八年级下学期《平行四边形》单元测试卷专项训练卷(附解析点评).docx

新版八年级下学期平行四边形单元测试卷一.解答题(共40小题)1 .如图，在aABC中，ZBAC=90o,Az)是中线，七是Ao的中点，过点A作A尸BC交8E的延长线于尸，连接CK(1)求证：AD=AFt(2)如果AB=AC,试判断四边形AoC尸的形状，并证明你的结论.2 .四边形ABCO为正方形，点E为线段AC上一点，连接OE过点E作EfLOE,交射线BC于点F,以OE、E产为邻边作矩形OEFG,连接CG.(1)如图1,求证：矩形OEFG是正方形;(2)若4B=2,CE=求CG的长度;(3)当线段OE与正方形ABCO的某条边的夹角是30°时，直接写出NErC的度数.B3 .如图，在mABCo的形外分别作等腰直角尸和等腰直角4AOE,N¾8=NEAO=90°,连接AC、EF.在图中找一个与47¾E全等的三角形，并加以证明.,点E在边BC上，点尸在边CO上.(1)如图1,若E是BC的中点，ZAEF=60°,求证：BE=DF;(2)如图2,若NEA尸=60°,求证：ZXAE尸是等边三角形.5 .如图，在平行四边形ABCO中，点七、尸分别在A8、CO上，AE=CF,连接AF,BF,DE,CE,分别交于“、G.求证：(2) E尸与G”互相平分.(1)四边形AEC尸是平行四边形.6 .如图，在正方形ABCO中，点E,尸分别在边A8,BC上，ZADE=ZCDF.(1)求证：AE=CF(2)连接DB交EF于点0,延长08至点G,使OG=O£),连接EG、FG,判断四边形OEG尸是怎样的四边形，并说明理由.DC7 .如图，在等边三角形A8C中，BC=6cm,射线AGBC,点E从点A出发沿射线AG以Icmls的速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以Icmls的速度运动，设运动时间为(5).(1)连接EH当E产经过AC边的中点。时，求证：ADECDF;(2)当，为多少时，四边形AC尸石是菱形.8 .如图，矩形ABCo中，延长AB至E,延长C。至F,BE=DF,连接EH与BC、A。分别相交于P、Q两点.(1)求证：CP=AQ;(2)若BP=I,PQ=2加,NAE产=45°,求矩形ABS的面积.9 .如图，矩形ABCo的对角线AC,BD相交于点0,点E,尸在B。上，BE=DF.(1)求证：AE=CFi，求矩形ABCO的面积.10 .已知：矩形ABCO中AD>A8,0是对角线的交点，过。任作一直线分别交BC、A。于点、M、N(如图).(1)求证：BM=DN;(2)如图，四边形AMNE是由四边形CMNo沿MN翻折得到的，连接CM求证:四边形AMCN是菱形;(3)在(2)的条件下，若ACON的面积与aCMN的面积比为1：3,求幽的值.DNAAD.CF,经测量发现4D=CF.(1)他将正方形0。EF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2,试判断A。与CF还相等吗？说明你的理由；(2)他将正方形ODEF绕。点逆时针旋转，使点E旋转至直线/上，如图3,请你求出12.阅读在平面直角坐标系中，以任意两点P(XI,yi)、Q(X2,")为端点的线段中点坐标为zxl+x2¥1+¥2运用(1)如图，矩形ONE尸的对角线相交于点M,OM。尸分别在X轴和y轴上，O为坐标原点，点七的坐标为(4,3),则点M的坐标为.(2)在直角坐标系中，有A(-1,2),B(3,1),C(l,4)三点，另有一点。与点A、B、。构成平行四边形的顶点，求点。的坐标.13.如图，在平行四边形ABCO中，ZC=60o,M、N分别是A。、BC的中点，BC=2CD.(1)求证：四边形MNCo是平行四边形;14 .如图，在aABC中，点0是AC边上(端点除外)的一个动点，过点0作直线MNBC.设MN交NBCA的平分线于点E,交NBCA的外角平分线于点F,连接AAAF.那么当点0运动到何处时，四边形AEC/是矩形？并证明你的结论.15 .如图，矩形ABCo中，E是AD的中点，延长CE,BA交于点尸，连接AcDF.(1)求证：四边形ACD/是平行四边形；(2)当CF平分NBCO时，写出BC与CQ的数量关系，并说明理由.16 .