2,2,-2),DAy=(2,0,2),EF=(1,0,-1),设QG=几DAl(O41),则G(2%0,2;l),所以EG=(2-2i2-2)f设平面MG的法向量为=,zj,则W1EF=X1-Z1=O,取M=I,得"=(1,2”羽，若AQ平面nlEG=(22-l)x1-2y1+(2-2)zl=0,2)EFG,则4。4，即二二二行=二，解得4=1,所以当G为线段AQ上靠近。的127142四等分点时，ACj平面EFG,故B正确对于C,A(2,0,0),D1(0,0,2),则AC=(-2,2,0),Aa=(-2,0,2),设平面ACA的法向量为电式务为修)，则Ji2AC=-Ix2+2y2=0,=h得叫=(Ll/)，若平面EFG平面ACA,则w2ADi=-2x2+2z2=0,/&,即1=解得4=3,又0ll,不合题意，故C错误.122-2142对于D,FG=(22-2,-2,22-1),平面AORA的一个法向量为=(。，1，。)，IFGI=(22-2)2+(-2)2+(22-1)2=822-122+9,m.夕/"xFGn22222则sin=cos<FG,w)I=：=-i=7=，f,Gn82-122+9(,3丫9回3V-7J+2V所以sin。的最大值为也，故D正确.故选C.39 .答案：AB解析：设M(0,0,m),则OM=(0,0,6)，又直线的方向向量为s=(1,T,1),所以点M直线/的距离=Jom"_°廿=卜_哈戈,所以加=±3,则M(0,0,3)或M(0,0,-3)故选：AB.10 .答案：ABC解析：根据题意,若=(3x,-5,4)与b=(x,2x,-2)共线,则有围=4，无解,即两个向量不会共线，若=(3x,-5,4)与Z?=(x,2x,-2)的夹角为钝角,必有«Z?=3x2-10x-8<0，解可得:-2VXV4,分析选项:X=1,2,3符合，3故选:ABC.11 .答案：AC解析：由题意，知A(0,0,0),B(LO,0),C(1,l,0),O(OJO),B1(1,0,1),C1(l,l,l),D1(0,1,1).AD=(0,1,0),Ac)_L平面A84A，故A正确；CD=(-1,0,0),且(LLI)(TO,0)=-l0,(1,1,1)不是平面BQO的法向量，故B不正确；B1C=(0,1,-1),CD1=(-1,0,1),(IJJ)(0,1,-1)=0,(1,1,1)(T,0,1)=0,又MCCR=C,.(U,1)是平面3。的一个法向量，故C正确；BC1=(0,1,1),且(0,l,l)(0,l,l)=2w0,.(0,1)不是平面ABCQ的法向量，故D不正确.12 .答案：BC解析：若A(X,y,z)为Q内的点且与P不重合,则PA=(X-l,y-2,z-3),又平面a的一个法向量为=(l,2,T)4J"PA=x-l+2y-4-z+3=x+2y-z-2=0,即x+2y-z=2,显然(3,6,1)(3,3,-1)不满足,(2,3,6卜(0,3,4)满足.故选:BC13 .答案：2解析：因为空间向量)=(2,1,2),0=(1,2,2),贝=(l,2,2)-(2,1,2)=(-1,1,。)，因此,卜=J(_1)2+产+02=0故答案为：2.14 .答案：32-233解析：以。为坐标原点,ZM,。CoA所在直线分别为XJ,z轴,建立空间直角坐标系,则A(1,0,3)，P(O,1J),8(1,1,0),3(0,0,0),则,DP=(x,y,z)(0,l,l)=y+z=0mDB=(x,y,z)(1,1,0)=x+y=O令y=l,则X=Z=-I,故而=(7,1,7)，设直线AP与平面PBO所成角大小为O，则sin"cos”'A户).MMI(TlT)H)1+1+220J，Awi.APT7T×7T743×63，故答案为：2包315.答案：-a+-b+-c22解析：由图可得AO=Ao+O8+8O=OA+O8+，(OCOB)=a+，Z?+，c.2、722故答案为：-4+!+!(?.2216 .答案：-/0.8758解析：建立如图所示空间直角坐标系,设A(a,O,O),C(0,b,0)，D1(0,0,c)(a>0,>0,c>0)，,所以M = （O也0）,因为其尸分别为AR,BG的中点,所以七（4,0,£,尸（也£<22）22）又因为Ek=4G户,所以g(,*,所以Z)IG=(I,号,又因为AA=(a,0,C),AS=(a,尻O),AC=(O*,c)，AG=xA+)，S+zQC，=xa+ya12=x+y1X=-8所以"=yb+zb,所以，4C=y+z,解得,4y=3,所以x+y+z=2,8813=-XC-ZC=-x-zZ=-I228故答案为:N或0.875.817 .答案：（1）证明见解析；（2）亚.3解析：证明：在正方形ABCQ中,4f>8C,因为4。