北师大版（2019）必修二第二章平面向量及其应用章节测试题(含答案).docx

北师大版（2019）必修二第二章平面向量及其应用章节测试题学校：姓名：班级：考号：一、选择题1 .已知ZABC是边长为4的等边三角形,P为所在平面内一点,则PA（PB+Pej的最小值为（）A.-8B.-6C.-4D.-22 .在C中,过重心E任作一直线分别交ABAC于MN两点,设AM=XAB，AN=yAC，（x>0，y>0），则4x+y的最小值是（）A.lB.-C.3D.23 33 .已知在z2kA5C中,角A,8,C对边分别为。力,。,且2Z?=a=4,SinC->3sinB=（）,则能将43C全部覆盖的所有圆中,最小的圆的面积为（）AWr4C.?不虱D.4币式4 .如图,在ABC中,M为线段BC的中点,G为线段AM上一点,A（j=2GM，过点G的41直线分别交直线ABAC于PQ两点,AB=xAPx>0）,AC=yAQ（y>0）,则-+的最小值为（）.445 .在C中,角ARC所对的边分别为附。若/="+/双,则角3=（）A.-B,-C.-D.6 3436 .己知非零向量a1满足+q=-"则一在方向上的投影向量为（）A.4B.RCGDJ7 .学校兴趣小组为了测量市民活动中心广场一圆柱状建筑物的高度,在地面上选取相距120米的两点MN,若在MN处分别测得圆柱状建筑物的最大仰角为60。和30。，则该圆柱状建筑物的高度约为（）b603C.30d3038 .已知向量=（l,2）,A=（-42,）MR,/的夹角为3,若存在实数加使得WCoSe_6>o,则机的取值范围是（）A.1一, +oo2B.(0,+)C. 一8,|( 1D. -,-I 2二、多项选择题9 .如图，已知点。为正六边形43CQE/的中心，下列结论中正确的有（）A.OA+OC+08=OB.(O-AF).(EF-DC)=OC.(OAAF)BC=(AFBC)OAD.OF+OD=FA+OD-CB10 .已知向量、b、C是平面内的非零向量,则下列说法正确的是()A.若卜+卜卜-4则_LhB.若gc=.c，则4=b(abb/.、/八C.向量Q在人上的投影向量为一PpD.(a)c=a(bc)11 .已知。为的外心,且AO=2AB+(1-4)aC若向量BA在向量BC上的投影向量为,8C,则"cosNAOC的值可能为()A.-lB.-lC.-D.±4816712 .已知非零单位向量4和6若Gb=-且,向量在向量Q上的投影向量为c，向量在3向量/,上的投影向量为小则下列结论正确的是（）Ad=4c=C.a%=acDcd=一三、填空题13 .设向量ee；为单位正交基底,若6=2e,-er=e1+g，且_Lb,则k=14 .已知向量力满足同=2,W=I,且卜+。卜技则与的夹角等于.15 .古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得,阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点A,3的距离之比为定值力（a。且）的点的轨迹是圆”后来人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆,在平面直角坐标系Xoy中,A（-2,0）,8（2,0）,点P满足粤=3,则pa.pb的最小值为.PBrzS16 .记AABC的内角A,B,C的对边分别为ahc,若cosC=-,a=3bM3cosA=四、解答题17 .从CSinC-。sinA=（疯-卜inB:Sin2A+石cos2A=0条件中任选一个,补充到下面横线处,并解答在C中C分别为内角A,8,C的对边,AB=2y3（1）求角A；（2）若外接圆的圆心为。,CoSZAoB=U,求BC的长.1418 .在右（-/?COSC）=CSi11B,2-c=2ZjcosC，（a-b）（+b）=（-0C这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答该问题.在ZXABC中,内角A,B,C的对边分别是。力,c,且满足,b=26.（1）若+c=4,求AABC的面积；(2)求448C周长/的取值范围.19 .已知在中,A,8,C为三个内角。力,c为三边,c=2hcos-C=23(1)求角B的大小；(2)在下列两个条件中选择一个作为已知,求出3C边上的中线的长度.AABC的周长为4+2620 .2022年2月4日,冬奥会在北京与张家口开幕,如图,四边形ABCz)是主办方为运动员精心设计的休闲区域的大致形状,区域四周是步道,中间是花卉种植区域,为减少拥堵,中间穿插了氢能源环保电动步道AC,£)=23,A£)=4,C£>=6,8=上3(1)求氢能源环保电动步道4。