如图，在矩形ABCO中，对角线AC与5。相交于点O,过点A作AE80,过点。作ED/AC,两线相交于点E.(1)求证：四边形AOz)E是菱形；(2)连接8E,交AC于点F.若BELED于点、E,求NA0。的度数.17 .如图，四边形ABCD是平行四边形，E、尸是对角线8。上的点，Z1=Z2.(1)求证：BE=DFi18 .如图所示，已知四边形ABCO,AoE户都是菱形，ZBAD=ZFAd,NBAD为锐角.(1)求证：ADLBF；(2)若BF=BC,求NAOC的度数.19 .如图，AABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边8C上的高，点E、尸分别是A8、AC的中点.(1)求证：四边形AED尸是菱形；(2)如果四边形AEDF的周长为12,两条对角线的和等于7,求四边形AEDF的面积S.20 .如图，在菱形ABCO中，对角线AC、8。相交于点。过点0作一条直线分别交。A、Be的延长线于点E、F,连接BE、DF.(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)三EF.LAB,垂足为M,tanNB0=l,求0W：MF的值.221 .如图，O是菱形ABCO对角线AC与8。的交点，CD=5cm,OD=3cm;过点C作CE/DB,过点8作BEAC,CE与BE相交于点£(1)求OC的长；(2)求证：四边形08EC为矩形;(3)求矩形08EC的面积.22 .如图，在aABC中，AB=AC,ADLBCf垂足为点ZAN是aABC外角NCAM的平分线，CE工AN,垂足为点M(1)求证：四边形4。CE为矩形；(2)当aABC满足什么条件时，四边形A。CE为正方形？给出证明.23 .如图，ZXABC是等腰直角三角形，NA=90°,点P、Q分别是A8、AC上的一动点,且满足BP=AQ,。是BC的中点.(1)求证：4POQ是等腰直角三角形；(2)当点P运动到什么位置时，四边形APoQ是正方形，并说明理由.24 .如图，ZABC中，点。是边AC上一个动点，过O作直线MNBC,设MN交N8C4的平分线于点及交NBCA的外角平分线于点E(1)探究：线段OE与O尸的数量关系并加以证明：(2)当点。在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明；若不是，则说明理由；(3)当点O运动到何处，且4ABC满足什么条件时，四边形AEC尸是正方形？25 .如图，在固48C。中，A8=3,AO=4,NABC=60°,过3C的中点上作ELLAB,垂足为点F,与。的延长线相交于点H.(1)求证：ABEF94CEH(2)求Z)E的长.26 .如图，团ABC。的对角线AC8。相交于点O,E尸过点O且与AB、CO分别相交于点E.F,连接EC(1)求证：OE=OF;(2)若ELLAC,ZBEC的周长是10,求ElABCO的周长.27 .如图(*),四边形ABCO是正方形，点E是边BC的中点，NAEF=90°,且E/交正方形外角平分线b于点F.请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题.(1)探究1：小强看到图(*)后，很快发现AE=E凡这需要证明AE和所所在的两个三角形全等，但aABE和aEC尸显然不全等(一个是直角三角形，一个是钝角三角形)，考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M,连接EM后尝试着去证aAEMgEFC就行了，随即小强写出了如下的证明过程：证明：如图1,取AB的中点M,连接EM.ZAEF=90°ZFEC+ZAE=90o又NEAM+NAEB=90°"EAM=NFEC点及M分别为正方形的边BC和AB的中点J.AM=EC又可知aBME是等腰立角三角形/.NAME=I35°又C尸是正方形外角的平分线AZECF=135°AEMEFC(ASA)J-AE=EF(2)探究2：小强继续探索，如图2,若把条件''点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论.