2023-2024学年人教A版选择性必修第三册 习题课排列数的应用 学案.docx

习题课排列数的应用素养目标定方向励学习目标1 .进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解题方法.2 .能应用排列知识解决简单的实际问题.心素养通过排列知识解决实际问题，提升逻辑推理和数学运算的素养.必箭知识探新知0知识点求解排列问题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法练一练：1.用1,2,3,4,5这5个数字组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的数的个数为24.（用数字作答）解析由题意知，能被5整除的四位数末位必为5,只有1种方法，其他位的数字从剩余的四个数中任选三个全排列，解=4X3X2=24.2.3名男生和3名女生排成一排，男生不相邻的排法有144种.解析3名女生先排好，有川种排法，再让3个男生去插空，有A：种方法，故共有A；-Aj=144种.关键能力攻重整题型探究题型一数字排列问题4典例1用O,1,2,3,4,5这六个数字组成无重史数字的整数，求满足下列条件的数各有多少个？（D六位奇数；（2）个位数字不是5的六位数；解析（1）（方法一：位置分析法）从个位入手：个位排奇数，即从1,3,5中选1个有A；种方法，首位数从排除。及个位数余下的4个数字中选1个有A：种方法，余下的数字可在其他位置全排列有A；种方法，由分步乘法计数原理可得，共有A；XA；XA：=288个不同的六位奇数.（方法二：位置分析法）从首位入手：对首位排列是奇数还是非0偶数分两类进行.第1类，首位排奇数，有居种方法，个位排奇数有种方法，其余位置全排列有A；种方法,则共有AJXAJXA：=144个.第2类，首位排非O偶数的六位奇数有电XA；XA；=144个.根据分类加法计数原理可得，共有144+144=288个不同的六位奇数.（方法三：元素分析法）0不在两端有A；种排法.从1,3,5中选1个排在个位，剩下的4个数字全排列.故所排六位奇数共有A!×Ai×At=288个.（方法四：排除法）从整体上排除：6个数字的全排列数有忠个.0,2,4在个位上的排列数有3居个，而1,3,5在个位上且O在首位上的排列数有3A；个.故符合条件的六位数有就一3电一3片=288个.（方法五：排除法）从局部上排除：1在个位上的排列数有点个，1在个位且O在首位的排列数有A；个，故1在个位上的六位数有（电一A；）个.同理3,5分别在个位时对应的六位数个数均为A；-A；,故符合条件的六位数有3（A1-A：）=288个.（2）（方法一：排除法）0在首位和5在个位时均不符合题意，故符合题意的六位数共有您一2A+A1=5O4个.（方法二：位置分析法）个位不排5时，首位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此，分两类：第1类，当个位排0时，有整个；第2类，当个位不排0时，有A；XA；XA：个.故符合题意的六位数共有A+A1×A1×A>5O4个.规律方法解数字排列问题常见的解题方法1. “两优先排法”：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充.如“0”不排“首位”.2. “分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理计算，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当：二是分类过程要做到不重不漏.3. “排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数.4. “位置分析法”：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好.1°对点训练用0,1,2,3,4五个数字，可组成多少个五位数？可组成多少个无重复数字的五位数？解析(1)各个数位上数字允许重复，故采用分步乘法计数原理，4×5×5×5×5=2500(个).(2)考虑特殊位置“万位”，从1、2、3、4中任选一个填入万位，共有4种填法，其余四个位置，4个数字全排列为A：,故共有A；A：=96个；另外，也考虑特殊元素“0”，先排0,从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入，A；种填法，然后将其余4个数字在剩余四个位置上全排列为A；种，故共有列A：=96(个).题型二有特殊元素或特殊位置的排列问题典例24名男同学和3名女同学站成一排照相，计算下列情况各有多少种不同的站法？(1)男生甲必须站在两端；(2)女生乙不站在两端，且女生丙不站在正中间；(3)男生甲不站在排头，女生乙不站在排尾.解析(1)完成这件事可分成两步.第一步：先排甲，两端有2个位置可供选择，有2种站法；第二步：再排其余6人，这相当于从6个不同元素中取出6个元素的排列问题，有种站法.根据分步乘法计数原理，共有2XA：=1440种不同的站法.(2)以女生乙是否站在正中间位置为标准分成两类.第一类：女生乙站在正中间，则女生丙可站在余下的任意位置，因此其余6人(含女生丙)的站法即相当于从6个不同元素中取出6个元素的排列问题，有种方法.