等差数列的性质总结.docx

等差裁到1.等差数列的定义：aj%=d（d为常数）（2）;2 .等差数列通项公式：an=ai+（n-）d=dn+a-d（n,首项：q,公差:d,末项：“推广：4=+（n-n）d.从而cl=a,1a,n；n-m3 .等差中项（1）如果。，A,8成等差数列，那么4叫做。与的等差中项.即：A=±!女或2A=+Z?2等差中项：数列%是等差数列=2=anA+11+1（n2）<=>2an+i=an+an24 .等差数列的前n项和公式：C（4+凡）1）fd2Z1八42nSn=na+-d=y-+（01d）n=An2÷Bn（其中A、B是常数，所以当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数2+1时，%+是项数为2n+l的等差数列的中间项S2n+1=（2+1）（；+生向）=（2+1”,用（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5 .等差数列的判定方法（1）定义法：若%-a”-=d或-a,=d（常数N*）o%是等差数列.（2）等差中项：数歹IJ%是等差数列=2an=anA+arl+l（2）<=>2an+l=all+afl+2.数列凡是等差数列O勺=如+b（其中是常数）。（4）数列/是等差数列OS"=A+B*（其中A、B是常数）。6 .等差数列的证明方法定义法：若%-%=d或%+1%="（常数N*）o4是等差数列.7 .提醒：（D等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、d、n、”及S”，其中4、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）设项技巧：一般可设通项a”=a+（n-）d奇数个数成等差，可设为，a-2d,a-d,a,a+d,a+2d（公差为d）；偶数个数成等差，可设为，a3d,ad,a+d,a+3d,（注意；公差为2d）8 .等差数列的性质：（1）当公差dw时，等差数列的通项公式/=4+（"-l）d=加+4-4是关于的一次函数，且斜率为公差d：前和SI=T）J=n2+（a1-g）n是关于n的二次函数且常数项为0.（2）若公差d>0,则为递增等差数列，若公差d<0,则为递减等差数列，若公差。=0,则为常数列。（3）当加+=+4时，则有。,+。=。/,+4,特别地，当m+=2p时，则有注：aan=a2+an,l=a3+an,2=-f(4)若应、为等差数列，则%1+印,44+4d都为等差数列(5)若/是等差数列，则S”,S2“S.,S3"-S2”，也成等差数列(6)数列伍为等差数列,每隔k(kN")项取出一项t+2A,/+3H)仍为等差数列(7)设数列f,是等差数列，d为公差，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，S”是前n项的和1.当项数为偶数2时，Cn(a,+al,)S奇=4+%+%+=z=叫n(a2+a2ll)S偶=%+%+%+=4+1S偶-S奇=4+1=nan-an)S奇二S二4S偶na,l+%+12、当项数为奇数2九+1时,则，2”+1=S奇+S偶=(2+1)n+,S奇=(+l)4fl+S奇n+«=>n=S奇一S偶=4"S偶=nantlS偶n(其中4“是项数为2n+l的等差数列的中间项).A(8)、4的前和分别为4、Bn,且*=/(),则务=殍N=瓢L=/(2f(2n-l)B2rt.,(9)等差数列凡的前n项和Sm=n,前m项和Sn=m,则前m+n项和S,=-(w+)(10)求S”的最值法一：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性"N"。法二：(1)“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和即当q>0,d<0,由<”一可得5达到最大值时的值.10(2)“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。即当qv,d>0,由<n可得Szt达到最小值时的值.K.或求%中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前项和的图像是过原点的二次函数，故取离二次函数对称轴最近的整数时，5取最大值(或最小值)。若SP=Sq则其对称轴为二庄92注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于4和，/的方程；巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量.