(3)探究3：小强进一步还想试试，如图3,若把条件“点七是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由.28.如图，在团ABoC中，分别取AC、8。的中点E和尸，连接BE、CF,过点A作APBC,交OC的延长线于点尸.(1)求证：ABDCF;(2)当NP满足什么条件时，四边形BEC户是菱形？证明你的结论.(1)求证：AD=AE(2)如图2,点P在线段BE上，作EFLDP于点F,连接AF,求证：DF-EF=2AF;(3)请你在图3中画图探究：当尸为射线EC上任意一点(尸不与点E重合)时，作EF垂直直线OP,垂足为点八连接AF,线段OREF与A尸之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论.30 .如图，NABM为直角，点C为线段BA的中点，点。是射线BM上的一个动点(不与点B重合)，连接A0,作BE_LA。，垂足为E,连接CE,过点E作E凡LCE,交BD于(1)求证：BF=FDi(2)点。在运动过程中能否使得四边形AC所为平行四边形？如不能，请说明理由；如能，求出此时NA的度数.31 .如图1,在正方形ABC。中，E、尸分别是边A。、Oe上的点，S.AF±BE.(1)求证：AF=BEi(2)如图2,在正方形ABCO中，M、N、P、。分别是边A8、BC.CD、DA上的点,且MP_LNQ.MP与NQ是否相等？并说明理由.图1图232 .如图，四边形A8CD、BEFG均为正方形,(1)如图1,连接AG、CE,试判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明；(2)将正方形BEFG绕点B顺时针旋转角(0°<<180o),如图2,连接AG、CE相交于点M,连接MB,当角B发生变化时，NEM8的度数是否发生变化？若不变化，求出/EM8的度数；若发生变化，请说明理由.(3)在(2)的条件下，过点A作AN_LM8交MB的延长线于点M请直接写出线段CM与BN的数量关系：.33.如图，在正方形ABCO中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB.(1)求证：丛BCPmADCP；(2)求证：ZDPE=ZABC:(3)把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变(如图)，若NA8C=58°,则NoPE二度.图图34 .如图，在团ABCO中，/ABC的平分线交4£于点E,延长BE交C。的延长线于F.(1)若N尸=20°,求NA的度数；(2)若48=5,BC=S,CELAD,求ZABCZ)的面积.35 .已知：如图，在矩形A8C。中，M、N分别是边A。、BC的中点，E、尸分别是线段8M、CM的中点.(1)求证：ZA8M妾£)CM；(2)判断四边形MEN厂是什么特殊四边形，并证明你的结论.36 .如图，已知四边形ABOE是平行四边形，C为边8。延长线上一点，连结AC、CE,使AB=AC.(1)求证：Z84O/ZXAEC(2)若N8=30°,NADC=45°,BD=IO,求平行四边形ABDE的面积.37 .如图，团ABCO放置在平面直角坐标系中，已知点A(2,0),B(6,0),D(0,3),反比例函数的图象经过点C(I)求反比例函数的解析式：(2)将国ABC。向上平移，使点B恰好落在双曲线上，此时A,B,C,O的对应点分别为A',B',C',，且C'O'与双曲线交于点E,求线段AA'的长及点七的坐标.38 .如图，团ABCo中，AB=2,AO=I,ZADC=60o,将固48Co沿过点A的直线/折叠,使点£)落到AB边上的点O'处，折痕交边于点E.(1)求证：四边形BCEQ'是菱形；(2)若点P是直线/上的一个动点，请计算尸。+PB的最小值.39 .如图，已知正方形ABe。，把边。C绕。点顺时针旋转30°到oC'处，连接AC',BC,CC,写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程.40 .