的长；(2)若BO=%求花卉种植区域总面积.21.如图,在aMC中,NBACT，AD=3DB，P为CD上一点,且满足AP=mAC+1AB,若ABC的面积为2JDB求7的值;求IAPl的最小值.22.如图,游客从某旅游景区的景点A处下上至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C另一种是先从A沿索道乘缆车到3,然后从8沿直线步行到。.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50mmin在甲出发2min后,乙从A乘缆车到民在B处停留1min后,再从B匀速步行到C,假设缆车匀速直线运动的速度为130mmin,山路AC长为1260?,经测量COSA=,cosC=.135(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少min后,乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min,乙步行的速度应控制在什么范围内？参考答案1 .答案：B解析：取BC中点。,以O为原点,OCaI为Xj轴建立如图所示平面直角坐标系，则B(-2,0),C(2,0),(0,2,设Pay),贝IJEA=(-x,25-y),尸8=(-2-x,-y),尸C=(2-x,-y),所以P3+PC=(-2x,-2)，所以PAPB+PC)=(-x,23-y)(-2x,-2y)=2x2-4>j3y+2/=2x2+(y-3)2-3-6,当且仅当X=O,y=6时等号成立，所以PA(尸3+PC)的最小值为6故选：B.2 .答案：C2 11解析：在ABC中方为重心,所以AE=(AB+AC)=-(B+AC)，3 23设AM=xABN=yACXx>O,y>0)所以AB=工AM,AC=LaN,所以AE=AM+1'AN.Xy3%3y因为M、E、N三点共线,所以-!-+-L=I,3x3y所以(以+/，+，,+'2+竺*+2U=3(当且仅当上=把,即"3yJ333x3y33x3y3x3yX=Ly=I时取等号).2故4x+y的最小值是3.故选：C.3 .答案：B解析：由乃=4,则b=2,又SinC-GsinB=O,由正弦定理得C=辰=25由余弦定理得COSC=一c?J6+4-12=L又ce(o,),则lab2×4×22''sinC=>1-cos2C=专9pc23设AABC的外接圆半径为尺由正弦定理得2"二流"访=4,故r=2,T所以能将AABC全部覆盖的所有圆中,最小的圆即aABC的外接圆,其面积为S=TtR2=4-故选:B.4 .答案：B解析：因为M为线段BC的中点,所以AM=J(A3+AC),又因为AC=2GM,所以221AG=-AM=-(AB+AC),33又AB=XAp(X>0),AC=yAQ(y>0),所以AG=：AP+AQ,又PGQ三点共线,所以2+2=1,即x+y=3,33所以%七二；"+击卜+(“川=，4+忘+2+1*2舟手当且仅当上=也工D,即N=Wy=J时取等号.y+1X33A5 .答案：B解析：依题意,从=a2+c2_acVa2+c2_b2=或，所以COSB=上±Q=L>O,所以B为锐角,所以8=4.2ac23故选：B.6 .答案：B解析：由卜+。卜卜4知：+24»+/=/-2力+?,可得6=0,b(c-bbcibh所以在方向上的投影向量为一y同=Up，b=-b.故选：B.7 .答案：B解析：设圆柱状建筑物的高度为,则有-=120,即之=120,tan30otan60o3所以=60-73故选：B.8 .答案：C解析:WCOS-j5m>0,贝!jm<当WCoS0,a=(1,2),则M=炉方=有，1.z?cosa-、故加<g=,«=-k+22,由题意可知,机=-.故选:C.9 .答案：BC解析：A选项，OA+OC+OB=2O3,故A错误；B选项，OA-AF=OA-OE=EA,EF-DC=EF-EO=OF.由正六边形的性质知OFLAE,/.(OA-AF)(EF-DC)=O,故B正确；C选项，设正六边形的边长为1,则OAA/=IXlXCOSI200=-L,AFBC=1×1×cos60°=-,22.