2023-2024学年人教A版选择性必修第三册 6-2-3组合6-2-4组合数 学案.docx

6.2.3 组合6.2.4 组合数素养目标定方向应学习目标1 .通过实例，理解组合、组合数的概念及组合和排列之间的区别与联系.2 .能利用计数原理推导组合数公式，并熟练掌握组合数公式及组合数的性质，能运用组合数的性质化简、计算、证明.3 .能运用排列数公式、组合数公式和计数原理解决一些简单的应用问题，提高数学应用能力和分析问题、解决问题的能力.幽亥心素养1 .通过学习组合与组合数的概念，提升数学抽象素养.2 .借助组合数公式及组合数的性质进行运算，培养数学运算素养.A必街知识探新知知识点1组合的定义从个不同元素中取出加（2血个元素作为一组，叫做从个不同元素中取出m个元素的一个组合.想一想：组合概念中的两个要点是什么？提示：（D取出的元素是不同的.（2） “只取不排”，即取出的勿个元素与顺序无关，无序性是组合的特征性质.练一练：（多选）下列选项是组合问题的是（BD）.从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学去参加两个社区的人口普查，有多少种不同的选法B.从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学，有多少种不同的选法C, 3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法D, 3本相同的书分给4名同学，每人最多得一本，有多少种分配方法解析A、C与顺序有关，是排列问题，B、D与顺序无关，是组合问题.知识点2组合数的概念、公式、性质组合数定义从个不同元素中取出M危）个元素的所有不同组合的个数,称为从个不同元素中取出/个元素的组合数表示法C(组合数公式乘积式ZA：(一1)(一2)(7?-m+l)CLA1-必-组合数公式阶乘式C：=m!(nni)!性质a一11z*m-pS4,rzlVfl-5，Up+1-备注，m£N*且卬7,规定：C=l想一想：组合数的两个性质在计算组合数时有何作用？提示：第一个性质中，若粉奈通常不直接计算C：,而改为计算CT",这样可以减少计算量;第二个性质是根据需要将一个组合数拆解成两个组合数或者把两个组合数合成一个组合数，在解题中要注意灵活运用.练一练：1.思考辨析(正确的画“J”，错误的画“X”)(D从田，拉，&三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是C.(X)(2)从a,byc,d中选取2个合成一组，其中a,b与b,a是同一个组合.()(3)“从3个不同元素中取出2个合成一组”，叫做“从3个不同元素中取出2个的组合数”.(X)(4)组合和排列一样，都与“顺序”有关(X)2 .从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，有§4种不同的选法.解析只需从9名学生中选出3名即可，从而有区Y=84(种)选法.OZ13 .(I)Cl=15；(2)Cla=J8.解析(I)C=q2=15.(2)以=18.®关键能力攻重雄®题型探究题型一组合的概念典例1下列问题不是组合问题的是(D)A.从甲、乙、丙、丁四位老师中选取两位去参加学习交流会，有多少种选法？B.平面上有2016个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C.集合(8,&,，&含有三个元素的子集有多少个？D.从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？分析区分某一问题是组合问题还是排列问题，关键是看取出的元素是否有顺序，有顺序就是排列问题，无顺序就是组合问题.解析组合问题与顺序无关，排列问题与顺序有关，D选项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱，乙参加独舞”与“乙参加独唱，甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，选D.规律方法判断一个问题是不是组合问题的方法技巧(D区分排列与组合的关犍是看结果是否与元素的顺序有关，与顺序有关即为排列问题，与顺序无关为组合问题.(2)写组合时，一般先将元素按一定的顺序排好，然后按照“顺序后移法”或“树形图法”逐个将各个组合表示出来.10对点训练已知力，B,C,D,£五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合.解析方法一：可按4"4Oj一做一切的顺序写出，即工所有组合为力比；ABD,ABE,ACDiACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE.方法二：画出树形图，如图所示.，所有组合为力比；ABD,ABE,ACDyACE,ADEiBCD,BCE,BDE,CDE.