2024届二轮复习 专项分层特训卷二主观题专练11函数与导数理 作业.docx

函数与导数(11)用+21. 2023-内蒙古呼和浩特二模已知函数A*)=(a+DlnrF+x.X(1)讨论F(x)的单调性；若函数g(x)=F+:证明：当a=0时，f(x)>g(x).2. 2023山西太原三模已知函数f(x)=a-ex.(1)若函数Ax)的图象与直线y=-+l相切，求实数a的值；(2)若函数g(x)=f(x)+-l有且只有一个零点，求实数a的取值范围.3. 2023安徽蚌埠二中模拟预测已知函数f(x)=InX+f-ax,aR.(1)讨论函数F5)的单调性；若v(X1)=f(M)=0,且0小如证明：F(*)一/(均寸一2.4. 2023贵州模拟预测已知函数f(x)=alnx+-(a+2)x(aR).(1)当GO时，讨论F(X)的单调性；(2)若函数f(x)在g,e(e为自然对数的底数)上有零点，求实数a的取值范围.5. 2023全国乙卷(理)已知函数Mx)=d+力In(l+x).X(1)当a=-1时，求曲线y=F(X)在点(1,F(I)处的切线方程；(2)是否存在a,b,使得曲线关于直线x=6对称？若存在，求a,力的值；若不存在，说明理由.(3)若F(X)在(0,+8)上存在极值，求a的取值范围.6. 2023安徽合肥一中模拟预测己知f(x)=2e'-rsinx(1)求FCd在*0,7上的最小值；设"(XCOSX-sinx)=e*0.5/一x1在x0,冗上有两个实根，求必的取值范围.函数与导数(11)1 .解析：(1)由题意可得F(X)的定义域为(O,+),.a+1a+2x+(a+l)x(a+2)f,(at)=-+1=3XXX,-(一-2)(x-1)=当一&一2=1时，即a=3,F(X)在(0,+)单调递增.当一H-2>1时，即a<3,x(0,1)时，f(X)>0,F(X)单调递增；Xe(1,2)时，ft(x)<0,F(X)单调递减；x(a2,÷)时，f(X)>0,F(X)单调递增；当0<一君一21时,即一3<a<一2,XG(0,-a-2)时，fO)>0,F(X)单调递增，XG(-a2,1)时，f(X)<0,F(X)单调递减，XQ(1,+8)时，f()>0,fQx)单调递增，当一a-2W0时，即422,(0,1)时，f,(x)<0,f(才)单调递减，a(1,+)时，f,(X)>0,()单调递增；综上可得：当水一3时，f(x)在(0,1)和(一4-2,+)上单调递增，在(1,一a-2)上单调递减；当a=-3时，(a)在(0,+)上单调递增；当一3水一2时，,(a)在(0,-ci-2)和(1,+)上单调递增，在(一一2,1)上单调递减；当422时，fCy)在(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增.2(2)证明：当a=0时，f()=lnx+-+x,X211要证f(.>g(x),即证InX-I->-一，XeX11V只需证lnx+-÷x>,只需证xlnx+l÷Z>-7,XeeV1X令G(X)=,则G,(x)=÷,eex(0,1)时，G,(B>0,G(X)单调递增,x(1,÷)时，G'(x)<0,G(X)单调递减,：.G(x)UaX=G(1)=-,e令力(X)=JdnX+1+j则力，(X)=InX+l+2x,令(x)=h,()=InX+1+2x,则,(x)=-÷2>0,X(X)在(0,+8)上单调递增.又"(9=配心HT=宁©；存在b(2,"),使得QxJ=0,即InXO+1+2H=0；.x(,施)，(才)<0,h,(彳)<0,h(X)单调递减，ex(照，-),(x)>0,h,(x)>0,h(x)单调递增；e宕b÷l,22h(*)nin=(b)=blnxo÷l+xo=Ab(12o)+1+K=211令F(Q=-Eb+1,则6(x)在(F,-)上单调递减，ee:F8>7(9=4+b即一1 -a+1>TT+1,(e 1) "-220eee；一X；Ab÷l>>即力(x)nin=G(x)max,(0,+)时，h(x)>G(x)恒成立，f()>g(X).2 .解析：(1)F(x)=2ax-e设切点为(的，f(加),f(Ab)旅+1IciX-e=Ab+1则，F(Ai)=-112a吊一e。=-1a=0时，显然不成立，.a0,消去&得(斯一2)(ex°+1)=0,.e/1Ab=2,cl.(2)令g(x)=0,即af+*1e*=0有且只有一个解,当X=O时，显然a/+*1/=0不成立，x0,eY÷1,令力(x)XT-1与力(x)=?有且只有一个交点,/、(er-1)-tlx(-x÷l)(X2)(e*+l).h(X)=1=3当x(-,0)时，h,(X)>0,h(x)单调递增;当x(0,2)时，h,(a)<0,h(X)单调递减;当工£(2,+)时，h,(X)>0,hk单调递增,又当8时，h(x)-0,当->0时，h(x)f+8,e1当x=2时，h(2)=-,当l+8时，h(才)-*÷,如图所示,综上,a的取值范围是(0,3 .