2023-2024学年人教A版选择性必修第三册 7-3-2离散型随机变量的方差 学案.docx

7.3.2离散型随机变量的方差素养目标定方向'三三三B三三三三iM三三三三三三三三三三i三三三三三三三三三三三三三r/学习目标1 .通过具体实例，理解离散型随机变量的方差及标准差的概念.2 .能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3 .掌握方差的性质以及方差的求法，会利用公式求方差.核心素养1 .通过离散型随机变量的方差的学习，培养数学抽象素养.2 .借助方差解决实际问题，提升数学运算素养."必街知识探新知××ZZ知识点离散型随机变量的方差、标准差(D定义：如果离散型随机变量才的分布列如表所示：XXXiXnPPiPiPo因为才的均直为£0),所以。D=(Xi-E(X)2Pi-(至一£(力)+(也一£（八）)Z=E(M-£(切)Z,称为随机变量才的方差，有时也记作：gr),并称瓦方为随机变量4/=1的标准差.记作：（八）.(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的离散程度，方差和标准差越小，随机变量的取值越翼生方差与标准差越大，随机变量的取值越Ob散(3)性质：D(aX-3r6)=aM.想一想：离散型随机变量的方差和样本方差之间有何关系？提示：(D离散型随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，不随样本的变化而变化；(2)样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的.练一练：1 .思考辨析(正确的画“J”，错误的画“X”)(D离散型随机变量f的期望E(C反映了取值的概率的平均值.(×)(2)离散型随机变量f的方差(C反映了S取值的平均水平.(×)(3)离散型随机变量f的方差(C反映了£取值的波动水平.()(4)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定.(×)2 .已知随机变量f()=1，则(2f+l)=_.解析(2f+1)=40(<)=4×=1.3 .若随机变量I服从两点分布，且在一次试验中事件A发生的概率P=O.5,则E（八）和(乃分别为(C).0.25；0.5B.0.5；0.75C.0.5；0.25D.1；0.75解析£(»=0.5,P（八）=0.5×(1-0.5)=0.25.关健能力攻重难&题I型探I究题型一定义法求离散型随机变量的方差典例1袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上号的有个S=1,2,3,4).现从袋中任取一球，随机变量X表示所取球的标号.求才的分布列、均值和方差.分析已知标数字的有个，即标数字1的有1个、标数字2的有2个，标数字3的有3个，标数字4的有4个，从而可以明确随机变量力的取值及各个取值对应的概率，进而写出*的分布列、求出I的均值，即可求得才的方差.解析由题意知，随机变量力的所有可能取值有0,1,2,3,4,且尸Cr=O)=第=1P(X乙U乙、1'21341=D=而，HX=2)=疝=TP(=3)=-,P(X=4)工才的分布列为01234P121201To32015"（八）=0xJ+lXJ+2xJ+3X京+4XJ=L5./UIUZUOM=(0-1.5)2×÷(1-1.5)2白+(2-1.5)2×+(3-1.5)2×+(41.5)2×=ZZUIUNUO2.75.规律方法利用定义法求离散型随机变量的方差和标准差的步骤(1)明确随机变量的所有取值，并理解随机变量每一个取值的意义.(2)求出随机变量取各个值的概率.(3)列出随机变量的分布列.(4)利用均值公式Es=Mpl+在0+mr+*“”，求出随机变量J的均值E(X).(5)利用方差公式U)=E(M-Ea)2r,求出随机变量X的方差(心./=1(6)利用方差与标准差的关系，求出随机变量的标准差OQ)=师I1°对点训练编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是,求£(f)和(9.解析f的所有可能取值为0,1,3,f=0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编21号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，则P(=0)=->=-；C；1f=I表示三位同学只有I位同学坐对了，则尸(§=D=斌=5；f=3表示三位学生全坐对了，即对号入座，则P(=3)=.所以的分布列为：O13P13_226双C=OX/M+3X卜;(f)=Jx(0-l)2+×(1-1)2+×(S-1)2=1.040题型二利用方差的性质求随机变量的方差(标准差)典例2已知随机变量了的分布列如下：-1O1P2I4a(D求随机变量系的分布列；(2)计算X的方差；(3)若随机变量r=41+3,求Y的均值和方差.解析(D由分布列的性质知T+a=l,故&="，从而y的分布列为A201P1434方法一：由知a=,所以才的均值E(X)=(-1)×+O×+1X=-.故力的方差Q)=(T+3卜异(0+1卜%(1+?2乂=_方法二：由知a=；,所以1的均值为E(X)=(-1)×+0×+l×=-,1Q3Y的均值E(I)=0×-÷lX-=-,所以才的方差D(X)=M-(M)2=-(-j2=(3)因为随机变量V=4X+3,所以双打=4£(»+3=2,P(W=42P（八）=11.