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时间序列分析讲义TimeSeriesAnalysis吉林大学商学院刘金全时间序列分析原来是“概率论与数理统计”领域当中的一个重要分支，其中有国际著名的学术杂志“时间序列分析”。由于在过去的二十几年当中，时间序列分析方法在经济学的定量分析当中获得了空前的成功应用，因此所出现的“时间序列计量经济学”已经成为了“实证宏观经济学”的同意语或者代名词。由此可见，作为宏观经济研究，甚至已经涉及到微观经济分析，时间序列分析方法是十分重要的。时间序列分析方法之所以在经济学的实证研究中如此重要，其主要原因是经济数据大多具有时间属性，都可以按照时间顺序构成时间序列，而时间序列分析正是分析这些时间序列数据动态属性和动态相关性的有力工具。从一些典型的研究案例中可以看出，时间序列分析方法在揭示经济变量及其相关性方法取得了重要进展。目前关于时间序列分析的教科书和专著很多。仅就时间序列本身而言的理论性论著也很多，例如本课程主要参考的Hamilton的“时间序列分析"，以及Box和Jankins的经典性论著“时间序列分析”；近年来出现了两本专门针对经济学和金融学所编写的时间序列专著，这也是本课程主要参考的教材。另外需要注意的是，随着平稳性时间序列方法的成熟和解决问题所受到的局限性的暴露，目前研究非平稳时间序列的论著也正在出现，其中带有结构性特征的非平稳时间序列分析方法更是受到了广泛重视。本课程将介绍时间序列分析的根本方法，预计讲授时间为54学时。本课程将布置一定的作业，并且进行笔试。主要参考书目：1 Box,GE.P.andJenkins,G.M.,TimeSeriesAnalysis:ForecastingandControl,HoldenDay,1976.2 EndersW.,AppliedEconometricTimeSeries,JohnWiley&Sons,Inc.,1995.3 Mill,T.C.,TheEconometricModeHingofFinancialTimeSeries,secondedition,CambridgeUniversityPress,1999.4李子奈，叶阿忠，高等计量经济学，清华大学出版社.2000年.5 Hargreaves,C.P.,NonstationaryTimeSeriesAnalysisandCointegration,OxfordUniversityPress,1994.6 Kim.C.J.andNelson,C.R.,State-SpaceModelswithRegimeSwitching:ClassicalandGibbs-SamplingApproacheswithApplications.TheMITPress,1999.7 Banerjee,A.,Dolado,J.J.andHendry,D.E,Cointegration,ErrorCorrectionandtheEconomicAnalysisofNon-StationaryData,OxfordUniversityPress,1993.8 Hendry,D.F.,DynamicEconometrics,OxfordUniversityPress,1995.9 Barnett,W.A.,Kinnan,A.P.andSalmon,M.,eds.,NonlinearDynamicsandEconomics,CambridgeUniversityPress,1996.10 Harvey,A.C.,ForecastingStructuralTimeSeriesModelsandtheKalmanFilter,CambridgeUniversityPress,1989.