教师版-转化与化归思想.docx

【专题三】转化与化归思想常见的转化方法有：(I)直接转化法：把原问题直接转化为根本定理、根本公式或根本图形问题；(2)换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的根本问题；(3)参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化；(4)构造法：“构造”一个适宜的数学模型，把问题变为易于解决的问题；(5)坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径；(6)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；(7)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题；(8)一般化方法：假设原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化；(9)等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，到达转化目的；(10)补集法：(正难那么反)假设过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A,而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U,通过解决全集U及补集CtzA获得原问题的解决。【考点例析】题型1：集合问题例1.设平面点集A=(x,y)(y-x)(y-)0、B=(x,y)(x-iy+(y-l)2l,那么AB所表示的平面图形的面积为()（八）-(B)-(C)-(D)-4572y-x0fy-xO解析：D：由(yx)(y-L)O可知11或者11,在同一坐标系中做出平面区域Xy一0Iy0.XIX如图：由图象可知AnB的区域为阴影局部，根据对称性可知，两局部阴影面积之和为圆面积的一半，所TT以面积为一，选D.2函数/(%)=4-2(P-2)%-2p2-p+,在区间TJ上至少存在一个实数C使f(c)>o,求实数P的取值范围.分析:运用补集概念求解O解答：设所求P的范围为A,那么ca=M在TJ上函物(X)=42-2(p-2)x-2p2_p+1O注意到函数的图象开口向上；C1AA = P -3<P< =|(D=-2p(2)解析：当M0时，集合A是以(2, 0)为圆心，以Iml为半径的圆，集合B是在两条平行线之间: 2777 1,y/2,j=- + m = (l-2)n + 22-3p+9<0-V1(-l)=-2+p+l0点评：对于许多集合问题，通过转化，将不熟悉和难解的集合问题转化为熟知的易解的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，便于将问题解决。题型2：函数问题例2.函数/(x)=l-21og6x的定义域为解析：(0,卡根据二次根式和对数函数有意义的条件，得:x>0=1 -21og6x0x>0 x>O10g6'J lx62=60<Xy <>点评：函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式；还有函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围.题型3：不等式问题例3.(1)不等式士L0的解集为()2x+l解析：A；原不等式等价于(x-l)(2x+l)Vo或x-l=0,即一LVXCI或=1,所以不等式的2解为一L<xl,选A.22)设集合A=(x,y)y(x-2)2+/m2,x,y?),>0 ,因为Ac8。,此时无解;当机>0时，集合A是以B=(x,y)2mx+y2m9x9yER,假设4c80,那么实数m的取值范围是2, 0)为圆心，以集合B是在两条平行线之间，必有：.-m2+1.又因为四112,.!>/2+10222【温馨提示】此题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用别离变量转化为最值的方法求解。构造函数解题是数学中的常用方法，通过巧妙地构造辅助函数，把原来的问题转化为研究辅助函数的性质，从而到达解题目的。(3)某公司生产甲、乙两种桶装产品。生产甲产品1桶需耗A原料1千克、8原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的方案中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克。通过合理安排生产方案，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()A、1800元B、2400元C、2800元D、3100元x+2y22x+y12解析：C；设生产X桶甲产品，y桶乙产品，总利润为Z,那么约束条件为>0,目标函7>0数为 Z = 300x + 400y:M时Z有最大值，联立方程组J 得M(4,4),代入目标函数得z = 2800,应选C.2x+y = 12评析：将最大值转化为y轴上的截距，将m等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C,此题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题。