如图，在边长为6的正方形ABCO中，点尸在AB上从A向8运动，连接OP交AC于点。，连接BQ.(1)试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有AAOQ且ZABQ;(2)当aAOQ的面积与正方形ABC。面积之比为1：6时，求B。的长度，并直接写出此时点尸在AB上的位置.人教五四新版八年级下学期第25章平行四边形2019年单元测试卷弁考答案与试题解析一.解答题(共40小题)1 .如图，在aABC中，ZBAC=90o,AD是中线，E是AO的中点，过点A作A尸BC交BE的延长线于尸，连接CE(1)求证：AD=AF;(2)如果A8=AC,试判断四边形AOC/的形状，并证明你的结论.【分析】(1)由E是4。的中点，AF/BC,易证得AAMgZXOEB,即可得A/=BO,又由在aABC中，ZBAC=90o,A。是中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可证得AO=BQ=CD=LbC,即可证得：AD=AF;2(2)由A尸=8。=。，AF/BC,可证得：四边形AoC尸是平行四边形，又由AB=AC,根据三线合一的性质，可得AO_LBCAD=DC,继而可得四边形4。C厂是正方形.【解答】(1)证明：1A尸BC,：.AEAF=EDB,IE是AD的中点,AE=DE,在AAE/和aOEB中，'NEAF二NEDB<AE=DE，Zaef=ZdebAEFDEB(ASA)fC-AF=BD,在aABC中，ZBAC=90o,Ao是中线，：.AD=BD=DC=-BC,2JAO=AF;(2)解：四边形AoC尸是正方形.'：AF=BD=DC,AF/BC,四边形ADCF是平行四边形，TAB=AC,Az)是中线，AD-LBC,:AD=AF,四边形AoCF'是正方形.【点评】此题考查了正方形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.2.四边形ABCO为正方形，点E为线段AC上一点，连接OE,过点E作EfLOE交射线BC于点F,以OE、E尸为邻边作矩形OMG,连接CG.(1)如图1,求证：矩形OE尸G是正方形；(2)若48=2,CE=M,求CG的长度；(3)当线段OE与正方形ABCO的某条边的夹角是30°时，直接写出NEFC的度数.【分析】(1)作EP_LC。于P,EQ_LBC于Q,证明RtZXEQFgRtZXEPD,得到Er=E。，根据正方形的判定定理证明即可；(2)通过计算发现七是AC中点，点尸与C重合，a)G是等腰直角三角形，由此即可解决问题.(3)分两种情形考虑问题即可；【解答】(1)证明：作EP_LCo于REQ_L8C于Q,TNOCA=NBC4,.EQ=EP,：NQEF+/FEC=45°,NPED+NFEC=45°,：NQEF=PED,在RtAEQF和RtAEPD中，rZQEF=ZPED<EQ=EP，Zeqf=ZepdRtEeRtEPD,C-EF=ED,矩形OEFG是正方形;(2)如图2中，在RtZXABC中.AC=2AB=22*EC=®：,AE=CE,，点尸与C重合，此时AOCG是等腰直角三角形，易知CG=e(3)当OE与AO的夹角为30°时，ZEFC=120°,当。E与OC的夹角为30°时，NEFC=30°综上所述，ZEFC=120°或30°.图1【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题.3.如图，在mABCO的形外分别作等腰直角aABF和等腰直角4AOEN¾8=NEAo=90°,连接AC、EF.在图中找一个与物E全等的三角形，并加以证明.【分析】由四边形ABC。是平行四边形，易得AO=8C,AD/BC,即可得N8AD+NA8C=180°,又由AAB尸和aAOE是等腰直角三角形，可得AE=8C,NFAE=/ABC即可证得布E丝ZXBAC又由aABC丝ZCD4,可得或EgZXCDA.【解答】E丝Z8AC或演EgZXCOA.证明：V四边形ABCO是平行四边形，AD=BC,AD/BC,NBA。