北师大版（2019）选择性必修二第一章数列章节测试题(含答案).docx

北师大版（2019）选择性必修二第一章数列章节测试题学校：姓名：班级：考号：一、选择题1 .己知数列4的前项和为S”,若4=1，4+=355与卜则52（）23等于（）A42°22B.42023c 42022 1 42023 -l32 .已知数列%的前项和Sh=/一7,数歹Ualt的首项为3,若用一见=2,则为=（）A.23B.22C.21D.203 .已知数列,满足：4=|,凡+2-%3"4+6-%913",则。2023=()O4 .记S“是等差数歹Jz的前项和,若4=4,6=8,贝154=（）A.16B.8C.4D.25 .已知等差数列q满足4%=34,则q中一定为零的项是（）A.6B.%C.10D.126 .等比数列q中，fl1+6f2+a3+a4+a5=3,=15,则a-a2+a3-a4+a5=()A.-5B.-lC.5D.l7 .己知数列可满足可讨=34(1<),且4=2总为其前项的和,则与=()A.3,°B.3,0-lC.39-lD.398 .在等差数歹!j“中,若4+6=I。，=9,贝!4o=()A.20B.24C.27D.29二、多项选择题9 .已知数列“,都是等比数列,则下列数列中一定是等比数列的是（）A她B.3+dC号,D.al-bn10 .已知数列为,"都是等比数列,则下列数列中一定是等比数列的是（）A她B.（+4C,.D,a-bnH.已知公差为d的等差数列”的前项和为S”，若S2O23<S2O2<S2O22,则下列选项正确的是（）A.dvOB.当凡<0时，鹿的最小值为2022C.S有最大值D.当50>0时，的最大值为404312.在增删算法统宗中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其意思是：“某人到某地需走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地则此人（）A.第二天走了96里路B.第三天走的路程占全程的18C.第一天走的路程比后五天走的路程多6里D.第五天和第六天共走了30里路三、填空题13 .设等差数列4的前项和为S”,且S3=52,则&+4+为=14 .等比数歹U凡中,q+4=4,4+4=12,贝U%+al0=.15 .小李向银行贷款14760元，并与银行约定：每年还一次款，分4次还清所有的欠款，且每年还款的钱数都相等，贷款的年利率为0.25,则小李每年所要还款的钱数是元.16 .南宋数学家在解析：九章算法和算法通变本末中提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,高阶等差数列中前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,2,4,7,11,16,22,则该数歹IJ的第20项为.四、解答题17 .（1）已知数列q的前项和是S”,且2S“=/+,求可的通项公式.(2)已知正项数列q的前项和S,f满足S”=2勺-2,求数歹Uan的通项公式.18 .记S“为数列4的前项和，已知S”=/.(1)求数列4的通项公式；(2)月数学归纳法证朋：幺±1.&士1.NJ4反斤.aa2an19已知数列4中，4=(，%=(+；).(1)求的，a3»%的值；(2)根据(1)的计算结果，猜想“的通项公式，并用数学归纳法证明.20 .已知数列4的前项和为S”，%0,(4+1)2=40+1).(1)证明：q是等差数列；(2)设数列出的前项和为7；,从下面两个条件中任选一个作为已知条件，并证712=W一京一；"二.(Sn-4)atlSn21 .已知数列q,b满足：an+bfl=t+l=-r¾-r，且6,伪是方程(1-%)(1+%)16炉-16x+3=0的两个实根，且(1)求q,b,b2；(2)设q,=77L,求证：数列q,是等差数列，并求也的通项公式；1(3)设Sn=Wz+V%+%。+OAhV若不等式4S”。"恒成立，求实数4的取值范围.22 .已知数列“是公差不为零的等差数列，a1=l,且%，%，%成等比数列.