第一章差分方程差分方程是连续时间情形下微分方程的特例。差分方程及其求解是时间序列方法的根底，也是也是分析时间序列动态属性的根本方法。经济或者金融时间序列方法主要处理具有随机项的差分方程求解问题，因此确定性差分方程理论是我们首先需要了解的重要内容。§10.1 一阶差分方程假设利用变量/表示随着时间变量f变化的某种事件的属性或者结构，那么K便是在时间，可以观测到的数据。假设)，,受到前期取值y一和其他外生变量吗的影响，满足下述方程：M=%+M+吗(Ll)在上述方程当中，由于H仅线性地依赖前一个时间间隔自身的取值，因此称具有这种结构的方程为一阶线性差分方程。如果变量叼是确定性变量，那么此方程是确定性差分方程；如果变量吗是随机变量，那么此方程是随机差分方程。下面我们假设明是确定性变量。例Ll货币需求函数假设实际货币余额、实际收入、银行才储蓄利率和商业票据利率的对数变量分别表示为/,、3和%，那么可以估计出美国货币需求函数为：m,=0.27+0.72wz-1+0.19。-0.045为0.019%上述方程便是关于W的一阶线性差分方程。可以通过此方程的求解和结构分析，判断其他外生变量变化对货币需求的动态影响。10.1.1 分方程求解：递归替代法差分方程求解就是将方程变量表示为外生变量及其初值的函数形式，可以通过以前的数据计算出方程变量的当前值。由于方程结构对于每一个时间点都是成立的，因此可以将(1.1)表示为多个方程：f=0：yQ=0+1Ki+，=1：M=Oo+必先+”t=t：M=Oo+么+叱依次进行叠代可以得到：M=。()+必SO+。IyT+W0)+W=o(l+1)+()2+iw0+wiy2=Oo(1+必+12)+l3y.+行吟+,w1+必WOyl =oi +K ÷ t必Wir=O/=0(1.2)上述表达式(1.2)便是差分方程(LI)的解，可以通过代入方程进行验证。上述通过叠代将)，,表示为前期变量和初始值的形式，从中可以看出K对这些变量取值的依赖性和动态变化过程。10.1.2 差分方程的动态分析：动态乘子(dynamicmultiplier)在差分方程的解当中，可以分析外生变量，例如W0的变化对t阶段以后的)，,的影响。假设初始值JL1和明，,吗不受到影响，那么有：(1.3)类似地，可以在解的表达式中进行计算，得到:(1.4)奢=OWf上述乘子仅仅依赖参数由和时间间隔J,并不依赖观测值的具体时间阶段，这点在任何差分方程中都是适用的。例L2货币需求的收入乘子在我们获得的货币需求函数当中，可以计算当期收入一个单位的变化，对两个阶段以后货币需求的影响，即：M+2.3吗二,2-)I1wlIl,It利用差分方程解的具体系数，可以得到：L=O.I9,必=0.72叫从而可以得到二阶乘子为：=O.098注意到上述变量均是对数形式，因此实际上货币需求相对于两个阶段以前收入的弹性系数，这意味着收入增长1%,将会导致两个阶段以后货币需求增加0.098%,其弹性是比拟微弱的。定义1.1在一阶线性差分方程中，下述乘子系列称为月相对于外生扰动叼的反响函数：yt.i.1.j=F=M，7=0J(1.5)wf显然上述反响函数是一个几何级数，其收敛性依赖于参数外的取值。(1)当0<仇VI时，反响函数是单调收敛的；(2)当-IV必<0时，反响函数是震荡收敛的；(3)当必>1时，反响函数是单调扩张的；(4)当次VT时,反响函数是震荡扩张的；可以归纳描述反响函数对于参数的依赖性：当I血|<1时，反响函数是收敛的：当I必|>1时，反响函数是发散的。一个特殊情形是仇二1的情形，这时扰动将形成持续的单一影响，即叫的一个单位变化将导致其后任何时间的一个单位变化：ry+j1.