新人教版九年级下册相似全章导学案.docx

27.1图形的相似一、观察图片，体会相似图形1、同学们，请观察以下几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？2、小组讨论、交流.什么是相似图形？相似图形：形状的图形叫相似图形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形,或而得到的。二、相似多边形：1、观察图片，体会相似.图形性质(1)图中的M4G是由正AABC放大后得到的,观察这两个图形,它们的对应角有什么关系？对应边又有什么关系呢？(2)对于图中两个相似的正六边形，是否也能得到类似的结论？(3)什么叫成比例线段？结论：(1：相似多边形的特征：相似多边形的对应角,对应边的比.反之，如果两个多边形的对应角,对应边的比,那么这两个多边形.几何语言：在A48C和MgG中ZA=ZA;ZB=ZB-ZC=ZC1,四=型=必，A1B1B1C1A1C1那么AABC和M4G相似相似比：相似多边形的比称为相似比.问题：相似比为1时，,相似的两个图形有什么关系？结论：相似比为1时，相似的两个图形,因此图形是一种特殊的相似图形.2、成比例线段概念1、两条线段的比，就是两条线段长度的比.2、成比例线段：对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如色=E(即ad=bc),我bd们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.【注意】(1)两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；(2)线段的比是一个没有单位的正数；(3)四条线段a,b,c,d成比例，记作色=£或a:b=c:d；bd(4)假设四条线段满足且=£,那么有ad=bc.例1如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是(oGoooABCD例2一张桌面的长=1.25m,宽b=0.75m,那么长与宽的比是多少？(1)如果=125ca,b=15cm,那么长与宽的比是多少？(2)如果=1250mm,b=750wm,那么长与宽的比是多少？小结：上面分别采用2,CM,即三种不同的长度单位，求得的f的值是的，所以说，两条线b段的比与所采用的长度单位.，但求比时两条线段的长度单位必须O例3、：一张地图的比例尺是1:32000000,量得北京到上海的图上距离大约为3.5Cnb求北京到上海的实际距离大约是多少km?分析：根据比例尺;黠？婴，可求出北京到上海的实际距离.实际距离三、稳固练习1 .如图，图形af中，哪些是与图形(1)或相似的？2 .线段a、b、c、d是成比例线段，且a=2cm,b=0.6cm,c=4cm,那么d=cm.3.以下四组线段中，成比例线段的是()A.3cm,4cm,5cm,6cmB.4cm,8dm,3cm,6mmC.5cm,15cm,2cm,6cmD.8m,4m,2m,2mADP是线段AB上一点，且一=PB2zr7/ABWr十一，那么等于()5PB75A.B.-C.5225-D.-775.在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离是7.5Cnb那么福州与上海之间的实际距离是多少？6、以下说法正确的选项是JA.所有的平行四边形都相似B.所有的矩形都相似C.所有的菱形都相似D.所有的正方形都相似7、如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角2和/的大小和EH的长度x.9 .以下所给的条件中，能确定相似的有Q)(1)两个半径不相等的圆；(2)所有的正方形：(3)所有的等腰三角形;(4)所有的等边三角形；(5)所有的等腰梯形：(6)所有的正六边形./L.3个B.4个C,5个D.6个10 .如下图的两个五边形相似，求未知边、b、c、d的长度.11 .四边形AbCO和四边形A4G相似，四边形ABCD的最长边和最短边的长分别是IOCln和4cm,如果四边形A4G的最短边的长是6cm,那么四边形A4G中最长的边长是多少？12 .如图，AB./EF/CD,CO=4,AB=9,假设梯.形COE尸与梯形尸EAB相似，求EF的长.27.2.1相似三角形的判定(1)一、复习导学：1、相似多边形的主要特征是什么？2、相似三角形有什么性质？二、合作探究：探究一、相似三角形：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。表示方法：相似比:符号语言：注意：1、在表示两个三角形相似时，对应顶点写在对应位置。2、相似比有顺序,当AB：AzB'=BC：B'C,=AC：AzC,二k时，那么AABC与AA'B'C'的相似比为k.A,BzCz与aABC的相似比为探究二、任意画两条直线L和k,再画三条与L、L相交的平行线13、L、b，分别度量匕、L、h在L上截得的两条线段AB、BC和在心上截得的两条线段DE,EF的长度，AB：BC与DE：EF相等吗?