排列组合组合练习题精心总结.docx

排列组合教案1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有类方法，在第1类方法中有町种不同的方法，在第2类方法中有种不同的方法，在第九类方法中有次“种不同的方法，那么完成这件事共有:N=mi+m2+mn种不同的方法.例：L在填写志愿时，一名高中毕业生了解到，在A大学里有4种他所感兴趣的专业，在B大学里有5种感兴趣的专业，如果这名学生只能选择一个专业，那么他共有多少种选择？2.一工作可以用2种方法完成，有5人只会用第一种方法完成，另有4人只会用第二种方法完成,从中选出一人来完成这项工作，不同的选法的种数是2 .分步计数原理(乘法原理)完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有町种不同的方法，做第2步有色种不同的方法，做第步有加种不同的方法，那么完成这件事共有：N=mi×m2×Xmlt种不同的方法.例：1.从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从A村经B村到C村，不同的线路种数是2 .设某班有男生30名，女生24名.现要从中选出男、女生一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？3 .从集合1,2,3和1,4,5,6中各取一个元素作为点的坐标，那么在直角坐标系中能确定不同点的个数是_3 .分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件.例：1.书架的第一层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.(1) 从书架中任意取一本书，有多少种取法？(2) 从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？2.现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，问:(1)从中任选一名参加接待外宾活动，有多少种不同的选法？(2)从3个年级的学生各选一名参加接待外宾活动，有多少种不同的选法？排列定义从n个不同的元素中，取m个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取m个的无重排列。排列的全体组成的集合用A(n,m)表示。排列的个数用表示。当m=n时称为全排列。(1)排列数公式A!''-n(n-1)(«-2)(n-m+)=m<n);At=n=nn-l)(n-2)21。n-ni)例：1.Aj=；=：A；=；Aj=A；=；A；=；Ay=；A=；用=1.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种挂法？2 .从5本不同的书中选出3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？3 .从参加乒乓球团体比赛的5名运发动中选出3名，并按排列的顺序出场比赛，有多少种不同的方法？组合定义从n个不同元素中取m个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取m个的无重组合。组合的全体组成的集合用C(n,m)表示，组合的个数用表示.(2)组合数公式Cj里("1)«-2+1)=_n!_("")nA；：w(w-l)21mn-m)例：C；=；=；C；=；Cy=r一|一0005-5-，%-C7-1 .(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？2 .在一100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这100件产品中任意抽出3件，(1)有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？排列数、组合数的性质：CH=CrJc"C"c*c：+CZ+cz+Oc;:;.例：1.C：=,C：=；2.Cg=,C；=.2. C：+C；+C；+C；+=；3. C；+C：+C；+C；+C；=；解排列组合问题的方法有：一：特殊元素先排列：(1)特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置)。1 .(1995年上海高考题)1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，假设老师不排在两端，那么共有不同的排法种.2 .(2000年全国高考题)乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.3 .某班上午要上语、数、外和体育4门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，那么不同排课方案种数为;4 .某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？5 .从6名运发动中选出4人参加4X100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？6 .用0,1,2,3,4,5这六个数字，可以组成无重复数字的四位偶数个；7 .用1,2,3,4,5,6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足以下条件的四位数各有多少个(1)数字1不排在个位和千位(2)数字1不在个位，数字6不在千位。8 .某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为1到6的6种不同花色的石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，那么不同的装饰效果有_种；9 .NA的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同NA的顶点共10个点，以这些点为顶点,可以构成个三角形；10 .用六种不同颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，那么共有种不同涂法；11 .如图5：四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是 种(84)图512 .将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，假设只有五种颜色可供使用，那么不同的染色方法共种(420)13 .给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,那么不同的着色方法有72种二：相邻问题捆绑法（把相邻的假设干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。1.把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为;2. 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？3. 有8本不同的书：其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本.