文科一轮学案3.1导数的概念及运算.docx

学案3.1导数的概念及运算自主预习案自主复习夯实根底【双基梳理】1 .平均变化率一般地，函数y=J(x)Xo>Xi是其定义域内不同的两点，记a-=x-xo»y=yyo=J(x)J(xq)=<xo+&)-/U),那么当x:0时，商他)以应=拜称作函数y=(x)在区间xo,x°+x(或xo+x,X。)的平均变化率.2 .函数)，=人用在X=XO处的导数定义称函数y="r)在X=Xo处的瞬时变化率N)那=!回火"+噂凡为函数y=()在X=即处的导数，记作/的)，即/-hmZ(2)几何意义函数人”)在点松处的导数/(向)的几何意义是在曲线)，=/&)上点处的切线的斜率.相应地,切线方程为一3 .函数大处的导函数如果人工)在开区间(小/力内每一点X都是可导的，那么称/Lr)在区间.这样,对开区间3,份内每个值X,都对应一个确定的导数，(X).于是，在区间3,份内，/(%)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数)=火幻的导函数，记为或y'4 .根本初等函数的导数公式y=)y'=ff(%)y=cy=一y=xn(nNt)V=,为正整数y=xu(x>0f”0且"Q)V=,为有理数y=(a>O,a)y=一y=logrtx(a>0,al,x>0)y=一y=sinx>'=一y=CosX<=一5 .导数的四那么运算法那么设儿1)，g()是可导的，那么(l)Ax)±g(x)'=；(2)x)g(x)T=c,f()g()-AX)g''.、"(3)W-g2()(g(x)O)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)(1)/(XO)与(/(即)'表示的意义相同.()(2)求/(Xo)时，可先求人沏)再求/(XO).()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.()(5)函数y(x)=sin(一外的导数是/(x)=cosx.()考点探究案典例剖析考点突破考点一导数的运算【例1】求以下函数的导数：(l)y=(3x2-4x)(2x+1)；(2)y=x2sinx；(3)y=3Aex-2x+e：,八Inx产?变式训练：(l)Ax)=M2016+lnx),假设/(XO)=2017,那么沏等于()A.e2B.1C.In2D.e(2)假设函数HX)=O?+加+c满足，(1)=2,那么F(1)等于()A.-1B.-2C.2D.O考点二导数的几何意义例2命题点1切点的切线方程问题InY-9j例2函数於)='的图象在点(1,一2)处的切线方程为()A.2ry4=0B.2x+y=0C.-y-3=0D.x+y+l=O函数y=4r)及其导函数)，=/(X)的图象如下图，那么曲线y=Hx)在点P处的切线方程是命题点2未知切点的切线方程问题例3与直线2-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线方程是()A.2xy+3=0B.Ixy3=0C.2-y+l=0D.2-y=0(2)函数凡T)=XlnX,假设直线/过点(0,-1),并且与曲线y=(x)相切，那么直线/的方程为()A.x÷y-1=0B.-y-=0C.x÷y÷l=0D.%y÷l=0命题点3和切线有关的参数问题1 -7例4/(x)=nfg(x)=2x2÷zmx+2(wi<0)，直线/与函数/(x),g(x)的图象都相切，且与/(x)图象的切点为(1,y),那么勿等于()A.1B.3C.4D.2命题点4导数与函数图象的关系例5如图，点A(2,l),B(3,0),E(x,0)(x20),过点E作。8的垂线/.记aAO8在直线/左侧局部的面积为S,那么函数S=(x)的图象为图中的()变式训练：(1)函数兀O=X3-3x,假设过点A(0,16)且与曲线y=7U)相切的直线方程为y=0x+16,那么实数。的值是.(2)假设直线y=2x+n是曲线y=.Hnx的切线，那么实数m的值为.【当堂达标】I.(教材改编/(X)是函数y=+2+的导函数，那么，(一|)的值为()A.OB.3C.4D.一W2.如下图为函数y=(x),y=g(x)的导函数的图象，那么y=(x),y=g(x)的图象可能是()3.4.5.设函数段)的导数为/(x),且/)=/sinx+cosx,那么/'(；)点P在曲线y=*上，。为曲线在点P处的切线的倾斜角，那么的取值范围是,(2015陕西)设曲线y=F在点(0,1)处的切线与曲线y=%x>0)上点P处的切线垂直，那么P的坐标为一稳固提高案日积月累提高自我1 .函澈段)的导函数而，且满足外)=均(l)÷lnx,那么/'等于()A.-eB.-1C.1D.e2 .曲线y=lnx的切线过原点，那么此切线的斜率为()A.eB.eC.-D.ee3 .函数人r)的导数为/(X),且满足关系式7(x)=x2+34(2)+lnx,那么/(2)的值等于()9-4D.9- 4-C2B.TA.4 .