规律方法(1)方差的计算需要一定的运算能力,在随机变量系的均值比较容易计算的情况下，运用关系式IM=M-(£0)2不失为一种比较实用的方法.(2)若变量间存在F=a什ZaO)的关系，应注意均值与方差性质的应用，即利用£(3»+6)=aEX)+b,D(aX+=才(乃求解.10对点训练若随机变量才的分布列为X01P0.2m已知随机变量y=a>+6(dR,a>0)且£(D=IO,P(I)=4,则a与的值为(C).3,10>。=3B.a=3,b10C.a=5,Z?=6D.a=6,b=5解析因为0.2+加=1,所以卬=0.8,所以£0)=0X0.2+1X0.8=0.8,M=0.2X0.8=0.16.因为N=aX+从a,bR),£(9=10,O(H=4,所以af()+Z?=0.8a+%=10,才(a=0.16才=4,解得a=5,Z>=6.题型三均值与方差的综合应用典例3A,8两个投资项目的利润率分别为随机变量”和法,根据市场分析，X和小的分布列分别为5%10%P0.80.2Xl2%8%12%P0.20.50.3(1)在人力两个项目上各投资100万元，K和人分别表示投资项目力和所获得的利润,求方差(K),D(Y机(2)将X(OWA100)万元投资力项目，(IOo才)万元投资8项目，FJ)表示投资力项目所得利润的方差与投资8项目所得利润的方差的和.求Ax)的最小值，并指出X为何值时，f(x)取得最小值.(注：DGX+物=MM)D(Y1)=(5-6)2×0.8÷(10-6)2×0.2=4.£(%)=2X0.2+8X0.5+12X0.3=8,P(K)=(2-8)2×O.2+(8-8)2×O.5+(12-8)2×0.3=12.1(4r-600x+30 000)=(x-75)2+3,所以当x=75时，FJ)取得最小值3.规律方法利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤(D比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高.(2)在均值相等的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定.(3)下结论.依据方差的几何意义做出结论.对点训练以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中的得分情况为:%(甲得分)012P0.20.50.3%(乙得分)012P0.30.30.4欲从甲、乙两运动员中选一人参加奥运会，你认为选派哪位运动员参加较好？解析由题意,E(Xi)=0×0.2+l×0.5+2×0.3=1.1,£(龙)=0X0.3÷l×0.3+2X0.4=1.1,所以£(用)=£(%).P()=(0-l.l) 4 4(a=npp) =×-×=辨析首先这不是五次独立重复试验，从5把钥匙中取一把试开房门，若不能打开，则 除去这把后，第二次试开就只有4把钥匙了.其次X=k的含义是前(一1)把钥匙没有打开房门， 而第把钥匙打开了房门.正解设/为打开此门所需的试开次数，则X的可能取值为1、2、3、4、5.才=才表示前A1次没打开此门，第次才打开了此门.×0.2÷(l-l.D2XO.5+(2-1.l)2X0.3=0.49,Z)U)=(O-1.l)2×0.3+(1-1.l)2×0.3+(2-1.l)2×0.4=0.69,所以(%)<(%),所以甲运动员的技术更稳定，应选派甲参加.易I错1警|示要准确理解随机变量取值的含义典例4某人有5把钥匙，其中只有一把能打开某一扇门，今任取一把试开，不能打开者除去，求打开此门所需试开次数X的均值和方差.错解由题意知X=I,2,3,4,5,因为试哪一把钥匙的概率都是h45,3:E=np=5×7=1,O1r1PU=1)=-,P(X=2)=T=j,C211=3)=dr?.d11尸(44)=过-5=中/、Cl1尸(>=5)=7-1=-,故随机变量X的概率分布列为:X12345P1515_51515)=l×7+2×+3×+4×+5×7=3.55555D(X)=(1-3)2×+(2-3)2×+(3-3)2×+(4-3)2×+(5-3)2×OOODD=×(22+l2+02+l2+22)=2.课堂检刑固双基1.已知随机变量满足?(1=l)=0.3,Rf=2)=0.7,则£(C和(f)的值分别为(D).0.6和0.7B.1.7和0.09C.0.3和0.7D.1.7和0.21解析£(f)=1X0.3+2X0.7=1.7fD()=(1-1.7)2×0.3+(2-1.7)2×0.7=0.21.1,4发生，2.设一随机试验的结果只有/和力且Pa)=勿，令随机变量f=八，44则Io,力不发生，的方差(C等于(D)A.mB.2(l-m)C.m(m1)D.m(l-)解析随机变量f服从两点分布，E(C=m,所以(9=(1-42-m+(0而,(I一面z=m-11i).3.随机变量才表示某运动员在2次比赛中的得分，其分布列如表，若0水*Ea)=3,则D(X)=(D)O24Pa323a解析因为£0)=3,所以由随机变量X的分布列得：0Xa+2xg+4X一J=3,解得11175所以(a=(O-3)2×-+(2-3)2×-+(4-3)2Xtt=-.4.已知随机变量力的分布列如下表，且£0)=2,则P=W，Z>(2-3)=4.一2XO2aP_6P3解析由题意得,S+"+g=L10=2由期望公式得ES=OX:+2X<+aX4=2,OZo*a=3.：.M=(0-2)2×+(2-2)24+(3-2)2×=l.故/)(2X-3)=22×(»=4.