数列——错位+裂项公开课教案教学设计课件资料.docx

1 .若等差数列”的前XX为S.,数列也是各项为正的等比数列，6=3,1=1,+53=24,4-2h2=a2-2(D求数列为和也的通项公式；求数列的前XX和4；b.,2 .已知数列afl的前XX为Z=n2+In.(D求”的通项公式；(2)若bn=Q_1)3”,求数列也的前项和7；.3 .已知各项均为正数的数列“的前项和为S.，且d=2S.-%(1)求4的通项公式；若=G+3求数歹U"的前项和却4 .已知数列4的前项和为S,S,二+*其中wNl.(1)求”的通项公式；(2)求数列，I的前项和从.5 .数列满足条件：4=1,点”(4+1,“)在直线工一+2=。上.(1)求数列,的通项公式；(2)求数列，I的前项和S“.6 .已知数列4的前项和为邑，%是、S“的等差中项，wN证明：4+1是等比数列；2设"=,数列出的前项和小证明：n<.4.%参考答案:I.(1)=2/2+1;bn=yl-i(2)7；=6-【分析】（1）设等差数列4的公差为d,等比数列也的公比为4">0）,根据题意，列出方程组，求得比。的值，进而得到数列的通项公式；（2）由（1）得到?二符，结合乘公比错位法求和，即可求得?的前项和.2PJ【详解】（1）解：设等差数列,的公差为d,等比数列也的公比为4（g>0）,因为q=3,l=1,Z>3+S3=24,a4-Ih2=a2-2,可得厢 *+04+号J = 24(1 + 3d) - 2biq = (ai+d)-2+3< = 15q-d = 1解得 d = 2,q = 3,所以勺=3+5-1)X2=2刀+1,么="Xqn-x=3n-lt所以数列4的通项公式为凡=2+1,数列也的通项公式为2=3"，(2)解：由(1)知>=2z+l,bn=3-',可得,=竽口，3 5 7则K=至+要+3+2n- 2w + l可得I =2/?-1 2 +14:I3"3所以=6 ,即数列的前项和为4=6-不7.g-+rv缶2322222zz+l3,2n+2+4两式相减得：1+kTk+产一=3+2>不一-亡=4-丁,IS1,w=1【分析】(1)根据/=，c、，求出通项公式；IS-S.2(2)利用错位相减法求和.【详解】(1)当"=1时，4=S=1+2=3,当2时，an=Sn-S,r-1=n2+2n-(n-l)2-2(n-1)=n2+2n-n2+2-l-2n+2=2«+1,显然4=3满足a”=2w+l,综上，an=2n+i(2)2=(g-l)3"=2"3",=2×3+4×32+6×33+2"3",贝Ij37；=2X3?+4X33+6X34+2w3+i,Q-jn+1两式相减得一27；=6+2x(32+3'+311)-2311+,=6+2×-2n3n+,-27；,=6+3m+,-9-2h3m+,=(1-2h)3w+,-3,故(二竽3>+看3.(1M=【分析】（1）根据数列递推式求出q,继而写出当2时，1=25rt-1-1,和已知等式相减可推出%一凡T=1,n2f即可求得答案;（2）由（1）的结果可得"的表达式，利用错位相减法求数列的和，即得答案.【详解】（1）当九二1时，=2R-a1=4,又4的各项均为正数，所以4=1;当2时,得=2S-%,则a：-.=2（一SfJT）-f,+an_x,所以（4,+%）（4-%-1）=。，又为的各项均为正数，所以q+q->O,所以勺-4=l,112,所以凡是以1为首项，1为公差的等差数列，所以4=l+(-l)l="(2)由(1)知，=n+J3n=+J3所以I=(1+沙3、(2+；卜32+(3+；卜33+卜+扑3”，故37；=(l+g)x32+(2+；)x33+0+£|x34+(1+£|x3”+(+；3日,得：皿=*、+3"卜+余川=3+32+33+3rt-+3rt+,+3(l-3z,)1-34.4=2，nN4;【分析】（I）利用S”,可之间的关系进行求解即可;（2）利用裂项相消法进行求解即可.【详解】（1）因为当"N,"N1时，有Slt=/+%所以当cN2时，有S,t=（一I）?+一1,两式相减，得4=2”,当=1时，由S”=2+=%=2,适合q=2”,所以=2，wN*;0,4+ 2h(2h + 2) 4h(h + 1)因此从1111111n4(223n/?+14(+l)5. (l)zr=-2w+3,zN*MCN【分析】(1)由题意将点M(%+Mn)代入直线方程-y+2=o,结合等差数列定义即可得解.(2)由题意可得一=).二一八)，结合裂项相消法即可求anan+i(一2+3(一2+1)212一32n-)解.【详解】(1)点(a,+4)在直线x-y+2=0上，.“+-4+2=0.%-4=-2,，数列也是首项4=1,公差d=-2的等差数列，.数列血的通项公式4=q+(-l)d=l+5-l)(-2)=-2"+3,"N.(2) -all=-2+3,zj+i=-2(n+l)+3=-2n+l,二!1anan+l(-2+3)(-2i+1)(2一3)(2-1)22n-3In-J6. (1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(I)根据条件得到+1时的递推关系式，两式作差得到新的递推关系式，将其化简可完成证明；(2)代入4的通项公式于2，将”的通项公式裂项，然后采用裂项相消法进行求和并根据结果完成证明.【详解】因为凡是，Sfj的等差中项，所以2可所以="+l+S”两式相减可得：2勺+1-24=l+”所以为.1+1=2(4+1),又2=l+S=l+,所以4=l,q+l=2(),xx4+l是首项为2,公比为2的等比数列；(2)由(1)可知见+1=2”,所以巴二2"-1,2”211XX"一an-,j+l(2m-1)(2h+i-1)2,-1211+,-1，XXq=b+b2+b.+-所以4=1一号，= +s，因为2"”-1>0,所以上r>0,所以<1