数列教案.docx

第2讲等差数列及其前项和【2013年高考会这样考】1 .考查运用根本量法求解等差数列的根本量问题.2 .考查等差数列的性质、前项和公式及综合应用.【复习指导】1 .掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前项和公式等.2 .掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法.根底梳理1 .等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于回二仝赏数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母4表示.2 .等差数列的通项公式假设等差数列&的首项是公差是&那么其通项公式为&=&+(-Dd3 .等差中项且+b如果力=F那么叫做a与6的等差中项.4 .等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：&=%+公一勿)d5,7Nx).假设为等差数列，且加=o+q,那么&+”=丛+&(%,n,p,<7N*).假设EJ是等差数列，公差为&那么小,&+e,国+2“，(，mV)是公差为则的等差数列.(4)数列£,SilSbi,SM-Wt,也是等差数列.Wl=(2/71)at,.(6)假设为偶数，那么SLSL室假设为奇数，那么S奇一Ss=a中(中间项).5 .等差数列的前项和公式假设首项金和末项那么首=,或等差数列&的首项是d，公差是4那么其前项和公式为Sn=na-r-一彳一d.6 .等差数列的前项和公式与函数的关系$=1+(&-数列4是等差数列的充要条件是S=4/+5/7(48为常数).7 .最值问题在等差数列a中，句>0，d<0,那么差存在最大值,假设aV0,d>0,那么差存在最小值.一个推导利用倒序相加法推导笠差数列的前，项和公式工.5=团+念+&+区,=.÷-!±二二±.?±得工&亍Tt¾两个技巧三个或四个数组成笠差数列的二类问题夏普王设元.假设直数个数成笠差数列且和为.定值时？亘设为二.，且二2&.以二.3，目土心且±2&.二二.假设偶数个数成笠差数列且和为定值时.，可.设为D二窕，且二九旦±&盘±3九二工.其余各项要依据笠差数列的定义进任对称设元J四种方法笠差数列的判断方法一定义法：对王”会2的任意自然数，验证自二盟!为何二常数“.(2)等差中项法：验证2&一|=a+&-2(23,£I(T)都成立；(3)通项公式法：验证a0=+o；前项和公式法：验证Sn=AnBn.迂卮两种一方法区能用来判断是查为笠差数列.，血丕能用来证明笠差数列入课堂自测1 .(人教A版教材习题改编)a为等差数列，%+金=12,那么全等于().,4B.5C.6D.7解析选+徐=2冼，a=6.答案C2 .设数列&是等差数列，其前项和为S,假设a=2且&=30,那么S等于().A.31B.32C.33D.34解析由可得a÷5=2, .5a1÷10=30,f 26国=T 解得Vd=8×7，&=8&+ 72 d=32.答案 B3 .(2011江西)数列a的前项和S满足：S+S=S1+s,且aa11)=().A.1B.9C.10D.55解析由S+S=S+a,得S+S=So=&D=So-S-S-£L1.答案A4 .(2012杭州)设S是等差数列W的前项和，a=3,a=ll,那么S等于().A.13B.35C.49D.637aI&解析Va1+a7=÷a-3+ll=14,.S=初尸一=49.答案C5.在等差数列a中，a3=lt全=在+6,那么a=_.解析设公差为d那么会一色=3仁6,a=a3+3d=7+6=13.答案13考向一等差数列根本量的计算【例1】“2011福建)在等差数列&中，囱=1,&=3.求数列&的通项公式；假设数列&的前项和£=35,求女的值.审题视点第(1)问，求公差雄第(2)问，由(1)求S,列方程可求上解(1)设等差数列(为的公差为&那么a=8+(-Dd由&=1,&=-3可得l+2d=-3.解得"=-2.从而，&=1+(-1)X(2)=32.(2)由(1)可知a=3-21.LII/?1+322所以SrI=2=2nn.进而由Sk=-35可得2k#=35.