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数值分析，第一章相对误差和绝对误差e*=×*-×新*=(£_%)/估计值('.一幻/炉误差限和相对误差限*'-x3,有效数字官方定义:假设近似值X*的误差限是某一位的半个单位,该位到X*的第一位非零有效数字共有n位,就说X*有n位有效数字。表示为：X*二±IOmX(a+a2×10l+a3×102+a11×10lhl)=±a.a2a3a11o其中a,为。至9中之一，a不为0,m,n都是整数。公式：=x-ri×10m-n+1相对误差限公式(具有n为有效数字，r*-L×10-fn-1,Zal假设rWMX10-'i),那么至少具有n为有效数字。2cal+l4,病态问题的条件数，相对误差比值X的扰动Ax=xr*,误差为兰，函数值f(x*)的相对误差=止3井2Xf(X)相对误差比值为：/弋右N=CP(也称为条件数)第二章：插值法1»多项式插值P(x)为n阶多项式，P(x)=ao+a1x+a2x2+anxn,a为实数。解法：a解方程组：Aa=y,其中A=×2,拉格朗日插值线性插值1.l=ykk+Yk+k+插值基函数Ik=-，Ik÷=-Xk-Xk+Xk+-×k2抛物线插值1.2=ykk+yk÷lk÷l+Yk+2k+2插值基函数Ik户吗/("吗D产一加)(Xk-Xk+1)(Xk-Xk+2)(Xfc+l-Xk)(Xk+l-Xfc+2)(Xk+2-Xk)(Xk+2-Xfc+l)【3】N次插值多项式(通解)1.n=yoo+y11+y22+ynI_(Xro).(Xrj)(XTk+J.(Xf)(Xk-XO)-(Xk-Xk-)(×k-Xk+1)(4比-Xn)设3向(X)=(X-X0)-Cx-xk-l)Cx-xk+l)(x-xn)有3丁(Xk)=(Xk-Xq).(Xfc-Xfc-)(Xfc-Xfc+).(Xk-Xn)有 Ln (x) NbOykn+l <x)(Xrk) 3 n+1 (Xfc)余项公式N次插值多项式的余项形式R11=f(x)-Ln(x)=4(x)=K(x)tv+1(),(a,b)5+1)!f的位置未知，但有截断误差限：l11n+(x),Mnq-max<n+1x)3,均差(差商)一阶均差；fxo,Xk)-"*o)xk-x0二阶均差：fxo,xl,X=flx°,xlffx°,xfcl×k-×i高阶均差：fxo,×1,-SXk=""°'-''Xj-"。,二'昨2,.Xk-Xk-I性质：1,k阶均差可表示为函数值f(×o)，f(Xi),，f(Xn)的线性组合2,对称性，与节点次序无关3,【前后项】fx0,xl,，Xw<1'，Z×k-×o4,口阶均差与导数的关系：fxo,xl,，Xk="，),Ca,boH:4,牛顿插值多项式逐次生成的插值多项式Pn(x)=ao+a(x-×o)+a(X-XO)(X-Xl)+an(X-Xo)(X-Xn)ao=f(xo)»a=f×o>xi»a2=fx0,×,X2,，an=fxo,×*，×11【余项】Rn=fx>Xo,XI，Xnn+1(X)估计截断误差限11n+1(x)5,差分等距离节点Xk=Xo+kh,k=0,1,，n；f=flx。Xk处的一阶向前差分：fk=fk,+1-fk,Xk处的二阶向前差分：2fk=fk,+rfk;Xk处的n阶差分：nfk=n,fk.rn1fk【差分与差商的关系】fx%xk+JgQ-""U乎，一般的fXk,Xk+,Xk+m=嘴Xk-%kmnm【差分与导数的关系】mffc=hmf（m）（差分表k(V)2(V2)3(V3)4(V4)01234IIIGGG%Afd(Vzi)f1(V2)v3)AfdV/4)B2fo(V2Z2)3(V5)2f1(v2)4(v4).(v2)：2f2：II(Vfk-fk-fk,)差分多项式：Pn(×+th)=f0+t2fo÷-w+nf02!n!前插余项Rn=空>"h"】f5疝()6+l?!