解析：(1)显然，函数/U)的定义域为(0,+8),且f(X)W+-=一一；叶1若刘=0,显然f(x)单调递增.若水0,令() =0,有X=a±ya'-4a,a-xa-4aa-才一4a易知一崂一。Ya，当才(0,L之一招时，F(幻o,f()单调递增;a当x÷)时,f八/单调递减若0<a4,则/(X)20,F(X)单调递增,若a4,令/(外=。，有广邛三¾Za易知（0三邛三马乙a乙a当才（0,”玄一位）,（4>o,F（X）单调递增；La当小（L底？山尹）时，尸f单调递减；aa当（纪芈Z士，+）时，fQ）>0,F（X）单调递增.a综上所述，若水0,f（x）的增区间为（0,a-a= lnx-lnx2-a （2xl） -÷24a）,减区间为（匚g三+8）；4aq若0WaW4,f（X）的增区间为（O,+）;若a>4,FJ）的增区间为（。，T三）,（邛三，+8）,Zaa甘心向*,a-ya-4aa+a24ax减区间为'一）（2）证明：由（1）知&>4,且x+x2=l,×X2-（x<x>x<=）fa小方法一：f（小）,（z）=111i-l11A2÷a（1÷2）（小）-a（汨-小）=l11r÷lnar（2汨-1）=21nx1一ax1+Ina+楙，记g（力=21ntaf+lna+其中f（0,南），2Oo12一、G则g'Ct）=-a=O=>f=,显然有=J-<0,taayIaa所以力£（0,-）时，gkt）单调递增，f（,才），gkt）单调递减，g（t）n=ln4lna÷2<-2,故尸（M）-F（M）<2.8方法二：由（1）知X+也=I,XlX2=一，F（Xl）F（*2）-t÷2a13=InM-In也+/a（小+也）（乂必）a（xi-2）一+2=InMIn麴ax】+2=lnxiIn(1Xi)-F2.I-Xi令g(x)=Inx-In(1*)7-÷2(0<X-),Lx11(1x),+x(1-x)*12XXX(1r)2X(1x)2X(1x)"°，由 g (x) =InAIn (I-Ar)-÷2<)=0,证毕.方法三:由(1)知蜀+&=1, x×2= f (x) 一f (小)5+2=InR lnx2a汨+2= In-Xi小一照XiC ，Xi AT1 , 2 = In-FXi Xi1.设力(x)=ln-x÷l,x>0,1 1Y则力'(x)=1=XX当0<水1,h,(X)>0,h(X)单调递增;当x>l,h'(x)<0,h(x)单调递减；故力(x)W力(1)=0,即lnxx-L故尸(汨)f(2)12得证.bji,t.,x./、acz1c、2J(a+2)x+a(2x-a)-1)4.解析：(1)ft(外=+2-(a+2)=,XXX当0<水2,x(0,|)U(1,÷)时，f(X)>0,当x(*1)时，f,(x)<0,则函数F(X)在(*1)上单调递减，在(0,三)和(1,+8)上单调递增；当4=2时，f,(X)20在(0,+)上恒成立，则函数F(*)在(0,+)上单调递增；当眇2,Xe(o,Du(|,÷)时，f(JO>0,当XW(1,p时，ffQ)<0,则函数F(X)在(1,上单调递减，在(0,1)和（I+）上单调递增.综上所述，当0水2时，函数fQx）在（5,1）上单调递减，在（0,-）和（1,+8）上单调递增;当a=2时，函数/（(x-Inx)''当:WKl 时，-l<0, 21nx<2,所以 x+221nx>0, g, (X) <0,当 IWxWe 时，-lO, 21nx2,所以 x+2-21nx>0,所以尸 20,所以g(x)在2，1)上单调递减，在1, e上单调递增. e1 1O -7 z、 e一2e e (e2)e l2eze (e-2) ° e 1 - e 1 , AJ- 1-e2÷e e-1 ,-+1Q (e2)所以 g(X)MX = g (e) =-, g(X)mln = g (1) = L所以实数的取值范围为T,TL.）在（0,+8）上单调递增;当a>2时，函数f(x)在(1,1)上单调递减，在(0,1)和碳+)上单调递增.(2)设力(X)=XInx,力'(X)=I因为5e,令力'(才)<0,则彳£一，Xee1,此时F(X)单调递减；h'(at)>0,则XW(1,e,此时/(*)单调递增，力(>)在X=I时取最小值，故h(x)>(1)=1,所以，此时¥lnx0,F(X)=aw-(a+2)X在e上有零点等价于方程a(xlnx)=x-2xe1t2x1甘，e上有根，即a=Yi在匕e上成立.ex-Inxe2C(2x2)(xlnx)(f2)(1-)91*X令g(X)=,因为g'(X)=7=xlnx(X-InX)5.解析：（1）当a= -1时,()=(；-I)In (1÷),(x1)(x+22InX)则/(X)=-11(l+x)+g-j.