(2014课标全国II)设曲线)，="ln(x+l)在点(0,0)处的切线方程为丁=标，那么。等于()A.0B.1C.2D.35 .。为常数，假设曲线y=加+3xInX存在与直线x+y-1=0垂直的切线，那么实数4的取值范围是()+e)B.(-8,IC.1,+)D.(8,16 .设函数yU)=Mx+k)(+2k)-3k),那么/(0)=6,那么A=.7 .在平面直角坐标系M中，假设曲线y=r2+g(,b为常数)过点尸(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，那么。+匕的值是.8 .(2015课标全国II)曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=v2÷(a÷2)x÷1相切，那么a=9 .曲线y=V+x2在点R)处的切线(平行于直线4x1=0,且点R)在第三象限.求PO的坐标；(2)假设直线LUi,且/也过切点Po,求直线/的方程.10 .设函数y=kg,曲线y=(x)在点(2,42)处的切线方程为7-4y-12=0.(1)求人不)的解析式；(2)证明：曲线y=Ar)上任一点处的切线与直线X=O和直线y=x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.学案3.1导数的概念及运算自主预习案自主复习夯实新【双基梳理】1 .平均变化率一般地，函数y=(x)fo>Xi是其定义域内不同的两点，记x=x-xo»Ay=一yo=Kll)-火冲)=TUo+x)-/(X0)，那么当x:0时，商Q士-幽)=各称作函数y=()在区间Xo,XO+x(或xo+x,X。)的平均变化率.2 .函数)，=人外在X=Xo处的导数定义称函数y=7(x)在X=XO处的瞬时变化率原寿=妈)火"+黑''°)为函数y=7(x)在X=XO处的导数，记/七，/、n,，/、1,.AVO+x)7(xo)作/(Xo)，即/-il¾晨几何意义函数段)在点必处的导数/(Xo)的几何意义是在曲线y=上点(题，ZUq)处的切线的斜率.相应地,切线方程为y/(xo)=CrO)Crxo).3 .函数;U)的导函数如果大处在开区间3,份内每一点X都是可导的，那么称/Cr)在区间(内力可导.这样,对开区间(小b)内每个值心都对应一个确定的导数/(X).于是，在区间3,加内，f。)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数),=(x)的导函数，记为f'0)或y'(或y'').4 .根本初等函数的导数公式y=J()y'=/。)y=cy，=Oy=Z(nN+)y=wy,为正整数y=V(x>O,m0且EQ)y=mxm,为有理数y=av(tz>O,a)y,=llnay=k>gW>O,afx>0)l1)xlnay=sinxy,=cosxJ=COSXy,=sinx5 .导数的四那么运算法那么设加)，g()是可导的,那么(1)(X)±g(x)'=£Q)±如Cr)：(2)U)g(x)'=f(X)R(X)+/U)a'();c4,f)g()g'a:(、/(3)W-g2()(g(x)O)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)(I)/(Xo)与(/U)'表示的意义相同(X)(2)求/(Xo)时，可先求Tim)再求/(Xo).(X)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(×)(5)函数y(x)=sin(-x)的导数是/(x)=cosx.(X)考点探究案典例剖析考点突破考点一导双的运算【例1】求以下函数的导数：(l)y=(3x2-4x)(2x+l);(2)y=x2sinx；(3)y=3XeA2*+e；,八InX产?Tr解(l)y=(3/一4x)(2x+l)=63+32-8x2-4x=6x3-5x24x,"=18x2-10x-4.(2)y'=(2)zSinX+x2(SinX)'=2xsinx÷x2cosx.(3)y,=(3Vy(2Ay+e'=(3aYex+3v(eA)/-(2)z=3Vln3+3V-2vln2=(In3+l)(3e尸一2'In2.,(InaQ2+l)-InMF+)，(物=(x2+l)2(x2+l)2(2+1)2,变式训练：(I)/(X)=X(2016+lnx),假设F(XO)=2017,那么出等于()A.e2B.1C.In2D.e（2）假设函数/）=4+加+c满足，（1）=2,那么/（1）等于（）A. -1B. -2C.2D.O答案(I)B(2)B解析(1/(x)=2016+lnx+x×=2017+lnx,故由/(次)=2017得2O17+ln的=2017,那么InXo=0,解得Xo=L(2)f,(X)=4a?+2",/(X)为奇函数，且，(1)=2,V(-1)=-2.