任意平移心，再量度AB,BC,DE,EF的长度，AB：BC与DE：EF相等吗？思考：1、如果把图27.2-2中九，A两条直线相交，交点A刚落到A上，如图27.2-3(1),所得的对应线段的比会相等吗？小结归纳：平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的线段O思考：2、如果把图27.2-2中人，L两条直线相交，交点A刚落到A上，如图27.2-3(2),所得的对应线段的比会相等吗？小结归纳：平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的线段思考,：如图27.2-4,在AABC中，DEBC,DE分别交AB,AC于点D,E<,ADE与aABC满足“对应角相等”吗？为什么？(1) 2ADE与AABC满足对应边成比例吗？由“DEBC”的条件可得到哪些线段的比相等？(2) 根据以前学习的知识如何把DE移到BC上去？(作辅助线EFAB)你能证明AE:AC=DE:BC吗？(3) 写出AABCsZkADE的证明过程。小结归纳：判定三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所成的三角形与原来三角形相似。稳固练习：1 .以下各组三角形一定相似的是()A.两个直角三角形B.两个钝角三角形C.两个等腰三角形D.两个等边三角形2 .如图，DE/7BC,EFAB,那么图中相似三角形一共有()A.1对B.2对C.3对D.4对FKR3、如图、假设AB=3cm,BC=5cm,EKMcm,写出=求FK的长？KFAC4、如图，在ZkABC中,DEBC,C=4,AB=3,EC=L求AD和BD.5.如图,在OABCD中，EF/7AB,DE:EA=2:3,EF=4,求CD的长.27.2.1相似三角形的判定(2)一.知识链接(1)两个三角形全等有哪些判定方法？(2)我们学习过哪些判定三角形相似的方法？(3)相似三角形与全等三角形有怎样的关系？二、探索新知1、如图，如果要判定aABC与aA'B'C'相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？可否用类似于判定三角形全等的SSS方法，能否通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？2、探究任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论。探求证明方法.（、求证、证明）【归纳】三角形相似的判定方法1：三边成比例的两个三角形相似。例：如图，在四边形ABCD中，ZB=ZCD,B=6,BC=4,C=5,CD=7-,求AD的长.2解:3、探讨问题：可否用类似于判定三角形全等的SAS方法，能否通过两个三角形的两组对应边的比相等和它们对应的夹角相等，来判定两个三角形相似呢？如以下图，假设满足以下条件：dAr=,ZA=ZA',那么AABC与aABC相似吗？A,B,A,C,归纳】三角形相似的判定方法2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似ABACz/. ABC<ABC如图，*.=-11-=k»ZA=ZAAB()例.如图，AABC,那么以下四个三角形中，与aABC相似的是（）【稳固练习】1 .ZABC的三边长分别为四，2,10,4ABC的两边长分别为1和遥.当ABC的第三边长为时，4ABC和AARCl相似.2 .有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1,2,5,乙三角形木框的三边长分别为5,5,i,那么甲、乙两个三角形（）A.一定相似B.一定不相似C.不一定相似D.无法判断3 .假设aABC和ADEF满足以下条件，其中使aABC与ADEF相似的是（）A. AB=2,BC=3,AC=4,DE=4,EF=6,DF=8B. AB=4,BC=6,AC=8,DE=5,EF=1O,DF=15C. AB=I,BC=3,AC=2,DE=6,EF=5,DF=5D. AB=I,BC=卮AC=3,DE=i?,EF=26,DF=64 .如图，AOBCOD,那么X=,y=.5 .ZABC的各边之比为2：3：4,与其相似的另一个aAEC中的最小边长为4cm,试求其他两边之长.6 .如图，线段AC与BD相交于O点，且OA=12,OC=54,OB=18,OD=36,那么ABO与4DCO（选填“一定”或“不”湘似.7 .如图，ZXABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：4ABCsiDEF.8 .如图，D是aABC的边BC上的一点，AB=2,BD=I,DC=3.求证：ZABDsCBA.27.2.1相似三角形的判定（3）课前预习：1 .我们已学习过判定三角形相似的方法有哪些？2 .如图，在AABC和aA'B'C,中，NA=NA',ZB=NBL求证：ZABCsa'B'C'.【归纳】三角形相似的判定方法3如果一个三角形的两个角与另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似.