±-,所以f'(1)=-ln2,又F(I)=0,所以所求切线方程为y0=ln2(at-1),即xln2+y-ln2=0.（2）假设存在小。，使得曲线p=f（关于直线x=6对称.令g(x)=/(1)=(x+a)In(1+b=(x+a)1片因为曲线y=g(x)关于直线x=8对称,x+12bx+所以g(x)=gQ2bx),艮IJ(x+a)In=(26x+a)In._=-2b-aX乙DXx2bM=-2g-a,a2，In-kp于是I°,得lx-2b1=-2,1U=-亍当a=3,b=-1时，gQx)=(x+)In(1÷-),g(1%)=(-x-J)Irr1X1+111=(af-)InT-T-=(x+-)In=(x÷-)In(1÷-)=g(x),21+2X2X所以曲线y=g(x)关于直线x=一义对称，满足题意.故存在a,b使得曲线y="3关于直线*=8对称，且a=g,Z>=-1.(3) F(彳)=-fn (1 ÷) +(：+&1 af+x (l + x) In (l + x)T+= x (l+x)x÷l In (l + x)(x>0).设方U)=*-In(1+x)，l,/、ax÷2a÷l1ax÷(2a1)xX(况r+2a1)则力(X)=g)干=(叶),=(叶二,当aO时，2<3-K0,当x>O时，h,(X)<0,所以力(X)在(O,+)上单调递减，所以当心>0时，h(x)<h(O)=0,即f(X)<0,所以F(X)在(O,+)上单调递减，无极值，不满足题意.当2；时，2司一120,当x>0时，h,(B>0,所以/?(外在(0,+8)上单调递增，所以当M>0时，h(x)>h(O)=0,即f(x)>0,所以F(X)在(O,+)上单调递增，无极值，不满足题意.119q19当OVaVW时，令力'(*)=0,得X= 2ax>时，h' kx) >0,当0<xV时，h,(>)<0,当2aa所以力(X)在(0,上含)上单调递减，在I+ 8)上单调递增，所以/(1 :力(0)=0,又当X+8时，/)()->+O,所以存在即(-,+8),使得力(Ab)=0,即当0<x<b时，(x)<0,/(*)单调递减，当工>施时，h(x)>0,F(x)单调递增,此时y=f(.x')有极小值点b.综上所述，a的取值范围为(0,1).6.解析：(1)依题意，F(X)=2e'SinX,f4(x)=(2e"一4inx),=2ex-xcosxsinx,记r(x)=f,(x),则产Z(x)=2e'+rsin-2COSA>因为X£0，冗,所以e'21,ysinx2,因此尸(X)222COSX20,所以产(x)即F(x)在0,冗上单调递增，于是F(幻2F(0)=2>0,故函数F(X)在0,口上单调递增，F(X)2F(0)=2,F(X)的最小值为2.(2)g(x)=e'-0.5/一x1m(XCOSX-sinx),g,(X)=e*-0.-m(Arcos-¥-sinx)z=ex-l÷zxsin-x>令力(x)=e'l+z»XSinX-X,(X)=ex-m(sin+cosx)1,当32B时，(x)2e'一1-gxsinx-X,由(1)可知，当XG(0,丸时，eA-,YSinX-l>0,当x(0,冗时，h(外>0.而2(0)=0,，当x0,"时，h(x)20,；g(x)在0,上递增，又g(0)=0,而g(0)=0,当x0,n时，g(X)仅有1个零点，舍去.当成一；时，h,(x)=ev÷zw(sinx÷cosA)1,设(x)=,(x),Hi(才)=ex-m(sin-2CoSx).当W1，”时，(*)>0,所以力'QX)单调递增.当天£0,丁时，G(X)=H,kx),G'(4)=e*力(3SinX+cosx).因为e'>0,一卬(3SinX+xcosx)0,所以G'(X)>0,所以(外单调递增.又(O)=12z<0,H'(x)=e"一R(烈inx2cosx),=-2,因此(X)在0,冗上存在唯一的零点照，且刘(0,y).当x(0,照)时，(幻<0,所以(外单调递减；当*(刖，»)时，(x)>0,所以方'(*)单调递增.又/?'(0)=0,h,(胸)<力'(0)=0,h,(JI)=e"zw1>0,因此"(X)在(0,n上存在唯一的零点且小(的).当x(0,Xi)时，h,(x)<0,所以力QX)单调递减；当*(x,几)时，h'(x)>0,所以h(x)单调递增.又h(0)=0,h(M)</)(0)=0,力(Jl)=en1>0,所以h(*)在(矛，)上存在唯一零点，因此h(x)在0,口上有两个零点.g(x)在(0,M)递减，(*】，h)递增，又g(0)=0,2:.g(Xi)<0,又g(n)=ex-1Z7>0,g(x)在(0,上存在唯一的零点也，且加仁(汨，h).因此g(x)在0,7上有两个零点.综上所述，实数/的取值范围是(-8,-1)