假设将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有（）种.（结果用数值表示）4. 4及CD*五人并排站成一排，如果Al必须相邻且8在A的右边，那么不同的排法有（）A、60种B、48种C、36种D、24种三：不相邻问题插空法：（可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.）1.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种3600种C、4820种D、4800种3一个晚会的节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，那么节目的出场顺序有多少种？2.用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，2与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻。这样的八位数共有（）个.（用数字作答）四：可重复的排列求塞法:允许重第排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地个不同元素排在6个不同位置的排列数有机"种方法.1.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？2.将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种；五：有序问题组合法1 .学号为1,2,3,4的四名学生的考试成绩3E89,90,91,92,93（i=1,2,3,4）且满足百w«W，那么这四位同学考试成绩的所有可能情况有种；2 .设集合A=1,2,3,4,5,6,7,8,对任意xA,有了v"2）v"3）,那么映射AA的个数是；3 .离心率等于log,4（其中lvp9,lvq9且pmN"）的不同形状的的双曲线的个数为六：定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.1.,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边（AB可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种B、60种C、90种D、120种2.6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲一-乙一-丙”顺序排的排队方法有多少种？3 .4个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法。4 .由数字0,L2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A、210种B、300种C、464种D、600种七：“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法：1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，那么不同的取法共有（）A、140种B、80种C、70种D、35种2.如从7名男同学和5名女同学中选出5人，至少有2名女同学中选的选法有种八：多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。1.某化工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，假设使用甲原料，那么甲必须先投放.那么不同的实验方案共有种；2.某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，那么不同的分配方案有种；九：阁板法，名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法，1每组至少一份），（每组至少一份，分成n份，需要nT个隔板，当不是每组至少一份时，先转化为每组至少一份后再做）1 .某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共一种。2 .10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？3 .10个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？4 .有20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？十.（不同物品）分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n!。1.本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？2 .把6个不同苹果平均分成三堆，一共有种分法.3 .把6个不同苹果平均分成3份给3个小朋友，一共有种分法.4 .把6个不同的苹果分成4堆，一共有种分法.5 .把6个不同苹果分给4个小朋友，每个小朋友至少1个，一共有种分法.6 .6本书分三份，2份1本，1份4本，那么有不同分法？7 .4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，那么不同的保送方案有多少种？8 .5本不同的书，全局部给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为()A、480种B、240种C、120种D、96种9 .某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，那么分派方法的种数。10.12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，假设每个路口4人，那么不同的分配方案有()A、种B、3。；2屐。：种或4。：阂种d、A；种IL有甲乙丙三项任务，甲需2人承当，乙丙各需一人承当，从10人中选出4人承当这三项任务，不同的选法种数是()A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种12.如4名医生和6名护士组成一个医疗小组，假设把他们分配到4所学校去为学生体检，每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有种(答：37440)；十一,选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.1.如某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次品全测出为止，那么最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是O2 .四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中，那么恰有一个空盒的放法有多少种？3 .9名乒乓球运发动，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？