(1)求数列4的通项公式.(2)设数列也的前项和为S“，在S,=2"-l,"N'S"N*;S,川=2Szr+l,"N这三个条件中任选一个，将序号补充在下面横线处，并根据题意解决问题.问题：若仇=1,且，求数列(2的前项和参考答案1 .答案：A解析：因为an+l=3Stt(n1),所以a”=3Sn,1(2),两式相减得a”+1=3z,.*=44zl,Q112),由a”+=3S21),得a2=3ai=3,故可知q尸O,而生=3,所以如=4,(n2),故4从第二项开始,为公比为4的等比数列，故"q+1，若心一，故选：A.2 .答案：C解析：因为S”=“2-7当n=时=51=1-7=-6,当"2时,2=S“_S,i=2_7_(_1)2_7(_1)=2_8,将=1代入"=2一8得4二一6,符合，所以么=2-8.所以4+-4=O=2”8,所以4o=4+(出4)+(%)+(4o9)=3+(-6)÷(-4)÷+10=3+-=21故选:C.3 .答案：C3解析：ay=-9an+2-an<3"tO*-。+4-4+2B"",*-an+43"”,4+6一凡=(。+6一。/4)+&+4%+2)+(4+2一4卜3"+4+32+3”=3(34+32+1)=913，又。”+6一%N913”,故+6-%=913",所以an+2af,=3，/+4-4+2=3/2，。+6一"+4=3"",3所以。3-4=3,%-6=33,afl+2-an=3,1=-O故生川一%=生而一生1+211-I-。2-3+为一%/一4=3+33+3'+32w,则a2n+=a+3÷33+35+32111,所以2P3=1+3+33+35+3202=3+止吧=当.881-98故选:C.4 .答案：C解析：设等差数列”的首项为4,公差为d根据题意可知H+3d=4,解得k1=-2；a1+5J=8d=2所以可得S4=4a1+4x(；J=4×(-2)+6×2=4-故选:C5 .答案：A解析：设等差数列4的公差为4V4a3=3a2,.,.4(01+2d)=3(al+d)可得4+5d=O,.'.a6=0.则中一定为零的项是。6.6 .答案：C_J解析：设公比为q,显然夕工±1,则由题意得!qm,两式相除得l-q-q(l+qS)一39+q1一（F）所以q+%+6="1一箱=W')=5,故选：c.7 .答案：B2fl-3,01解析：由题可知att是首项为2,公比为3的等比数列,则S10=<、)=3,0-l.故选：B.8 .答案：D解析：a2+6=24=10,所以4=5,又为=9,所以%-%=4,所以0=4+5d=9+20=29,故选:D9 .答案：AC解析：设等比数列q、也J的公比分别为名、%,其中0,%w0,对任意的"N*,a“工0，2。0,对于A选项,鬻止=0%,即数列anbfl为等比数列,A满足条件；对于B选项,不妨取q=(T)"也=(T)N,则数列风、色都是等比数列，但对任意的fiN*，cn-rbn=(-1)m+(1),+i=(l)n(l)n=0,故数列“+以不是等比数列,B不满足条件；对于C选项,2÷%=也工=为,故组为等比数列,C满足条件.%bnan+1%blt对于D选项,不妨取。“=(-2)"也=2"测数列q,、也都是等比数列，但当=2%,AN*时,an-bn=(-2)n+T=(一2+22*=4a-4a=0,故数列4-bn不是等比数列Q不满足条件；故选：AC.10 .答案：AC解析:设等比数列%、色的公比分别为4、%,其中4产0,%工0,对任意的"N*，4“工。也工0,对于A选项,鬻止=乎.$=0%,即数列也为等比数列4满足条件；对于B选项,不妨取q=(T)"也=(T)N,则数列4、色都是等比数列，但对任意的N*，。+2=(-1)m÷(-1)h+,=(T)(T)"=0,故数歹式4+4不是等比数歹J,B不满足条件；对于C选项,*÷?=也具=%,故(刍4为等比数列,C满足条件.%4%IAJ对于D选项,不妨取为=(2)"也=2”,则数列%、也都是等比数列,但当=2%,&N时,q-bll=(-2)+2n=(-2)2*+22k=4J4J0,故数列4-btl不是等比数列,D不满足条件；故选：AC11 .