+/ABC=I80°,:AB尸和aAOE是等腰直角三角形，AF=AB,AE=AD,ZBAF=DAE=9Qo,C-AE=BC,ZME+ZBAD=360o-ZBAF-ZDAE=180°,ZFAE=ZABC,在aaiE和AABC中，'AF=AB<NFAE=NABC，AE=BCMEAfiC(SAS).四边形ABCD是平行四边形，：.AB=CD,AD=BC,在aABC和aCDA中，AB=CD<ACXA，BC=DAABCCDA(SSS),MECDA.【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.4.菱形ABCD中，B=60°,点E在边BC上，点尸在边CO上.(1)如图1,若E是BC的中点，NAEr=60°,求证：BE=DF;(2)如图2,若NEA尸=60°,求证：ZXA所是等边三角形.【分析】(1)首先连接AG由菱形ABCO中，NB=60°,根据菱形的性质，易得aABC是等边三角形，又由三线合一，可证得AE_L8C,继而求得NFEC=NCFE,即可得EC=CF,继而证得BE=OF;(2)首先由4ABC是等边三角形，即可得AB=AC,以求得NAC=N8=60°,然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得NAEB=NA尸C,证得aAEBgZXAFC,即可得AE=AF,证得：AAE尸是等边三角形.【解答】证明：(1)连接AC,;在菱形ABCO中，Z=60o,：.AB=BC=CD,ZC=180o-ZB=120°,*.丛ABC是等边三角形，IE是BC的中点,AE±BC,VZAEF=60°,ZFEC=90o-ZAEF=30°,ZCFE=I80o-ZFEC-ZECF=180°-30°-120°=30°,：.AFEC=ACFE,EC=CF,C-BE=DF(2).ZA8C是等边三角形,AB=AC,NACB=60°,：.ZB=ZACF=6Qo,ADBC.ZAEB=ZEAD=ZEAF+FAD=6Gq+ZFAD,NAFC=NO+N项。=60°+ZMD,NAEB=NAFC,在aA8E和AAC尸中，'NB二NACF<Zaeb=ZafcAB=ACBEACF(AS),.AE=Af,VZEAF=60o,J ZXAEF是等边三角形.【点评】此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质.此题难度适中，注意准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用.5.如图，在平行四边形ABCo中，点A尸分别在AB、Co上，AE=CF,连接AF,BF,DE,CE,分别交于“、G.求证：(1)四边形AEb是平行四边形.(2)E尸与G”互相平分.AD【分析】(1)由平行四边形的性质得出ABCZ),AB=CD,由AE=CR即可得出结论；(2)由平行四边形的性质得出A尸CE,再证明四边形8匹OE是平行四边形，得出8尸。七，证出四边形EG/77是平行四边形，即可得出结论.【解答】证明：(1)Y四边形ABC。是平行四边形，.ABCD,AB=CD,:AE=CF,四边形AEC尸是平行四边形.(2)由(1)得：四边形AEC尸是平行四边形，：.AF/CE,:AE=CF,AB/CD,AB=CD,：,BE/DF,BE=DF,，四边形8/7)E是平行四边形，J.BF/DE,，四边形EGFH是平行四边形，"万与G”互相平分.【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟记一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键.6.如图，在正方形ABCD中，点瓦尸分别在边A8,8C上，ZADE=ZCDF.(1)求证：AE=CF(2)连接DB交EF于点0,延长OB至点G,使OG=OD,连接EG、FG,判断四边形。EG尸是怎样的四边形，并说明理由.【分析】(1)证明aAEgXb,根据全等三角形的性质证明；(2)根据全等三角形的性质得到DE=DF,证明DG是EF的垂直平分线，得到DE=EG=GF=GF,证明结论.【解答】(1)证明：Y四边形ABC。