十二：标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.1.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数，那么每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有()A、6种B、9种C、11种D、23种2 .同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，那么4张贺年卡不同的分配方式有种；3 .设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的5个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有种4 .设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？十三：多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。1. 如假设2n个学生排成一排的排法数为X,这2n个学生排成前后两排，每排各n个学生的排法数为y,那么x,y的大小关系为;2. 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是()A、36种B、120种C、720种D、1440种3. 8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排,有多少种不同排法？十四：圆排问题单排法:把个不同元素放在圆周个无编号位置上的排列，顺序(例如按顺时钟)不同的排法才算不同的排列，而顺序相同(即旋转一下就可以重合)的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，以下个普通排列：%，%，；。“，4，在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，个元素的圆排列数有史种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的元素全排列.1.有5个人站成一圈，一共有多少种站法？1 .有5对姐妹站成圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？十五：排除法，局部合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一局部合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.2 .以正方体的顶点为顶点的四面体共有()A、70种B、64种C、58种D、52种3 .四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有()A、150种B、147种C、144种D、141种4 .如在平面直角坐标系中，由六个点(0,0),(1,2),(2,4),(6,3),(一1,一2),(2,1)可以确定三角形的个数为O3.有五张卡片，它的正反面分别写。与1,2与3,4与5,6与7,8与9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？十六：已排好元素中新增元素增位排列法1.在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？2 .某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为。3 .如(1)书架上有3本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不便，再放上2本不同的书，有种不同的放法；二项式定理：(a+b)n=Can+C>w',+Can-2b2+.+Ca,-kbk+.+C,l,ibn(nN*).例：l.(x+y)5的展开式为2 .(x+y)7的展开式为3 .(X+2)，)7的展开式为4 .设nN*,化简1+7C；+7?C；+73(3：+7C：=；5 .设N*,化简C：+C；6+C：6?+C：6"T=；C+C+C+C-=2"例：1.(x+y)7的展开式中，每项的系数和为2. (x+y)7的展开式中，每项的二项式系数和为3. (%+2y)7的展开式中，每项的二项式系数和为4. (x+2y)7的展开式中，每项的系数和为二项式的题型一：(求/或x)严的系数)1 .(重庆3)(/+2)8的展开式中/的系数是()XA.16B.70C.560D.11202.(2008天津理)(x-%的二项展开式中,/的系数是(用数字作答).3.(全国1/13)(X-y)K)的展开式中，/V的系数与13旷的系数之和等于4.(全国2/13)(W7-)7)4的展开式中V/的系数为5. （2008全国II卷理）（1五）6（1+«）4的展开式中X的系数是（）A.-4B.-3C.3D.46. （2008四川理）（1+2x）30一力4展开式中的系数为7. （2008浙江文、理）在（X-I）（X-2）（工一3）（工一4）（工一5）的展开式中，含/的项的系数是（八）-15（B）85（C）-120（D）2748. （2008广东理）（1+Zx2）6（k是正整数）的展开式中，炉的系数小于120,那么k=.题型二：求常数项1 .（四川13）（2x-'-）6的展开式的常数项是（用数字作答）2x2 .（2008山东理）（户）2展开式中的常数项为（）yX（八）-1320（B）1320（C）-220（D）2203 .（全国I卷理科第10题）（f一!）”的展开式中，常数项为15,那么小（）XA.3B.4C.5D.64 .（安徽理科第12题）假设I/+9的展开式中含有常数项,那么最小的正整数等于5 .（湖北理科第1题）如果（3/的展开式中含有非零常数项，那么正整数的最小值为（A.3B.5C.6D.106 .（全国11卷理科第13题）（i+2Y）（x-iJ的展开式中常数项为.（用数字作答）7 .（2008江西理）（1+F）6（1+3）hj展开式中的常数项为（）A.1B.46C.4245D.4246题型三：求展开式的系数或二项式系数1 .（2008福建理）假设（尸2）°=为才5+&5f+&*3+戊*+8m外那么a1+a2+a3+aj+a5=.（用数字作答）2 .（重庆理科第4题）假设（x+工）”展开式的二项式系数之和为64,那么展开式的常数项为（）XA.10B.20C.30D.1203 .（2008北京理）假设（X2+j）展开式的各项系数之和为32,那么=,其展开式中的常数项为（用数字作答）4 .(江西理科第4题)(五+成J展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64,那么等于()A.4B.5C.6D.75 .(湖南10)在(l+x)3+(l+7)3+(l+7)3的展开式中，X的系数为(用数字作答)6 .(2008安徽文、理)设(1+x)8=4+4x+%?,那么44,.,%中奇数的个数为(.2B.3C.4D.57 .(五+十)”的展开式的第三项与第二项的系数的比为11：2,那么是()8 .设“一1/=g+。/+/+La2lx21,那么4o+u=.题型四：1、41旬被7除所得的余数是；2、8"-1被9除的余数为()（八）7(B)-2(C)8(D)-13、9产除以io。的余数是（八）1(B)90(C)91(D)9