数值分析第二次作业及答案.docx
数值分析第二次作业及答案1.用矩阵的直接三角分解法（LU分解）解方程组2O4O解：设1O1OO1211,21O312O4O1O1O53177=52.矩阵第一行乘以一数，成为A=角吊：A=L.cd（八）g=MILIkTL=%=3.V3=6)%=4223|川3÷6wt3.设有方程组AX=，其中A=力=×o-4试估计由此引起的解的相对误差。22O2O1l2±时，CaZd（八）OO有最小值。7故当归|=（时,221.32-3,它有解X4+2j_23Oo如果右端有小扰动由公式有t-=> Condvj(A) = 22.5,0.05-0.05i×10622.5×=1.6875×1O52/32.0001-17.0003r4.设4=,b=,方程组AX=A的精确解为X=(3,-l)7-21-7(1) 计算条件数cond<A)；(2) 假设近似解了二(2.97,-1.01尸，计算剩余r二8一45；(3)进行误差分析，此结果说明了什么？fc11000010000"LHlUU解：(1)AT=,于是CM4（八）=ATA=40001×3.0001120012.200002000111ll"llx-7.00032.0001一12.977.00036.9503X=U-27L(3)依误差公式，右端为cond（八）=120012X857.192,帆7,03这说明当A为病态矩阵时，尽管剩余Ml很小，误差估计仍然较大，因此，当A为病态时，用INl大小作为检验解的准确度是不可靠的。2x1-x2+x4=15.对线性代数方程组设法导出使雅可比(Jacobi)迭代法和高斯一赛德尔(G-S)x1-x3+5x4-6x2+4x3-x4=8-x1+3x2-X3=3迭代法均收敛的迭代格式，要求分别写出迭代格式，并说明收敛的理由。-2-101a10-156解：如切二八014-18-13-103与*、-19-7-11010-13-103014-1810-156r1×10+2因其变换后为等价方程组，且严格对角占优，故雅可比和高斯一赛德尔迭代法均收敛。疝向)二言(7引"+石MToK+10)*向)=，(工产+*")+3)雅可比迭代格式为:(/H=0,1,2,.)4+D=1(并+XT)+8)4x")=(Tf>+6)靖川二-L(7EM+Kzn)-IOK+10)甘向)=J(”向)+卫初+3)高斯一赛德尔代格式为：;(w=0,l,2,-)x<-÷n=l(-(-÷n+x+8)x,=gi+x">+6)6.设方程组()<X1 +0.42+0.43 =1;0.4x1+x2+0.8x3 = 2;0.4x1+0.8x2+x3=3.x1+2x2-2x3=1;S)<X1+x2+x3=l;试考察解此方程组的雅可比迭代2x1+2x2+x3=1.法及高斯一赛德尔迭代法的收敛性。0.40.4解：(a)fj(2)=0.40.8=3-0.982+0.256=O0.40.80.40.43.4220.8=2-0.8322+0.128)=0D.40.82.P(G)<0.832.G-S迭代收敛。2-2力（三）=11=A3=O.P(J)=O<1,J-迭代收敛。22222-2fGW=221=之(244+4+442424)2(42)222故G-S迭代不收敛。.Q(G)=2,S),/(-1)=-1+0.98+0.256>O/(-2)=-8+1.96+0.256<O./(；I)=O在(-2,-1)内有根4,且阂>1,故J-迭代不收敛。xl+2x>=37.用JaCobi、GaUSeSeidel迭代法求解以下方程组1-问是否收敛？为什么？假设将原方程3+2x2=43x+2x=41 2再用上述两种迭代法求解是否收敛？为什么？xl+2/=3解：对第一个方程JaCObi迭代法的迭代阵是:Bj =D-L + U) =由l-B,=A2-3,知夕(为)=5>1.故Jacobi迭代过程发散。Gause-Seidel迭代法的迭代阵是:1 0Bg=(D-L)-1U= 3 j_ .2 2.0 -20 00 -20 3-=4(4-3),知夕(BG)=3>1.故Gause-Seidel迭代过程发散。对第二个方程，因其系数矩阵是强对角占优的，故再用上述两种迭代均收敛。8.证明矩阵A =对于一BVaVl是正定的，而雅可比迭代只对上VaVL是收敛的。