是正方形，.DA=DC,NA=NC=90°,在aoAE和a)c尸中，,ZADE=ZCDF，DA=DC，ZA=ZCDAEDCF,：.AE=CF(2)四边形OEG尸是菱形，VDAEDCF,：.DE=DF,:AE=CF,.BE=BF,DG是E尸的垂直平分线，IGE=GF,VOG=OD,DGLEF,.ED=EG,：.DE=EG=GF=FD,四边形OEG尸是菱形.【点评】本题考查的是正方形的性质、菱形的判定、全等三角形的判定和性质，掌握相关的性质定理和判定定理是解题的关键.7.如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm,射线AGBC,点E从点A出发沿射线AG以如Rs的速度运动，同时点尸从点B出发沿线射BC以2cw而的速度运动，设运动时间为t(5).(1)连接ER当E尸经过AC边的中点。时，求证：ZADE"CDF;(2)当，为多少时，四边形ACFE是菱形.【分析】(1)由题意得到AO=CO,再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用A4S即可得证；(2)若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6,由七的速度求出E运动的时间即可.【解答】(1)证明：.AG"8C,ZEAD=NDCF,ZAED=ZDFCt为AC的中点，.AD=CD,在aAOE和ACO尸中，'NEAD二NDCF<Naed=Ndfc,AD=CDADECDF(AAS)；(2)解：若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6,则此时的时间f=6÷l=6(5).故答案为：65.【点评】此题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质等知识，弄清题意是解本题的关键，动点问题是中考的热点，应加强动点问题的训练.8.如图，矩形ABC。中，延长AB至E,延长8至尸，BE=DF,连接E尸，与BC、AO分别相交于P、Q两点.(1)求证：CP=AQ;(2)若BP=LPQ=2®NAE尸=450,求矩形A8CO的面积.【分析】(1)由矩形的性质得出NA=NABC=NC=NAoC=90°,AB=CD,AD=BC,ABCD,AD/BC,证出NE=N尸，AE=CF,由ASA证明aCQgZXAEQ,即可得出结论；(2)证明48EPZAEQ是等腰直角三角形，得出BE=BP=I,AQ=AE,求出PE=H8P=2得出EQ=PE+PQ=3,由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出AQ=AE=3,求出AB=AE-8E=2,OQ=BP=I,得出4O=AQ+OQ=4,即可求出矩形ABa)的面积.【解答】(1)证明：Y四边形ABCz)是矩形，ZA=ZABC=ZC=ZADC=90o,AB=CD,AD=BC,AB/CD,AD/BC,ZE=ZF,：BE=DF,：.AE=CF,rZC=ZA在ACFP和AAEQ中，CF=AE，ZF=ZECFPAEQ(ASA),JCP=AQ(2)解：VAD/BC,ZPBE=ZA=90o,VZAEF=45o,:ABEP、aAEQ是等腰直角三角形，1.BE=BP=LAQ=AE,：.PE=不浊P=M,E=PE+P=2÷22=32».AQ=AE=3,.AB=AE-BE=2,:CP=AQ,AD=BC,.DQ=BP=,.AO=AQ+Z)Q=3+1=4,，矩形ABCD的面积=A8AO=2X4=8.【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.9.如图，矩形ABCo的对角线AC,8。相交于点。，点E,产在8。上，BE=DF.(1)求证：AE=CF;(2)若48=6,NCoo=60°,求矩形ABC。的面积.【分析】(1)由矩形的性质得出OA=OC,0B=0D,AC=BDtNA8C=90°,证出OE=OF,由SAS证明AAOE段ZXCO凡即可得出AE=CB(2)证出aAOB是等边三角形，得出OA=A8=6,AC=2OA=2,在RtZXABC中，由勾股定理求出BC=JAC2-ab2=65,即可得出矩形ABCo的面积.