八i=三i,=o,wt为了分析乘子的持久作用，假设时间序列兄的现值贴现系数为夕，那么未来所有时间的尢流贴现到现在的总值为：iyt(i6)J=O如果叫发生一个单位的变化，而M,s>t不变，那么所产生的对于上述贴现量的影响为边际导数：y,.i1改ZPjyg)IM=EBj导=EBW=丁高,<；=0J=OOWf；=0-p上述分析的是外生变量的暂时扰动，如果叫发生一个单位的变化，而且其后的M,s>r也都发生一个单位的变化，这意味着变化是持久的。这时持久扰动对于。+力时刻的H+,的影响乘数是：*+沪+n+W+肝(1.7)e吗a吗+wt+j当I血IVl时，对上式取极限，并将其识为扰动所产生的持久影响：工分加4%+八i.GIim(1-F+)=(1.8)/T88吗dwl+wt+j-例1.3货币需求的长期收入弹性在例LI中我们已经获得了货币的短期需求函数，从中可以求出货币需求的长期收入弹性为：也=也X空=92_=o.68dltdwtdlt1-0.72这说明收入增加1%最终将导致货币需求增加0.68%,这是收入对于货币需求反响的持久影响效果。如果换一个角度考察扰动的影响，那么我们需要分析一个单位的外生扰动对于月以后路径的累积影响，这时可以将这种累积影响表示为：(1.9)£孙+,1J=Owl-§10.2 阶差分方程如果在方程当中允许K依赖它的阶前期值和输入变量，那么可以得到下述阶线性差分方程（将常数项归纳到外生变量当中）：M=yt-+yt-2+Mr,+吗（LIo）为了方便起见，将上述差分方程表示成为矩阵形式：t=F,.x+Vz（IH）其中：l%.p-%1OO-OOO=,F=O1O.OO,%=OOOO.1OO其实在方程（LU）所表示的方程系统当中，只有第一个方程是差分方程（1.10）,而其余方程均是定义方程：y,-j=yl-j»=,2,p将阶差分方程表示成为矩阵形式的好处在于可以进行比拟方面的叠代处理，同时可以更方便地进行稳定性分析。进行向前叠代，可以得到差分方程的矩阵解为：当=产川当+户均+尸1匕+尸匕一+匕（1.12）利用力（，表示矩阵尸中第i行、第/列元素，那么方程系统（1.12）中的第一个方程可以表示为：%=#尸Ki÷i2+K2+戊川3#；）÷c°%+卅）%T÷%（1.13）需要注意，在P阶差分方程的解中需要知道P个初值：，几,），以及从时刻。开始时的所有外生变量的当前和历史数据：（明,”,叱）。由于差分方程的解具有时间上的平移性，因此可以将上述方程表示为：当+j=尸川&T+尸）匕+/Z匕+1+尸匕+j+%（L14）类似地，表示成为单方程形式：M+j=/i?+，）Mt÷1V+°"+总旬Wp÷力Y）吗+力产）“+1+/11°”+jT+WHj利用上述表达式，可以得到阶差分方程的动态反响乘子为：1.j=粤2=f7=0Jw,例1.4在阶差分方程中，可以得到一次乘子为：1.=1=11=fII=OWf二次乘子为：1.I="力f）=品=+-owt虽然可以进一步通过跌代的方法求出更高阶的反响乘子，但是利用矩阵特征根表示那么更为方便。矩阵F的特征根是满足下述的几值：F-p=O(1.16)例1.5在二阶差分方程当中，特征方程为：(女一。21244=2-Z-=01-Zt具体可以求解出两个特征根为：4=5(次+於+4曲)，4=刁+纣2)(L17)距阵厂的特征根与阶差分方程表达式之间的联系可以由下述命题给出：命题1.1距阵尸的特征根满足下述方程，此方程也称为阶线性差分方程的特征方程:f,i,pi。2心-2pf>f)=0证明：根据特征根的定义，可知特征极满足：(。|一人)。2。3p-p1-O-O0_pl=01-A00=0000I-A对上述行列式进行初等变化，将第2列乘以(I/2)加到第-1歹U，然后将第-1列乘以(1/2)加到第p-2列，依次类推，可以将上述行列式方程变化为对角方程，并求出行列式值为：P-xP-2P2p-p=0这便是所求的阶线性差分方程的特征方程。如果知道P阶线性差分方程的特征方程及其特征根，那么可以求解并分析解的动态形式。