第4章专题6对数函数以及图像与性质（二）.docx

对数函数的图像与性质(二)考向一对数函数的定义域1、函数/(幻=/式¥-2)+!一的定义域是()x-3A.(2,3)B.(3,-h)C.2,3)D(3,+)D.(2,3)D(3,+)【分析】令对数的真数X-2大于0；分母x-3非0,列出不等式组，求出函数的定义域.【解答】解：要使函数有意义，需满足k-2>0x-30解得X>2且X*3故选：。.2、设集合4=划一3殁必13),集合8为函数y=g(x-l)的定义域，则AU5=()A.(1,2)B.-1,+)C.(1,2D.1,2)【分析】先化简集合A,8再根据并集的定义即可求出.【解答解：A=x-3½-l3=-l,2,y=g(x-l)的定义域为xX>1=(1,-K)o),.A1B=-l,+oo),故选：B.【点评】本题考查集合的并集的求法，是基础题.解题时要认真审题.3、函数y=Jog05(44-3)的定义域是()3A. (, +oo)3B.(晨 1C. (0, 1D. 1， +)【分析】首先由根式有意义得到log。,s(4-3).0,然后求解对数不等式得到原函数的定义域.【解答】解:要使原函数有意义,则IogO；(4x-3).0,3即0v4x-3U,解得?<,l.4所以原函数的定义域为(之.4故选：B.4、对数表达式logen(5-x)中的的取值范围是,【分析】直接根据底数与真数满足的条件求解即可.【解答】解：.对数式的底数需大于O不等于1，真数大于0;故需：(5u1nf"uC=X的取值范围是：(1，2)52.5).x-l>0-llx>B,x2故答案为：(1,2)U(2,5).【点评】本题主要考查对数表达式中底数与真数所满足的条件，属于基础题.5、函数y=°：23x+4的定义域是_w(x÷l)【分析】根据函数的定义为使函数的解析式有意义的自变量X取值范围，我们可以构造关于自变量X的不等式，解不等式即可得到答案.【解答】解：要使函数y=与一3：+4有意义,则需满足n(x÷l)-X2-3x÷4.Ox+1>O且。?(X+1)O解之得，-lv,1且XH0,.函数y=-f-3*+4的定义域是(_,0)U(0,1.(x+1)故答案是(T,0)U(0,1.【点评】本题考查了函数定义域的求解，做这类题目的关键是找对自变量的限制条件.6、若f(x)=IOg“(-V+iog,/)对任意Xe(Os)恒有意义，则实数的范围.【分析】根据对数函数成立的条件进行讨论，分别进行求解即可.【解答】解：要使函数f(x)有意义，则当意X£(0，)时，-2+og,>o恒成立,即IogaX>Xi.<0,此时不成立.若 > 1时，当X 若OVaV1,当x恒有意义,时，作出函数y=log“和y=V的图象,11111当X=-时，Iogij-=-»得a，=一2242即aJ16若/(X)=IOga(-炉+bg“x)对任意则a<»16即实数。的范围是,).16故答案为：_!_/).16考向二复合函数的单调性1、已知函数/(幻=1/13+1)/-工-7在2,3上是增函数，则实数的取值范围是()A.(，+oo)B.(§,1)D弓，+)C.(2,-hx>)D.(1,1)J2,+)【分析】先考虑函数收)=3+1)/7-7,在2,3上是增函数，再利用复合函数的单调性得出a>,求解即可.(a+l)22-2-7>0【解答】解：设函数f(x)=3+l)Y-X-7,a>0,.(x)=(+l)x2-x-7,在2,3上是增函数，函数/(x)=IOg,3+1*-X_7在2,3上是增函数,a>"(tz+l)22-2-7>05a>-,4故选：A.考向三复合函数的单调性应用(最值与值域，解不等式)1、已知函数f(x)=2ogx的值域为-1,1,则函数/(X)的定义域是()2A.,2B.-1,1C.g,2D.(-co,41Ul应,÷0°)【分析】由题意可得-啜必。gX1,化简可得!领F2.再由>0,求得X得范围，即可得22到函数/(X)的定义域.【解答】解：.