题型二组合数公式的应用M曲gcTr"S+D（+2）S+l00）-r主一如/n、典例2（I）式子-可表示为（D）1 UvA.Ai+iooB.Ci100C.100Cl+looD.lOlCl4.oo(2)(多选)下列关于排列数与组合数的等式中，正确的是(ABD).(+1)AO=A":B.成:=C三;Vp=，分析根据题目的特点，选择适当的组合数公式进行求值或证明.解析(1)分式的分母是100!,分子是IOl个连续自然数的乘积，最大的为+100,最小的为Ih(÷1)S+2)(+100)= 101 (+1) (+2)(+100)(2)(+1)A=(+1)(-1)(/7-h÷1)=AZtL故A正确；cv=£-CI=51)!=(/LI)!l一加(一曲!'LE-G/-1)!(/L加！'历“j-/(/D!(一/)!n.(-1)!.m(z»-1)!nm)!m"”所以C=M3,故B正确：C：=%=半,故C错误；A、ml-产=-n(/?1)(一加=(一1)(一勿+D=AM故D正确.故nf11nm选ABD.规律方法巧用组合数公式解题涉及具体数字的可以直接用”(Li，*23-'五1)进行计算.(2)涉及字母的可以用阶乘式B=M(：1/)！计算.(3)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C中的勿M,"N*,且Nm确定勿，的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意.对点训练(1)计算:CCC;；e=求(X解析原式=区+CooX啜滔=56+4950=5006.OAZ1Zl(2)原方程可化为ml(5一勿)!勿！(6/»)!7×(7m)!ml5»6!=10×7!unm(5zff)!m(6/»)(5/»)!即一京收寄7X/！(7一勿)(6/»)(5/»)!10×7×6×5!6加(7勿)(6血-6-三60即启一23m+42=0,解得勿=2或21.而0Wr5,m=2.,Cf=Ci=28.题型三组合数性质的应用典例3(1)计算C：+C；+C<M的值为(C)A.Cz020B.cl020c.d02i-D.cl>o-若Ci=Cr3,则X的值为2或4；求证：c2=+2cr,÷cr2.分析恰当选择组合数的性质进行求值、证明与解不等式.解析(I)C+C；+CdFd020=C：+C：+C；+C：+C020-C：=Cs÷CsHFCa020-1=Ci02。+C0201=Cl021-1.由CL=Cr3得2>-l=x+3或2/-1+>+3=8,解得X=4或x=2.(3)由组合数的性质C3=C+CL可知,右边=(或+以T)+(%T+C丁2)=C>1+C%=02=左边,右边=左边，所以原式成立.规律方法性质“仁=C的意义及作用.反映的是组合数的对称性，即从/不我一同的元素中取m个元素的一个组合与剩下的(一加个元素的组合相对应画D一当W时，计算c:通常转化为计算Cr1J对点训练戊；(2)解方程3CM=5A>4.解析(1)原式=20+6+6)=2(或+0=2(6+瞪9=32.(2)由排列数和组合数公式，原方程可化为(>一3)!L(D!3°(a-7)!4!(l6)!'则一1=-即为(*-3)J6)=40.4:4-6jf-9-r22=0,解之可得X=Il或x=-2.经检验知*=11是原方程的根，力=-2是原方程的增根.工方程的根为A-=IL易错警不混淆“排列”与“组合”的概念致错典例4某单位需派人同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法共有2派0种(用数字作答).错解先从10人中选出4人，共有C；D种不同选法.再从选出的4人中选出2人参加会议甲有种选法，剩下的2人参加会议乙、丙有弓种选法，所以共有Cb氟=1260(种).辨析计数问题中，首先要分清楚是排列问题还是组合问题，即看取出的对象是“合成一组”还是“排成一列”，不能将二者混淆.若将排列问题误认为是组合问题，会导致遗漏计数,反之，会导致重复计数.正解一先从10人中选出2人参加会议甲，再从余下8人中选出1人参加会议乙，最后从剩下的7人中选出1人参加会议丙.根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有CIodCi=2520(种).正解二先从10人中选出2人参加会议甲，再从余下8人中选出2人分别参加会议乙、丙.根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有C；就=2520（种）.课堂松刈固双基1 .（多选）下列说法正确的是（ABD）A.从a,包，&三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为B.从1,3,5,7中任取两个数相乘可得心个积C.d=5×4×3=60D.弓猊=C；024=20242 .若G=C,则X的值为（C）B.D.4C.3或4解析由组合数性质知x=4或+4=7,即 X= 4 或 X= 3.3 .A5-d=(A)A. 9B.12D.C.15QXO解析由题意得后一点=4X3与'=12-3=9.4 .C="+C露3=31解析由题意及组合数公式知42nl7n, +1323, N解得/7=6.所以原式=C：；+C：；=C：2+C：9=12+19=31.