具有相异特征根的阶线性差分方程的通解根据线性代数的有关定理，如果一个方阵具有相异特征根，那么存在非奇异矩阵T将其化为对角矩阵，且对角线元素便是特征根：F=TNT,A=MZg(4,2P)(1.18)这时矩阵F的乘级或者幕方矩阵可以简单地表示为：Fj=(T卜T»=TZTjAj=diag(*,(1.19)假设变量%和评分别表示矩阵丁和TT的第i行、第/列元素，那么可以将上述方程利用矩阵形式表示为：从中可以获得：尸；/)=(4K" )% + (fi2" )怒 + + (fp"" )%=A 4 + J右+ + Cp%其中：Cj=%", / = 0,1,，如此定义的序列具有下述约束条件(自行证明)：c + C2 + + cp = 1(1.20)t具有上述表达式以后，在差分方程的解：y+j=y+%+V+n%2+用Ty-pv÷力¥)叱+ll7吗+1+/1hWl+j,i+吗+j'中可以得到动态乘子为：1.J=萼*=力=C%+C2为+c%,/=0,1,(1.21)jW1究竟系数序列Cj取值如何，下述命题给出了它的具体表达式。命题1.2如果矩阵尸的特征根是相异的，那么系数cj可以表示为：(4 一 人)k=,ki证明：由于假设矩阵尸具有相异的特征根，因此对角化的非奇异矩阵可以由特征向量构造。令向量%为：.=；Irl矿2,4,1，,i=,2,P其中乙是矩阵F的第i个特征根。经过运算可以得到：由此可知。是矩阵尸的对应特征根儿的特征向量，利用每个匕做列就可以得到矩阵丁。将矩阵TT-I=Ip的第一列表示出来：可以求解上述线性方程的解为:(4一A2)(-Z3)(i-p)f=(A2l)(23)(2p)(p-l)(p-2)p-Ap_1)注意到：g=%”，i=l,2,，带入上述表达式即可得到结论。例1.6求解二阶差分方程：yl=0.6>_(+0.2y-2+wl解：该方程的特征方程为：20.620.2=0特征根为：4=gb6+J(0.6)2+4(0.2)=0.84,2(0.6-(0.6)2+4(0.2)=-0.244(1 -2)= 0.778,A；(22 - 4)= 0.222此方程的动态乘子为:1.j=L=C鬲+c2i=0.788(0.84)>+0.222(-0.24)>，/=0,1,jwt在上述乘子的作用过程中，绝对值教大的特征根决定了乘子的收敛或者发散过程。一般情形下，如果4是绝对值最大的特征根，那么有：lim(2占)=q(1.23)JT8"看那么动态乘子的收敛或者发散是以指数速度进行。当一些特征根出现复数的时候，差分方程解的性质出现了新的变化，扰动反响函数将出现一定的周期性质。为此，我们讨论二阶差分方程的情形。当行+曲2<0时，特征方程具有共扼复根，可以表示为：%=a+bi,1=a-bita=M2,b=(1/2)(-必2一4aA"利用复数的三角函数或者指数表示法，可以将其写作:=Rcos+isn=/?exp(z),R=a2+b2,tan=ba这时动态乘子可以表示为：1.j=C鬲+c2=(Cl+c2)Rjs(J)+(cl-C2)Rjsin(y)wt对于实系统的扰动分析，上述反响乘子应该是实数。由于G和C?也是共扼复数，因此有：S=a+i,c2=a-i那么有：ey1.j=2aRJs(7)J-2Rjsin(y)(1.24)wl如果R=I,即复数处于单位圆上，那么上述动态乘子出现周期性变化，并且影响不会消失；如果R<l,即复数处于单位圆内，那么上述动态乘子按照周期方式进行率减，其作用慢慢消失；如果R>l,即复数处于单位圆外，那么上述动态乘子按照周期方式进行扩散，其作用将逐渐增强。例1.7求解二阶差分方程：yl=0.5>1-O.8y,.2+wl解：该方程的特征方程为：2-0.52+0.8=0特征根为：4=I(0.5+(0.5)2-4(0.8)=0.25+0.86/,A2=(0.5-(0.5)2-4(0.8)=0.25-0.86/上述共扼复数的模为：R=(0.25)2+(0.86)2=0.9因为Rvl,由此可知其动态乘子曾现收敛趋势。