即发一2«35=0,解得A=7或A=-5.又AN*,故A=7为所求.方法总结等差数列的通项公式及前项和公式中,共涉及五个量，知三可求二，如果两个条件，就可以列出方程组解之.如果利用等差数列的性质、几何意义去考虑也可以.表达了用方程思想解决问题的方法.【训练1】(2011湖北)九章算术“竹九节”问题：现有一一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，那么第5节的容积为升.考向二等差数列的判定或证明例2A数歹IJ为的前项和为S且满足品+2£S-I=O(-2),c?i=.(1)求证：是等差数列；审题视点(1)化简所给式子，然后利用定义证明.根据S与a之间关系求为.(1)证明&=S-Si(22),又a=-2SS1f,* Sn-L Sn=2SnSn-ifSW0,*"rN=2(22).由等差数列的定义知得是吗=B为首项，以2为公差的等差数列方法总结等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式法和前项和公式法主要适合在选择题中简单判断.【训练2】数列a的前项和S是的二次函数，且a=2,&=2,S=6.求S;证明：数列a是等差数列.考向三等差数列前项和的最值【例3】A设等差数列&满足&=5,a10=-9.求a的通项公式：求晶的前项和S及使得S最大的序号的值.审题视点第(1)问：列方程组求功与&第(2)问：由(1)写出前项和公式，利用函数思想解决.解(D由&=金+(-1)d及a=5,&0=-9得a + 2d=5, a+9c= 9»可解得4=9, d= 12.数列af的通项公式为an=2n.,.,.nn1,(2)由(1)知，Sn=na+d=1On-n.因为S=一(“-5)2+25,所以当=5时，S取得最大值.方法总结求等差数列前项和的最值,常用的方法：(1)利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值.(2)利用等差数列的前项和S=M?+胡(4、8为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值.【训练3】在等差数列&中，a1=20,前项和为S,且SO=S5,求当取何值时，S取得最大值，并求出它的最大值.考向四等差数列性质的应用【例4】设等差数列的前项和为S,前6项和为36,S=324,最后6项的和为18S>6),求数列的项数n.审题视点在等差数列4中，假设z+7=0+g,那么&+a=&+&(/，",p,QWM)用此性质可优化解题过程.解由题意可知团+愚+a=364+a-】+4-2+&-5=180+得(&+&)+(a+a-)+(a+&-5)=6(囱+&)=216.*.a+aflSl>=324,18/7=324.结合在方塞助此题的解题关键是将性质/=+<-/+4二4+备与前项和公式S='一起，采用整体思想，简化解题过程.【训练4】(1)设数列4的首项a=-7,且满足=ap÷2(N¼),那么ai÷a4-a11=(2)等差数列a中，&+包+公=-24,as÷a19÷=78,那么此数列前20项和等于【试一试】在正整数数列&中，前项和S满足：$=4(a+2)2.O求证：&为等差数列.假设仇=；品一30.求数列4的前项和的最小值.尝试解答(1)证明：当=1时，S=d=!(国+2)2,O(st2)2=0,*Qi=2.当22时，S1=:(4+2)2J(a-+2)OO3f-Qir-1=4,为为等差数列.(2)由(1)知:=/+(-1)4=4-2,131由30=2一310得7bn)的前15项之和最小,且最小值为一225.等比数列一、根底知识1 .定义与定义式从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.色包=4(夕为不等于零的常数)凡2 .通项公式*=64”",推广形式=,q"F,变式q="/5>WN*)nal(q=1)3 .前n项和S“=<q(IT)=%-a/(”°且。WD-q-q注:应用前n项和公式时,一定要区分9=1与qW1的两种不同情况,必要的时候要分类讨论.4 .等比中项:假设a、b、C成等比数列,那么b是a、C的等比中项,且b=±疝5 .