答案：ACD解析：对于A,由S2023VS202<S2022可得42023+。2022<0，。2023<°，。2022>°，故等差数列叫的公差d=a2o23-%>22<O,故A正确；对于B,由A得数列叫为递减数列，且2023<0,¾o22>O,故当为Vo时，的最小值为2023,故B错误；对于C,由 A 得d<0,故5”=4/+ j22)其图象是二次函数)，=3/+(43卜上的一些点，该二次函数的图象开口向下，所以S“有最大值，没有最小值，故C正确；对于D,因为数列为的前2022项均为正数，且S4044=4044X=2022(q+4044)=2022×(2÷)<0,S4043=4043X"+f43=4043t2>。所以当3>°时，的最大值为4043，故D正确.12 .答案：AC解析：设此人第天走了凡里路，则数列q是首项为生,公比9为;的等比数列.因(1、41一下)1为$6=378,所以§6一一=378,解得q=192.对于A,由于出=192x±二96,1-122所以此人第二天走了96里路，所以A正确；对于B,由于%=192L=48,4R1所以B错误；对于C,由于378-192=186,192-186=6,所以此人第一天3788走的路程比后五天走的路程多6里，所以C正确；对于D,由于(11Aa5+a=192×1=18,所以D错误.5611632J13.答案：2解析：设等差数列叫的公差为V513=52,Al34+=,化为：q+6d=4.则%+%+q=3a1+18J=3(a1+6J)=3×4=12.故填12.14.答案：108解析:由题意等比数列4中吗+%=4,3+%=12,设等比数列4的公比为q,则q2=色±生=¥=3,4+%4故%+al0=夕4(%+。6)=9x12=108,故答案为:10815 .答案：6250解析：设每年还款的金额为X元，由题意可得fl+(1+0.25),+(l+0.25)2+(1+0.25)3=14760×(1+0.25)4,所以1-1.254八I“4rr.14760×1.254×0.25X=14760×1.254,所以X=:=6250.1-1.251.254-116 .答案：191解析：高阶等差数列“：1,2,4,7,11,16,22,令"=0向一可,则数列也：1,2,3,4,5,6,则数列bn为等差数列,首项A=1,公差d=1也=,则4+a则¾)=()-49)+(如一48)+(48一%)+3-4)+4=(19÷18+17+.+1)+1=19。；+1)+1=191,故答案为：19117 .答案：(1)。“=2解析：(1)由2S=+z2可得S=田士生n2当=1时,4=1,当时ce/+(n-l)2+n-l/.经验证,当=1时也成立.所以an=n.(2)S“=24-2.*.al=S1=21-2,得q=2.5n+1=2j+1-2(2)一得：an+x=2an+x-2。“，.fIan即*=2,U力._2幺=2血=22=2%'an=2"经验证,当=1时也成立.所以=2"18 .答案：(1)an=2n-(2)证明见解析解析：(1)当/1=1时,Oi=SI=1,当2时，an=Sn-Sn_=w2(nI)2=2n-l,当=1时，上式也成立，所以q=2鹿-L(2)当=1时，=2,2+l=3,所以卫>历工T成立.假设当/I=M女LAwN")时,不等式成立，则当 =A +1时,a1 +1 a2 +1->2Zr + l ,45Q1>U1由=翳叼=丽+看,4又2k + 3+> 2k + 3 ,2女+ 1所以4中+1.J2&+1>2l+3,%所以妇!.&±1.l11.±l±1>23,%a2即当九=A+1时，不等式也成立.综上，妇1.&±1a a2。2 + 1.a,l19 .答案：（1）生（2）见解析解析：（1）因为q =L '25 + 2)。,所以劣=一 3q（2）根据（1）的就算结果，猜想数列4的通项公式为4=下面用数学归纳法证明：当=1时，猜想显然成立.假设当=%（左加，左£）时，猜想成立，即有q=占则当九=Z+1时，由归纳假设及-=-,得5+2)qkkk+1k+1a，1=,(k+2)ak(+2)及Z+2攵+1+1%+1即当=攵+1时，猜想也成立.综上所述，an=+120 .