已知函数*)=2ogrx的值域为-1,1,-I三ilog1x1,即25log1)l三log1XIog11,22222化简可得_轰g2.2再由x>0可得*融2,故函数/(x)的定义域为#，2,故选：A.【点评】本题主要考查对数函数的定义域和值域，关键在于等价转化，属于中档题.2、己知函数/&)=图加-2x+)的值域为R,则实数。的取值范围为()B. O, 1A.-1,1C.(-oo,-l)kJ(l,+oo)D.(l,+oo)【分析】结合对数函数的值域为R，等价转化为(O,E)是g(x)值域的子集，利用一元二次函数的性质进行转化求解即可.【解答】解：函数/(幻=g(02-2x+)的值域为R,设g*)=-2x+,则g*)能取边所有的正数，即(O,")是g*)值域的子集，当=0时，以刈=-2%的值域为/?,满足条件.当“0时，要使(O,)是g*)值域的子集，则满足卜UiC得卜/Ja=4-4.0-l三h1此时0<4,l,综上所述，怎上1,故选：B.【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质，利用对数函数的值域为R,等价转化为(O,-bx)是g(x)值域的子集是解决本题的关键.3、若定义运算=),则函数/(log,(l+x)区log,(I-X)的值域是()b,a<bA.(TI)B.0,1)C.0,+oo)D.0,1【分析】/(a*b)即取a、Z?的较大者，求出函数/(1。82(1+#*1082(1-幻)的表达式为分段函数，在每一段上求函数的值域，再取并集即可.【解答】解：由题意得/S")=1'"/,y=/(log2(l+x)*Iog2(I-X),log2(l+x),0,x<l=Vlog2(l-x),-lVXCO当QX<1时函数为y=l0g2(l+x),因为y=l0g2(l+x)在0,1)为增函数，所以y0,I),当一l<xv时函数为y=l0g2(l-x),因为y=k)g2。-X)在(TQ)为减函数，所以yw(0,l),由以上可得yw0,1),所以函数/(log2(l+x)*Iog2(I-X)的值域为0,1),故选：B.4、若函数y=log2-0r+l)有最小值，则的取值范围是.【分析】先根据复合函数的单调性确定函数g(x)=V-0r+l的单调性，进而分和0v1<l两种情况讨论：当时，考虑对数函数的图象与性质得到V-级+1的函数值恒为正；当0<<l时，ZS="-4<0恒成立，f一奴+1没有最大值，从而不能使得函数y=log0r+l)有最小值.最后取这两种情形的并集即可.【解答】解：令g(x)=x2-0r+l(r>0,0Hl),当”>l时，y=Iog,%在Zr上单调递增，,.要使y=IOga(X2-©+D有最小值，必须g()mtt>0,.<O,解得-2<<2/.1<a<2；当O<<l时，gw=/一ar+没有最大值，从而不能使得函数y=log2一r+i)有最小值，不符合题意.综上所述：l<<2;故答案为：<a<2.5y=(log1x)2-IoglX2+5在2蒙Ik4时的值域为.44【分析】利用换元法，令=log1x由2熟k4可得-啜)-,由题意可得72j=(log1-21og1x+5=(r-l)2+4,又因为函数在-1,-1单调递减，从而可求函数442的值域.【解答】解：令f=Iog产,4因为说上4,所以-1驯2则y=(Iogl%)2-2Iog1x+5=-l)2+4,44又因为函数在-1,-；单调递减，当，=-"!是函数有最小值"，当，=T时函数有最大值8：24故答案为：yI上图，8)4【点评】本题主要考查了对数的运算性质，换元法的应用，二次函数性质的应用及函数的单调性的应用，属于基础知识的简单综合试题.6、若函数0)=log,(x+0-4),(a>0且l)的值域为R,则实数4的取值范围是.X【分析】函数/(x)=lOgaeX+3-4),(a>0且。工1)的值域为R,则其真数可取实数中每一个正数，将这一关系转化为不等式求解参数的范围即可.【解答】解：函数f(x)=k)g“。+色-4),(>0且的值域为其真数可取每一个正X数，即X44>0不恒成立，即存在x?