第1节任意角和弧度制及三角函数的概念公开课教案教学设计课件资料.docx

三三角函数、解三角形第1节任意角和弧度制及三角函数的概念考试要求1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化3理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.3知识诊断基础夯实H知识梳理1 .角的概念的推广(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的空旋转所形成的图形.按旋转方向不同分为正鱼、鱼鱼、零角.Q)分人按终边位置不同分为象限鱼和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S=QE=+k360°,2Z.2 .弧度制的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad.(2)公式角的弧度数公式IalW(弧长用/表示)角度与弧度的换算(180、1°-180md；1侬一段弧长公式弧长l=ar扇形面积公式11OS=lr=jr3.任意角的三角函数(1)定义XX如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(,y)XX正弦y叫做的正弦函数，记作Sina,即Sina=yXXX叫做的XX函数，记作cos,即cos=×正切叫做a的正切函数，记作tana,即tana=(x0)三角函数正弦、XX、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数(2)定义的推广设P(x,y)是角a终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为武>0),那么SinQVXV=/；cosa=ftana-(x0).rrW常用结论1 .三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2 .角度制与弧度制可利用180。=Tlrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用.3 .象限角角的第四象限角第二象限角1°t2A、第三象跟角卜辰<<2k+-,Z>z+乎<<2k+,Arz+<<2÷,AZ2A:+y-<<2k+2,Z4 .轴线角终边落在坐标轴上的角I = 4z)诊断自测1 .思考辨析(在括号内打“。”或“X”)(1)小于90。的角是锐角.()(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.()(3)角的三角函数值与其终边上点P的位置无关.()(4)若。为第一象限角，则Sina+cosa>l.()答案X(2)×(3)(4)解析(1)锐角的取值范围是(0,f)（2）第一象限角不一定是锐角.2 .（多选）已知角2。的终边在X轴的上方，那么角Q可能是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案AC解析因为角2的终边在X轴的上方，WAr360o<2<360o+180o,AZ,贝U有/180。VaVkl80。+90。，女Z.故当=2，"Z时，h360o<<11360o+90o,11Z,为第一象限角；当Z=2+1,nZ时，360°+180o<<H360o+270o,zZ,为第三象限角.故选AC3 .（2021.肇庆二模）已知角a的顶点与坐标原点O重合，始边与X轴的非负半轴重合，它的终边与以。为圆心的单位圆相交于4点.若4的横坐标为乎，贝火）2A.sina=,B.cos2a=一§cr-亚Cc迅C.sin23D.tan202答案B解析由三角函数的定义，可得COSa=贝ISinQ=cos2=2cos2a-1sin2=2sin«cos=±,tan2=±,所以选B.4 .（2020全国II卷）若。为第四象限角，则（）A.cos2>0B.cos2<0C.sin2a>0D.sin2a<0答案D解析Ya是第四象限角，sina<0,cos«>0,sin2a=2sinacos<0,故选D.4TT5 .在0到2兀范围内，与角一苧终边相同的角是.答案f解析与角苧终边相同的角是2E+(一g(%Z),令人=1,可得与角一号终边相同角是李6 .(易错题)已知角。的顶点与原点重合，始边与X轴非负半轴重合，若A(1,y)是角。终边上的一点，且Sine=一与乎，则y=.答案一3解析因为sin。=一今俱VO,A(-l,y)是角。终边上一点，所以y<0,由三角函数的定义，得7雷彳=一殳咨.解得y=-3.考点突破题型剖析y.)