第二类：女生乙不站在正中间，完成这件事可分为三步.第一步：女生乙有4个位置可选择，有4种站法：第二步：女生丙不能站在正中间(可站在两端)，有5个位置可选择，有5种站法；第三步：其余5人可自由选择，有电种站法.根据两个计数原理得，不同的站法共有M+4X5XAl=3120种.（3）（方法一）将排法分成两类，一类是甲站在排尾，其余6人全排列，有A：种站法；另一类是甲既不站在排尾也不站在排头，有AI种站法，乙不站在排尾而站在余下的5个位置中的一个，有AI种站法，其余人全排列，于是这一类有AlAl收种站法.由分类加法计数原理知，共有At+AsAsAt=3720种不同的站法.（方法二：排除法）先不考虑甲、乙的特殊站法，有用种站法，再排除甲站排头的站法数A：与乙站在排尾的站法数熄此时甲站排头且乙站排尾的情况被排除了两次，其站法数为点，则需再加上.故所有不同的站法数为用一2屋+屋=3720种.规律方法解决含有特殊元素或特殊位置的排列问题的基本思路（D特殊元素优先安排位置，特殊位置优先安排元素.（2）排除法（即间接求解），先不考虑限制条件计数，再逐一排除不符合要求的方法数即得.（3）重视对问题做分类或分步处理，从而将复杂问题简单化.1°对点训练从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一排，求解下列问题.（D甲不在首位的排法有多少种？（2）甲既不在首位，又不在末位的排法有多少种？（3）甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种？（4）甲不在首位，乙不在末位的排法有多少种？解析（1）方法一（把元素作为研究对象）：第一类：不含甲，此时只需从甲以外的其他6个元素中取出5个放在5个位置上，有麻种排法.第二类：含有甲，甲不在首位，先从4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6个元素中选4个排在没有甲的位置上，有器种排法.根据分步乘法计数原理，含有甲时共有4X葡种排法.由分类加法计数原理，共有A1+4XA：=2160（种）排法.方法二（把位置作为研究对象）：第一步：从甲以外的6个元素中选1个排在首位，有A；种排法；第二步：从占据首位以外的6个元素中选4个排在除首位以外的其他4个位置上，有种排法.由分步乘法计数原理，可得共有Abk=2160（种）排法.方法三（间接法）：即先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉.不考虑甲在首位的要求，总的可能情况有A；种，甲在首位的情况有解种，所以符合要求的排法有九一人=2160（种）.(2)(把位置作为研究对象，先满足特殊位置)第一步：从甲以外的6个元素中选2个排在首末两个位置上，有2种方法；第二步：从未排上的5个元素中选3个排在中间3个位置上，有A附排法;根据分步乘法计数原理，有底-N=I800(种)排法.(3)(把位置作为研究对象)第一步：从甲、乙以外的5个元素中选2个排在首末两个位置，有片种排法；第二步：从未排上的5个元素中选出3个排在中间3个位置上，有解种排法.根据分步乘法计数原理，共有城解=1200(种)排法.(4)(间接法)总的可能情况有后种，减去甲在首位的苗种，再减去乙在末位的A：种.注意到甲在首位同时乙在末位的情况被减去了两次，所以还需补回一次种，所以共有电一2A：+A；=1860(种)排法.总结因为只需从7名同学中选出5名同学参与排列，所以应对有特殊限制的元素是否被选出参与排列分类考虑，然后再利用排列的知识进行解题.题型三元素“相邻”与“不相邻”问题典例33名男生，4名女生，这7个人站成一排，在下列情况下，各有多少种不同的站法.(D男、女各站在一起；(2)男生必须排在一起；(3)男生不能排在一起；(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻.分析解决“相邻”问题用“捆绑法”，解决“不相邻”问题用“插空法”.解析(D(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有种排法,女生必须站在一起，即把4名女生进行全排列，有A；种排法，全体男生、女生各看作一个对象全排列有贬种排法，由分步乘法计数原理知共有M=288种排法.(2)(捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，故有A孤=720种不同的排法.(3)(不相邻问题插空法)先排女生有A；种排法,把3名男生安排在4名女生隔成的5个空中，有偿种排法，故有A；居=1440种不同的排法.(4)先排男生有种排法.让女生插空，有A孰;=144种不同的排法.规律方法处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则.元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列.元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素.对点训练（1）6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有（C）A.720B.360C.240D.120（2）要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法？