【解答】(1)证明：四边形ABe。是矩形，OA=OC,OB=OD,AC=BDtZABC=90°,：BE=DF,JOE=OF,OA=OC在aaoe和aco尸中，<Zaoe=Zcof，OE=OFAOEACOF(SAS),：.AE=CF(2)解：VOA=OC,OB=OD,AC=BD,：.OA=OB,TNAOB=NCoo=60°,AAOB是等边三角形，,OA=AB=6,AC=2OA=2,在RtZXA5C中，8C=Jac2-ab2=6，矩形ABCO的面积=A88C=6X6=36.【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和求出BC是解决问题的关键.10.已知：矩形ABCO中AD>AB,O是对角线的交点，过。任作一直线分别交8C、A。于点M、N(如图).(1)求证：BM=DN;(2)如图，四边形AMNE是由四边形CMM)沿MN翻折得到的，连接CM求证:四边形AMCN是菱形；(3)在(2)的条件下，若aCON的面积与ACMN的面积比为1：3,求购的值.DN【分析】(1)连接8。，可证明AOBMgZXODN,则BM=ON;(2)先证明四边形AMCN是平行四边形，再由翻折得，AM=CM,则四边形AMaV是菱形；(3)又SdCDN：SMMN=L3,可得DN：CM=I:3,设DN=k,则CN=CM=3攵，过N作NG_LMC于点G,则可求出NG和MN,从而求出比值.【解答】(1)证法一：连接8。，则8。过点O,ADBC,：.OBM=ZODN,又OB=OD,/BOM=/DON,：A0BM%40DN,：BM=DN；证法二：矩形ABCO是中心对称图形，点0是对称中心,：.B、。和M、N关于O点中心对称，1.BM=DN；(2)证法一：矩形A8C。，：.AD/BC,AD=BC,又BM=DN,：AN=CM,：四边形AMCN是平行四边形,由翻折得，AM=CM,，四边形AMCN是菱形;证法二：由翻折得，AE=CD,NE=ND,/AMN=/CMN,又NANE=NCND,：丛ANE在丛CND,ZAN=CN.,ADBC,：,/ANM=ZCMN,：,NAMN=ZANM,JAM=AMAM=MC=CN=NAf，四边形AMCN是菱形.(3)解法一：*：Scdn=DN-CD,Scmn=-CM-CD,22又Scdn:Srmn=1：3,:,DN：CM=I:3,设DN=k,则CN=CM=3亿过N作NGLMC于点G,则CG=ON=2,MG=CM-CG=Ik,7vc=CN2-CG2=9k2-k2=22k*MN=YMG2+NG2f4k2+8k2=23k*三=23;DNk解法二：SKDN=Ldn-CD,SKMN=LCM*CD,22又Scdn:Scmn=1：3,:,DN：CM=I:3,连接4C,则AC过点O,且AeLMM设DN=k,则CN=AN=CM=3鼠AD=4k,cn=NC2-DN2=9k2-k2=22k*OC=*C=共AD2+cp2=为i6k2+8k2=显【点评】图形的折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称，所以折叠前后的两个图形是全等三角形，重合的部分就是对应量.11 .在数学活动课中，小辉将边长为，和3的两个正方形放置在直线/上，如图1,他连结AD.CF,经测量发现Ao=CE(1)他将正方形ODE/绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2,试判断A。与C/还相等吗？说明你的理由;(2)他将正方形O。E/绕。点逆时针旋转，使点E旋转至直线/上，如图3,请你求出。尸的长.【分析】(1)根据正方形的性质可得Ao=C0,OD=OFfZAOC=ZDOF=90o,然后求出NAoO=NCOF,再利用“边角边”证明aAOO和口?尸全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；(2)与(1)同理求出CF=AO,连接。尸交OE于G,根据正方形的对角线互相垂直平分可得DFLOEfDG=OG=L0E,再求出AG,然后利用勾股定理列式计算即可求出2AD.【解答】解：(1)AD=CF.