(答案C解析当2=2"5Z)时，2示的范围一样；当 A=2"+1("Z)时，2n- WaW+表示的范围一样,kVTo×Zlo×ABK%2D÷2÷,此时Q表示的范围与表÷+2+÷,此时a表示的范围与÷ 故选C.1.集合理兀+：WaWE+多Az中的角所表示的范围(阴影部分)是()J考点一象限角及终边相同的角2.设集合M=卜IX=亨180。+45。，Z,f=xx=180o+45o,kZ,那么()AM=NB.MQNC.NQMD.MN=0答案B解析由于M中，x=180o+45o=90o+45o=(2+1)45o,2Z+1是奇数；而N中，X=亨180。+45。=k45。+45。=伏+1)45。，Z+1是整数，因此必有MqN.3.已知角。在第二象限，且A.第一象限或第三象限B.第二象限或第四象限C.第三象限D.第四象限答案C解析Y角。是第二象限角,，一 2nSl。一 2n.Sl-。一 2.e"E+1,2E+攵Z,3(k+;,E+；),女Z,角?在第一或第三象限.夕一 2nSi= sin夕一 2n角5在第三象限.4.终边在直线y=5x上，且在-2兀，2兀）内的角的集合为.答案-3>等313解析在坐标系中画出直线y=5x,可以发现它与X轴的夹角率在0,2兀）内,终边在直线y=#%上的角有两个：?,;2S在-2,0)内满足条件的角有两个：一铲，-y,故满足条件的角构成的集5-323感悟提升(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数AZ)赋值来求得所需的角.a(2)确定kx,7(ZN*)的终边位置的方法先写出ka或F的范围，然后根据k的可能取值确定ka或3的终边所在的位置.KK|考点二弧度制及其应用例1已知扇形的圆心角是,半径为R,弧长为/.Tr(1)若=g,R=IOcm,求扇形的弧长/.若扇形的周长是20cm,当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？JT若R=2cm,求扇形的弧所在的弓形的面积.JT解因为a=1,R=IOcm,所以/=|(ZlR=3义Io=3(cm).(2)由已知得,l+2R=20,所以S=：/R=；(202R)R=IoR-R2=-(/？-5)2+25.所以当R=5时，S取得最大值，此时/=10,=2.(3)设弓形面积为S弓影，由题意知/=专cm,所以S弓形=；X堂X2XSin号=停一审)Cm感悟提升应用弧度制解决问题时应注意：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.训练1（1）（多选）（2022青岛质检）已知扇形的周长是6,面积是2,下列选项可能正确的有（）A.圆的半径为2B.圆的半径为1C.圆心角的弧度数是1D.圆心角的弧度数是2答案ABC解析设扇形半径为圆心角弧度数为,2r+ar=6, 则由题意电/ = 2,解得r=94 M丫=2,a= 1,可得圆心角的瓠度数是4或1.（2）中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图，在半圆。中作出/、两个扇形OAB和OCO,用扇环形ABDC（图中阴影部分）制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为Sif扇形OAB的面积为S2,当&与S2的比值为咛时，扇面的形状较为美观，则此时扇形OCQ的半径与半圆。的半径之比为（）A士+1B-1a.42C.3-5D.5-2答案B%r2-尹彳解析设NAOB=仇半圆的半径为一,扇形OCO的半径为力，依题意,有一:2.=i,即宁=与1,所以J=掾=中=（咛口:从而得3=小一12.Ij考总三三角函数的定义及应用角度1三角函数的定义例2(1)已知角a的终边上一点尸(一小，n)(m0)f且Sina=/，PBJcosa=解析设P(x,y)由题设知X=小，y=m,所以r2=OP2=(-y)2+n2(O为原点)，即r=y3+m2f斫|、J.fn也"7_%所以Sma4-2y29所以r=y3+m2=2y29即3+112=8,解得加=土后.当机=小时,cos a3 _6 22 - 4 ,tan aB当加=一小时，cos a2215 tan =-.4-5,(2)已知角a的终边过点P(8m,6sin30°),且cosa=A.-|B日答案C解析由题意得点尸(一8小，3),=J64w2÷9,缶1、JTm4所以co，”=河革=一亍所以机0,解得m=2.角度2三角函数值符号的判定例3已知点P(CoS,tana)在第二象限,则角a在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案Ccos<0,解析点P(CoSa,tan)在第二象限，则所以角a在第三象限.tana>0,(2)sin2cos3tan4的值()A.小于OB.大于OC.等于OD.