可以具体计算出其震荡的周期模式。cos(6)=4R=0.28,6=1.29由此可知动态乘子的周期为：2.=4.9由此可知动态乘子的时间轨迹上，大于4.9个时间阶段便出现一次顶峰。1.2.2具有相异特征根的二阶线性差分方程的通解针对具体的二阶线性差分方程，可以讨论解的性质与参数外，%之间的关系。a.当行+4在<0时，参数取值处于抛物线W=-4直的下方。这时特征方程具有复特征根，且复数的模为：R2=a2+b2=Sl/2)2_(必2+4%)/4=在因此，当时，此时解系统是震荡收敛的；当-02=1是震荡维持的；当-。2>1时是震荡发散的。b.当特征根为实数时，我们分析最大特征根和最小特征的性质。此时行+纣2>0,且4=g(外÷72÷42)>a=翔-4÷¼)W+72+¼)>1当且仅当-IvA2<4Vi时解及其动态反响乘子是稳定的。下面我们判断非稳定情形。如果：4=g(血÷72+¼)>1BP:4=+购>2_次求解可知，使得不等式4>1成立的参数解为：必2,或者，2>-x同理，使得不等式;<T成立的参数解为：必V-2,或者，。2>l+<l因此当特征方程具有相异实根的时候，稳定性要求参数落入抛物线上的三角形区域内。c.类似地可以说明，当特征方程具有相等实根的时候，即处于三角形内的抛物线上时，方程仍然具有稳定解，同时动态反响乘子也是收敛的。具有重复特征根的P阶线性差分方程的通解在更为一般的情形下，矩阵厂可能具有重复的特征根，即具有重根。此时可以利用Jordan标准型表示差分方程的解及其动态反响乘子。下面以二阶差分方程为例说明。假设二阶差分方程具有重根，那么可以将矩阵厂表示为：计算矩阵乘积得到:刀jj-'0万于是动态反响乘子可以表示为：1.=*=力Y)=占+22,万§1.3长期和现值的计算如果矩阵厂的所有特征根均落在单位圆内(即所有特征根的模小于1),当时间间隔/逐渐增大时，矩阵乘积F/将趋于零矩阵。如果外生变量吗和K的数据均是有界的，那么可以利用吗的所有历史数据表示差分方程的一个解：H=W,+W吗一|十l吗一2+“3吗-3+其中心=力*，即矩阵"，中的(1,1)位置元素。可以在矩阵表示下，计算吗的一个暂时性变化形成的对y,现值的影响。注意到利用向量求导得到：-F，这样一来，现值影响乘子可以表示为：±jFj=Qp-F)-=o上述矩阵级数收敛的条件是尸所有特征根的模均小于4此时，吗的个暂时性变化形成的对力现值的影响是矩阵F)T的(1,1)元素，可以利用下述命题求出。命题：如果尸所有特征根的模均小于那么有：(I)吗的一个暂时性变化形成的对匕现值的影响乘子是：33011yjyt.='vvr_y=oip(2)叫的一个暂时性变化形成的对K的持续影响乘子是：QyZi1,=7=0VVz1|2,内(3)发生在吗上的持续变化导致的累积影响乘子是：ryt+jGyfj办1j->8W1吗+Wl+J1-|-2p证明：我们首先证明：如果F所有特征根的模均小于/T,那么矩阵(/-4F)T存在。假设此时逆矩阵不存在，那么有(-4尸)的行列式为零，即lp-F=(-)PF-'Ip|=0上式说明ST是尸的特征根，这与F所有特征根的模均小于夕T的假设矛盾，因此可知逆矩阵尸尸存在。下面我们求Up-夕尸尸当中(1,1)位置的元素。假设勺表示(10-4尸尸当中(。力位置的元素，那么有：孙如xI2工22"X2P一-P-21-p-0-孙0=100I0.O.1Xp2,xPP.O0100L仅仅考虑上述矩阵的第一行，那么有：1一夕必-Bk-phi修2-为/，.