(OAAF)BC=(AFBC)OA-BC=-OA,式子显然成立，故C正确；D选项,22设正六边形的边长为1,IOF+OD=OEl=1,FA+OD-CB=DC+OD-CB=OC-0A=AC=y/3,故D错误.故选BC.10.答案:AC解析：对于A选项,由k+4=卜_目可得(+4=(一汗,整理可得2=0，又因为。、人为非零向量,所以,b,A对；对于B选项,由.。=.。可得(4一。).工=0,因为a、b、C是平面内的非零向量,则=A或(。叫Lc,B错；对于©选项晌量“在/,上的投影向量为|。卜。$卜,6>4=孙升力=与上,(3对；对于D选项,设0.=丸，所以,4.仅同=而是与“共线的向量,力卜=”是与C共线的向量，但、C不一定共线,则('c)不一定相等,D错.故选：AC.IL答案：BCD解析：因为AO=4AB+0；I)AC,所以Ao-AC=1(aB-AC),即CO=ZtC3，又因为0为AABC的外心,则|。4卜画=|。4,所以,ZOAB=NOBA,ZOAC=ZOCA,则ZBAC=ZOAB+ZOAC=；(/。AB+ZOAC+ZOBA+Noe4)=,即ABlAC,且。为斜边3。的中点,过A作BC的垂线AQ,垂足为Q.因为衣4在Bd上的投影向量为BQ=NBC、当5<<1时,如因LcosZAOC=当0<"<；时,如图2,CoSNAoC=二r二2-1；OA1BCOQ*卜4-cosZ.A0Q=：=OA1BC所以OA在8上的投影向量为OQ=BQ-BO=(一BJbC.当M=g时,点Q与点、°重合,则AO1.BCycosZAOC=0»A,COSZAOC=0；WlOQp-CABOqC图1所以CoSNAoC=22-因为4(0,l所以当AbQOC图2=2L-i-hV4)8时,cosZAOC取得最小值,且最小值为-L8当M=O时,22-=0,当=1时,2ju2-1、故"cosNAOC的取值范围是,1._8J故选:BCD12.答案：ACD解c-S11a-4foa-对选项A:同=小日,正确;对选项B:C=1.,S=Lcos,M=LI-.l.l=B,11fb11abb3一直，4,b不共线,错误;对选项3Cz.c=_且=_且=正确;对选项Dcd=3立/=一直,正确.33313J39选:ACD.13 .答案：2解析：因为向量e，e；为单位正交基底，=2e-e2，=优+A:e2>aLh所以(2©162>1+3)=0,即2eJ+(2Z-l)eq-左C2?=O所以2-左=0,即无=2故答案为：2.14 .答案：空3解析：由条件,+。卜道，可得(£+)=(G)，即，+2.+=3，得到G。=1，一，/八Clb所以COS4,6)二厂用ch所以&,)=?.15 .答案：一3解析：设点P(x,y),由国=3可得¾11I=3,整理可得M+9一5+4=0,IX阀7(x-2)2÷/化为标准方程可得卜一J+y2=,因为。为43的中点,=PO2-4,记圆心为呢,(),当点尸为线段OM与圆卜_|J+y2=(的交点时，IPOl取最小值,此时,0o=g-g=1,所以,PA尸B=Pq2-4l-4=-3.故答案为：3.16 .答案：亚或一,指669解析：因为COSC=,=3b,由余弦定理/=/+/;2-2abcosC32所以。2=萌+/-2x3bxbx-,所以C=痴6,3所以cosA=2+/=曲+£昉=2bc26?26故答案为:一好617 .答案：(1)A=-6BC=27解析：(1)选择条件：因为csinC-sinA=(>5c-卜in8,由正弦定理,可得C2/(Ge"),即从+c2-=而C，所以cos-+Cj=幽=回2bcIbc2因为A(0,兀卜所以A=工.6选择条件：因为sin2A+Gcos2A=6所以25吊(24+£|="即疝(2产)=§因为A(,)所以2A+Z±N'3133J所以2A+'=,A=Z.336(2)由题意,。是ABC外接圆的圆心,所以NAOB=2C,所以CoSN40B=CoS2C=l-2si?C=U14故此SinC=应1423BC在AABC中,由正弦定理,父=旦,即赤=丁，解得8C=27sinCsinA14218.答案：(1)显3(2)43,63解析：(1)若选条件,由Gg-bcosC)=CSinB及正弦定理,得石(SinA-SinBCOSC)=sinCsinB即3sin(B÷C)-sinBcosC=sinCsinB,化简得3cosBsinC=sinCSinB，因为0<Cv7,所以SinC0,所以12118=6，因为0<8<兀,所以8=土3若选条件,由2一c=2Z?CoSC及正弦定理,得2sinA-SinC=2sinBcosC,即2sin(8+C)-SinC=2sinBcosC,化简得2cosBsinC=sinC,因为O<C<兀,所以SinCO,所以cos8=,因为0<8<兀,所以3=4.23若选条件,由(+b)(-b)=(-0c化简得,2+。