不存在答案A解析因为扛2V3V兀V4V当，所以2rad和3rad的角是第二象限角，4rad的角是第三象限角，所以sin2>0,cos3<0,tan4>0,所以sin2cos3tan4V0.感悟提升L三角函数定义的应用直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.训练2(1)已知角的终边经过点(3,-4),则Sin。+日产于()1-3737-13a,5bT5c,20dL5答案D43解析因为角的终边经过点(3,4),所以Sina=-亍COSa=亍所以Sinal14I513+=-5+十1?故选口½(。一 2贝。-2,(2)设夕是第三象限角，且cosI=cosA.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案B解析由。是第三象限角知，孝为第二或第四象限角，又cos2=-cos2»所以CoS<0,综上可知，?为第二象限角.(3)已知角的顶点在坐标原点，始边与X轴的非负半轴重合，终边上一点M的坐标为Qin尊CoS乎)，则角的最小正角为()A工B-C-D-44d,4J4u'4答案D解析角的终边上一点M的坐标为(Sin%CoS引，即岭一阴，故点M在第四象限，且tan=W=-1,则角a的最小正角为季故选D.2I分层训练,巩固提升A级基础巩固Ojr1.下列与角詈的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2kn+45oZ)9兀BA360。+W(AEZ)C.360o-315oZ)D.E+景ZWZ)答案COjrQjr解析与角彳的终边相同的角可以写成2E+z(kZ)或Jl360o+45oZ),但是角度制与弧度制不能混用，排除A、B,易知D错误，C正确.2 .给出下列四个命题：3 JT一詈是第二象限角；苧是第三象限角；一400。是第四象限角；一315。是第一象限角.其中正确命题的个数为（）A.lB.2C.3D.4答案C3Jr解析中一号是第三象限角，从而错.中专=+小则号是第三象限角，从而正确.中一400。=-360。-40。，从而正确.中一315。=-360。+45。，从而正确.3 .已知点P（Sin（30。），cos（-30。）在角。的终边上,且J-2,0）,则角。的大小为（）c2兀2C4A.一§B.gCl5DLg-答案D解析因为P（Sin（30。），cos（30。），所以坐），所以。是第二象限角，又。-2,0）,所以9=一舞.4 .（多选）在平面直角坐标系0y中，角顶点在原点O,以X轴的非负半轴为始边，终边经过点P（l,m）（m<0）t则下列各式的值恒大于。的是（）AJnB.cosasintanaC.sinacosaD.sin+cosa答案AB解析由题意知SinaV0,cosa>0,tana<0,则普>0,故A正确；IanCtcosasina>0,故B正确；SinacosaVO,故C错误；Sina+cos。的符号不确定，故D错误，故选AB.5 .若角。的终边在直线y=-x上，则角的取值集合为()a"a=k2ZBjQa=Z2+与，ZZC.a=k一*Az(1D.ia=k,女WZj答案D解析角的取值集合为卜a=(2+1)一彳，zZUa=2ntZf=a=c-fZrZp6.(多选)下列结论中正确的是()4A.若角a的终边过点P(3k,4&)(AW0),则sin=gB.若是第一象限角，贝改为第一或第三象限角C.若扇形的周长为6,半径为2,则其圆心角的大小为1弧度JTD.若OVaV则sina<tana答案BCD4解析当Z=-I时，P(-3,4),则Sina=一予故A错误；V2<a<2hc÷,Z,H<<+,Z,工、为第一或第三象限角,故B正确；/64Ial=；=下一=1,故C正确；兀sictV0<<z,sin<tan«<=>sina<-;=COSaVl,故D正确.，COSCK7 .九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一方田中有如下两个问题：三三今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？三四又有宛田，下周九十九步，径五十一步.问为田几何？翻译为：三三现有扇形田，弧长30步，直径长16步.问这块田面积是多少？三四又有一扇形田，弧长99步，直径长51步.问这块田面积是多少？则下列说法正确的是（）A.问题三三中扇形的面积为240平方步8 .问题三四中扇形的面积为引2平方步C.问题三三中扇形的面积为60平方步D.问题三四中扇形的面积为审平方步答案B解析依题意，问题三三中扇形的面积为gr=£x30x¥=120平方步，问题三四中扇形的面积为夕Tx99X争平方步.8 .在平面直角坐标系中，ABfCDfEF,命是圆x2+y2=l上的四段弧（如图），点尸在其中一段上，角。