2023-2024学年人教A版选择性必修第三册 7-5正态分布 学案.docx

7.5正态分布素养目标定方向学习目标1 .通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.2 .通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征.3 .了解正态分布的均值、方差及其含义.4 .会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率.核心素养1 .通过学习正态分布，培养数学抽象和直观想象素养.2 .借助“3。”原则解题，提升数学运算素养.、必街知识探新知知识点1正态分布(D正态密度函数，刻画随机误差的函数F(X)=一T=C-W，x三R其中W3 ，。0为参数.对任意的XWR,F(x)>0,它的图象在X轴的上方，X轴和曲线之间的区域为面积_，我们称F(X)为正态密度函数.(2)正态密度曲线：正态密度函数的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.(3)正态分布：定义：若随机变量¥的概率密度函数为八%),则称随机变量X服从正态分布；OXMab记作：XMu,2);特例：当A=0,。=1时，称随机变量/服从标准正态一分布.想一想：若JV(",d),怎样表示上图中阴影8的面积？提示：阴影/!的面积尸(收x)；阴影3的面积尸(aWAA)练一练：(多选)以下关于正态密度曲线的说法中正确的有(BCD)A.曲线都在X轴的上方，左右两侧与X轴无限接近，最终可与X轴相交B.曲线关于直线X=对称C.曲线呈现“中间高，两边低”的钟形形状D.曲线与X轴之间的面积为1解析正态密度曲线与X轴永远不相交，A错，其余均正确.知识点2正态曲线的特点(1)曲线是单峰的，它关于直线X=对称.(2)曲线在X=P处达到峰值(3)当1/1无限增大时，曲线无限接近于dL.想一想：，c;取值不同对正态曲线有何影响？提示：当参数。取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿X轴平移;当取定值时，当。较小时，峰值高，曲线“瘦小”，表示随机变量X的分布比较集中，当。较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X分布比较分散.练一练：解析因为正态曲线函数F(X)关于直线x=l对称，故选D.知识点3XN5M)在区间/+AojV)上的概率(1)概率：P-Jju÷)0.6827,P(-2。W启+2。)=0.9545,P(-3。W收+3)0.9973.(2)3夕原则：通常认为服从正态分布A(，d)的随机变量X只取-3。，+3。中的值.练一练：关于正态分布做，),下列说法正确的是(D)A.随机变量落在区间长度为3。的区间之外是一个小概率事件B.随机变量落在区间长度为6。的区间之外是一个小概率事件C.随机变量落在(一3%3。)之外是一个小概率事件D.随机变量落在-3。，+3。之外是一个小概率事件解析因为小一3。乏收+3C)0.9973,所以尸或水-3。)=I-P(一3。W收+3。)七1一0.9973=0.0027.所以随机变量落在-3。，+3之外是一个小概率事件.关键能力攻重旗Ga题I型I探1究题型一正态分布和正态曲线的性质1(xu)9典例1(D已知三个正态密度函数,=(x£R，/=l,2,3)的图象aN2乙。乙i如图所示，则下列结论正确的是(D)B. 小=2<3,1<2=3C. 小>2=3,1=2<3D. 1<“2=3,。1=。2<03(2)如图是一条正态曲线，试根据该图象写出相应正态密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差.解析(2)从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x=20对称，最大值是2V所以幺=20,IF="，yj22y丸解得*7=2.1 (V20)于是正态密度函数解析式是f)=-7=o-.,XWR2y4总体随机变量的期望是=20,方差是2=(2)2=2.规律方法由正态曲线确定均值与方差的方法正态分布的两个重要参数是与。2,刻画了随机变量取值的平均水平，/是衡量随机变量总体波动大小的特征数，因此我们由正态曲线的形状与位置可比较参数的大小，反之利用参数之间的大小关系，也可以确定正态曲线的形状与位置.对称轴是直线X=R,。的值由X=时的函数值计算，即用F(X)=:方蔡求得。的值.对点训练(1)设hM(n,a)，h"(2,犬)，这两个正态曲线如图所示.下列结论中正确的是(C)C.对任意正数3P(XWt)2P(YWt)D.对任意正数才，P(Xt)P(Yt)(2)(多选)已知hM ，2), f() =- )2y2 2。2,xR,则(BCD )A.曲线y=FCO与X轴围成的几何图形的面积小于1B.函数F(X)的图象关于直线X=对称C.尸0>一。)=2。(/+。)+。(尼+。)1) .函数尸(x)=P(尤>*)在R上单调递减解析(1)由正态曲线关于直线X=,对称，且。越小，曲线越“瘦高”，。越大，曲线越“矮胖”，知小<2,1<2,故A、B均不正确；由尸CrWa)为X轴、直线x=a及Aa时的曲线所围成的面积知C正确，D错误.故选C.(2)曲线y=人力与X轴用成的几何图形的面积等于1,所以A不正确；f(x+)=-=-1e3;万，f(uj=f=eJ石，所以f(x+)=f(一x),所以函数f(x)的图象关于乙。乙y211o乙G乙直线X=对称，所以选项B正确；因为P(U-<X<)=尸(+。)，所以PX>一。)=?(-<X<+。)÷,(V+。)=2P(J<X<+。)+尸(后+。)，所以选项C正确；由正态曲线可知，函数凡X)=Pa>x)随X的增大而减小，是减函数，所以选项D正确.