数列与框图.docx

2017年01月04日1597002668的高中数学组卷一.解答题(共11小题)(1) 图为求某数列an前假设干项和的程序框图,(1)写出数列aj的通项公式；(2) S的值为数列aj的前多少项和?(3) S的输出值为多少？2 .根据如下图的程序框图，将输出的a,b值依次分别记为a,a2,an，b,b?，bn,其中nWN*,n2010.(I)分别求数列囱和b11的通项公式;(II)令cn=anbn,求数列cn的前n项和Tn.3 .数列aj满足如下所示的程序框图，(1)写出数列aj的一个递推公关系；(2)证明：a113an是等比数列，并求EJ的通项公式(3)求数列_Jr的前n项和Tn.%+3旷14 .数列a11满足如下图的程序框图.(I)写出数列an的一个递推关系式；并求数列an的通项公式(II)设数列an的前n项和Sn,证明不等式Sn,W4Sn,对任意nN"皆成立.5 .数列an的各项均为正数，观察程序框图，假设k=l,k=2时，分别有(1)试求数列所的通项公式:令求数列加的前n项和Tn.幽/输入%d左/:jS=O,A=O三1f三l6 .假设根据如图的框图，产生数列a11.(1)当Xo=坐时，写出所产生数列的所有项;65(2)假设要产生一个无穷常数列，求xo的值.7 .执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为a,a2,.,an，nN*,n2013.(注：框图中的赋值符号“=也可以写成"÷或"：=)(1)假设输入入=近，直接写出输出结果；(2)假设输入人=2,证明数列)是等差数列，并求出数列aQ的通项公式.an18 .请认真阅读以下程序框图：程序框图中的函数关系式为f()二处二2,程序框图中的D为函数f(X)x+1的定义域，把此程序框图中所输出的数Xi组成一个数列xn(1)输入XC请写出数列(Xn的所有项；x°65(2)假设输入一个正数XO时，产生的数列xj满足：任意一项Xn,都有XnVXnM，试求正数XO的取值范围.9 .数列aj的各项均为正数，观察程序框图(1)假设输入的a=l,d=l,k=3时，求输出的S的值(2)写出k=4时，S的表达式(用a,az>a3,04,a5表示)假设输入k=5,k=10时，分别有S哈和S若.试求数列匕力的通项.10 .根据如下图的程序框图，将输出a,b的值依次分别记为a,aa».»an,.,a2008;bi，b2,.,bll,.,b2008(I)求数列a的通项公式：(II)写出b,b2,b3,b4,由此猜测bn的通项公式，并证明你的证明；(In)在ak与ag中插入bk+1个3得到一个新数列g,设数列/的前n项和为Siv问是否存在这样的正整数m,使数列5的前m项的和Sm=2008,如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由.m1Q.K/篇”5b/IWt+I:I<r-g÷lIg3+2I结柬)11 .数列xn、W中的项依次由如下图的程序框图输出的X，y的值确定.(1)分别写出数列xn、yn的递推公式；(2)写出y,y2，y3,y4,猜测y的一个通项公式yn,并加以证明；(-Dn(y+1)*(3)设Zn=,是否存在noN*,使得对任意nN*(n2012)都有ZnoWziv假设存×n-1°在，求出no的值；假设不存在，请说明理由.开始J*XfTe-Ix-+2±2017年01月04日1597002668的高中数学组卷参考答案与试题解析一.解答题(共11小题)1.(2011春南山区校级月考)右图为求某数列4前假设干项和的程序框图,(1)写出数列an的通项公式；(2) S的值为数歹Jan的前多少项和?(3) S的输出值为多少？【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：(1)该程序的作用是输出分段类型的数列，(2)根据题中,S的值为数列aj的前2010项和；(3)S的输出值为一个常数数列与一个等差数列的前1005项和，利用等差数列的求和公式求解即可.