解析（1）因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人全排列共有A排法，但甲、乙两人之间有是种排法，由分步乘法计数原理可知：共有底贬=240种不同的排法，选C（2）先将6个歌唱节目排好，其不同的排法为您种，这6个歌唱节目的空隙及两端共七个位置中再排4个舞蹈节目有A；种排法，由分步乘法计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为A；A：=604800（种）.题型四排列中的定序问题典例47人站成一排.（I）甲、乙、丙三人排列顺序一定时，有§4Q种不同排法:（2）甲在乙的左边，有2_520一种不同的排法.解析（D方法一：7人的所有排列方法有种，其中甲、乙、丙的排序有后种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法共有*=840（种）.3方法二：（插空法）7人站定7个位置，只要把其余4人排好，剩下的3个空位，甲、乙、丙就按他们的顺序去站，只有一种站法，故共有t=7X6X5><4=840（种）不同排法.（2）甲在乙的左边的7人排列数与甲在乙的右边的7人排列数相等，而7人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有1；=2520种.规律方法解决定序问题的两种方法在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的（不一定相邻）.解决这类问题的基本方法有两种：（D整体法，即若有5+）个元素排成一列，其中/个元素之间的先后顺序确定不变，先将这GH）个元素排成一列，有AM：种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他个元素的位置不动，把这加个元素交换顺序，有A：种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有产种满足条件的不同排法.(2)插空法，即加个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这加个元素，只有一种排法，然后把剩下的个元素分类或分步插入由以上R个元素形成的空中.Io对点训练身高各不相同的五名男生与身高各不相同的五名女生站成一排，要求从左到右男生与女生分别按从高到矮的顺序排列，有多少种不同的站法？解析先不考虑元素的有序性，将10人全排列，有A；种方法.由于5男、5女的全排列各有星种方法，且5男与5女分别是有序的，故满足条件的不同1°站法共有忒=252种.易错警示重复计数与遗漏计数致误典例56个人站成前、中、后三排，每排2人，则不同的排法有720种.错解一分步完成，第一步，安排第一排的2人，有解种排法；第二步，安排中同一排的2人，有A；种排法；第三步，余下的2人排在最后一排.由分步乘法计数原理可知，不同排法共有届A>360(W).错解二分步完成，第一步，安排第一排的2人，有就种排法；第二步，安排中间一排的2人，有“种排法；第三步，安排余下的2人，有心种排法.因为排在第一排、中间一排和最后一排不同，所以三排再排列，有房种排法.由分步乘法计数原理可知，不同排法有熊AbAl：=4320(种).错解一中错在第三步，余下的2人还要去排最后一排的2个不同位置.错解二中错在前三步已经分清了三排，不需要再排列了.辨析排列问题的重点是弄清“按怎样的顺序排列”，结合问题情境找出排序的依据，在求出答案后要还原实际情境，看是否把每一种情况都考虑进去了，切忌重更或遗漏.正解6个人站在前、中、后三排，每排2人，分3步完成，不同的排法有欣屈收=720种.A课堂检刈同双基<1.6人站成一排，甲、乙、丙三人必须站在一起的排列种数为(D)B. 72.18C.36D.144解析6人站成一排，甲、乙、丙三人必须站在一起的排列种数为A；A；=144.2 .用1,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为（八）A.36B.30C.40D.60解析奇数的个位数字为1,3或5,所以个位数字的排法有A;种，十位数字和百位数字的排法种数有后种,故奇数有A；A；=3X4X3=36（个）.3 .将5辆列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，6列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有工§_种.解析当b列车停在第一轨道上时，有A：种不同的停放方法；当b列车不停在第一轨道上时，第一轨道上有Ai种列车可以停放，第二轨道上也有A；种列车可以停放，其他轨道上有用种不同的停放方法，故共有A；+A；Ai用=78（种）不同的停放方法.4 .从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三种不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有雉种.解析可选用间接法解决：先求出从7人中选出3人的方法数，再求出从4名男生中选出3人的方法数，两者相减即得结果，博一用=186（种）.