2_/=双,由余弦定理得cosB="+,即COSB=L因为0v8<,所以B=巴，2ac23所以三个条件,都能得到3=23由余弦定理得力2=a2+/-2accosB=(+c)2一24c-2ccos3,即12=4?-2c-2cxg,解得ac=->3所以ABC的面积S=LaCsin8=，X3XSinp=避.22333aCb_2>3_(2)因为b=2>/5,8=由正弦定理得SinAsinCsinB下,2因为A+C=兀一B二女，3所以a + c = 4(sin A + sin C) = 4 sin A+ sin=4邪cosA÷-sinAl=4>3sinA+-I22)I6因为0<A<生,所以二<A+色<型,Sin(A+工(L,1,3666V6)2_所以+c(2JJ,46,即4+b+c(4>Q,6jJ,所以A3C周长I的取值范围为(43,63.19 .答案：(1)B=-6(2)答案见解析解析：c=2hcosB,则由正弦定理可得sinC=2sinBCoS8,od2>32兀.,.sin2B=sin=，C=，323.8（0,;,28（0,与）.25=,解得3=t.（2）若选择，由（1）可得A=L即6则S田=I"sinC=#冬乎,解得a=8则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为:若选择（2）：由（1）可得A=L设4ABC的外接圆半径为民则由正弦定理可得6a=b=2Rsin-=R,c=2Rsin=WR，63则周长0+6+。=2/?+6/?=4+26，解得/?=2，贝1。=2，°=26，由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：（26丫+F-22J1<os工=720 .答案：（l）AC=2i?166解析：（1）B=-yD=2B>/.D=,33在AADC中,由余弦定理可知AC2=AD2+DC2-2ADDCcosD=42+62-2×4×6×f-j=76,即AC=2i?.在ZXABC中,由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB，BP76=AB2÷16-2×4ABcos-,3解得AB=Io或AB=-6(舍去)，即AB=I0,即SA"='ABBCsinB=klOx4x=l3abc222Sadc=AD)(Jsin。=×4×6×65/3，222所以花卉种植区域总面积为SMC+Sdc.=103+63=16321 .答案：（1）3（2）当8=2Lc=半时取得等号解析：（1）建立如图所示直角坐标系,设AC=8,AB=c,则B(Go)当，/由A£)=30后得。*°由A>=根46+4以得尸£ 22因为C,P,D三点共线,所以co/ /PQ,因为S2*吟邛仆2"所以历=8，所以IAPl=友,当且仅当力=26，”时取得等号1Imin3322 .答案：(1)AB=1040m(2)37z12506251/MQ/.、(3),(单位：mmm)_4314_17Q解析：(1)在中,因为COSA=,cosC=-,135所以SinA=2，SinC=3,135SaioaAa从而SinB=Sin兀一(A+C)l=Sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA=×-÷×-=一13513565由正弦定理幽=M,得AB=JxsinC=警Xl=Io40(m)sinCsinB65(2)假设乙出发rmin后,甲、乙两游客距离为4此时,甲行走了(IOo+50f)m,乙距离4处130rm,所以由余弦定理得IOd2=(100+50/)2+(30。2-2X130zX(1()0÷50r)×-=200(37/-70r+50),由于orW12,即of8,130故当"至min时,甲、乙两游客距离最短.37(3)由正弦定理匹=上，sinAsinB衣AC.12605、得=XSInA=-rx1i=5(m)65乙从B出发时,甲己走了50(2+8+l)=550(m),还需走71Om才能至U达C.设乙步行的速度为皿/min,由题意得-3W平-詈“3,解得詈“箸所以为使两位游客在。处互相等待的时间不超过3min,乙步行的速度应控制在125062543'N（单位：zwrnin）范围内.