北师大版（2019）必修二第六章立体几何初步章节测试题(含答案).docx

北师大版（2019）必修二第六章立体几何初步章节测试题学校：姓名：班级：考号：一、选择题1.已知为异面直线,m_L平面_L平面夕，直线/满足/_Lm"_LJ<z,/。尸，则（）A.aH鱼UIaB.a_L尸且/J_£C.0与夕相交,且交线垂直于ID.与£相交,且交线平行于/2.如图,长方体ABCf）-£FGH中,AB=3C=2,8/=14为EF的中点，尸为底面A6CO上一点,若直线"P与平面BMG没有交点,则尸面积的最小值为（）A.亚B.也C.BD.15223 .若机,是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是（）A若“J_a,_L尸，2_1_尸则rnnB.若mlla,J尸，_L6则机_LC若机,"07则血/D.若加_|_。，/区，。/用则加_|_4 .已知公ABC是边长为3的等边三角形,三棱锥P-ABC全部顶点都在表面积为16兀的球。的球面上,则三棱锥PA8C的体积的最大值为（）A.3B.-3C.胆D.在2425 .正四面体尸-ABC的棱长为4,点M、N分别是棱RA、PC的中点，则点A到平面BMN的距离为（）ACR4夜BD2#A.J15.C.ZU.1136 .埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥侧面积的一半，那么其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A2-lr2-lC2+ln2+lAO.U.42427 .如图，正方体ABC。-A4GA的棱长为小E是棱AB的中点，尸是侧面AAQQ内一点，若成平面BDAq,且E尸长度的最大值为从最小值为正,则。“=（）A.7B.6C.5D.38 .如图,棱长为2正方体48C。-AgCQ,O为底面AC的中心,点P在侧面BG内运动且DiO1OP,则点P到底面AC的距离与它到点的距离之和最小是（）二、多项选择题9 .已知a力为空间中不同的两条直线,夕为空间中不同的两个平面,下列命题错误的是（）A若R0,Z?Ua,则HB.若,u,Z?U6,则W/Z?C.若Ua/u尸,则。和b异面直线D若Ra,7,且£=b,则ab10 .设机，是两条不同的直线，a,是两个不同的平面，给出下列四个命题：若C则/%_!_；若加/几,山/a则ma;若mn,上0，mHa»则a-若加=4，加7a，mH>nila>n>则7其中真命题的个数是（）A.lB.2C.3D.411 .在平面凸四边形48Co中，NA=60。，ZC=120°,3。=2J,现沿对角线8。TT9Jr折起，使点A到达点P,设二面角2-9-C的平面角为。，若cy,y,当则三棱锥P-BCD的外接球的表面积可以是（）A.16B.20C.242812 .在棱长为2的正方体48Co-ABGA中，E为B片的中点，P为四边形OCCQl内一点（包含边界），若PA平面4EC,则下列结论正确的是（）A.P11BDlB.三棱锥BPAB的体积为定值C.线段PA1长度的最小值为争D.NAPR的最小值是45°三、填空题13 .在棱长为1的正方体ABC。-A,gCQ中,E为AA的中点,则点G到直线CE的距离为.14 .九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题：“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问：积及为米几何？其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图,米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有斛.（精确到个位）15 .图1阴影部分是由长方体ABCO和抛物线了=炉围成,图2阴影部分是由半径为33半圆。和直径为3的圆P围成的,这两个阴影部分高度相同,利用祖唯原理,可得出图1阴影部分绕y轴旋转而成的几何体的体积为.16 .如图,在棱长为2的正方体ABC。-A/GA中,E为BC的中点,点尸在线段AE上,点尸到直线Ca的距离的最小值为.四、解答题17 .