截断误差：Rn (x) Mn+1n+l!n÷(X)6,埃米尔特插值要求导数值也相等一个均差的性质：【n阶差商】fx0,x0,>xo=/(n)(o)重要情况：n+1个节点a×o<×<×2<×nb,满足f(x)=f,V(Xi)=f,求不超过2n+l次的多项式H2n+(×i)=fi,H,211+i(xi)=f'i,i=0,1,2,o插值基函数(x)、j()都是2n+l次多项式，j=0,1,，n°满足j(×k)=jk;azj(Xk)=Mkj(X)=jkjzj(X)=jk(j,k=O,l,n)那么Hzm(x)N?=Osa/Q)+rj'jG)第三章公式：1，伯恩斯多项式B11=k=(;)Pke0；Pk=CnkXk(I-X)M2,函数范数(x)L=m(x)WfW1=fWdx12=(>2rf)i3,斯密特正交多项式：*)=XN同品喘物4,其他多项式：(1)勒让德多项式，要求区间-1,1,权函数为1,有PO=I,Pi=X,P2=IX2-;,P3=x3-x:递推关系：(n+l)Pn-1=(2n+l)xP11-nP11.(2)切比雪夫多项式：要求区间卜1,1权函数为号有TO=1,T=x,T2=2x2-1,T3=4x3-3x；递推关系；Tn.I=ZxTn-Tn-I注意：(Pi，Pi)=(Ti,Ti)g(i不等于0)或n(i等于0)(Tn=cos(arccosx)5,最正确平方逼近Ga=dS*(x)=ao0+a22+,+an11G=(Wj(x),k(x)(j,k=0,1,2,)d=(f,i(x)(j=0,1,2,)特殊：8为勒让德多项式时，ak=等Alf(%)W/;OdX6,内积公式连续函数f(x),g(×)在a,b上的带权内积：p(x)f(%)gQ)dx;离散点m个Xi，f(xi),g(Xi)的带权内积：0if(×i)g(Xi)o7,曲线拟合G=(j(x),k(x),(j(x),k(x)=EXo0)i%(xJc(Xi)d=(f,Wj(X),(f,j(x)Ngo3J(Xi)j(Xi)8,误差均方误差：MlIJ=隗仪一,)2I最大误差：M8=max"(%)-S"(511怦方逼近误差，Ml=|/。)|盛6同9,最正确一致逼近(低次代高次)利用切比雪夫多项式，f(x)与T(X)在最高次项相同次数情况下相减得到的多项式P*(x)即为最正确一致逼近函数，注意变换区间，令x=(b-a)t+a+b,t-l,Uo第四章公式1,梯形公式，辛普森公式f"fMdx=()+(bR11=-2f”GCa,b。/(x)dx=Sn=/()+f(誓)+f(切Rn=-缪(/，a,b2,复合梯形公式，辛普森公式Tn=(a)+2-11(xk)+()Rn=!c=0,VkQxk,xk+lSnWH()+4fc三o(x+i)+2仁"(5)+fWRn="，迎】)高斯求积公式为2m+l与任意不高于m次的多项式正交。将加代入高斯公式所得的方程组中可求43,机械求积公式（7（x）dx=E?UAJQQ，代数精度为m,前提：Xk为高斯点。充要条件：n+l（）=（X-X0J（X-Xm）余项Rn=偿笨*+e）4,高斯-勒让德求积公式ffMdx=0Akf(xk),其中高斯点为Pm(×)=O的解,降吗翳叫+心）5,高斯-切比雪夫求积公式AlT(")dx=ko4JOQ'其中高斯点为Tn“(X)=O的解xk=s(7r)k=0,1,，oAr=-n+l也可写为。=：EkIf（XQ,Xk=cos：%,k=l,2,，n第五章解线性方程组的直接方法：去除矩阵论局部的根本知识点，剩余内容有；1,高斯消去法Ax=b将A按行化简为三角矩阵（等同于做屡次消元过程）最后解简单方程组A（n）x=b（n）2,高斯主元素消去法列主元素消去法：假设出现akk"）=OB=Ab在A的第一列中选择绝对值最大元素做为主元素，如Iaii,1I=max1inIanI然后交换B的第一行与第i行，Ab”A（2）也（2）重第nL次，得到屋叫拉吗3,三角分解法A=LU, LUX=b,那么 Ly=b, Ux=yoL,U为独立特利分解：ii=aii,Lii=aiUn,Uri=启出八九，L尸ENkHiwh)/%；L的主对角线为11(y=瓦yi=bi-Wk一/认Vk，i=23'n(y11&=图%k=f+lUijXk,191xi=,i=ntn-2,1uU4,考虑主元素的三角分解法arra-rnUrr为O或很小的值时三角分解法中断，此时分解残留A的右下角：，anrann.