题型4,三角问题4.(1)在A8C中，假设sin?A+siMBvs/c,那么A8C的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定解析：C；根据正弦定理可知由sinZA+s/Bvsin?。，可知/+o2<c2,在三角形中CoSC=土"二V0,所以C为钝角，三角形为钝角三角形，选C。Iab点评：本小题主要考查解三角形知识，并突出了边角互化这一转化思想的应用。（2）假设tan。+一二4,那么sin26=（）tan1A.-5111B.C.-D一432解析：仁1C1“口SineCOSeSin2。+COS2。.h1.ULhlD由tan。+=4得，+=4,即=4,所以tanCOSeSinesinOcosOsin102Ssin2=,选D.2点评：此题考查三角函数的倍角公式以及同角的三角函数的根本关系式。表达在三角函数中是切化弦、统一角、统一函数名称、换元等手段处理求值（域）、最值、比拟大小等问题。题型5：数列问题例5.数列/满足4=33M用一4=24那么工的最小值为.21【答案】2解析an=（an-an.）+（即Laa2）+*,+（a2-a）+i=21÷2+（n-1）+33=33+n2-n所以=至+一1nn设/（）=至+一1,令5）=3+l>0,那么/（）在（屈,+8）上是单调递增，在nn（0,后）上是递减的，因为nN,所以当n=5或6时/（）有最小值。又因为g二炉，,所以，%的最小值为B='点评：数列是一种特殊的函数，动态的函数观点是解决数列问题的有效方法。数列的项可看作定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数。如等差数列q的通项公式a“=6+（-l）d=办+（卬-d）,前n项的和公式S"叫+"（T）d=2"+（£）。当dw时，可以看作自变量n的一次和二次函数。因此222利用函数的思想方法去研究数列问题不仅能加深对数列的理解，也有助于学生解题思维能力的培养及增强应用函数思想解题的意识。题型6：立体几何问题例6.如果,三棱锥P-ABC中，PA_LBC,PA=BC=LPA,BC的公垂线ED=h.求p证三棱锥P-ABC的体积V=l2hoX分析:如视P为顶点,AABC为底面,那么无论是Sabc以及高h都不好求.如Jr：果观察图形，换个角度看问题，创造条件去应用三棱锥体积公式，那么可走出困,ft*/X境.解析：如图，连结EB,EC,由PA±BC,PA_LED,EDBC=E,可得PA_1面ECD.这样，截面ECD将原三棱锥切割成两个分别以ECD为底面，以PE、AE为高的小三棱锥，而它们的底面积相等，高相加等于PE+AE=PA=L所以IQIGICVpABC=VpEC÷VaECD=-SecdAE+-SecdPE=-SecdPA33311z1f2z=-BCEDPA=V=-l2h.326点评：辅助截面ECD的添设使问题转化为问题迎刃而解。题型力解析几何问题例7.（1）设x、yWR且32+2y2=6x,求x+y2的范围。分析：设k=2+y2,再代入消去y,转化为关于X的方程有实数解时求参数k范围的问题。其中要注意隐含条件，即X的范围。解析：由6-32=2y2）得0x2°设k=x?+y2,那么y2=kxz,代入等式得：X26x÷2k=0,即k=一二x?+3x,其对称轴为=3°2由0x2得k0,4°所以2+y2的范围是：0<2+y2<4o另解：数形结合法（转化为解析几何问题）：v2由3x?+2y2=6x得（X1）2+丁=1,即表示如下图椭圆，其一个顶点在坐标原点。x?+y?的范2围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点。设圆方程为2+y2=k,代入椭圆中消y得2-6x+2k=00由判别式A=36-8k=0得k=4,所以2+y2的范围是：ow2+y2*°再解：三角换元法，对式和待求式都可以进行三角换元转化为三角问题）：2PC-I=COSa由32+2y2=6x得（X1）2+g=1,设，娓,那么_y=sincr222223231X÷y=1÷2cosa÷cosa÷-sina=1÷-÷2cosa-222125cos÷2cos÷-0,4所以2+y2的范围是：0<x2+y2<4o点评：题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助于提高发散思维能力。此题还可以利用均值换元法进行解答。各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属于问题转换题型。(2)两个非零向量,力满足+b=->,那么下面结论正确的选项是()（八）a/b(B)±Z>(C)a=b(D)a+b=a-b解析：B；法一、由4+b=一例，平方可得“b=O,所以。_Lb,应选B法二、根据向量加法、减法的几何意义可知M+b与分别为以向量m。为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为M+"=-M,所以该平行四边形为矩形，所以。_Lb,应选B点评：此题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系，属于容易题。解析一是利用向量的运算来解，解析二是利用了向量运算的几何意义来解。