答案：(1)证明见解析(2)证明见解析解析：(1)因为m+l)2=4(Sq+l),所以(/+1)2=4+2+1)，两式相减得。工-端+2为+-2%=4,f+1，即(向+4)(4用-4-2)=0.因为4>0,所以凡+40,所以4+1-4=2,所以数列4是公差为2的等差数列.(2)令(4+1)2=4(S"+1)中的=1,得=3,又an+x-an=2f所以4=3+2(n-l)=2n+l.若选,则bn =(Sn-4)an 4(2-1)(2h + 1)_3<_1_、i2n-l 2n + j所以T=m 11 、3乙 1 、3 23 3T= - 1I = - = - < 一.2/2-1 2n + J 81 2n + ) 8 2 + 1 4 2÷1 4若选,则SL=小"n(t ÷ 2)LL-L.2L n + 2Illll3+2"4+3-51a421 .答案：(1)4=,b.=9"=14,425(-,U解析：(1)由16x2-16x+3=0,又q<仇，所以q=；,4=(由4.+2=1，+=得心b.(2-)2,将力1=(代入，得仇=.因为% T = MfCz=T,L'4所以数列l是以-4为首项,-1为公差的等差数列.所以 q,=-4 + (T)x("l) = L3,所以 a=+=1-%(3)由题意及(2),知=1-a=« + 3(n + 3)( + 4) + 3 + 4所以 = 12+2a3+34+ +nan+1I + 3 71 + 44 + 41 1n4( + 4)an H + 2 _ (« -1)2 + (3a - 6)n - 8/7 + 4 /1 + 35 + 3)5 + 4)< O恒成立,(a -l)n2 + (3。- 6)n-8<0 恒成立.设 /5) = (a-l)n2 + (3。- 6) 一 8 ,当以=1时，/5)=-38<0恒成立；当时，由二次函数的性质可知/()<O不可能恒成立；当时，因为%二2二一之11一1<0,所以/5)在口,一)上单调递减，2(«-1)2Va-)令/=4a-15v0,得"”，4所以QVl时，4S,<a恒成立.综上，实数。的取值范围是(-oo,l.22 .答案：(1)an=2n-l(2)7；=(2"3)2"+3解析：(1)设等差数列的公差为d(dO),则生=1+d，%=l+4d,14=l+13d.因为%，生，4成等比数列，所以(1+41)2=(1+1)(1+131),解得d=2或d=。(舍去)，所以a“=1+2(-1)=2-1.(2)方案一：选条件.当"2时，b,i=Sn-S=2,-19当=1时等式也成立，所以H=2"",则%也=(2D2"-l所以7；=1+3x2+5x22+(2九-l)2",27；,=2+3×22+5×23+(2n-3)2,-,+(2n-l)2rt,两式相减得2322×(1-2h-1)-7；,=1+22+23+2rt-(2n-l)2n=l+-(2n-1)T=-(2n-3)-2"-3,所以7；=(2-3)2”+3.方案二：选条件.当2时，=5zj-Sm.i=2-2-i,所以b“=2i，所以数列也是以1为首项，2为公比的等比数列，所以bn=2"T,则为bn=(2-l)2n-',所以7；=1+3x2+5x22+(2i-1)2m,2f=2+3×22+5×23+(2n-3)2rt-,+(2n-l)2rt,两式相减得,R22×(l-2rt-1)-7；,=l+22+23+2rt-(2-l)2rt=l+K-(211-1)2m=-(2-3)2"-3,所以雹=(23)2"+3.方案三：选条件.由5向=25“+1,"N*,得S.z+1=2(S,+1),又4=1,所以R+l=4+l=2,所以Szf+l是以2为首项，2为公比的等比数列，所以5“=2”-1.当"2时，勿=S一SM=2",当=1时等式也成立，所以“=2"T,则4btl=(21)2n-lf所以7；=1+3x2+5x22+(2n-l).2fl,2Tn=2+3×22+5×23+(2H-3)2,"1+(2n-l)2n,两式相减得22×(l-2rt1)-=l+22÷23+2z,-(2n-l)2n=l+'-(2n-l)2n=-(2n-3)2w-3,所12以7；=(2"3)2+3.