理由如下：在正方形ABCO和正方形OoE尸中，AO=CO,OD=OF,ZA0C=ZD0F=90°,JZAOC+ZCOD=NDOF+NCOD,即NAoO=NCo尸，AO=CO在aaoo和co尸中，<Naod=Ncof,OD=OFAODCOF(SAS),AD=CF：(2)与(1)同理求出C尸二A。，如图，连接。尸交OE于G,贝JOAiLOE,QG=OG=LoE2,/正方形ODEF的边长为证,.*.OE=2OD=2×2=2,/.DG=OG=-OE=工X2=1,22.AG=AO+OG=3+1=4,在RtZiAOG中，d=AG2+DG2三42+12=V11>CF=D=17.【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟练学握正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分是解题的关键，(2)作辅助线构造出直角三角形是解题的关键.12 .阅读在平面直角坐标系中，以任意两点P(Xi,yi)、Q(X2,y2)为端点的线段中点坐标为×l+x2丫1+丫2、c-l,r运用(1)如图，矩形ONE尸的对角线相交于点M,ON、。尸分别在X轴和y轴上，0为坐标原点，点E的坐标为(4,3),则点M的坐标为(2,1.5).(2)在直角坐标系中，有A(-1,2),B(3,1),C(l,4)三点，另有一点。与点A、B、。构成平行四边形的顶点，求点。的坐标.【分析】(1)根据矩形的对角线互相平分及点E的坐标即可得出答案.(2)根据题意画出图形，然后可找到点。的坐标.【解答】解：(1)M(史史2),即M(2,1.5).22(2)如图所示：根据平行四边形的对角线互相平分可得：设。点的坐标为(,y),以点A、B、C、。构成的四边形是平行四边形，当AB为对角线时，VA(-1,2),B(3,1),C(1,4),*BC=yJ13»D=13,V-1+3-1=1,2+1-4=-1,。点坐标为(1,-1),当6C为对角线时,VA(-1,2),B(3,1),C(1,4),AC=22*3。=2,。点坐标为(5,3).当AC为对角线时，VA(-1,2),B(3,1),C(1,4),"8=(3+l产+(1-2)2=*CD=Q17，D点坐标为:(1-3-1,4-1+2),即(-3,5),综上所述，符合要求的点有：Z),(1,-1),Dn(-3,5),D",(5,3).1(-1-2-3-5l【点评】本题考查了平行四边形的性质及矩形的性质，关键是掌握已知两点求其中点坐标的方法.13.如图，在平行四边形48C。中，ZC=60o,M、N分别是A。、BC的中点，BC=ICD.(1)求证：四边形MNe。是平行四边形；(2)求证：BO=Jjmv.BVc【分析】(1)根据平行四边形的性质，可得A。与BC的关系，根据Mz)与NC的关系,可得证明结论；(2)根据根据等边三角形的判定与性质，可得NoNC的度数，根据三角形外角的性质，可得NOBC的度数，根据正切函数，可得答案.【解答】证明：(1)ABCO是平行四边形,AD=BC,AD/BC,M、N分别是40、BC的中点,：.MD=NC,MD"NC,JMNC。是平行四边形；IMN=DC.TN是BC的中点，,BN=CM,:BC=2CD,ZC=60o,：ANCD是等边三角形.：ND=NC,NDNC=60°.YZDNC是ABND的外角，.,.NBD+/NDB=4DNC,YDN=NC=NB,：./DBN=NBDN=LNDNC=30。,2.,.ZBDC=90o.“anDBC二里至，DB3Z.DB=3OC=¾WN.【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，等边三角形的判定与性质，正切函数.14.如图，在aABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MNBC.设MN交NBCA的平分线于点E,交NBCA的外角平分线于点F,连接AE、AF.那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.BC【分析】当点O运动到Ae的中点（或QA=OC）时，四边形AEb是矩形.由于CE平分N