【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：吁1,n为奇数，n<2011,an2n+l.n为偶数，n<2011,该程序的作用是：(2)S的值为数列a11的前2010项和;S的输出值为：l×1005+(5+9+.+2×2010+1)=1005+2(2+4+6+.+2010)+1005=2010+2×1005×l006=2024070.【点评】此题考查循环结构的程序框图、数列及归纳推理，注意每个变量的运行结果和执行情况.2.(2012秋潮南区校级月考)根据如下图的程序框图，将输出的a,b值依次分别记为a,a2,an,b,b2,，bn,其中nN*,n2010.(I)分别求数列En和bn的通项公式；(II)令cn=anbnt求数列(cn的前n项和Tn.【分析】根据框图可知ae=an+2整理得ae-an=2,根据等差数列的定义判断出atl为等差数列，b进而根据等差数列的通项公式求得an，根据bn.3bn,整理得上*二3判断出1为等比数列，根据首bn项和公比求得bn的通项公式.(II)根据(1)中求得的an和bn,求得Cn,进而利用错位相减法求得答案.【解答】解：依框图得，arv=an+2,a=l,即a11an=2,数列屈是首项为1,公差为2的等差数列.*.an=1+(n-1)×2=2n-1又bn，i=3bn，b=3,b即上L=3,，数歹U11是首项为3,公比为3的等比数列bnbn=3×3n',=3n(II)由(I)得Cn=a11bn=(2n-1)3n数列&的前n和为TnTn=ci+c2+c3+cn-i+CnTn=lX3i+3X32+5X33+(2n-3)×3n'1+(2n-1)X3113Tn=l×32+3×33+5×34+(2n-3)×3n+(2n-1)X3IrI将得：-2Tn=3+2×32+2×33+2×34+2×3n-(2n-1)×3n*,=-3+2(3+32+33+34+3n)-(2n-1)×311m=-3+2X3(Mll)一(2n-1)X3nu=-2(n-l)X3nH-63-1Tn=(n-1)×3nq+3【点评】此题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式，及数列求和问题.由等差数列和等比数列构成的数列常可用错位相减法求和.3. (2011春重庆期末)数列aj满足如下所示的程序框图，(1)写出数列a11的一个递推公关系：(2)证明：aw3an是等比数列，并求aQ的通项公式求数列J7的前n项和Tn÷3n1(型)/输/1 = I,1=1，' = 1【分析】(I)由程序框图可直接得到数列an的一个递推关系式a=l,a2=l,an2=5an,-6an.(11)将an+2=5an-6a11移向变形得出an23an+=2(an*3an)>从而可证a1+-3aJ是等比数列;(In)由（三）可求出anL3an=-211两边同除以3皿变形构造出上-M=-L心)：然后3n+l3n3V利用累积法可求出数列的通项，再利用等比数列求和公式可求出前n项和Sn.【解答】解：(I)由程序框图可知，数列an的一个递推关系式a=l,a2=l,an2=5av-6an.(U)数列an的一个递推关系式，a1r2=5anti-6an:那么即-2-3av=2(an+3an)»且a2-3a=-2，数列anL3aJ是以-2为首项，2为公比的等比数列(III)由(II)有an"3an=2l1L-l=-Lx(2)n3n+l3n3<3)三口)522) 3n1an.al.ra2_a3n3323=I-Ix2-Ixa2)nT3333'3"3'3=n-an=2n-3n,(n>2)当n=l时,也满足上式,故an=2n-3n-1前n项和Sn=(2+22+23+.+2n)-(1+3+32+.+3n1)=*-Q-N22【点评】此题主要考杳了程序框图知识，以及等差数列、等比数列的通项与求和，同时考查转化、计算、分析解决问题的能力，属于中档题.4. (2011春合肥校级期末)数列an满足如下图的程序框图.