在等比数列M中有如下性质：(1)假设n+n=p+q,n,n,p,qeN*则am-a11ap'aq(2)下标成等差数列的项构成等比数列(3)连续假设干项的和也构成等比数列.6 .证明数列为等比数列的方法：定义法:假设手=q(11N*)=数列册为等比数列等比中项法:假设=凡q+2(wN*且川“2Ho)=数列%为等比数列(3)通项法:假设=cq"(c国均是不为0的常数，刀N*)o数歹j,J为等比数列(4)前n项和法:假设5“=Aqn-A(Aq为常数，且4。OMWl)O数列氏为等比数列7 .解决等比数列有关问题的常见思维方法(1)方程的思想(“知三求二”问题)(2)分类的思想运用等比数列的求和公式时,需要对q=1和q1讨论当4>0应>1或q<0,0<4<1时,等比数列凡为递增数列(an+l-an=alqnl(q-)a<0,"1或>0,0<夕<1时,等比数列%为递减数列J二、范例剖析1 .关于根本公式的运用例L等比数列。“中，a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求an。解答略。变式：将该题中的等比数列改为等差数列，结果是多少？例2.数列为等差数列，公差do,4的局部项组成以下数列：ak，cikj，ak，恰为等比数列，其中k=l,k2=5,k3=17,求k+k2+k3+kn。解答略。例3.数列a,J,h的通项公式分别是%=2也=3"+2,它们公共项由小到大排列的数列是g,写出cll的前5项证明%是等比数列思维分析:容易证明g是等比数列,由定义式,只需找出%中任意相邻两项关系即可.解,的前5项为:8、32128、512、2048(2)设a,=bp=C”,.czi=2"=3p+2,而=22f=2(3p+2)=3(2p+1)+1不在仇用又2=42团=4(30+2)=3(4p+2)+2,.%?在加冲6"+2是c冲的项即C”+1项%+=4%,故g是等比数列例4.个球应从100米高处自由下落,每次着地后又跳回到原高度的半落下,当它第10次着地时,共经过了多少米？思维分析:数列建模过程中，关键是建立递推关系式，然而求出明,再结合数列相关性质解题。解：球第一次着地时经过了100米，从这时到球第二次着地时，一上一下共经过了2W2=100米，因2此球第十次着地时共经过的路程为nnnn100100100nnl0°fl1a100+100+-+-r-=100+F-=300水22228112练习变式4：一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日，到银行储蓄a元,一年定期，假设年利润率为r,保持不变，且每年到期时，存款(含利息)自动转为新的一年定期，当孩子18岁上大学时，将所有存款(含利息)全部取回，那么取回总钱数为多少？解:(l+r)18+a(l+r),7+(l+r)=-(1+r),9-(l+r)r4.等比数列综合题例5设各项均为正数的数列和也J满足5g，5瓦，5"“成等比数列，lgbn,lgan+1,Igb同成等差数列，且a=l,b=2,a2=3,求通项an,bn0解答略。备用题：(01年全国高考)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此开展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少(，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加L4(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业收入为bn万元，写出期、b11的表达式。(2)至少经过多少年旅游业总收入才能超过总投入？思维分析：建立等比数列模型I14解：an=800+800(1-)+800(1-)rt,=400l-(一)bn=400+400(1+-)+-+400(1+-)n,=1600(一)m-1444(2) bn-an>0=>zz5,至少经过5年。三、课堂小结1 .等比数列的定义、通项、中项、求和；2 .方程的思想、整体代换思想、分类讨论思想；3 .适当注意等比数列性质的应用，以减少运算量而提高解题速度。