考点二导数的几何意义例2命题点1切点的切线方程问题InX-9r例2(1)函数火外=的图象在点(1,一2)处的切线方程为()A.2-y-4=0B.2r+y=0C.L)L3=0D.x+y+l=O函数y="r)及其导函数y=f(x)的图象如下图，那么曲线y=(x)在点P处的切线方程是答案C(2)x一厂2=0A”一，ITnX解析(1/(X)=-T-,那么/(1)=1,故该切线方程为y(2)=-1,即xy3=0.(2)根据导数的几何意义及图象可知，曲线y=(x)在点尸处的切线的斜率&=/(2)=1,又过点P(2,0),所以切线方程为-y-2=0.命题点2未知切点的切线方程问题例3与直线2-y+4=0平行的抛物线y=/的切线方程是()A.2ry+3=0B.y3=0C.2v-y+l=0D.2xy=0(2)函数火X)=Xlnx,假设直线/过点(0,-I),并且与曲线了=人处相切，那么直线/的方程为()A.÷y-1=0B.Xy1=0C.x+y÷l=OD.LrH=O答案(I)D(2)B解析(1)对y=f求导得y'=Zi.设切点坐标为(X0,焉)，那么切线斜率为Z=Zm由2xo=2得xo=l,故切线方程为-1=2。-1)，即2-y-l=0.(2)点(0,1)不在曲线|X)=XInX上，工设切点为(的，yd).yo=xolnxo,火：f(X)=I+Inx,yo÷l=(l÷lnxo)xo*解得XO=1,IyO=0，切点为(1,0),:.f=l+lnl=l.，直线/的方程为y=-l,即-y-l=O.应选B.命题点3和切线有关的参数问题例4/W=lnx,g(x)=2lwx÷2(/w<0)»直线/与函数/W，g(x)的图象都相切，且与段)图象的切点为(Lj(I),那么m等于()A.-1B.-3C.-4D.-2答案D解析V/()=p直线/的斜率为4=/(1)=L又U)=0,切线/的方程为y=-.g,(x)=x+m,设直线/与g(x)的图象的切点为(X0,优)，那么有o÷m=1,yo=xo-1卯=另+的+/,w<0,于是解得用=-2.应选D.命题点4导数与函数图象的关系例5如图，点A(2,l),8(3,0),0)(x0),过点E作08的垂线/.记AAOB在直线/左侧局部的面积为S,那么函数S=(x)的图象为图中的()B答案D解析函数的定义域为O,+),当W0,2时，在单位长度变化量内面积变化量AS大于O且越来越大，即斜率F(X)在0,2内大于O且越来越大，因此，函数s=x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当x(2,3)时，在单位长度变化量x内面积变化量AS大于O且越来越小，即斜率F(X)在(2,3)内大于O且越来越小，因此，函数S=U)的图象是上升的，且图象是上凸的；当x3,+8)时，在单位长度变化量Ar内面积变化量AS为0,即斜率/(x)在3,+8)内为常数0,此时，函数图象为平行于X轴的射线.变式训练：(1)函数兀O=炉一3%,假设过点A(U6)且与曲线y=U)相切的直线方程为y=r+16,那么实数。的值是.(2)假设直线y=2x+n是曲线y=Hnx的切线，那么实数m的值为.答案(1)9(2)-e解析(1)先设切点为M(X0,刈)，那么切点在曲线上有yo=焉一3沏，求导数得到切线的斜率女=f3>)=3高一3,又切线/过A、M两点，所以攵=也?蛆，那么3看一3=西Xo联立可解得M)=2,卯=2,-2-16从而实数a的值为a=k=9.-Z(2)设切点为(X0,xolnxo),由y'=(xlnx),=lnx+=lnx÷l,得切线的斜率k=lnxo+l,故切线方程为yxolnxo=Onxo+l)(-xo),整理得j=(lnAo+l)-xo,与y=2-m比拟得Inxo+1=2,解得XO=e,故a=e.-o=m,【当堂达标】1.(教材改编If(处是函数Kr)=I+2x+l的导函数，那么/(一1)的值为()A.0B.3C.4D.Y答案B解析W=x3+2÷1,：.f(x)=x2+2.:,f(-1)=3.2 .如下图为函数y=(x),y=g(x)的导函数的图象，那么y=Rr),y=g(x)的图象可能是()答案D解析由y=/(功的图象知y=f(X)在(0,+8)上单调递减，说明函数y="r)的切线的斜率在(0,+)上也单调递减，故可排除A,C.又由图象知y=/(X)与y=g'。)的图象在X=Xo处相交，说明y=Kv)与y=g(%)的图象在X=XO处的切线的斜率相同，故可排除B.应选D.3 .设函数0)的导数为/。)，且火X)=/sinx+cosx,那么/(；)=.答案也解析因为J(x)=f,sinx+cosx9所以f(x)=f,cos-sinx,所以F=/s-sin,即/C?)=-1»所以於)=-sinx+cosx.f,(X)=-CoSXsinx.故f(4)=-COSj-Sinj="2.4 .点P在曲线y=岛上，Q为曲线在点P处的切线的倾斜角，那么。的取值范围是.答案序冗)4解析*y=er,7厂e2'+2e'+J+4+2Vet>O,er+>2,当且仅当=F=1,即X=O时，"=”成立.<-L0),tan-1,0).又a0,),3兀C(£4，兀)5.