(I)写出数列an的一个递推关系式；并求数列an的通项公式(II)设数列an的前n项和Sn,证明不等式SnMW4Sn,对任意nN"皆成立.【分析】(I)由程序框图可知，数列an的一个递推关系式：an-=4a11-3n÷l,构造得出am-(n÷l)=4(an-n),通过求得等比数列通项公式得出数列a11的通项公式.(11)结合等比数列求和公式，利用作差比拟证明法进行证明.【解答】解(I)由程序框图可知，数列an的一个递推关系式：avi=4an-3n+l,n是正整数，an+(n+l)=4(ann),又a7=l,所以数列an-M是首项为L且公比为4的等比数列，.*.an-n=4n,an=4n,+n,(U)由(I)可知数列a11的前n项和Sn=Q二工+逼辿32对任意的正整数n,Sn-I-4S11=-1(3n2+n-4)0,所以不等式SmlW4Sn,对任意nN*皆成立.2.(6分)【点评】此题考查程序框图的解读，数列通项公式求解，不等式的证明，考查转化构造、推理论证能力.5. (2015秋南城县校级期中)数列a11的各项均为正数，观察程序框图，假设k=l,k=2时，分别有S总和Sq(1)试求数列aj的通项公式；(2)令b=3na，求数列J的前n项和Tnnn/输入a>d左 /【分析】(1)由循环结构可得：SKi二上=，Sk=2=L(二+二)，解出即可得出.K-13QJQ2d,a223(2)利用“错位相减法与等比数列的前n项和公式即可得出.【解答】解：(1)由循环结构可得:sk=i÷-j二111_11_1)二111_1)二2k=2-da1a1+da1+da1+2d-da1a1+2d-5解得:二IT1 或< d=2a1=-1(舍去)，那么an=l+(n-1)2=2n-1.d=-2Tn=3乂1+32义3+-+3n1(2n-3)+3r(2n-1)，3Tn=32×l+33×3+-+3n(2n-3)+3rtH-1>3½2Tn=-3-2(32+33+3n)+-+3rtl-1(2n-l)=3n+1(2n-l)+*，；二。T11=3+(11-l)3nfl【点评】此题考查了“错位相减法、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和方法、循环结构，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.6. (2014秋上海校级期中)假设根据如图的框图，产生数列a.(1)当Xo=坐时，写出所产生数列的所有项；65(2)假设要产生一个无穷常数列，求xo的值.【分析】(1)根据程序中各变量、各语句的作用，计算Xo=坐时输出的A值即可；654a2(2)根据程序中的计算公式得an，1二3an.=an=x0,列出方程求出xo的值即可.an÷1【解答】解：(1)根据程序中各变量、各语句的作用知：4×-265时，计算书:输出a=-=AJL,1965i4×-214×-25a3=-T+1结束程序；13分）(2)根据程序中的计算公式，得.4an2令an=an=xo,4x-2那么一5=X0,x0+1解得XO=I或XO=2,此时执行程序将产生一个无穷常数列.(8分)【点评】此题利用程序框图考查了数列与递推公式的应用问题，是综合性题目.7. （2015秋孝感校级月考）执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为a,az，an，nN*,n2013.（注：框图中的赋值符号“=也可以写成“6或"：二）（1）假设输入入=近，直接写出输出结果；（2）假设输入入=2,证明数歹心是等差数列，并求出数列（an的通项公式.an1【分析】（1）根据程序框图循环结构图直接可以判断当入=5时的输出结果,（2）结合题干条件求证一一是一个常数，即可求出数列an的通项公式.an+l-11【解答】解：（1）输出结果是：0,返.（5分）2（2）由程序框图可知，a=0,a，n£N*,n20l2.