如凰在四棱锥尸ABCD,QA_L底面正方形ABCRE为侧棱PD的中点下为AB的中点,R4=W=2（1）求四棱锥P-ABCD体积；（2）证明：AE平面PFC（3）证明：平面PFCl.平面尸CD18 .如图所示，已知ABC。为梯形，AB/CD,CD=2AB,M为线段尸C上一点.(1)设平面PAB平面PDC=/,证明：AB/1.(2)在棱尸C上是否存在点M,使得幺平面M8O?若存在，请确定点M的位置；若不存在，请说明理由.19 .如图,在四棱锥P-ABCQ中,底面48CZ)是正方形，paj_底面A8CD%=ab=2,O为AC与BO的交点.(1)证明：必_1_平面"C(2)若M为PO的中点,求三棱锥M-OCO的体积.20 .在三棱柱ABC-ABG中，侧面正方形88CC的中心为点M,A1M，平面BBGC,RBB=yi,AB=百,点E满足AE=XAe(O41)(2)求点C到平面A4G的距离;(3)若平面ABC与平面BCE的夹角的正弦值为平，求;I的值.21 .如图(1),已知边长为2的菱形ABCQ中，NZMB=60。，沿对角线3。将其翻折，使NABC=90。，设此时AC的中点为。，如图(2).(1)求证：OO_L平面A3C；(2)求点A到平面BC。的距离.22 .如图，在直三棱柱ABCA18G中，NAC3=90。，AA1=1,。为AC的中点。请从条件、中选择合适的两个作为已知，并解答下面的问题：(1)求二面角A所成角的正弦值；(2)点P是矩形A18(包含边界)内任一点，旦CP=应,求CP与平面4BO所成角的正弦值的取值范围.条件：平面ABC的面积为平；条件：C,D±1B;条件：BI点到平面ABC的距离为乎.参考答案1 .答案：D解析：由机平面,直线/满足/777,且/a，所以/,又_L平面S1所以/尸，由直线机,为异面直线,且相，平面a,，平面夕，则。与夕相交,否则,若a#则推出mh,与风异面矛盾,所以a,相交,且交线平行于/,故选D.2 .答案：A解析：直线HP与平面BMG没有交点,所以HP平面BMG,取Co中点N,连接”N,HA,因为AB”G，AB="G所以四边形ABGH是平行四边形，所以A”/BG，BGU平面BDG,47<Z平面BDG,故AH/平面BDG;同理可得AN/平面BDG,AN、AH=AAN,AHU平面AHN,故平面AHNH平面BDG,故P在AN上运动,当DPlAN时,。尸最小,最小值为华=2叵，55此时AHDP的面积最小,求得LXlx还=叵255故选：A.3 .答案：D解析：对于A中,若“j_a_L6,a_1_尸则2j_,所以不正确；对于B中,若?,_1_/7,。_1/则7与n的关系不能确定,所以不正确；对于C中,若加a,M/7,a/6则m与的关系不能确定,所以不正确；对于D中,若da，。/可得加工尸，又由6，可得“_L，所以是正确的故选：D.4 .答案：C解析：球。的半径为R,则4N=i6廨得：R=2,由已知可得：S,“=3x32=2叵,其中AE=2aO=6球心O到平面ABC的距离为bc4437？2-32=1，故三棱锥PABC的高的最大值为3,体积最大值为£皿.3=竽故选：C.5 .答案：B解析：正四面体P-ABC中，取C的中心为",则CHjL平面RR,故W=QM=2,BM=26,其中8H=8M=券，由勾股定理得CH=J二W=生£，故点N到平面RS的距离为JX坟=亚，233又SAABM=BS./>=××42=273,故V-Is.还处一晅,11xvn-mb_3objw3.3*/73X3-3又BM=BN=2色,MN=-AC=I.2取MV的中点T,连接37,则37>LMN,则忸4=JbM_AT?=J12_=T,故S惭，MNlml=TX211=IL设点4到平面BMN的距离为d,即半考,解得d42211故选：B.6.答案：D解析：设正四棱锥的高为小底面边长为小 侧面三角形底边上的高为"，则由题意可h2 =4×-×-ah 2 2因此有万=心即一色-J = 0,解得幺=生巨a) a 4a 2,因为包0,所以a勺噌.所以侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为年1.故选D.7.