使得X4”4,又。>0且1lXX故可求x+的最小值，令其小于等于4X.X+.2yfaX2«,4,解得里,4,故实数”的取值范围是(0,1)D(1,4故应填(0,I)D(1,47、已知/(x)=og2(x-l)+JW-2x+4,(x2-x+1)-2<0,则X的取值范围为()A.(一8，0)51，+)B(!,0)U(L笥鸟上强罟鸟D.(1,0)51，2)22【分析】求出函数的定义域，再求出单调性，利用单调性求解不等式即可得结论.【解答】解：由题意可得八，解得x>l,x-2x+4.0即函数fW的定义域为(1,”)，因为在区间(1,M)上，函数y=log2(x-l)单调递增，函数y=J-2+4单调递增,所以函数/(幻=/意2(工-1)+J2-2x+4在区间(1,+00)上单调递增，又/(2)=2,所以/(2-+l)-2v,即为/(/一+l)<f(2),所以IVfT+iv2,解得IZ立<<o或<<l1立.22故选：B.8、已知函数f(x)=log2(4r+1)-x,则使得/(3x-1)+1<Iog25成立的x的取值范围()A.(-co,g)B.(0,§)2C.(-,+co)D.(一8,O)D(1,+oo)【分析】先利用函数奇偶性的定义得到/(X)是偶函数，/(X)是偶函数，令2'=,(r>0),则以。=10瓦+；),利用对勾函数的单调性结合复合函数的单调性得到当x<0时，/*)为减函数；当x.0时，AX)为增函数，原不等式等价于/(3x-l)<f(1),所以3x-l<l,从而得出X的取值范围.4v+1I【解答】解:/(x)=Iog2(4x+1)-X=Iog2(4x+1)-Iog22x=Iog2-=log2(2x+-),/(-x)=log2(2-r+2)=(x),.(x)是偶函数，令2,(r>0),.,g(0=log2(r+y),当O<fvl时,g为减函数;当(.1时,g为增函数,则当x<0时，/(x)为减函数；当x.0时，为增函数,/(3x-l)+l<log25,.,.f(3x-1)<Iog25-1,/(3x-l)</(1),.J3x-l<l,.".1<3x1<1,解得：0<<-,3故选：B.考向四复合函数的奇偶性1、已知，(元)是奇函数，且当x<0时，/(幻=一产)若/(1112)=8,则a=【答案】-3【解析】由题意知/(X)是奇函数，且当x<°时，/(x)=-e'又因为In2(0,1)/(In2)=8所以一e二-8,两边取以e为底数的对数，得一1ln2=31n2,所以一=3,即=-3.2、若函数f(x)=ln(2+ax+l)是偶函数,则实数a的值为,【答案】0【解析】函数f(x)=ln(2+ax+l)是偶函数，所以f(x)=f(-),即1n(x2+ax+l)=In(x2-ax+l),所以ax=-ax在函数的定义域中总成立,所以a=0.3、已知f(x)是定义在R上的偶函数，且其,0时，/U)=Iogi(-X+1).2(1)求/(X)的解析式；(2)若/(-l)<T,求实数的取值范围.【分析】(1)根据函数奇偶性的性质即可求函数八幻的解析式；(2)若3-l)<T,将不等式进行转化即可求实数。的取值范围【解答】解：(1)令x>0,则TVO,/(-)=logl(x+l)=(x).x>0Bf,/(x)=log(x+l),/ogl(x+l)(x>0)则/(X)=J3蚀(+i),o)、2(2) (III)f。)=Iogl(T+1)在(-co,0上为增函数,/.f(x)在(0,+)上为减函数-f(a-l)<-l=f(1)AIa-Il>1,.4>2或<0.【点评】本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键4、已知f(x)是定义在R上的偶函数，且用,O时，/(x)=log1(-+l)求f(3)+/(T);(2)求函数f(x)的解析式；(3)若/(-l)<T,求实数4的取值范围.【分析】(1)利用函数奇偶性的性质即可求/(3)+/(T)(2)根据函数奇偶性的性质即可求函数f(x)的解析式；(3)若/(-l)<T,将不等式进行转化即可求实数”的取值范围.