（6分）n+1-a所以，当入=2时，&口,（7分）"12工aK-IT7-nJ而aj中的任意一项均不为1,（8分）n+12-a2-ann（否那么的话,由av=l可以得到an=l,与a=0l矛盾），所以，一二三二区二_-1，an+l_1an1an1-=-1（常数），nN*,n2012.an+l1%-1故是首项为-1,公差为-1的等差数列，.（10分）an1所以，二一ri，.（12分）,an1所以数列an的通项公式为a=l-L，nN*,nW2013（14分）nn【点评】此题主要考查程序框图和数列求和的知识点，解答此题的关键是看懂程序框图的运算程序，熟练掌握等差和等比数列的性质，此题把程序框图和数列的知识点结合在一起进行考查，也是一道不错的习题.8. （2011秋南山区校级期中）请认真阅读以下程序框图：程序框图中的函数关系式为f（）二包手，程序框图中的D为函数fIx）的定义域，把此程序框图中所输出的数Xi组成一个数列Xn（1）输入XC请写出数列（Xn的所有项；X。65（2）假设输入一个正数XO时，产生的数列xn满足：任意一项Xn，都有XnVXnM，试求正数XO的取值范围.【分析】（1）利用f（） =4- 2x+11及程序框图，注意函数的定义域，直接可求得数列xn的只065有三项;4X2要使对任意正整数n,均有XnVXe那么必须得IVXnV2,要使任意一项Xn,都有Xnl>Xn,须（XO-2）（X0-1）<0,解得：1<X（）V2,从而得出结论.【解答】解：（1）当XC卫时，X。65xl=f4i,x2=f4,x3=f=1所以输出的数列为红，1,-1由题意知xn+1=f(xn)-4xn2xn+1>xn1954-2因为xo>O,xn>0,有：一>xxn÷1.得4Xn-2>xn(Xn+1)即Xr2一3r+2<0'即(Xn-2)(Xn-I)<0要使任意一项Xn，都有Xn，l>Xn，须满足(Xo2)(Xo-1)<0，解得：1VXOV2,所以当正数XO在(1,2)内取值时，所输出的数列xn对任意正整数n满足XnVXn小【点评】本小题主要考查数列与算法的简单结合、不等式的解法等根底知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想.属于中档题.9.(2015秋安庆校级期中)数列an的各项均为正数，观察程序框图(1)假设输入的a=l,d=l,k=3时，求输出的S的值(2)写出k=4时，S的表达式(用a,az>a3,04,a5表示)假设输入k=5,k=10时，分别有S哈和S若.试求数列an的通项.【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的S是什么,然后对(1)中的数值进行计算，写出(2)k=4时S的表达式；(3)中，由S的表达式，列出方程组求出a和d,即可求出an.【解答】解：(1)a=l,d=l,k=3时，S=IiIIl二一1X22X33X444(2)k=4时，S-11_i；ala2a2a3a3a4a4a5由程序框图知，s=+_J+.+1,ala2a2a3akak+1数列an是等差数列，设公差为d,那么有1akak+ldakak+1S=1工，L-，)J(L_)；dala2a2a3akak+1dalak+1k=5时，S=-L;k=10时，S=l;1121flz1_ls5-()=7Tda1a6111(11so,da1aJ21a1=1a1二-1解得1或1(舍去)；#2d=-2an=a+(n-1)d=2n-1.【点评】此题考查了程序框图的应用问题，也考查了数列求和的应用问题，考查了方程组的解法与应用问题，是综合题.10. (2015中山市校级二模)根据如下图的程序框图,将输出a,b的值依次分别记为a,a2,.,an,32008：bl，b2»，bn，b2OO8(I)求数列an的通项公式；(U)写出b,b2,b3,b4,由此猜测bn的通项公式，并证明你的证明；(In)在ak与ak中插入bk+1个3得到一个新数列g,设数列/的前n项和为Siv问是否存在这样的正整数m,使数列斯的前m项的和Sm=2008,如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由.