-10O=10000-PI对于上述矩阵通过右乘初等矩阵进行初等变换，例如对最后一列乘以仅加到倒数第2歹U，然后倒数第2列乘以夕加到倒数第3歹人依次类推，可以得到：XlIQ-MB-弧俨OPpP)=I从中可以求出X”，即可以证明命题中的三个等式。第二章滞后算子及其性质§2.1 根本概念时间序列是以观测值发生的时期作为标记的数据集合。一般情况下，我们是从某个特定的时间开始采集数据，直到另一个固定的时间为止，我们可以将获得的数据表示为：(Jry2*r)如果能够从更早的时间开始观测，或者观测到更晚的时期，那么上面的数据区间可以进一步扩充。相对而言，上述数据只是一个数据的片段，整个数据序列可以表示为：(,口，)2，k，例2.1(1)时间趋势本身也可以构成一个时间序列，此时：yl=t;(2)另一种特殊的时间序列是常数时间序列，即：y,=c,。是常数，这种时间的取值不受时间的影响；(3)在随机分析中常用的一种时间序列是高斯白噪声过程，表示为：H=£,，佰,忆六是一个独立随机变量序列，每个随机变量都服从N(0,2)分布。时间序列之间也可以进行转换，类似于使用函数关系进行转换。它是将输入时间序列转换为输出时间序列。例2.2(1)假设/是一个时间序列，假设转换关系为：yt=3xt,这种算子是将一个时间序列的每一个时期的值乘以常数转换为一个新的时间序列。(2)假设巧和必是两个时间序列，算子转换方式为：M=K,+叱，此算子是将两个时间序列求和。定义：如果算子运算是将一个时间序列的前一期值转化为当期值，那么称此算子为滞后算子，记做1.即对任意时间序列再，滞后算子满足：1.(Xr)三X/-1类似地，可以定义高阶滞后算子，例如二阶滞后算子记为U,对任意时间序列为，二阶滞后算子满足：l(xt)三LL(xt)=xt.2一般地，对于任意正整数Z,有：1.k(xl)=xt_k命题2.1滞后算子运算满足线性性质：(2) (OL(BXt)=PL(Xt)(3) 1.(x,+吗)=L(x,)+L(wl)(4) 证明：(1)利用滞后算子性质，可以得到：(5) 1.(BX)=BKj=BL(XJ(6) 1.(x,+wl)=xl+吗T=L(xl)+L(wl)由于滞后算子具有上述运算性质和乘法的交换性质，因此可以定义滞后算子多项式，它的作用是通过它对时间序列的作用获得一个新的时间序列，并且揭示这两个时间序列之间的关系。显然，滞后算子作用到常数时间序列上，时间序列仍然保持常数，即：L(c)=co§ 3.2 一阶差分方程利用滞后算子，可以将前面的一阶差分方程表示成为滞后算子形式：yl=yt-+%=Myt+wl也可以表示为：(-L)yt=wl在上述等式两边同时作用算子：(1+。£+。2乙2+”)，可以得到：(1+"+吠L,)(-L)yl=(+L+-+,L,)wl计算得到：(-t+lL!+i)yl=(1+°L+我)吗利用滞后算子性质得到：yl=ty.+叱÷v½.1+吠卬0上述差分方程的解同利用叠代算法得到的解是一致的。注意到算子作用后的等式：(1+L÷+U)(-L)ytyt-,y,如果时间序列X是有界的，即存在有限的常数M,使得任意时间均有：>JM,并且那么上式当中的尾项随着时间增加趋于零。从而有：lim(l+L-tU)(1-L)yt=yt/>00如果利用“1”表示恒等算子，那么有：HmK1+0£+一姓)=1r记：(ImT=IimKI+"+”),o因此得到了“逆算子”的表达式，这类似于以滞后算子为变量的函数展开式。定义2.1：当|。|<1时，定义算子(1-0L)的逆算子为(I-OL)-L它满足：(1) (1-姓)(1-姓尸=(1-姓尸(1一涯)=/其中,表示单位算子，即对任意时间序列匕，有：Kyl)=yl(2)在形式上逆算子可以表示为：(I-OL)T=J=O这表示逆算子作为算子运算规那么是：对于任意时间序列匕，有：(1-¢L),yl=jLf(yl)=jyl.jj=o=0当0l时，逆算子(1-0L)T的定义以后讨论。