整式的乘法与因式分解能力培优.docx

第十四章整式的乘法与因式分解14.1 整式的乘法专题一舞的性质1 .【2012湛江】以下运算中，正确的选项是(A.3a2a2=2B.(2)3=9C.aia=a9D.(2a2)2=2a42.12012泰州】以下计算正确的选项是()A.x3x2=2x6B.x4x2=%8C.(-X2)3=-X6D.(X3)2=X53.12012衢州】以下计算正确的选项是()A.2a2+a2=3a4B.a6÷a2=ayC.a6a2=a12D.(a6)2=专题二嘉的性质的逆用4.假设2a=3,2b=4,那么2%+2b等于()A.7B.12C.432D.1085 .假设2n=5,2n=3,求23u2n的值.6 .计算：(1)(一O.125)204(2)2OMX(一4A。叫(2)(-)20,5×81,007专题三整式的乘法7 .以下运算中正确的选项是()A.3a+2a=5a2B.(2a+b)(a-b)=2a2-ab-h2C.2/./=26D.(2a+b)2=4a2+b28 .假设(3x2-2+1)(x+b)中不含/项，求b的值，并求(32-2x+1)(x+b)的值.9 .先阅读，再填空解题：(x+5)(x+6)=x2+llx+30;(-5)(-6)=2-1lx+30；(-5)(x÷6)=x2+-30；(x+5)(l6)=x2-30.(1)观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？答：.(2)根据以上的规律，用公式表示出来：.根据规律，直接写出以下各式的结果：S+99)(a100)=；()，-80)()，-81)=,专题四整式的除法10 .计算：(3y-18x2+2y)÷(一6/)，)=.7I1H.计算：(±aV-la6)÷(-!-3)2.39312.计算：(a)3÷(b-a)2+(a-b)5÷(a+h)4.状元笔记【知识要点】1 .辕的性质(1)同底数箱的乘法：am-a,=am+n(m,都是正整数)，即同底数事相乘，底数不变，指数相加.(2)累的乘方：(人都是正整数)，即累的乘方，底数不变，指数相乘.(3)积的乘方：3勿”=。(都是正整数)，即积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的事相乘.2 .整式的乘法(I)单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数事分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，那么连同它的指数作为积的一个因式.(2)单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘单项式的每一项，再把所得的积相加.(3)多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.3 .整式的除法(1)同底数箱相除：,÷a=a,-(zn,都是正整数，并且用)，即同底数累相除，底数不变，指数相减.(2)ao=l(O),即任何不等于0的数的0次累都等于1.（3）单项式除以单项式：单项式相除，把系数与同底数辕分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，那么连同它的指数作为商的一个因式.（4）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.【温馨提示】1 .同底数箱乘法法那么与合并同类项法那么相混淆.同底数累相乘，应是“底数不变，指数相加”；而合并同类项法那么是“系数相加，字母及字母的指数不变”.2 .同底数箱相乘与基的乘方相混淆.同底数事相乘，应是“底数不变，指数相加”；辕的乘方，应是“底数不变，指数相乘”.3 .运用同底数事的乘法（除法）法那么时，必须化成同底数的事后才能运用上述法那么进行计算.4 .在单项式（多项式）除以单项式中，系数都包括前面的符号，多项式各项之间的“加、减”符号也可以看成系数的符号来参与运算.【方法技巧】1 .在事的性质中，公式中的字母可以表示任意有理数，也可以表示单项式或多项式.2 .单项式与多项式相乘，多项式与多项式相乘时，要按照一定的顺序进行，否那么容易造成漏项或增项的错误.3 .单项式与多项式相乘，多项式除以单项式中，结果的项数与多项式的项数相同，不要漏项.参考答案：1. C解析：A中，3/与一/是同类项，可以合并，32-2=2a2,故A错误；B中，（/二/二不，故B错误；C中，a6=a3+6=a故C正确；D中，（2a2）2=22（a2）2=4a故D错误.应选C.2. C解析：/.2=X2+3=5,选项A错误；/.2=X2+4=6,选项B错误；（T?）3=,选项C正确；*3）2=2x3=6,选项D错误.应选C.3. D解析：A中，2/+/=342,故A错误；B中，a6÷a2=a41故B错误；C中，a-a2=a8,故C错误.