四、课后作业相约在高校高三数学数列局部复习专题一.教学目的：1 .数列局部方法与技巧解析2 .数列局部易错题剖析二.知识分析(一)方法技巧方法一：通项常见的求法。1 .观察法例1.写出以下数列的一个通项公式，使它的前几项分别是以下各数:fl.24681091733IlJ,9；-,y-,9;3153563993356399(3) 1,0,-,0,-,0-,0,(4)7,77,777,7777,：357(5)L3,6,10,15,；(6)a,b,a,b,。解析：an =2n(2n-1)(2n + l)(2)数列的前5项可改写为:917331×3,3×5,5×7,7×9,9×112n+1an=(-l)=-!-!-(2n-l)(2n+1)(3)原数列直接写不能看出通项公式，但改写之后，打9,二19,9,分母依次为1,2,3,4,123456分子为1,0,-1,0,呈周期性变化，可以用Sin色乃表示，当然也可以用COS心4表示。22.nn-1sincosa11=sEan=2(5)由观察可知，a1=l,a2=l+2,a3=l+2÷3,a4=l÷2+3+4,a5=1+2+3+4+5,CCn(n+1).an=1+2+3hFn=2此题亦可这样考虑:a2-a1=2a3a2=3a4-a3=4以上n1个式子左边相加为ara=2+3÷4+n又a=lICCn(n+l)an=1+2+3HFn=2(6)这是摆动数列。要寻找摆动平衡位置与摆动的振幅。平衡位置：,振幅：,用(-I)。或(-1)向去调节，那么所求数列的通项公式也可以用分段函数形式来表示a,n为奇数b,n为偶数2 .累差法例2.数列a#的前几项依次是：6,9,14,21,30,，求其通项公式。解析：Sbn=a+1an,那么有b1=a2-a1=9-6=3b2=a3-a2=149=5b3=a4-a3=21-14=7t>n-=an-an-1=2n-l以上各式相加得：CU/ci、(n1)(3+2n1)2«an-a=3+5+(2n1)=n2-1Xa1=6.*.an=a+n2-l=n2+53 .待定系数法例3.an为等差数列,a2=3,a6=23,求an。解析：aj为等差数列，故可设a11=kn+p又22=3%=233 = 2k + p23 = 6k + pk=5一an=5n-7P=-74 .公式法例4.如果数列a11的前n项和为Sn=Tall-3,求这个数列的通项公式a11。解析：(1)当n=l时，由S-3=a1na=6OQQ当3,ao=Sn-So-l=n-ane=3数列aj当n2时，是以3为公比，以a2=18为首项的等比数列an=a23n,=183n-2=23n(n2)而当n=l时，显然也成立故a”=2311(neN")5 .叠代法例5.an+1=-an,a1=l,求数列a11的通项公式a11。n+1解析：2同=Yrann+1,n1n-1n2n-1n-2n3*an=an-l=Tan-2=7a11-3nnnInnIn2n1n2n311.1nn-1n-22,n,nn方法二：解递推关系式常见方法1.公式法：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。常用的公式有an=S11-Se(n2),等差数列和等比数列的通项公式。2,归纳法：由数列前几项用不完全归纳法猜想出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性。这种方法叫做归纳法。3.累加法：利用恒等式a。=a+(a2-a)+(a。-a11.)求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如an+1=an+f(n)的递推数列通项公式的根本方法(其中数列f(n)可求前n项和)。例2.数列a11中，a=2,an+1=an+2ntnN*,求an。解析(累加法)va11÷=an+2nan+1-an=2n=2+2+4+6h1-2(n-1)/z、.-1)(2+2n2)an=a1÷(a2-a1)+(a3-a2)+-+(an-an_1)=2+=n2-n+25.转化法：通过变换递推关系，将非等差(等比)数列转化为与等差或等比有关的数列而求得通项公式的方法称为转化法。