如果时间序列H是有界的，那么一阶差分方程的解可以表示为：QOy=Wr+。吗_|+2吗_2+=jwt-iJ=O可以验算上述表达式确实满足一阶线性差分方程。但是解并惟一，例如对于任意实数0,下述形式的表达式均是方程的解。CCyl=a0,+W"jJ=O上述差分方程的解中含有待定系数，这为判断解的性质留出一定的余地。§ 3.3 阶差分方程我们考察二阶差分方程的滞后算子表达式：M=l+22+将其利用滞后算子表示为：(-xL-1I)yt=Wz对二阶滞后算子多项式进行因式分解，即寻求儿和%使得：(1一必L一。2U)=(14L)(l2L)=(1+2)L+i2L2显然乙和2是差分方程对应的特征方程的根：22-x-1=0当特征根4和丸2落在单位圆内的时候(这也是差分方程的稳定性条件)，滞后算子多项式分解为：(1-1L)-'=1+4L+府U+"»+，(14Z)-=1+&L+d+dZ?+这时二阶差分方程解可以表示为：X=(I-4W”注意到算子分式也可以进行分项分式分解(如此分解需要证明，参见Sargent,1987,p.184)：_1(4、(11L)(l-A2L)(A12)(12L)(1-2L)将上述表达式带入到二阶差分方程解中：1 A1，y.=W,(4-4)1(1-4L)dL)J=-r-!(i+1L+fL2+.+1+22l+22L2+.)VV/(1-A2)=(q+c2)vv,+(c11÷c22)vvr.1+(G号+c2)wl.2+其中：c1=-A-,j=d-44见24利用上述公式，可以得到外生扰动的动态反响乘子为：yt.i.-=Cla+Q羽，7=0,1,OW1上述利用滞后算子运算得到的乘数与以前所得完全一致。例2.3对于二阶差分方程而言，其特征方程是：A2二0得到特征根为：4=33+J血+4心)，=g(01-J必+4%)上述方程的稳定性与滞后算子多项式的根落在单位圆内是一致的。§ 3.4 P阶差分方程上述算子多项式的分解方法可以直接推广到p阶差分方程情形。将p阶差分方程表示成为滞后算子形式：(-iL-2D吗将上式左端的算子多项式分解为：(1-L-2lpD)=(1>i1A)(l2L)(1pL)这相当于寻求(4,4P)使得下述代数多项式恒等：(-iz-2z2OPZP)=(1-1z)(l-2z)(l-pz)定义4=Z-L那么可以将上述多项式表示成为：(心必力-内-2.OP)=(4)(Aq)(p)这意味着算子多项式的分解，就相当于求出差分方程特征方程的根。如果差分方程的根相异，且全部落在单位圆内，那么可以进行下述分式分解:1=+.+(1-4L)(1-2L)(1-pL)(1-,L)(1-1L)(1-pL)通过待定系数法，可以得到上述分式中的参数为：=AfT+Af1+亭，J=L2,P显然有：CI+C2+cp=1利用上述算子多项式分解，可以得到差分方程的解为：y.=wl(-,L-2DpLP)ClCP=W1+W,+W1(1-4L)(1-2L)(I-ApL)=c1(1+L÷Lr+)吗+C2(1+4L+4；U+)wl+Cp(l+4pZ+4江2+)吗二(q+c2+cp)wp+(c11+c22+Cp()Wp+(cl-c2+Cp%)Wp+通过上述方程通解，可以得到动态反响乘子为：=C鬲+Q怒+c%,j=l,2,OW1命题2.1外生变量吗对现值的影响和外生变量叱持续扰动对匕的动态影响乘子是：Jy.1!wt,+j)-x-2pPr办re%jJ1Iim-+-+=>-*xL3吗3吗+e吗+/-i-2p证明：将差分方程的解表示为：M=Wz+2w,_2+3wt_3÷,其中：叼=c鬲+Cp%,J=1,2,设：(L)=0+iL+2L?+3Z?+利用算子多项式表示：K=*(L)”wt对yl现值的影响可以表示为：8(R、00y/+；8jyt+j=£3?=ZB皿=叭P)wtIj=OJ=0OWf7=0注意到：(L)=-xL+2Ut+%/?