以QX为始边，OP为终边.若tanQ<cosvsin,则P所在的圆弧是（）A.ABB.CDC.EFD.GH答案C解析由题意知，四段弧是单位圆上的第一、二、三象限的弧，在愈上，tan>sin,不满足;在Cf）上，tana>sin,不满足；在卧上，sina>0,cosa<0,tana<0,且COSa>tan0,满足；在G上，tan>O,sin<0,cos<0,不满足.9 .若=l560。，角。与终边相同，且一360。VoV360。，贝J。=.答案120。或一240。解析因为=l560o=4×360°+120°,所以与终边相同的角为360。XhH20。，ZZ,令Z=-I或k=0可得夕=一240。或=120°.10 .-2022。角是第象限角，与一2022。角终边相同的最小正角是,最大负角是.答案二1380-222°解析,.-2022o=-6×360°+138°,一2022。角的终边与138。角的终边相同.一2022。角是第二象限角.与一2022。角终边相同的最小正角是138°.又138。-360。=一222。，故与一2022。角终边相同的最大负角是一222。.11 .(2022南京质检)已知角«的顶点与坐标原点重合,始边与X轴的非负半轴重合，点(2,-1)在终边上，则cos2=.3答案5解析由题意可得Sina=/1J,=一坐，所以CoS2a=l-2sin%=l-看22+(-1)255=3=亍12 .在平面直角坐标系Jlo)，中，点尸在角行的终边上，且IOPI=2,则点尸的坐标为.答案(-1,3)fx=OPcosy,J=T解析设点P的坐标为,y),由三角函数定义得V0所以屋kOPsin尊尸山，所以点尸的坐标为(一1,3).B级能力提升13 .(多选)(2021山东新高考模拟)如图,A,8是单位圆上的两个质点，工A点8的坐标为(1,0),NBoA=60。，质点A以1rad/s的角速度按:逆时针方向在单位圆上运动，质点8以2rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，贝J()A.经过IS后，NBQA的弧度数为W+3B.经过当S后，扇形A08的弧长为患C.经过脑后，扇形A08的面积为与OJD.经过等S后，A,8在单位圆上第一次相遇答案ABD解析经过IS后，质点A运动Irad,质点B运动2rad,此时NBQA的弧度数Tr为§+3,故A正确；经过强S后，Z0=+5+2×=?,故扇形AoB的弧长为普XI=雪，故141乙J1乙1乙1乙1乙B正确；经过聿s后，NAOB=聿+1+2X事=知,故扇形AOB的面积为S=；X普X/=含故C不正确；TrSlr设经过fs后，At8在单位圆上第一次相遇，则*l+2)+1=2,解得f=g(s),故D正确.14.在直角坐标系Xoy中，角的始边为X轴的非负半轴，顶点为坐标原点0,已知角的终边/与单位圆交于点A(0.6,血)，将/绕原点逆时针旋转方与单位圆4父于点3(x,y),若tana=-Q,则x=()A.0.6B.0.8C.-0.6D.-0.8答案B4/77解析已知角a的终边/与单位圆交于点A(0.6,机)，且tana=-y则tan=4=-y解得机=一0.8,所以A(0.6,0.8)在第四象限，角。为第四象限角.由I绕原点逆时针旋转，与单位圆交于点B(-,y),可知点B(,y)在第一象限,则N8Or=+,所以COSN8。X=COSe+a)=sin,即j=一1J-解得X=0.8.15.(2022.上海徐汇区诊断)已知0,设点尸七十多1)是角Q终边上一点，当I两最小时，cosa的值是()ATB坐C.¥DL岁答案D因为I励I最小值为小，所以此时，点P(2,1),225cos。=忑=52jr16 .一扇形的圆心角为年，则此扇形的面积与其内切圆的面积的比值为.答案中解析设扇形半径为R,内切圆半径为心Tr贝 J(R-)sin1=r,即 R=(I+¥).又S产如网=；义专义/?2=资=7+：小兀尸所以Slfl 7+43r2 917 .如图，在平面直角坐标系Xoy中，一单位圆的圆心的初始位置在(O,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在X轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时，乃的坐标为.(te12答案(2sin2,1cos2)解析如图所示，设滚动后的圆的圆心为C,Xfe0(12过点C作X轴的垂线，垂足为A,过点P作X线交于点B.因为圆心移动的距离为2,所以劣弧a=2,Tr即圆心角NPcA=2,则NPCB=2-,所以IPBI=Sin(2一m=COS2,ICBl=CoS(2外=Sin2,XX轴的垂线与过点C所作y轴的垂xxp=2-ICBI=2sin2,yp=l+PB=l-cos2,xxOP=(2-sin2,1cos2).