(4*3/o-b-0»n-1/中.b/In-I:I<r-<rHI A3+2 I结荣)【分析】(I)根据框图可知an+l=an+l整理得MLan=L根据等差数列的定义判断出a为等差数列,进而根据等差数列的通项公式求得an,（三）根据b=0,bz=2,b3=8,b4=26,猜测bn=3n,-1.证明时利用bnq=3bn+2,整理得bn+l=3(bn+l),判断出bn+l为等比数列，根据首项和公比求得bn的通项公式.(In)对于存在性问题,可先假设存在,即假设存在这样的正整数m,使数列Cnl的前m项的和Sm=2008,再利用数列求和，求出Sm,假设出现矛盾，那么说明假设不成立，即不存在；否那么存在.【解答】解：(I)a=l,av=an+l,，a11是公差为1的等差数列.，an=n.(Il)b=O,b2=2,b3=8,b4=26,猜测bn=3n-l.证明如下：bnti=3bn+2,bn.+l=3(bn+l),bn+l是公比为3的等比数列.bn+l=(b+l)3n,=3nl,那么b11=311.11.(In)数列cn中，ak项(含ak)前的所有项的和是(l+2+.+k)+(3,+32+.+3k-1)上保+殳3卜二322估算知，当k=7时，其和是28)了±=1120<2008,当k=8时，其和是36J»±=33152008,又因为2008-1120=888=296×3,是3的倍数，故存在这样的m,使得Sm=2008,此时m=7+(1+3+32+.+35)+296=667.【点评】此题主要考查了程序框图、等差数列和等比数列的通项公式，及数列求和问题.由等差数列和等比数列构成的数列常可用分组求和法.11. (2014秋杨浦区校级月考)数列xnhyn中的项依次由如下图的程序框图输出的X，y的值确定.分别写出数列xn、yn的递推公式；写出y,y2，y3,y4,猜测y的一个通项公式yn,并加以证明;设Zn=(-Dn(yn+1),是否存在noN*,使得对任意nN* SW2012)都有ZnoWZn，假设存在，求出no的值；假设不存在，请说明理由.【分析】(1)由由程序框图可知Xn,l=Xn+2,Xi=I,代入递推公式可得XI，X2,X3,X4,的值，进而根据等差数列的性质可得xn是首项为XI=I公差为2的等差数列，进而得到其通项公式；(2)由程序框图可知yn=3yn+2,y=2,代入递推公式可得y,y2,y3,y4,的值，进而猜测出数列yj的一个通项公式yn，理由综合法，可证明结论.(3)利用(2)的结论不难得到Zn的通项公式，那么易得的ZxLZn的值，所以根据该值来求满足条件的no的值.【解答】解：(1)由程序框图可知：XnT=Xn+2,Xl=I,X2=3,X3=5,X4=7Xn是首项为XI=I公差为2的等差数列，.*.xn=l+(n-1)2=2n-1,即xn的通项公式为X11=2n-1,(2)由程序框图可知yn=3y2,Vy=2,ya=8,y3=26,y4=8O,猜测yn=3n-l,以下为证明：丁yn=3yn+2,'yn+l=3(y11+l),yn+l是首项为y+l=3,公比为3,的等比数列，yn+l=3n,yn=3n-1.(3)由(I)知，xn=2n-1nN*且nW2012),于是Zn=.xn2-2012(2n-I)2-2012显然当nV23时,Zn>O:当n223时，Zn>O,当Zn最小时，n<23,«rd-l设 ZmL Zn=J(2n+l)2-20123n_(8112-16n-4022)3rl(2n-I)2-2012(2n+l)2-2012(2n-1)2-2012解得：n21+42°1523.4,2，当nV23时，Zn-<Zn,即且OVZ22VZ21VZ2oV.VZ1,*Zn-2Z22,，对任意nN*且n2012),即存在n0=22满足条件.【点评】此题考查的知识点是循环结构，等差数列的通项公式，等差数列的通项公式，等差关系确实定,等比关系确实定，正确理解流程图所表示的含义，分析出数列xn与数列yn的递推公式，即可得到答案.