2 2、十1a.lc证：=l-a2>0=a1-a2 a(-a)a( a)-a2= (一)2-<a< = 1 a >2J一迭代考察Aaa1a 4 = (4 + 2d) 1 a a 12H < 122=(1)2(1+)2一/=(1一4)2(1+2)>0即_<a<川寸为正定。2aa1aaa=(+2a)0-a0=(+2a)(-a)2a00-a9、设有AX=力(%w,i=l,2,).1.证明解此方程组的Jacobi迭代法收敛的充要条件是aal%”生=0的根模风Vl%anl2.证明解此方程组的Gause-Seidcl迭代法收敛的充要条件是aia2a,I。2)九=0的根模风里1.4/a,u证：(1)由于JacObi迭代法的迭代矩阵Bj=-D,(L÷(),于是det(Z-Bj)=det(D,)det(D+L+U)而由题设知det(D',)O,故Jaeobi迭代收敛的充要条件：det(4/3J)=O的根模树1,等价于det(2D+L+U)=O的根模|川1。(2) Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵Bs=-(D+"U,于是det(Z-Bs)=det(D+L),det(D+L)2+C)由题设知det(O+L)T0,故GaUSS-SeideI迭代收敛的充要条件：det。/&)二O的根模囚1,等价于det(D+L)Z+U)=O的根模囚1。-12110、A=2-41有一个近似特征值为=-6.42,用反基法求对应的特征向量，并改良特征值11-6的精度。解：由计算得：A的特征向量为(-0.046147,-0.374918,1),特征值为一6.42107。2Il- A= -10-102-1给出用古典JaCObi方法求A特征值的第一次迭代计算。-12解:m.TC首先取i=1,/=2,因cg2。=0,故有°=,于是CoSO=Sino=411八O22S0)=%(0)=-LO22OO11正;02-2-1O-1正-7=02A(D=V(O)A(OV(。"=1一正0001-102-1-12_1正0-J=0201101F01311F212.X=(IO1)。y=e,构造一个HOUSehoIder变换矩阵H,使得=±Wb6。解：取h=-2",v=(x÷1)x+x12,其2范数x+x2el=5/4+2,所以V=+?Il111,224÷22+601+22÷2°2+2Householder变换矩阵H为H=0101+61+2.2÷2°2+2_而x+q=+=+01尸，O513.设A= 64-32-44,(1)把A相似化为拟上三角阵H”(2)用QR算法求HI的(也是A的)全-45部特征值。(只需一次迭代)64解：(1)(Zcos=-.=0.832050,sin,=0.5547005252100R23=00.8320500.5547000-0.5547000.832050(2) ¾cos<9 = - r5= = 0.569803,52+7.21 IlOl2sin。=7.21110152+7.21 IlOl2= 0.817810.569803V;2 = -0.821781 00.821781 00.569803 0018.774962那么有½ 21 =00-1.8015960.4383100.1538468.5970891.9110302.230767COSe =0.438310再取0.4383102+0.15384620.153846= 0.943564,匕.3二-10000.943564-0.3311898.7749620 0.331189 0.943564-1.80159698.597089'那么有ALM 二00.4645262.541982 =RJ001.471953Sine = 0.3311890.4383102 + 0.15384625-1.386753.3282'那么有=7.211102-1.2307688.15384为拟上三角阵。00.1538462.2307670.569803-0.7754030.272165三1=w=0.8217810.537643-0.18871200.3311890.943564-3.519482-4.92549110.840117"故有H2=RlQl=0.3817391.0916272.31065300.4874951.388883