题型二利用正态分布的对称性求概率典例2设人加(10,1).(D求证：P(1<K2)=P(18<AK19)；若尸QW2)=a,求P(I(X/18).解析(1)证明："M10,1),正态曲线OnJX)关于直线X=Io对称，而区间(1,2)和(18,19)关于直线X=Io对称，即尸(1<«2)=尸(18<*19).(2)VP(2)+P(2T10)+A10<K18)+A18)=1,=10,P(2)8)=a,H2<J10)=P(10<<18),.2a+2P(10<M8)=l,1 一2a1即尸(IoqU8)=2a,规律方法正态总体在某个区间内取值概率的求解策略(D充分利用正态曲线对称性和曲线与X轴之间面积为1.(2)熟记尸(一。<启+。)，户(一2。<启+2。)，P(一3。<启+3。)的值.(3)注意概率值的求解转化：/(/a)=l-尸(冷疝；尸(/c=尸(冷+而；若b<，则三)=f-y"+”特别提醒：正态曲线，并非都关于y轴对称，只有标准正态分布曲线才关于y轴对称.10对点训练(1)已知随机变量S服从正态分布M0,d),若尸(f>2)=0.023,则尸(一2<<<2)=(C)A.0.477B.0.628C.0.954D.0.977(2)设随机变量f服从正态分布M2,2)f若P(f>c)=a,则狄f>4一。)等于(B)A.aB.1aC. 2aD.l-2a解析(l)P(-2<<2)=1-2A02)=1-2X0.023=0.954.(2)对称轴X=2,P(f>4-c)=l-P(f>c)=l-a题型三实际问题中的正态分布典例3(D数学考试试卷满分是150分，设在一次考试中，某班学生的分数才近似服从正态分布，且均值为110,标准差为20.求这个班在这次数学考试中分数在90分以上的概率；(2)某厂生产的圆柱形零件的外径尺寸/4,0.25).质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7cm,试问该厂生产的这批零件是否合格？分析(3)判断某批产品是否合格，主要运用统计中假设检验的基本思想.欲判定这批零件是否合格，关键是看随机抽查的一件产品的外径尺寸是在(一3。，+3。)之内还是在(3。，+3。)之外.解析(1)由题意可知，分数hA110,2()2),/=110,=20,P(信90)=P(4110-20)=0(尼一。)，因为P(XW-)+P(一J+。)+P(冷+。)=2/QW一。)+0.683=1,所以P(启O)=O.1585,所以尸(冷90)=1一尸CrW一。)=1-0.1585=0.8415.(2)由于圆柱形零件的外径尺寸hV(4,0.25),由正态分布的特征可知，才在区间(43XO.5,4+3X0.5)(即(2.5,5.5)之外取值的概率约为0.0027.而5.745,5.5),这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂生产的这批产品是不合格的.规律方法解答正态分布的实际应用题的关注点(D方法：转化法，把普通的区间转化为3。区间，由特殊区间的概率值求出.(2)理论基础：正态曲线的对称性；曲线与X轴之间的面积为1：P(一。W启+)1尸(-2W启+2。)，一3。WXW+3。)的概率值.10对点训练(1)已知某批零件的长度(单位：毫米)服从正态分布MloO,32),从中随机抽取一件，其长度落在区间(103,106)内的概率为(B).4.56%B.13.59%(2)现有1OOO名学生参加数学测试，测试成绩飘满分150分)服从正态分布M100,2),已知120分及以上的人数为160人，那么通过以上信息推测这次数学成绩140分以上者人数约为(B)A.20B.25C.30D.40解析(1)尸(103<*106)=2(+2。)J):他Lq。里2J=。,l359=13.59%.因为成绩1(满分150分)服从正态分布MlO0,2)f又因为120分及以上的人数为160人，所以80分及以下的人数也为160人，所以A80<A<120)一°0°；：；T6O=o68>由此可知，=20,即hM100,2()2),所以60<K140)=0.95,故140分及以上的人数约为1 000-1000X0.95/.、=25(人).课堂检测固双基YZ/I(V/)21.正态曲线函数AX)=用二厂一、2，XWR，其中>0的图象是下图中的(D)解析正态曲线函数的图象关于直线X=>0对称，故选D.2 .若了一2,则才落在(一3.5,-0.5内的概率是(B)A.95.45%B.99.73%D. 0. 27%C.4.55%解析由/一2,知=-2,P(-3.5<I-0.5)=P(-2-3×0.5<A-2÷3×0.5)=0.9973.3 .某物理量的测量结果服从正态分布MIO,d),则下列结论中不正确的是(D).。越小，该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大8 .。越小，该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5C.。越小，该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等D.。越小，该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等解析对于A,。越小，正态分布的图象越瘦长，总体分布越集中在对称轴附近，故A正确.对于B,C,由于正态分布图象的对称轴为=10,显然B,C正确.D显然错误.故选D.4.(2022新高考II)已知随机变量才服从正态分布.M2,2),且尸(2<XW2.5)=0.36,则P(X>2.5)=0.14.解析因为hM2,2)f所以Pa>2)=0.5,所以Pa>2.5)=Pa>2)狄2<辰2.5)=0.5-0.36=0.14.