答案：B解析：如图，过点尸作交AD于点G,交AQ于点“，则"GJ_底面ABCD连接EG,AFf则易得EF-=EGr+FGr=AE2+AG2+FG2=AE2+AF2.EFH平面BDDB,FG平面BDD耳,EFFG=F,平面EFG平面BDD的,又GEU平面EFG,.GE平面BDD国,又平面ABCD平面BDDlBl=BD,GEU平面ABCD,.GE"BQ,.E为AB中点，.G为A。中点，则”为AQ中点.尸在线段2,得解析：取网中点E连接AC,FA,FC,BD,FO,9()。可知 AOQO ZXOBR,贝IJZD1OD=ZOFB,由NDQD+NDQF+NBoF=180°知NDQF=90°,即D1OlOF.AC平面ABCDyqB_L平面ABCD.ACJL48,又ACJ_BO，BorlgB=3,.AC平面BDD国,；DQU平面BDD1B1,/.AC1DTO,ACOF=O,:.DiOl平面ACF9.D101OP,.OPu平面ACEP平面ACF,P在侧面BG内,.P£平面ACF、平面BCCi与=C凡即尸在CT7上;平面BCC1B1_L平面ABCD,且交线为BC,:.P到平面ABCD的距离即为P到BC的距离，将平面BCC耳沿BC翻折到与平面ABCo共面,如图：将B关于C尸对称到过*作BEj.BC与E则W国即为点P到底面AC的距离与它到点的距离之和的最小值.以B为原点健立如图所示坐标系,则8(0,0)Kl,0),C(0,2),8 =-43直线b方程为±+工=1,即2x+y-2=0,12-.(-2)=-l设9(0,y0则A°2.l+-2=0I22,15故选:A.9 .答案：ABC解析：对于A,由alb,bua,则allcc或。u,故A错误；对于B,由,ua2u6,则/?或。与b异面,故B错误;对于C,由。Ua,/?U6,则无法确定直线a与b的位置关系，平行、相交、异面都有可能,故C错误；对于D,由w,Q,则。与一定不相交；假设。与。异面,由Ra,%,则7uJduWcd,由。与人异面,则Gd与b相交,但这与平行公理矛盾,故D正确.故选：ABC.10 .答案：C解析：若a则命题为真命题；若?，R0则z或机Ua,所以命题为假命题；若mn,_1_/所以加_L/，又因为m,则a_L/?,所以命题为真命题；若"=A，ma>tnll>nila»nil,则。/?命题为真命题故选：C11 .答窠：BCD解析：平面凸四边形ABCE）中，/4=60°，NC=I20°，.平面凸四边形ABCo中，四顶点共圆，令平面凸四边形ABeD所在圆的圆心为O,沿对角线BD折起，使点01到达点F,取B。中点E,连接EEEO1,过点尸作平面尸B。的垂线，过点0作平面ABO的垂线，令两条垂线的交点为O2,0_BD23在aabo中由正弦定理可得Oa的直径）=正Z"防由垂径定理可得QE=BD F)= 4T3 = 1,由翻折对称可知E尸=。也=1,O2O1ITffiABCD,0Eu平面ABCQ,aO2O1IO1E,同理。2尸IFE，又EF=OlE=1,O2E=O2E,.'.O2O.EO2FE，.NoIEo2=ZFEO2，又二面角P-BO-C的平面角',空，33即工-N0防0,-ZOiEF-，.-ZO1EO1-"QE中。qS4性可.外接求得半径R=JaQ2+产=JaQ2+4e1岑,币,三棱锥P-BCD的外接球的表面积S=4R2e券,28,12 .答案：BCD解析：取OR中点G,连接AIG,GG,AC,易知AGfC,EC5FfSAECfAGa平面A£C,.,.AfiH5FAEC；同理可得：AG平面AEC,又AG'、AlG=4，AG,A£u平面AGG，.平面AGG平面AEC,又尸4平面AEC,PAU平面AGG,又P为四边形OCGA内一点（包含边界），PcCG.对于A,当户在G处时，PA与3。不垂直，A错误；对于B,Sfm为定值，P到平面4万8的距离等于G平面AB避的距离，即4G，114Bl-PAiB=P-AiBlB=gS.qBlB,B£=×4×2=-,B正确;对于c,线段PA长度的最小值为点4到线段GG的距离,在AAGG中，AG=GG=石，1C1=22,aSaw=22×=6,设点A到线段GG的距离为4则Sacg=Lggw=受d=«，解得：d=型，AlLU225即线段PA长度的最小值为迥，C正确；对于D,设AP = X, x殍,则ap=777,/. cos NA PDx22 (当且仅当x = 2时等号成立)，又0o4PA18()o,.'NA/。