应选D.4. C解析：23a+2b=23a×22b=(2a)3×(2b)2=33x42=432.应选C.5. 解：23mn=23m22n=(2m)3(2n)2=5332=1125.6. 解：(1)原式=(0.125X2X4)2°M(-4)=1204(-4)=-4.(2)原式=(-5)205X920l4=("X9)204×(-l)=-i.7. B解析：A中，由合并同类项的法那么可得3a+2a=5a,故A错误；B中，由多项式与多项式相乘的法那么可得(2+b)(b)=24之一2"+。66二22一。一从，故B正确；C中，由单项式与单项式相乘的法那么可得*'4=2/+3=2/,故C错误；D中，由多项式与多项式相乘的法那么可得(2a+b)2=4a2+4ab+Z?2,故D错误.综上所述，选B.8. 解：原式=33+(3b2)X2+(2b+l)x+b,Y不含2项,23b-2=0,得b=一.32(3x2-2x+l)(x+-)3cQ42=3x3-2x2+x+2x2-x+-33,312=3X-x+-.339. 解：(1)观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系是：一次项系数是两因式中的常数项的和，常数项是两因式中的常数项的积；(2)根据以上的规律，用公式表示出来：a+b)(a+c)=a2+(b+c)a+bc；(3)根据(2)中得出的公式得：(a+99)(a100)=a2-a-9900;(y-80)(y-81)=y2-161y+6480.10. -x÷3y-解析：(3x3y-18x2y2+x2y)÷(6x2y)=(3x3y)÷(6x2y)18x2y2÷(6x2y)26+x2y÷(6x2y)=x+3y-.11. 解：原式=C-a4b1-a2b)÷-a2b6399=乙573999=62/?-Io12.解：(a-b)3÷(ba)2+(a-b)5÷(a+b)4,=(a-b)3÷(ab)2-(a+b)5÷(a÷b)4,=(a-b)(a+b),=a-ba-b,=-2b.14.2乘法公式专题一乘法公式1 .以下各式中运算错误的选项是(B. («h)2=(a+h)24ahD. (+Z>)(a-b)=crtrA.a2+kr=(a+b)22abC.(ct+h)(a+b)=a1+Ir2 .代数式(x+l)(xl)(f+l)的计算结果正确的选项是()A.x4-lB.X4+1C.(-l)4D.(x+l)43 .计算：(2x+y)(2-y)+(x+y)22(2x2-y)(其中x=2,y=3).专题二乘法公式的几何背景4 .请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要连其他的线，便可得到一个你非常熟悉的公式,这个公式是()A.(a+b)(ab)=a2-b2B.(a+b)2=a2+2ab÷b2C.(a-b)2=a2-2ab+b2D.(a+b)2=a2+ab+b25 .如图，你能根据面积关系得到的数学公式是()A.a2b2=(a+b)(ab)B.(a+b)2=a2+2ab÷b2C.(ab)2=a2-2ab+b2D.a(a÷b)=a2+ab6 .我们在学习完全平方公式(a+b)JM+2ab+b2时，了解了一下它的几何背景，即通过图来说明上式成立.在习题中我们又遇到了题目“计算：(a+b+c)",你能将知识进行迁移，从几何背景说明(大致画出图形即可)并计算(a+b+c)2吗？状元笔记【知识要点】1 .平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.2 .完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2,两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.【温馨提示】1 .不要将平方差公式和完全平方公式相混淆，注意它们项数和符号的不同.2 .完全平方公式中，中间项是左边两个数的和的2倍，注意系数的特点.【方法技巧】1 .公式中的字母。、b可以是具体的数，也可以是单项式、多项式.只要符合公式的结构特征，就可以利用公式.2 .有些题目往往不能直接应用公式求解，但稍做适当的变形后就可以用乘法公式求解.如：位置变化,符号变化，数字变化，系数变化，项数变化等.参考答案：1. D解析：A中，由完全平方公式可得(a+Z?)22成=/+29)+/2"二/+力2,故A正确；B中，由完全平方公式可得(。一b)2=/24h+力2,(a+h)2-4ah=a2+2ab+h24ah=a12ah+b2,故B正确；C中，由平方差公式可得(+)(一4+h)=(+h)(b-"Ab?a?=a>2,故C正确：D中，(+力)(一。一力)二(a+Z?)2=a22ab-h2,故D错误.2. A解析：原式二(2-l)(f+l)=(2)2-l=4-i.3. 解：IMi=4x2y2+x2+2xy+y24x2+2xy=x2+4xy,当x=2,y=3时，原式=22+4X2X3=4+24=28.4. B解析：这个图形的整体面积为(a+b)2；各局部的面积的和为a2+2ab+b2;所以得到公式(a+b)2=a2+2ab+b2.