按计算Uir的方法把a”而全部算出比拟大小，将最大值取Urr并将此行与r行交换。5,误差分析矩阵条件数Ax=b,b的扰动6b使X的解为x+bX,有A(x+)=b+b-*X=A1b-*=A1bA16b又因为IibiI=I"II同,那么言翟乘到一块：鬻Il*IMTil曙定义COnd（八）V=IIAhI卜(V为某范数)任何非奇异A都有condA1际事后误差估计：又为线性方程Ax=b的近似解，余量r=b-A又，用公式构comM罂，钟comM瞿IlxllIIbIlIlxllIWIl第六章公式1，一阶定常迭代Ax=b-*x=Bx+f,X'k+1=Bxk+f,k=0,A2,n。(B与k无关)收敛：Bk-O,(k-8)此时B"=Bl那么Blc-O的充要条件：p(B)<1,至少存在一种范数小于Io分裂法构造B：A=M-N(其中M非奇异)，那么X=MTNX+M%=M-(M-A)x+M1b=(I-M1A)x+M1bo收敛速度：平均收敛速度：Rk(B)=-InI网户渐进收敛速度：Rk(B)=-lP(B)2,雅可比迭代法A=D-L-U,D为A的对角元素，L是A的对角线下面的元素的相反数，R是对角线上面元素的相反数。B=D1(L+U),f=D1bo雅可比迭代法的收敛条件：(1)P(B)<lIIBllVl(3) A为严格对角占优：IaiI>7=1IaljI(设A为nXn阶方阵)ji(4) A为弱对角占优且不可约:IaiiI7=1IaijI且至少一个IaiiI>%Iaij成立，【弱对角占优】；jij能使PTAP=I%然(其中AlI和A22为方阵)的P不存在。【不可约】U/122.(5) A为主对角线元素都大于O的对称阵时，A和2D-A均正定。【各阶主子式大于03,高斯一塞德尔迭代法A=D-L-U,B=(D-L)4U,f=D-L)-1bo收敛条件：(1)P(B)<lIIBllVl(3) A为严格对角占优(4) A为弱对角占优且不可约(5) A为主对角线元素都大于0的对称阵时，A为正定阵。4,超松弛迭代法：(SOR)分裂矩阵M为带参数的下三角矩阵，MJ(D-3。其中3>0为松弛因子3M1=(D-L)-1,B=La=(I-M1A)=I-(D-L)1½=(D-L)-1(D-L)-A=(D-L)1(l-)D+U)x=Lox+f,f=M1b=(D-L)1b;当侬>1时称为超松弛迭代法。收敛性：当0V3V2时Ax=b的SOR法收敛(必要条件)1当A为正定矩阵时0<3V2为充要条件)当A严格对角占优或弱对角占优不可约时，0<sl°那么SOR收敛。注：【雅可比法的原理】Xll=/(瓦一C=2li)all×ii=(z,i-;=laij)"i;【高斯一塞德尔法的原理】(fc+l)_1z.>i-lCY(A+1)Vn丫("八xi-Lj=ClijXj-ji+laij×j)【超松弛法的原理】铲)=靖)+竟(b._i-i劭染+】)一y=f+1旬染)第七章公式：1，不动点迭代法【收敛速度慢】y=f(x*)=O-*x*=(x*)f*+=(×i)f(x*)=(x*),X*为不动点】局部收敛：xoR=I优一x"5经过N+=(Xi)产生的xlt收敛到x*。等价于：(x),不动点x*,f(x)在某领域连续，且I'(x)I<1,那么局部收敛P阶收敛：当1<一8时迭代误差8卜=乂*满足端1。,(；。0。等价于：(B,(x)在x*2,牛顿法【非线性一线性】f1x)=0用泰勒公式在Xk点展开，有f(Xk)+f'lx。(X-Xk)=OfXk+=Xk-4k=0,1,。f,(×k)【牛顿简化法】：(平行弦法，用C=1F(X0J)×k+=×k-Cf(×k),CWO,k=0,1,。【牛顿下山法】：Go位置与敛散性)保证If(k÷)l<lf(k)I的前提下，引入下山因子入(O<),xk+1=xk-人从1开始/k)逐次减半。3,弦截法：【利用f(Xk),f(Xki)代替f'(Xk)】QLWf(XJ算:)%-%。)QE立T)(&九T)