的最小值是45。，D正确.故选：BCD.13.答案：立3解析:正方体中,。£_1平面48。,。1七。1,好1C1EC1C Vx 5EC 1 2故答案为:在14.答案：22解析：根据可设四分之一圆锥的底面圆半径为八即×2*=8,r=-K;根据锥体的体积公式可得四分之一圆锥的体积为V=LXL"25=当立方尺;343又1斛米的体积约为1.6立方尺所以共当X，°22斛.31.6故答案为：2215.答案：出或13.5兀2解析：图一绕），轴旋转一周可得一圆柱挖去中间的部分，将图二以小圆的直径为轴旋转一周可得一个半球挖去一个小球，将两个几何体放在同一水平面上,用与圆柱下底面距离为“0<<3）的平面截两个几何体,可得截面都为圆环,纵截面图如下,几何体二的截面面积为×（的_r）2-J（I）-（A=9-3m,又两几何体等高，由祖唯原理可得两几何体的体积相等,又几何体二的体积v144CY27V1=-×-××3××=22332所以几何体一的体积K=出，12故答案为:出16 .答案：还5解析：点P到直线CG的距离等于点尸在平面ABCO上的射影到点C的距离,设点尸在平面ABC。上的射影为产，显然点P到直线CG的距离的最小值为产。的长度的最小值，当PC_LOE时,P,C的长度最小，此时产C=JiL=冬叵.27T517 .答案：(1)§3(2)见解析(3)见解析解析：设四棱锥P-488体积为VIB°，正方形ABCD的面积为SABCD，11Q则.AA8='P=-×22×2=-(2)取PC中点G,连结EG,FG,因为七、尸分别为尸。、AB的中点，所以EGCD,EG=LCD,AF/Lcd,AF=Lcd222所以EGAF,EG=AF，所以四边形AEGb为平行四边形，所以AE7FG又AEa平面PFc,AGu平面PFC,所以AE平面PFc（3）/%_L底面正方形ABCZCDu平面ABCD,.C£>J_R4,3<CD_LAO，R4AO=A,RAu平面网。AOu平面以"所以C£>_L平面以。,AKU平面雨。，所以CD_LAE又AE_LPZ）,CO11PO=O,COU平面PCnPf）U平面PCD,所以AE_L平面PCD.由（2）知AE/FG、所以EGJ平面PCD,而JFGU平面PFC,所以平面QFCJ_平面PCD.18、（1）答案：见解析解析：因为A3CD,A5U平面PoeCQU平面PDc所以AB平面尸QC.又因为平面PA8、平面尸DC=/,且ABU平面附8,所以AB/.（2）答案：存在点M,使得/W/平面MBD,此时也=1,理由见解析MC2解析：存在点M,使得雨平面MB。，此时丝=L证明如下：连接AC交B。于点MC2。，连接MQ因为ABHCD，且CO=2A8,所以空=丝=，又因为丝=1,PCQAC=CfCDOC2MC2所以尸4/M0，因为P4.平面用皿，MOU平面M3O，所以RV/平面M3D(2)13解析：(1)证明：PAl底面48CZ),BDA-PA底面ABCO是正方形，BDLAC-PA,ACU平面尸ACQAAC=A,.BQJL平面PAe(2)。为AC与8。的交点，。为AC与8。的中点，ocd=×2×2=1M为尸。的中点,.点M到平面OCD的距离为LPA=1.2M-OCDTSAOCD*彳PA=三/.32320.答案：(1)证明见解析巫5(3)2=gc=l解析：因为九=g,A&=gAG,点E是AG的中点，又.M是BCI的中点所以AABa面BCE,MEU面BlEC,所以AW/面qCE.(2)在三棱柱ABC-AIqcl中，面ABC'面44G，所以点E到平面ABC的距离等于点A到平面ABC的距离.又因为正方形GC,所以3C,4C,且AM，平面3&GC,以M为原点，M8,Mg,M41的方向分别为My,z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知 =LMA =yAlB-MB; =2,则4(0,0,忘)，4(0,1,0),5(1,0(-1,0,0)，44=(0,1,-四)，4。1=(-1，。