(2015陕西)设曲线y=e'在点(0,1)处的切线与曲线y=:(x>0)上点P处的切线垂直，那么P的坐标为答案(1)解析y,=ev,曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率Z=e°=l,设P(m,)，y=&x>O)的导数为y'=(x>0),曲线y=：3>0)在点尸处的切线斜率左2=一：(而>0),因为两切线垂直，所以女曲=一1,所以m=1,=1,那么点P的坐标为(1,1).稳固提高案日积月M提高自我1 .函数凡r)的导函数为，而，且满足y=2(l)*lnx,那么/(1)等于()A.eB.1C.1D.e答案B解析由y(x)=W(I)+lnX,得/(X)="(l)+.W(l)=2f(1)+1,那么，(I)=-I.2.曲线y=lnx的切线过原点，那么此切线的斜率为()A.eB.eC.D.ee答案C解析y=lnx的定义域为(O,+),且y'=p设切点为(XO,Inw),那么y'lx=/。=；,切线方程为J-Inxo=Tl-Ao),4O因为切线过点(0,0),所以一Inxo=-I,解得xo=e,故此切线的斜率为93.函数凡r)的导数为/(%),且满足关系式“r)=f+3M(2)+Inx,那么广(2)的值等于()99A.12B.2C.WD答案C解析因为/(x)=X2+34(2)÷lnx,所以/(x)=2x+3f(2)+pIQ所以/(2)=2×2+3/(2)+5,解得，(2)=一不4. (2014课标全国II)设曲线y=r-ln(x+l)在点(0,0)处的切线方程为)，=Zr,那么。等于()A.0B.1C.2D.3答案D解析令段)二以一ln(x+l),那么/=。一圈.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为/'(0)=。-1.又切线方程为y=2x,那么有a1=2,4=3.5.。为常数,假设曲线y=+3xTnx存在与直线x+)Ll=O垂直的切线，那么实数的取值范围是()A.-+8)IC.1,÷)D.(8,1答案A解析由题意知曲线上存在某点的导数为1,所以y'=2r+3-q=1有正根，即20r2+2-1=0有正根.当时，显然满足题意；当<0时，需满足/20,解得一BWaVo.综上，6 .设函数y(x)=Mx+A)(x+2A)3Q,那么/(0)=6,那么女=.答案一1解析Vv)=x(x+A:)(x+2k)(x-3k)=x4-722-6Pxf：.f(x)=4-142-6A3,:f(O)=-62=6,解得k=-l.7 .在平面直角坐标系XOy中，假设曲线)，=加+§(小b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，那么+2的值是.答案一3解析y=r2+g的导数为)/=2r-4,直线7x+2y+3=0的斜率为一看4+=-5,Li,由题意得V,解得C那么+力=-3.z1b7b=-2t144=8 .(2015课标全国11)曲线Iy=X+lnX在点(1,1)处的切线与曲线y=0+3+2)x+1相切，那么a=答案8解析由y=x+lnx,得)，'=l+p得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为A=y'*=2,所以切线方程为y1=2(x1),即y=2x1,此切线与曲线y=0r2+(+2)x+l相切，消去y得加+x+2=0,得。工0且/=/84=0,解得=8.9 .曲线y=V+x2在点Po处的切线人平行于直线4xy1=0,且点Po在第三象限.求Po的坐标；假设直线LUi,且/也过切点R),求直线/的方程.解(1)由y=V+-2,得<=3+l,由令32+1=4,解之得x=±1.当x=l时，y=0；当X=-1时，y=-4.又Y点PO在第三象限，切点Po的坐标为(一1,-4).直线LU,的斜率为4,，直线/的斜率为一点Y/过切点Po,点尸0的坐标为(一1,-4),，直线/的方程为y+4=-(x+1),即x+4y+17=0.10 .设函数Ar)="3曲线y=U)在点(2,42)处的切线方程为7x4)，-12=0.(1)求Kr)的解析式；(2)证明：曲线y=Rr)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.7解方程7x4y12=0可化为)，=不一3.当x=2时，产去又/(x)=0÷4,3(2)证明设Pa0,和)为曲线上任一点，由y=1+W知曲线在点P(X0,泗)处的切线方程为y=(l+西)(xro),即NxoV)=(l+i)ro)令X=0,得y=一二，从而得切线与直线X=O的交点坐标为(0,-£).令y=x,得y=x=2xo,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2xo,2xo)所以点Pa0,yo)处的切线与直线X=O,y=x所围成的三角形的面积为S=；2xol=6.故曲线y=7U)上任一点处的切线与直线X=O,y=x所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.