【归纳】相似三角形的判定4斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似.AB_AC即：如图，在用AABC和用AABC'中，假设NC=NC'=90°,AaAC',那么BA8CsRtABC请同学们完成证明过程AB_AC证明：设AaAC=k,那么AB=,AC=根据勾股定理得：BC=三、例题例1如图，弦AB和CD相交于。内点P,求证：PA-PB=PC-PDAD=5, AE=6,求DF的长.如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF_LAE于F,假设AB=4,1 .以下说法是否正确，并说明理由.(1)有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；(2)有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形.2 .在aABC和B,C中，如果NA=56°,NB=28°,NA'=56°,ZCz=28°,那么这两个三角形是否相似？为什么？3 .：如图，N1=N2=N3,求证：ZABCsADE.4 .在4A8C和aA'B'C1中，如果NA=48°,ZC=102o,ZA,=48o,ZB'=30°,那么这两个三角形是否相似？为什么？5 .：如图，在aABC中，NC=90°,P是A8上一点，且点P不与点A重合，过点P作P£148交AC于E,点E不与点C重合，假设AB=I0,4C=8,设AP=x,四边形PECB的周长为y,求y与X的函数关系式.6 .：如图，在RtZABC中，NACB=90°,CD_LAB于D,想一想,(D图中有哪些三角形相似？(2)求证：AC2=ADAB：BC'=BDBA:CDJADBD；ACBC=ABCD相似三角形判断练习题1.如图，在AABC中，CD,AE是三角形的两条高，写出图中所有相似的三角形，简要说明理由.2、如图，在A43C中，点。在AABC内,AB BC ACADDEE求证：ZABD=ZACe.3、.如图，等腰直角三角形ABC中，顶点为C,NMCN=45°,试说明aBCMsANC.4、等腰三角形ABC中,AB=AC,D是CB延长线上一点,E是BC延长线上一点,且AB2=DBCE,如下图.(1)试说明/ADBS/EAC(2)假设NBAC=40",求NDAE的度数。5、如图,DEBC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,NBAC=45°,ZACB=40o(1)求NADE和NAED的大小。(2)求DE的长6、如图，点D、E分别是等边三角形ABC的BC、AC边上的点，且BD=CE,AD与BE相交于点F.(1)试说明AABDgZBCE;(2) BD2=ADDF 吗？为什么？27.2.2相似三角形的性质【温故知新】1、相似三角形的判定方法有哪一些？2、如图，在aABC中，DEBC,假设AD：DB=I:3,那么aADE与AABC的相似比为o3、：ABCA,B,C',AB=2cm,BC=3cm,A,B'=4cm,A'C,=2cm,那么AC=CnbB,C,=cm。【学习过程】1、自主学习：两个相似三角形，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结论.例如，如图：8。和C是两个相似三角形，相似比为h其中AD、ATT分别为BC、B,C,边上的高，那么AD：ATT的值与相似比有何关系：？解：VAD,AIy分别是AABC和ABC，的高NADB=NA'DB=90°、：XABCs>a>bc,且相似比为k.N8=N 夕A,B,ADAB1=kA,D,A,B,归纳：相似三角形对应边上高的比等于类比以上推导过程可知：相似三角形对应边上的中线、对应角的角平分线的比等于2、合作探究：(1)猜测相似三角形的周长比与相似比的关系，并简单分析原因。/ ABC<A, B' C'AB BC CAAB7CCWAB=,BC=,CA=.A8+8C+CAA,B,+B,C,+C,A,-即，相似三角形的周长比等于，(2)猜测相似三角形的面积比与相似比的关系，并用逻辑推理的方法加以证明。：ABC<A,B,C',且相似比为k,AD、A'D'分别是AABC、A'B'C,对应边BC、B,C,上的高。求证：=EA,B'C,证明：即，相似三角形的面积比等于。例：如图，在AABC和ADEF中，AB=2DE,AC=2DF,ZA=ZD,AABC的周长是24,面积是48,求DEF的周长和面积。【稳固练习】Aft31、假设aABCsZa,B(',且=-,ABC的周长为12cm,那么aA'B'C'的周长为A,B,4)12、如图，D、E分别是aABC的边AB、AC上的点，=ACAB2那么AED与aABC的面积比是()A、1：2B、1：3C、1：4D、4：93.相似三角形对应边的比为2:5,那么对应边上高的比为,对应边上的中线的比为,对应角的角平分线的比为,周长比为,面积比为.4、AABCSAABG,且AB：A1Bi=I:2,那么AABC与AABG的面积比为()A1：1B1：2C1：4D1:85 .