【解答】解：(/)/Cr)是定义在R上的偶函数，用,0时，/(x)=Iog,(-x+1),2.*./(3)+/(-1)=/(-3)+/(-1)=log,4+log,2=-2-1=-3;()令x>0,则-XVO,f(-x)=logl(x+l)=f(x).x>0时，/(x)=log(+l),7og(-x+l),冗,0则/(x)=2log,(x+l),x>0u2(HI)/(x)=Iog1(-x+1)(-oo,0上为增函数,./(x)在(0,+)上为减函数-f(a-l)<-l=f(1).-Jtz11>1>.a>2或。v【点评】本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键.5、己知函数/(x)=lOga(I+x)-k>g"(l-x),其中0>0且l.(I)求函数/(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(3)若f()=2,求使/(t)>O成立的K的集合.【分析】(1)根据函数解析式有意义的条件即可求/(x)的定义域；(2)根据函数的奇偶性的定义即可判断了(幻的奇偶性；(3)根据/(令=2,可得：«=2,根据对数函数的性质即可求使/(外>0的X的解集.【解答】解：(1)要使函数有意义，则+U-X>0解得T<x<l,即函数fM的定义域为(-1,1)；(2)/(-x)=log(-X+1)-Iogfl(1+Jf)=-logrt(x+l)-logrt(l-x)=-f(x)，.(x)是奇函数.(3)若/($=2，33.log”(l+-)-logrt(l-)=Iogrt4=2,解得：a=2,f(x)=Iog2(1+x)-Iog2(1-:),若/(%)>0,则l0g2(x+l)>logz(l-x),.x+l>l-x>0>解得O<x<l,故不等式的解集为(0,1).【点评】本题主要考查对数函数的定义域，奇偶性和不等式的求解，要求熟练对数函数的图象和性质.6、已知函数/(幻=log上经的图象关于原点对称，其中。为常数.2XT(1)求的值；(2)当XW(I,+o。)时，/(x)+log：(X-I)V恒成立，求实数，的取值范围；(3)若关于X的方程/(x)=log(x+幻在2,3上有解,求3的取值范围.【分析】(1)函数/(x)=log上竺的图象关于原点对称，可得/(X)+/(-x)=0,整理得21Iogi匕竺+log匕竺二0恒成立，即可得出答案2X-IQT-I(2)x(l,+)时，/(*)+log：(x-l)切恒成立，求出Xt(I,÷oo)时，f(x)+log：(X-I)的最大值，即可解出，的取值范围I-I-V(3)由于/(x)=lOgl-在2,3上是增函数，g(3=由g(x+女)在2,3上是减函数,2x-2可得出，两函数图象在所给区间上有交点，由此可通过比较两函数在区间端点处的函数值的大小得出(?”叱)，解之即可得出答案1/(3).(3)【解答】解：(1)函数/(x)=log三竺的图象关于原点对称，2XTc,、d、CHrll-ax.l+r_./(x)+f(-x)=0,BPIogl+log1=0,2x-1LX-I,A-ax1+r八-ax+ax.0外入.Iogl(X)=0，X=1恒成立，2x-X-Ix-l-X-IBP1-2x2=1-x2,即(/-l)2=0恒成立，所以/1=0,解得=±l,又=l时，f(x)=Iog1-竺无意义，故=-l;2x-1+X(2) Xe(I,+00)时，/*)+1。81(工-1)<加恒成立，BPIog1+Iog1(x-l)<m,22x-i2，logjx+l)<m在(l,+oo)恒成立，由于y=og(x+)是减函数，故当=1，函数取到最大值-1，n.-1,即实数的取值范围是(3) /(x)=log上土在2,3上是增函数,g(x)=log1(x+)½2,3上是减函数,/T2，只需要即可保证关于X的方程/(x)=log(x+幻在2,3上有解，下解此不等17(3).g3式组.