这种通过特殊值确定一般性结果的思路还有很多，如归纳、猜测、证明的方法，过定点问题，定值问题也可以用这样的思路。题型S：具体、抽象问题例8.假设f(x)和g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程xfg(x)=0有实数解,那么gf(x)不可能是()（八）x2÷-l(B)x2+x÷l(C)x2-l(D)X2+15555分析：此题直接解不容易，不妨令f(x)=X,那么fg(x)=g(x),gf(x)=g(x),Xfg(X)=0有实数解即x-g(x)=0有实数解。这样很明显得出结论，B使xg(x)=0没有实数解，选B这种从抽象到具体再到抽象，使学生从心理上感到非常轻松，象这样常见抽象函数式还有一次函数型f(x+y)=f(x)+f(y)+m,对数函数型f(Xy)=f(x)+f(y),鼎函数型f(xy)=f(x)f(y)o点评：把抽象问题具体化是在数学解题中常有的化归途径，它是对抽象问题的理解和再认识，在抽象语言与具体事物间建立联系，从而实现抽象向具体的化归。题型正难那么反转化问题例9.1/>0,且工+)，>2.试证:虫,3中至少有一个小于2.点评：一些数学问题，如果从条件出发，正面考虑较难较繁，不妨调整思考方向，从问题的结论入手，或从问题的条件与结论的反面入手进行思考，迂回地得到解题思路，这叫做“正难那么反”。“正难那么反”是一种重要的解题策略，灵活用之，能使许多难题、趣题和生活中的问题获得巧解。题型10：实际应用问题例10.把一块钢板冲成上面是半圆形，下面是矩形的零件，其周长是P,怎样设计才能使冲成的零件面积最大？并求出它的最大面积。分析：这个实际问题可以转化成一个函数的最值问题来解决。解析：如图，设矩形的一边长为X,那么半圆的周长为:/矩形的另一边长为4g=g(P_1_，)=2P(；+2)xa/_a-_JD设零件的面积为S,那么1 2S=- x +x2 42P-( + 2)x + 4 2=厂b2PPVa<O当X=时，S有最大值，这时AB=2。乃+4+4P2当矩形的两邻边AB与BC之比为1：2时，Snwx=o8+2乃点评：实际问题转化为数学问题，用数学结果解释最终的实际问题。【专题训练】1 .向量。=(2,1),ab=10,+"=5啦，那么IM=.2 .函数。X)=也+-1-X的值域为.3 .在等比数列小中，0=小前项和为S”，假设数歹U%+l成等差数列，那么a=.4 .在各棱长都等于1的正四面体。A8C中，假设点P满足分=X醇+)，彷+z求(x+y+z=l),那么|分I的最小值等于.5 .函数Kr)=-sin2r+sinx+,假设Iga)芋对一切xR都成立，那么参数a的取值范围为6 .假设二次函数Kt)=4/-282)氏一22+1在区间-1,1内至少有一个值小使火c)>0,那么实数P的取值范围为.7 .数列“”对任意的p,9£Z满足他+9=0)+他且02=6,那么。Io=.8 .函数/(x)=(4-3)x+b-2,%e0,l,假设/(x)2恒成立，那么+匕的最大值为.9 .a>a2>a3>O,那么使得(1一3yVIa=I,2,3)都成立的X的取值范围是.10 .数列一1,0,，一4成等差数列，一1,6,历，历，一4成等比数列，那么石产的值为.11 .在MBC中，NA,NB,Ne所对的边分别是,b,c,且BC边上的高为华，那么的最大值为12 .假设Kr)是定义在R上的函数，对任意实数X都有於+3)(x)+3和y(x+2)习(x)+2,且/U)=l,那么贝2012)=.13 .设y是定义在R上的单调增函数，假设川一办一)N24)对任意4H-11恒成立，求X的取值范围.A=xx2-4nx+2m+6=0,XeR,假设4nR,0,求实数机的取值范围(R-负实数集).15.奇函数KX)的定义域为实数集R,且Ar)在0,+oo)上是增函数，当。竭时，是否存在这样的实数n,使犬(：0§203)+大4阳一2阳85，)次0)对所有的，£0,胃均成立？假设存在，求出所有适合条件的实数用；假设不存在，请说明理由.【参考答案】5. 346.(-3, |)11. 412. 2 0121.52.1,23.na4坐17217.308彳9.(0,)10.213 .解:/(x)在R上是增函数，由7(1一以一f)勺(20)可得1o-x2W2-,1,1.".(x-l)+x2+l0,对£1,1恒成立.令g()=-l)+x2+1.那么当且仅当g(1)=x2-x+20,g(l)=f+X20,解得XNo或xW1.故实数X的取值范围为xW1或x20.14 .解:设全集(/=必=16628团一2420)=词/后-1或加2务.mUy方程-4nr+2w+6=0的两根均非负的充要条件是卡机20,可得zw号.2m+620,AR-=0时，实数机的取值范围为厮2|1.401<一/0时，实数?的取值范围为W1.15 .解:因为凡r)在R上为奇函数，又在0,+8)上是增函数，故兀O在R上为增函数，且负0)=0.由题设条件可得，火COS203)+/(4-2”COS0)>0.又由於)为奇函数，可得7(cos203)>fi2mcos-4m).7(x)在R上为增函数，:、cos203>2zncos4m,即COS2，-ZMCOS9+2n2>0.令cos，=/,V0<9,O1.于是问题转化为对一切04W1,t2-2不等式t2,-mt-2m2>0恒成立.*t22>m(t-2),即用>不下恒成立.产一22又二五=。-2)+右+4W4-2啦，/.rn>4-2y2,存在实数机满足题设的条件，且相>4-2