十二口一为为(1一(L)尸因此有：8(4)=(1-4/)(1-4夕)尸=1-必/一人夕2pp*'长期乘数相当于4=1的情形，从而得到公式所示的公式。上述命题结论是利用滞后算子多项式推导的，其结论同利用差分方程矩阵表示所得到的结论是一致的。§ 3.5 始条件和无界序列假设给定下述线性差分方程：yl=y,-+02y,-z+py,-p+吗一般情况下，求解P阶差分方程的特解，需要P个初值：儿”几2，儿”也需要外生变量的一个输入序列：W。,吗,吗，这样一来根据差分方程结构，便可以确定），,的时间路径。但是，在一些常见的经济或者金融时间序列当中，无法给定具体的初值或者完整的外生输入变量，那么这时差分方程解的性质如何？例2.4假设变量E表示股票价格，。表示股票派发的红利。如果一个投资者在时刻f买入股票，然后在时刻f+1卖出股票，那么他将获得实际红利收入。川和价格收益C+-e)z½因此投资者的收益率为：rt+=(5+1一9)/9+。+1/Pt在简单的股票市场模型当中，假设收益率是常数，那么上述方程可以转化为股票价格的差分方程模=(l÷r)1-D,如果知道红利序列Q,。2,)和股票价格的初值)，那么可以得到股票价格路径为：P1=(1+r)f7-(1+r)f-D1-(1÷r)l-2D2D1但是如果仅仅知道红利序列，而不知道股票价格初值，那么可能有很多价格轨迹满足价格的差分方程。为了说明这个问题，进一步假设红利为常数，那么有：P1=(I+)虑戈(1+厂)，T+(l+r-2+.+i=(l+r)q>-(Dr)+(Dr)(I)如果初始时期股票价格等于红利贴现，即鸟=Or,那么有：Pt=DIri=0,l,2,此时股票价格保持常数，股价等于红利除以收益率。这种股票价格被称为在收益率是常数情形的股价根底成分。(2)假设初始股价超过了即痣这时股票价格出现了扩散现象，这与资产定价理论相符。因为为了保持资产收益率不变，股票的价格就会出现持续上升，同时假设红利是固定的，红利带来的实际收益减少将被股价的加速增长所弥补，这样就出现了股票价格膨胀的现象，即出现股票价格泡沫。(3)为了消除股价当中的投资泡沫，一种方法是对股票价格路径给予有界性限制。例如，假设对于所有时期日股票价格满足：P,P,Z=O,1,2,这样一来，满足上述约束的股票价格路径便是常数的市场根底价格。上面假设了常数红利，现在假设红利序列是有界的。将股价表示为：进行向前叠代运算有:如果价格序列Pl满足约束条件:在假设。和均是有界序列，那么得到股票价格水平满足:这是红利随时间变化时股票价格的市场根底成分。需要注意的是，对于上述情形的市场根底成分，需要投资者对于未来红利具有完全预期。当引入预期红利时，上述表达式仍然适用，这时可以修改为：K1Tc=-Et(D*)利用红利预期的股价公式，可以确定价格初值分:如此初值是否满足般的股价模型，我们可以代入到具有初值确实定解中验证:P1=(l÷r)z-(l+r)z-1D1-(+r)l-2D2D1将痣代入上式后得到：这正是在边界条件下所推导的向前预期解，由此可见该解与初值选择是吻合的。例2.5我们继续利用滞后算子方法讨论股票价格路径的性质。利用算子表示为：-(+r)LPl=-Dl在上述表达式中，滞后算子多项式的特征根小于1,无法采用逆算子的一般表达式，为此我们需要采取新的定义。(1) 定义滞后算子L的逆算子为L-L具有性质：(2) 1.TL=LL=Z(3) 1.-'(yt)=yt+l这样一来，滞后算子乘积就具有幕乘的性质：对于任意正整数i和八有：UCi=IjT对方程(2.12)两端乘以算子多项式：1 +一LT+一!一L+.+!L-(7-(1+r)(1+r)2(1+r)l整理得到：+(+r)-L-Pl=一!一Dt+!-Dt+÷一!一D1LJ，(I+r)'(1+/+,(1+r)'