两个三角形周长之比为9：5,那么面积比为()()9：5(B)81：25(C)3：5(D)不能确定6 .在RtAABC中，ZC=90o,CD_LAB于D,以下等式中错误的选项是()()DBD=CD2(B)ACBD=CBD(C)AC2=DB(D)AB2=AC2+BCz7 .在平行四边形ABCD中，E为AB中点，GF交AC于G,交AD于F,而而那么天的比值是()FD3GA（八）2(B)3(C)4(D)58 .在RtAABC中，AD是斜边上的高，BC=3AC那么AABD与AACD的面积的比值是()（八）2(B)3(C)4(D)8AE29 .如右图，ABC中，DEBC,那么SAADE:5MBC=.AC310、如图、AABCsAAiBC,它们的周长分别为60和72,且AB=I5、BIG=24,求BC,AB,ACIK在AABC和AAIBlCl中,ZA=ZAhZB=ZBhAB=35cm>AIBl=I4cm、它们的面积差是588Cm?、求较大三角形的面积。27.2.2相似三角形的应用举例一、知识链接1、判断两三角形相似有哪些方法2、相似三角形有什么性屈二、.探索新知1、问题1：学校操场上的国旗旗杆的高度是多少？你有什么方法测量?生活中存在许多相似图形，在日常生活中，我们可以借助光线或视线来构造相似三角形,并利用相似三角形的,来进行测量等.2.应用图例：(1)假设 DEBC,那么一=例I小刚用下面的方法来测量学校大楼AB的高度.如下图，在水平地面上的一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21m,当他与镜子的距离CE=25m时，他刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B,他的眼睛距地面高度De=I.6m,请你帮助小刚计算出教学大楼的高度AB是多少米.(注意：根据光的反射定律，反射角等于入射角)例2如下图，测得BD=120m,DC=60m,EC=5Om,求河宽.知识点一测高1 .在同一时刻，小明测得他的影长为1m,距他不远处的一棵椰子树的影长为5m,小明的身高为l5m,那么这棵椰子树的高为I第1题图第2题图第3题图第4题图2 .如下图，铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂的端点下降0.5m时，长臂端点应升高m.知识点二测宽3 .如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,使得ABjLBC,CDJ_BC,点E在BC上，并且点A,E,D在同一条直线上.假设测得BE=20m,EC=IOm,CD=20m,那么河的宽度AB等于（）A.60mB.40mC.30mD.20m4 .如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆.小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，那么河宽为米.5 .如下图，有一池塘，要测量两端A,B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连接AC并延长到D,使CD=ICA,连接BC并延长到E,®CE=-CB,22连接ED,如果测量出DE的长为25m,那么池塘宽AB是多少?为什么？6、如图，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮助，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和15米.小华的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度为多少米.7、如图，小明站在。处看甲乙两楼楼顶上的点A和点E.C,E,A三点在同一条直线上，点B。分别在点EA的正下方且O,B,C三点在同一条直线上.B,C相距20米，D,。相距40米，乙楼高应:为15米，甲楼高AD为多少米（小明身高忽略不计）27.3位似观察：观察以下图形，它们有什么特征？特点：（1）两个图形（2）每组点所在的交于一点。1、位似变换是一种特殊的相似变换如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形（如右以下图）。这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。从定义可以看出，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形2、位似图形的性质位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，这样，除了图形本身的对应线段成比例之外，位似图形与一般的相似图形相比，有了更多的成比例线段。根据右图，请写出线段的比例式：由上述学习，我们可以得出位似图形的性质有：位似图形是图形（填“全等”或“相似”）位似图形每组对应点所在直线都经过（填“旋转中心”或“位似中心”）位似图形对应边所在直线要么重合，要么（填“垂直”或“平行”）【注意】判断两个图形位似的必须具备的两个条件：1、两个图形相似；2、每组对应点的连线所在直线经过同一点。