常用的转化途径有：(1)凑配、消项变换一一如将一阶线性递推公式all+=qa11+d(q、d为常数，q0,ql)<>通过凑配变成az+-L=qfan+/-,或消常数项转化为qIq-Uan+2-an+l=Q(an+1-a11);(2)倒数变换一一如将一阶分式递推公式明”=*(C、d为非零常数)取倒数得a11+d-=(3)对数变换如将一阶递推公式a。+1=ca(a11>0,c>0,p>0,pl)取对数a11÷CanC得lga11+=Plga11+c(4)换元变换一一如将一阶递推公式an+=qa11+dn(q、d为非零常数，ql,dl)变换成11÷1=L+1,令3=屋，那么转化为一阶线性递推公式。dn+,ddnddn例4.数列a11中，a=ban=2an-1+l(n>2),求a1,的通项公式。解析：解法一：(转化法)Van=2an-1+lan÷l=2(an.1+1)又a+l=2故数列a。+1是首项为2,公比为2的等比数列an+1=2n即a11=2n-1解法二转化法),an=2an-1÷l(1)>an+=2an+1(2) (1)得an+an=2®一an-Xn-2)故a11+-a11是首项为a?-a=2公比为2的等比数列，即az-a11=2n再用累加法得a。=2l1-1解法四：(迭代法)an=2an-1+l=2(2an-2÷I)+l=22an-2+2+l=2n,al+2n-2+2+1=2n-1例5.数列a11(nN*)中，a=l,an+l=,求an。l+2a11解析：(倒数变换)van+1=-,两边取倒数，得一!一=-+2A-=21 +2arn+a1all+a11.是公差为2的等差数列，首项-!=1IanJ»1-=1+(n1)-2=2n1an1.,.an=n2n-l例6.数列aj满足a=2,ail=az2(n2),求数列a。的通项公式。解析：(对数变换)由题意a】=2>0,a11=an-12(n>2)*a11>0，Igan=21gan.1lga11是以2为公比的等比数列，首项为Igal=Ig2lgan=2n-'lg2=lg22nla=22n'方法三：数列求和常见的方法1 .公式法例1.求和：(1) Sn=1+11+1I1÷+1I1:n个解析：(1)因为(J=l+10+l()2+1Ok=_L(Iok-DW9所以1+11+Jjj1J=!(9+99+999+-+222)9s?FZ=-(10-l)+(102-l)+(10n-1)9(1O+1O2+.+10n)-nl10(10n-1)=-n9910n+,-9n-10-81_乂2右1)+-2(l-"n)v211v-2X-1IeX(x2n-l)(x2n+2+l).x2n(-l)当X=±1R*,S11=4n2.错位相减法3,裂项相消法求和例工求数列贵百，可.1n(n + 2)的前n项和Sg_31142n+22n+44.并项求和例4.l2-22+32-42+(-l)n1n2解析：当n是偶数时Sn=(12-22)+(32-42)÷+(n-l)2-n2=-3+7÷ll+(2n-l)-(3+2n-l)2n(n+1)2当n是奇数时Sn=I2+(-22+32)+(-42+52)+.+-(n-l)2+n2=l+5+9+13+.+(2n-l)-1(5+2n-l)21 (n-l)(n+2)=H2_n(n+1)-2-综上凡=(-1尸丛P5.倒序相加求和课本引例方法四：等差数列的设项(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：，x-2d,x-d,x,x+d,x+2d,此时公差为d；(2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为，a-3d,a-d,a÷d,a+3d,此时公差为2d。例：有四个数，其中前三个成等差数列，后三个成等比数列，并且第一个与第四个数的和为16,第二个与第三个数的和为12,求这四个数。解析：设前三个数依次为a-d,a,a+d,那么第四个数为史电-a(a+d)2.I(a-d)H=16aa+(a+d)=12解之得a = 9d = -6所以这四个数为0,4,8,16或15,9,3,1方法五：等比数列的设项(1)对于连续奇数项的等比数列，通常可设为，之二通,叫,aq2,，此时公比仍为q；qq(2)对于连续偶数项的等比数列，通常可设为，,2,aq,叫工，此时公比为q?。