代入函数解析式得IOga IogI (2 +k)log 2 JOglG+ k)，解得-啜去1,即当-啜比1时关于X的方程f(x)=Iog1(x+2)在2,3上有解.【点评】本题考查函数恒成立问题的解法及对数函数性质的综合运用，属于有一定难度的题,本题考查了数形结合的思想，转化化归的思想，属于灵活运用知识的好题考向五分段函数的综合性质Iog2x,x>01、设函数F(X)="og；(r),x<0，若3)>(-),则实数。的取值范围是a>0a<0【解析】由题意/()>/(-)=*1g26?>log1,或log】(-)>Iog2(-a)22a>0=1或，。 一a<01n4>l或一lv0<0,则实数的取值范围是(一1,0)d(1,M);<-Cl2、函数/(x)=|log,x在区间。，句上的值域为0,1,则的最小值为.【分析】先画出函数图象，再数形结合得到。、的范围，最后计算b-的最小值即可【解答】解：函数/(x)=110g3l的图象如图而/(=/=1由图可知1,bl,317/?的最小值为4=,b=l时，即一=33故答案为23考向六复合函数性质的综合应用1、已知函数/(x)="(f-0r+4)(1)若/(x)定义域为R,求实数。的取值范围；(2)当=4时，解不等式f(4).x.【分析】(I)转化为判别式vO,即可；(2)a=4,将不等式f().x转化为¢)2-4+4.2,再结合定义域即可得到X范围.【解答】解：(1)由已知得ar+4>0解集为R,/.=a2-16<0,解得Tvav4;(2)=4时，/(x)=ln(x2-4x+4),f(ex)=ln(ex)2-4ex+4.xt(d)2-4/+4.ex,(ev)2-5et+4.0,令/=f,贝疗一51+4.O,乙.4或,1,.,.X.加4或K,O,又2-4+4>0,.x2,综上，X的解集为x,O或工.加4且xw2.【点评】本题考查了恒成立问题，不等式的解法.主要考查分析和解决问题的能力，解题时注意定义域优先，本题属于基础题.2、已知函数/(1)=108：，-20¥+3).(1)若f(x)的定义域为R,求4的取值范围；(2)若/(-1)=一3,求/")单调区间；(3)是否存在实数。，使/(X)在(-,2)上为增函数？若存在，求出。的范围？若不存在,说明理由.【分析】(1)f一为+3>0恒成立，<()(2)求出转化为二次函数问题(3)根据符合函数单调性求解.【解答】解：(1)函数/(x)=log(-20x+3)的定义域为R,2.2-20v+3>0恒成立，<0,42-12<0即。的取值范围-Gvv5(2)-(-l)=-3,.a=2f(x)=logJ(x2-4x+3).2-4x+3>0,XVI或x>3设m(x)=2-4x+3,对称轴x=2,.在(YO,1)上为减函数，在(3,+oo)上为增函数根据符合函数单调性规律可判断：/(x)在(-oo,l)上为增函数，在(3,+)上为减函数(3)函数/(x)=Iog工(炉-20r+3).设心)=X2-lax÷3,可知在(YOM)上为减函数，在(÷x)上为增函数/在(-oo,2)上为增函数7.2且4-4<+3.0,4.2且，不可能成立.4不存在实数。，使/(X)在(-00,2)上为增函数.【点评】本题综合考察了函数的性质，结合不等式求解，对函数理解的比较透彻才能做这道题.3、设函数/(x)=log3(9x)bg3(3x)，且:羽k9.(I)求/(3)的值；(II)÷=log3x,将/(用表示成以，为自变量的函数；并由此，求函数/(x)的最大值与最小值及与之对应的X的值.【分析】(I)根据函数八处的解析式求得/(3)的值.Q1(II)令r=log,则一2和2,且/(%)=+3r+2,令g«)=r+3+2=(r+5)2一W,利用二次函数的性质求得g(t)的最值以及此时对应的X的值.【解答】解：(I)，函数*)=l0g3(9x)Joga(3x),且:独k9,故/(3)=Iog327log39=3×2=6.(II)令E=IOg3X,则一2领2,fif(x)=(Iog3X+2)(1+Iog3x)=?