位似多边形的画法一般步骤为：（1）确定位似中心；（2）确定原图形的关键点，通常是多边形的顶点;.（3）确定位似比；（4）找出新多边形的对应关键点。例3：把图中的四边形ABCD以点O为位似中心沿Ao方向放大2倍（即位似比为2：1）。分析：把原图形缩小到原来的L,也就是使新图形上各顶点到2位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为。作法：(1)在四边形ABCD外(2)过点O分别作射线(3)分别在射线上取点,使得OA'OB'OC'OD'1OAOBOCOD2(4)顺次连接,得到所要画的四边形A'B'C,Dz,稳固练习：1、如图2,aABC与是位似图形，位似比为2：3,AB=4,那么DE的长等于()A、6Bx5C、9D、2、假设两个图形位似，那么以下表达不正确的选项是()A.每组对应点所在的直线相交于同一点B.两个图形的对应线段之比等于位似比C.两个图形的对应线段必平行D.两个图形的面积比等于位似比的平方2、如果四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，且位似比为以下说法正确的选项是ABCcoEFG；0=a；EGFHAB+BC+CD+DAACO面积2=a；,=aoEF+FG+GH+HEAEGH面积3、判断下面每组中的两个图形是否为位似图形，请给出你的理由。1、如图3,ABsCD相交于点0,且NB=NAO2、如图4,在aABC中，D、E分别为AB、AC的中点。3、如图5,AB、CD相交于点0,且NABC=NADC,AD=CBo图427.3位似(2)知识回忆1 .观察以下相似图形，归纳其特点归纳：(1)两个图形是；(2)每组相交于一点；(3) 互相平行。具有上述特点的图形是位似图形，对应点连线的交点是位似中心。点拨：相似图形不一定是位似图形，但位似图形一定是相似图形。2 .位似图形的性质(1)位似图形具有图形的一切性质；(2)位似图形任意一对对应到位似中心的距离之比都位似比；3 .图形变换我们学习过的图形变换包括：,轴对称，旋转和O新知探究1.在平面直角坐标系中有两点A(6,3),B6,0),以原点0为位似中心，相似比为1：3,把线段AB缩小方法I-方法二：-探究：(1)在方法一中，A，的坐标是,B'的坐标是,对应点坐标之比是；(2)在方法二中，A''的坐标是,B''的坐标是,对应点坐标之比是2.如图，AABC三个顶点坐标分别为A(2,3),B(2,1),C(6,2).以点0为位似中心，相似比为2,将AABC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？位似变换后力，B,。的对应点为A,(,),By(,),C'(,)；/T1,腔(，).归纳：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为匕那么位似图形对应点的坐标的比等于.稳固练习：1 .以下关于位似图形的表述中，正确的选项是一.O(填序号)相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；位似图形一定有位似中心；如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，这个两个图形是位似图形;位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比.2 .用位似作图的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心()A.只能选在原图形的外部B.只能选在原图形的内部C.只能选在原图形的边上D.可以选择在任意位置3 .在平面直角坐标系中有两点A(1,O),B(2,0),以原点O为位似中心，把线段放大2倍，那么放大后的线段A'B、的长为；A、的坐标是或；B、的坐标是或o4 .如下图，指出以下各图中的两个图形是否是位似图形，如果是请指出其位似中心；5 .如下图，左图与右图是相似图形，如果左图上一个顶点坐标是(a,b),那么右图上对应顶点的坐标是()A.(-a,-2b)B.(-2a,-b)C.(-2a,-2b)D.(-2b,-2a)6 .如下图，()AB与aOAB是相似比为1：2的位似图形，点O是位似中心，假设AOAB内的点P(x,y)与aOAB内的点Pl对应，那么Pl的坐标是；7 .如下图，ABA'B',BCB'C',且OA':A'A=4:3,那么ABC与是位似图形，位似比是;8 .ZABO的顶点坐标是A(-3,3)、B(3,3)、0(0,0),试将aABO放大，便放大后的AEFO与ABO对应边的比为2：1,那么E、F的坐标分别是()A.(-6,6)(6,6)B.6,-6)(6,6)C.-6,6)(6,-6)D.(6,6)(-6,-6)9 .如下图，ABC与aA'B'C'是位似图形，且位似比是1：2,假设AB=2cm,那么AB=cm,并在图中画出位似中心0.