U平面P3C,8Cu平面PBG所以AD平面P8C,又因为a。U平面附。,平面P4。平面PBC=/,所以A。/,因为在四棱锥P-ABCD中,底面ABCO是正方形，所以Ae）J.OC,/_LOC且PDJ_平面ABCD以ADLPD，.工PD，因为Cf>11尸。=。，所以/上平面POc（2）方法一【最优解】：通性通法因为QP,D4,OC,两两垂直,建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示：因为2力=AO=I,设。(0,0,0),C(O,1,0),A(1,O,O),P(0,0,1),B(l,1,0)设。(加,0,1),则有DC=(0,1,0),DQ=(6,0,1),PB=(1,1,-1)设平面QCD的法向量为=(,乂Z),则严二°,即卜°,DQn=Owu+z=O令X=I,则Z=-"7,所以平面QCD的一个法向量为=(1,0,_m)，则 cos < n, PB >=nPB1+0+WHp3.w2+1根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线尸3与平面QCo所成角的正弦值等于Icos</?,PB>=J1=3w2+13H+3J+*g*,3Vw+13Vw2÷l33当且仅当m=1时取等号,所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为在.3方法二：定义法如图2,因为/u平面尸8。,。£/,所以。平面PBC.在平面PQC中,设P8QC=E.在平面外。中,过P点作PF±QD,交QD于E连接EF.因为POj_平面ABCD,DCU平面ABCD以。C_LP。又由OCJ,AD,A。PO=DPoU平面外。,ADu平面R4O，所以DCJL平面PA£).又Wu平面以D所以。C_LPr.又由尸产JQO,QD力C=O,QDu平面QOCu平面QOC所以尸产J_平面QDC,从而ZFEP即为PB与平面QCD所成角.设PQ=",在PQD中,易求PF由APQE与ZXBEC相似,得竺=丝=，可得PE=«.EBBC1a+所以 SinNFEP =,当且仅当 =1时等号成立.方法三:等体积法如图3,延长CB至G,使得BG=PQ,连接GQ,G。,则PBHQG,过G点作GM_L平面QDC,交平面QOC于M连接QM,则/GQM即为所求.设PQ = X ,在三棱锥Q-£)CG中,DCG= -PD-CD(CB + BG) = -(l + x) . 326在三棱锥G-Qr）C中QDC=gGMgc3QO=gGMgmr.由NQ-DCGVG-QDC（1+x）=-GM-jl+x2，O32解得GM=黑=符强斥"当且仅当X=I时等号成立.在RtNDB中,易求PB=后=QG，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为sinNMQG=18 .答案：（1）生叵5（2）晅7（3）当点M为PE的中点时,有OM/平面PBC解析：（1）作&_L平面ABC。,又BEJLAD,所以以匹，Eo的方向分别为X轴J轴的正方向,建立如下图所示的空间直角坐标系E-xyz:P因为平面P4D_L平面ABC。,平面/%。平面ABeE)=4),且RAJ_AD，PAu平面以。，所以BAJ_平面ABCD又因为E为Ao的中点，24=4七=8石=2，且8£7/8,8石_1_4£，8=1，所以由题意有A(0,-2,0),尸(0,-2,2),0(0,2,0),C(1,2,0),所以有PA=(0,0,-2),PC=(1,4,2),PD=(0,4,-2),不妨设平面PCD的法向量为%zJ,所以有,pc=°,即上+町2=。，/Z1PD=O4y1-2z1=O取y=1,解得Zi1=(0,1,2),所以点A到平面PCo的距离为d=I华m=°oy+(二2)H”.同I02÷l2÷225（2）如图所示:由题意有E(0,0,0)，P(0,-2,2),B(2,0,0),C(l,2,0),所以有P左=(0,2,-2),PC=(1,4,-2),PB=(2,2,-2%不妨设平面PBC的法向量为%=（2,%,Z2%所以有欧PC=°,即W"Z=O,n2PB=O2x2+2y2-2z2=0取=2,解得巧=(2,1,3),不妨设直线PE与平面PBC所成角为“e0,|所以直线PE与平面P8C所成角的正弦值为制I廿"所以直线尸E与平面P3C所成角的余弦值为COSe=Jl-sin?6(3)如图所示:由题意有E(0,0,0),P(0,-2,2),O(0,2,0),所以O巨=(0,-2,0),砂=(0,-2,2),由题意不妨设EM=/IE?(OVAV1),所以Zw=OE+EM=DE+EP=(0,-2,0)+(0,-2,2)=(0,-2-2,2),又由(2)可知平面PBC的法向量为电=(2,1,3),若。