应选B.5. C解析：从图中可知：阴影局部的面积是(a-b)2和b2,剩余的矩形面积是(a-b)b和(a-b)b,即大阴影局部的面积是(ab)2,(ab)2=a2-2ab+b2,应选C.6. 解：(a+b+c)2的几何背景如图，整体的面积为：(a+b+c)2,用各局部的面积之和表示为：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.14.3因式分解专题一因式分解1 .【2012西宁】以下分解因式正确的选项是()A.3x26x=x(-6)B.a2+b2=(b+a)(ba)C.4x2y2=(4-y)(4x+y)D.4x22xy+y2=(2xy)22 .【2012广元】分解因式：3n?18m2n+27m?=.3 .分解因式：(2a+b)2-8ab=.专题二在实数范围内分解因式4 .在实数范围内因式分解4-4=.5 .把以下各式因式分解(在实数范围内)(1) 3x2-16;(2)x4-10x2+25.6 .在实数范围内分解因式：(1) X32x；(2)X46x2+9.专题三因式分解的应用7 .如果mn=-5,mn=6,那么m%mi?的值是()A.30B.-30C.11D.-118 .利用因式分解计算32×20.13+5.4×201.3+0.14×2013=9 .在以下三个不为零的式子：X24x,x2+2x,x?4x+4中，(1)请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解；(2)请你选择其中两个并用不等号连接成不等式，并求其解集.状元笔记【知识要点】1 .因式分解我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.2 .因式分解的方法(1)提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写出公因式与另一个因式的乘积的形式，这样分解因式的方法叫做提公因式法.(2)将乘法公式的等号两边互换位置，得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.(3)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b),两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.(4)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2,两个数的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.【温馨提示】1 .分解因式的对象必须是多项式，如把5/儿分解成5bc就不是分解因式，因为5片反不是多项式.2 .分解因式的结果必须是积的形式，如丁+工一1=%(犬+1)-1就不是分解因式，因为结果X(X+1)-1不是积的形式.【方法技巧】1 .假设首项系数为负时，i般要提出“一”号，使括号内首项系数为正，但要注意，此时括号内的各项都应变号，如一x?+2X=-R(X-2).2 .有些多项式的特点与公式相比，只是某些项的符号不符，这时就需要先对符号进行变化，使之符合公式的特点.参考答案：1. B解析：A中，3x26x=3x(-2),故A错误;B中,a2+b2=(ab)(a+b)=(b+a)(ba),故B正确;C中,42y2=Qx)2-(2y)2=(2-y)(2x+y),故C错误;D中,4x?2xy+y?的中间项不是22xy,故不能因式分解，故D错误.综上所述，选B.2. 3m(m-3n)2解析：3m318m2n+27mn2=3m(m26mn÷9n2)=3m(m3n)2.3. (2ab)2解析：(2a+b)2-8ab=4a2+4ab+t>2-8ab=4a?-4ab+b2=(2a-b).4. (x2+2)(x+2)(-V2)解析：X44=(x2+2)(x2-2)=(x2+2)(x+J2)(->/2).5. 解：(I)32-16=(GX+4)(6-4)；(2)x4-10x2+25=(x2-5)2=(x+V5)2(->5)2.6. 解：(I)3-2x=x(2-2)=x(x+>)(->);(2)4-62+9=(2-3)2=(x+b)2(xG)2.7. B解析：Vm-n=-5»mn=6,m2n-mn2=mn(mn)=6×(-5)=30,应选B.8. 2013解析：32×20.13+5.4×201.3+0.14×2013=032×2013÷0.54×2013+0.14×2013=2013×(0.32+0.54+0.14)=2013×l=2013.9. 解：(1)答案不唯一，如：(X24x)+(x2+2x)=2x2-2x=2x(-1).(2)答案不唯一,如：X24x>x2+2x,合并同类项，得一6x>0,解得V0.