qq例：一个等比数列a11前四项之积为，第二、三项的和为拉，求这个等比数列的公比(其中an>0)o解析：设等比数列a#的前四项依次为2,3,aq,aq3qqa4=-(1),×那么由得16由得，a=±'舍去一_L-+aq=2(2)Iq代入(2)并整理，得q2-2j5q+1=0解之得，q=2±l故原等比数列的公比为q2=3±22易错题一：设数列all的前n项和Sll=n2+2n+3(neN*),求数列all的通项公式。解题思路：n=l时，a=S=6o当n2时，an=Sn-Sn_,=(n2+2n+3)-(n-1)2+2(n-1)+3=2n+1因此数列的通项公式为a11=?,01=?2n+l(n2)失分警示：由Sn-SnT求a。时，必须考虑条件：n2,因为n=l时，Sl无意义。数列的通项a1,与前n项和Sn的关系是：an =S1(n = l)Sn-Sn_1(n2)此公式在数列中经常用到，应引起重视。易错题二：等差数列a11,SIl为前n项和，假设工=30,S8=90,求Sl解题思路：Va是等差数列S4,S8-S4,S2-S8也是等差数列。2(S8-S4)=S4+(Si2-S8)即2(90-30)=30+(S12-90)/.S12=180失分警示：由a是等差数列，得出S4、S8、S2也是等差数列是错误的，实际上，假设设公差为d,那么S4=a1+a2+a3÷a4,S8=a1+a2÷a3+a8:s8-S4=a5+a6÷a7+a8,S12=a1+a2+a3+÷a12*S2-S8=a9+a10÷a÷a12：S4,S8-S4,S2-Sg成等差数列，且公差为16do等差数列的前n项和也构成一个等差数列，即511,5211-511,5311-5211，3为等差数列，公差为id。解题思路:当qwl时，依题意有a.(1 2-q3)-l-q 2易错题三：等差数列a1b11的前n项和分别为Sn和Tn，假设&=独2，那么"等于112nb11解之，得q?=J,a=6,综上得a1=T或a=6。失分警示：等比数列前n项和公式中一定要考虑公式适用条件q=l或qrl,否那么导致失误。假设q=l,那么Sn=na;假设ql,那么SlI=巴色二©。-qn易错题六：一个数列aj,当n为奇数时，an=5n+l;当n为偶数时，an=22o这个数列的前2m项之和为o答案：S2m=5rn2+rn+2m+1-2解题思路：当n为奇函数时，相邻两项为alj与a。+2由a11=5n+1得a-an=5(n+2)+1-(5n+1)=10,且a=6所以a#中的奇数项构成以a=6为首项，公差d=10的等差数列。n+2-aO2当n为偶数时，相邻两项为a11与a。+2由a。=2?得3比=丁=2,且a,=2所以a。中的偶数项构成以a?=2为首项，公比q=2的等比数列。由此得S2n1=6m+m(m×10+2(1-2'n)=5m2+m+2m+l-2。2m21-2错因分析：将原数列分成由奇数项和偶数项组成的两个数列来处理的思路是正确的，但如果把奇数项组成的数列的相邻两项认为是a11与a11.,把偶数项组成的数列的首项认为是a,且相邻两项认为是all与a11+,那么会导致错解。答案整a+a2.×2ia1_2a11_a1+a22_S2_3×21+1_32b2b”b1+b21bl+b2lT212×2l212错因分析：对等差数列前n项和的结构特征认识模糊，容易导致错误。如设Sn=3n+l,Tll=2n是错误的。易错题四：设等比数列a#的首项为a,公比为a(a>0),假设其前10项中最大的项为1024,求a的值。解题思路：aj的通项公式为a0=aL(1)当a>l时，数列a11为递增数列，所以前10项中第10项为最大，即a°=aK)=IO24,，a=2。(2)当0va<l时，aj为递减数列，前10项中第一项为最大，即"1024,矛盾，故此时无解。(3)当a=l时，a为常数数列，此时各项均为1,显然与题设矛盾。综上可知，a=2o失分警示：解此类问题易出现概念性的错误。如仅凭a>0那么得出aj为递增数列，从而得到a10=1024,那么会得到错误结论。对含参问题般需要对参数进行分类讨论。O1易错题五：等比数列a4中，a3=,S3=41,求a-解题思路：当q=l时，a=a2=a3»此时正好有S3=a+a2+a3=43，适合题意。aq