M平面P8C,则DM%=0，即-22+6=O,解得=»2所以当点M为尸E的中点时,有DM/平面PBC19 .答案：(1)见解析叵3解析：(1)过产作直线/与BC平行,延长OE与/交于点G,连接OGQG与PB的交点即为点F.因为底面ABCD是矩形,0是BC的中点，所以4D/BC，且AD=20B又1/BC，所以lAD,因为E是心的中点,可得PG=AO,则尸G=208,所以P/=28/.故尸在棱PB的靠近B的三等分点处.(2)因为尸B = PC，。是BC的中点,所以尸OJ.6C，又平面尸5C_L平面ABC。,平面P8C平面ABCD=BC, 尸OU平面PBC,所以POL平面ABCD.取AD中点Q连接。,易知。,0C,。尸两两相互垂直， 如图,分别以。,。COP为XJ,z轴建立空间直角坐标系, 则 A(L-1,O), 8(0, To), C(0,l,0), O(LLo),尸(0,0,&),Ao = (0,2,0),8 = (1,0,0),CP = (O,T)=。,即 m-CP = 0,X = °,人_y + &0/z = l，则 y = ,所以m = (,lbEF = PF-PE = -PB-PA =32(,-l,-2)-(l,-l,-2j =设所与平面PCQ所成角为。，EF m则 Sin .2一 3 '所以EF与平面Peo所成角的正弦值为变.320 .答案：证明见解析解析：证明：连接B。，E,”分别是边AB,A。的中点，11"33、33.EH=-BD=-(CD-CB)=-CGCF=一(CG-CF)=FG,222122J443/.EHHFG,且E"=2R7w7G,4又尸不在石”上，.四边形EFGH是梯形.21、(1)答案：见解析解析：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0),8(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(l,2,l),E(0,l,0).证明：易得BG=(1,0,T),CE=(-1,1,-1),于是BClC巨=。，：.BKl上CE./c、次G2?(2)答案：山7解析:B1C=(1,-2,-1),设平面BCE的法向量机=(x,y,z),WJ BcZn = O CEm = Ox-2y-z=0-x+ y-z = 0消去X,得y+2z=0,不妨令z=l,可得一个法向量为m=(-3,-2,1).由(1),B1C1±CE,又CeJ_8G，可得8£J_平面C£G，故8©=(1,0,-1)为平面CEG的一个法向量.inBiC42>*wB1C114×2"从而sin(w,BG)=-i,故二面角用-CE-G的正弦值为岑(3)答案：2解析：AE=(0,1,0),EC1=(1,1,1).设EM=；IEG=(Z九，0ll,有AM=AE+EM=(44+1,/1).可取AB=(0,0,2)为平面ADD.A1的一个法向量.设夕为直线4M与平面A。A所成的角，则sin=|COSAM,A8I=AM-O一AMhAB222+(+l)2+22×23+22+l,于是“=",解得入=_1(4=一_1舍去),32+2+1635.AM=&22.答案：(1)证明见解析解析：(1)以A为坐标原点，AB9AD,AA1的方向分别为X,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),与(2,0,4),O(0,4,0),D1(0,2,4),则做=(2,0,4).设Q(4,利,0),0m4,若是OQ的中点，则P(),3,2),则PQ=(4,-3,-2),于是4gPQ=O,所以A8J,PQ,KPABxLPQ.(2)由(1)知OQ=(4,m-4,0),DDi=(0,-2,4),设=(x,y,z)是平面PoQ的法向量，n,D0=O,4x+(w-4)j=0,则,即<%DD=O,-2y÷4z=0,取=4,得"=(4-九4,2)是平面PQQ的一个法向量.4又平面AQD的一个法向量是n2=(0,0,1),二面角P-QD-A的余弦值为§,所以cos(i,w2)="2=2:=2=4,ww2(4-w)2÷42+22(4-W)2+209解得团=1或加=2(舍去)，此时Q(4,0122V2J设。尸=XoA(O<41),则P(0,4-2%42),P=(4,22-p-4),因为PQ平面ABgA,且平面AB&A的一个法向量是%=(。，1，0)，所以尸Q"=0,EP22-=0,解得I=L从而P(O,Z,1).242将三棱锥A-OPQ看作以AAOQ为底面的三棱锥P-AOQ,则其高力=1,111Q故三棱锥A-。PQ的体积V=IS%Q=jx5x4x4xl=1.