，-忘)，设平面AqG的法向量为方=,y,z),贝卜nAiBl = y - *Jlz = On1C1 =-x-y2z = 0令z=l,可得法向量为”=卜父,应),又CA=(OJ忘)，所以七到平面ABC的距离d =M.2÷22ioH 5(3)因为42=lAG，所以A应=44c = b4Q-J)，则 E = M41÷4, = (-O,2-2),MB* =(0,l,0),设面qCE的法向量为m= (%y,z),am ME = - Zr+(点-V)z = O，z = 4,m MB、= y = O可得法向量为“7 = (8-电，0，勾，所以COS伽，力=2(-l) + 232-2552(l-2)2+22 5(32-4 + 2),因为平面ABC与平面BICE所成角的正弦值为浊, 53-2-51所以小（3方H+2）5,可得3分一4%+l=O,所以'一3或；1=1.21 .答案：（1）证明见解析侦3解析：（1）连接30,D0,四边形ABCO为菱形，.AO=CD,又。为AC中点，.力OJ_4C；在菱形ABCo中，NDAB=60。，BD=AB=I,AB=BC=2t48C=90°,AC=22，.80=；AC=&,又DO=QAD2-AO?=,DO1+BO2=BD2,.DO±BO;ACnBO=O,AC,BOU平面ABC.DO-L平面48C.（2）由（1）知：OOj平面4BC,.VoA8c=%scOO='x2x2x四=逑；L/-1DC3A/1DL63设点A到平面BCD的距离为d,.Sa88=；X2X2Xsin60。=5.%。=S.,d=d=f解得：d=还,即点A到平面3CO的距离为亚.3371422 .答案：（I）2一解析：（1）因为直三棱柱A8C-A4G,所以CCl平面ABC又CA,CBU平面ABC所以CGICA,CC1ICB,又C4_LC8.zururUUlr、以CA,C8,CG)为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系C-型.设CA=4,CB=(tz>O,>O),/则A(,0,0),4(,0,l),D-,0,0,B(OM0),BI(OM1),C1(0,0,1).127由得平面ABC的面积为:Wc+1,由得UiurUiiir(C21C1D=(-,-l)pO,-lj=-y+l=O,UUM(2/-)UUlI解得=,”也.所以戢=(71,-51),8Q=-p-2,0,BB1=(0,0,1),设平面BlBD的一个法向量为"=(,y,zj,AiLBry2则鬻尸，所以斤内一以二°，取K=I,则:(2J0),BBlF=OZl=0设平面ABD的一个法向量为帆=(X2，丁2,22)，fULUITy2p则微尸，所以512%=。，取犷1,贝喘=(2,.何,BAm=O>x2->.y2+Z2=O设二面角Ai-BD-Bl所成角的平面角为心I Fi所以 ICOSM= COS (?,)=tnnHrm n=返，因为60,旬，所以Sine=今,l757LJ74所以二面角A-8。一4所成角的正弦值为y丁.选由得平面ABC的面积为？7石=*,由利得VBfBC=VA-BK，p×y×=××*解得=,b=>2yUuUlU国2厂八UUU所以成内)，BD=-,-2,0,1=(0,0,1)7设平面B/D的一个法向量为；1=(,y,zJ,LllU BDn = O UUir r BBIn = Oxl -2yl =O取X= 1,贝ji = (2,1,0),zl = O设平面ABD的一个法向量为机=（赴，M，Z2），r Ul ITBD tn = O 匚己“ UUffl Ir ,所以 ,BAi m = O3-&%=。,取为=1,则；U(2,l,/,42x2-y2y2+z2=O35一'设二面角4-8。一四所成角的平面角为。，所以Icos=CoSC几tl)=卷V=I=/77hl75因为e,r,所以sin8Ju所以二面角A一四一片所成角的正弦值为手.（2）取AB中点Q连接尸。，CQ,因为CQ_L平面AABBI,PQU平面AIABBI,所以CQJ_pq,因为CQ=1,CP=2,所以PQ=1,所以点P的轨迹是以。为圆心，半径为1的半圆，设点P（Hy,z'）,所以x,2+y,2+z,2=2因为Cp = I, PQ = X,所以,y,所以x' + y' = 7, 1LILl设CP与平面。所成角为,由CP=（M乂，）及平面耳8。的一个法向量为”=(2,1,0)知sin a - cos2y+yy+2-211A,因为f,所以SinaW525T,"5'所以CP与平面B/D所成角的正弦值的取值范围为性罔