+3r+2,31令gQ)=r+3/+2=+)2-,故当时，函数g«)取得最小值为，此时求得=33=走；249当，=2时，函数g()取得最大值为12,此时求得x=9【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，二次函数的性质，属于中档题.4、gA=xJ=Iog2(X-I),B=yy=-x1+2x-2tR(1)求集合A,B;(2)若集合C=x2x+<0,且满足BUC=。，求实数”的取值范围.【分析】(1)集合A即函数y=l0g2(x-l)定义域，8即y=-f+2x-2,xA的值域.(2)先求出集合C,由BUC=C可得BqC,1,解不等式得到实数。的取值范围.【解答】解：(I)A=xy=Iog2(X-I)J=(x-1)>0=(1,+oo),f=yy=-x2+2x-2,x/?|=y|y=-(x-1)2-1,xR=(-,-1.(2)集合C=x|2x+a<0=xx<-§,BJC=Cf.C,.->-l.a<2,.实数。的取值范围(yo,2).2【点评】本题考查函数的定义域、值域的求法，利用集合间的关系求参数的取值范围.5、己知函数/(x)=log2(x+l)-2.(1)若/a)>0,求X的取值范围.(2)若xt(-l,3,求f(x)的值域.【分析】(1)通过/(x)>0,列出不等式即可求X的取值范围.(2)x(-l,3,求出+l的范围，利用对数函数的单调性求解求/(x)的值域.【解答】解：(1)函数f(1=log2(x+l)-2,/(x)>0,BPlog2(x+l)-2>0,.*.log2(x+l)>2，.x>3.(2)x(-l,3,x+le(0,4,.log2(x+l)(o,2,.,.Iog2(+1)-2(-,0.所以/(x)的值域为(YO,O.【点评】本题考查函数的应用，对数不等式的解法，考查计算能力.6、已知函数/(X)=Iog2”的定义域是2,16.设g(x)=(2x)-"(x)f.(1)求函数g(x)的解析式及定义域；(2)求函数g(x)的最值.【分析】第一步得到解析式和X的范围后注意整理；第二步换元时要注意新元的范围，为下面的函数求值域做好基础.2飙162瓢16【解答】解：(1)由题意可得S(X)=Iog2(Ix)-Iog2x且进一步得：g(x)=1+l0g2XTog；x，且定义域为【2,8,(2)令f=log2r,则，1,3,h(t)=-Z2+/+1,"在【1,3】递减./?的值域为(3),h(1),即1-5,IL.当x=8时，g(x)有最小值-5,当x=2时，g(x)有最大值1.【点评】此题考查了求函数解析式的基础方法，确定定义域和换元需注意的地方，并综合考查了二次函数求最值，综合性较强，难度不大.7、已知R,函数/(x)=l0g2d+4)X(1)当=-5时，解关于X的不等式/a)>0;(2)设。>0,若对任意，eg,1,函数/(x)在区间/，r+l上的最大值与最小值的差都不超过1,求实数。的取值范围.【分析】(1)将的值代入f(X)得到关于X的不等式，解出即可；(2)根据条件得到/-/。+1),1,恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可.【解答】解：(1)=-5时，/(x)=log,(1-5),X令/(x)>0,即!-5>l,0<x<-,X6故不等式的解集是(0,；(2)函数/(x)在区间上，r+l上单调递减,由题意得/-Q+n,BRIog2(-+c)-Iog2(+a)”1»口门1c,1口n121""tBR-+CLty2(+ci)9Bpa.；=,-t1r+1tr+1r(r+l)设1一f=r,贝Il喷水,=-»2r(+l)(l-r)(2-r)r2-3r+2当r=0时,-Z=O，r2-3r÷211_2.实数0的取值范围是，孑【点评】本题主要考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键.综合性较强，难度较大.