23届模拟试题分类汇编：解三角形（教师版）.docx

2023届优质模拟试题分类汇编(新高考卷)解三角形第一辑试题汇编例1(2023届武汉9月调研)在/BC中，角A5,C所对的边分别为,Ac,且满足acosC+>3tzsinC=b+2c.(1)求角A;(2)。为BC边上一点，DA±BAfRBD=ADC9求COSC.解析：(1)由aa=;二.二'得SinACOSC+JJsinAsinC=sinB+2sinC.由3=-(A+C),SinAsmJ>SinCsi11AcosC+-si11sinC=sin(+C)+2sinC=sincosC+cosAsinC+2sinC所以y3snAsinC=CosAsinC+2sinC>又因为C(0,兀)，所以SinC0,故5Sin-COs4=2.即2sin(A-卜2,X0<A<,所以A=CDb(2)由(1)知：4=勺，所以NeA。=三一彳=Z.在中，SinNZAf>C;在-BAZ)3326sinoBDc中，=sinADB.XSinzTADB=sinzfADC,BD=4CD,代入得：C二».由余弦定理得:sin一2a=Jb2+c2-2hccos=Jlh,所以cosC="+"一二.V3Iab7例2(福建省部分地市2023届高三第一次质量检测)记./BC的内角A,B9。的对边分别为a,btC9且3A8AC+48A8C=CAC8.(1)求LC(2)已知8=3GC=1,求ABC的面积.解析：(1)已知3Z?CCoSA+4<zccosB=HcosC,代入余弦定理，3(b2+c2-a2)-4(a2+c2-b2)=a2+b2-c29化简得：府=/，所以g=2.(2)由正弦定理知2=驾即SinB=2sinC,又6=3C,故cSinCsinB=sin3C=sin(2C+C)=sin2CcosC+cos2CsinC=2sinC(l-sin2C)+(l-2sin2C)sinC=3sinC-4sin3C=2sinC,即3-4sir?C=2,得SinC=，故C=B(C=),此时，B=3C=9b=2c=2AB=2,BC=432662则A8C的面积S,bc=-××y3=o-22例3（福建省泉州市2023届高三毕业班质量检测一）在一ABC中，角A,B9C所对的边分三,.2cosAcos6cosC别是。，b,c.已知一；一=+beabac(1)求4（1）若d=布,求/8C的周长的取值范围.解析：（D2 cos A cos 3 cos C,. 2cos A = Ceos B+hcos C, 由正弦定理得:g,A(O,),2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sinA»又SinA0,所以COSA=所以A=f.b_c_a币(2)由正弦定理得：sinBsinCSinA近，2所以?+c=2sin5+2sinC=2sin8+2sin(B+?=2sin8+sin3+6cosB=2布sin(B+-),所以+ ce(J,2,8g(0，¥),t所以Sin(B+g)(j,l3666612所以周长+"ce(2"36.例4（广东省佛山市2023届高三教学质量检测一）在锐角三角形ABC中，角A,B9。的对边分别为,b,c,C。为CA在CB方向上的投影向量，且满足2csin5=c4(1)求COSC的值;(2)若b=布,a=3ccosB,求.ABC的周长.解析：(1)由C。为CA在CB方向上的投影向量，则t4=bcosC,即2csin5=®cosC,根据正弦定理，2sinCsinB=5sinBcosC,在锐角3A8C中，则sin6>0,即2sinC=5cosC,由Ce(O,gj,则cosCfsiYC=1,整理可得cos?C+(cos?C=I,解2得COSC=y.(2)由a=3ccosB9根据正弦定理，11sinA=3sinCcosB,在ABC中，A-B+C=9贝(sin(B+C)=3sinCcosB,sinBCOSC+cosBSinC=3sinCcosB,sinBCoSC=2sinCcosB,由(1)可知CoSC=；,sinC=-Vl-cos2C=»贝!sinB二百COSB,33由sin?B+cos？4=1,贝!5cos?8+cos?3=1,解得COSB=逅sin8=，,根据正弦定理,66可得名=三，则C=吗6=应，Cl=旦=小，故/8C的周长sinBsinCsinB2CABC=a+b+c=2>3+2,例5(广东省深圳市2023届高三第一次调研)记.ABC的内角ARC的对边分别为a,b,c,已知。+c=2sin(c+).(1)求A；(2)设44的中点为。，若CD=a,且-c=l,求ABC的的面积.解析：(1)由已知得，b+c=>3asinC+acosC>由正弦定理可得，sinB+sinC=>3sinAsinC+sinAcosC,因为A+3+C=,所以SinB=Sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,代入上式，整理得8sAsinC+SinC=GsinAsinC,又因为C(O,),sinC0>所以JsinA-cosA=l,BPsinfA-三l=l又因为A(0,),所以一?<A0<当，OZ0OO所以A-江解得A=?663(2)在AACZ)中，由余弦定理得，CD=b2bcosA.而A=三，CD=a,所以423a2=b2+-,在ABC中，由余弦定理得，a2=b2+c2-bc,由两式消去“，42得3。2=纵?，所以b=多，又b-c=l,解得=3,c=2.所以.ABC的面积C1a3石S=-bcsnA=22例6(广州市2023届高三一模)在ABC中，内角A8,C的对边分别为,b,c,c=2b,2sinA=3sin2C.(1)求SincS(2)若/BC的面积为短，求AB边上的中线8的长.2解析：(1)因为2sinA=3sin2C,所以2sinA=6sinC8sC,所以24=6ccosC,即a=3c8sC,所以COSC=：£,由余弦定理及c = 2得： cos C = 3ca2 +b2 -C2 a2 +b2 -4b2 a1 -3b2又 cos C =a a4 a2 -3b2 a _ 2 2=所以= 2a- =9b-,3c 6b2ab 6b2ab2ab即“二对2,22ab32COS C- - - 2_ 立，所以 SinC = JI-CoS? C =COS 6b 6b -41-4I4J(2)由 S .C = LHSinC= fi? Ahi. 22 坐=乎,所以"=6拒，由a =当人所以=2,=3,因为CO为A8边上的中线，所以CD=；(CA+C8),所以CDp T喇 + CB2 + 2CA CB；x W + a? +2cosC) =；X4+18+2×2×32×=7,所以ICq=4，所以AB边上的中线。的长为：7.例7(湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研)在一ABC中，AB=2t。为/W中点,CD=2(1)若BC=丘,求AC的长;(2)若BAC=2NBCD,求AC的长.A2Ar-/八大ir,Bh+CD-BC1+22J2解析：(1)在一BDC中，cosZ.BDC=产=»2BDCD2××246贝!kosNAOC=COSN8。C=-J,在ADC中，AC2=AD2+CD2-2ADCDcosZADC4=l+2-20×(-乌=4,所以AC=2.4,X sin ZADC = sin ZBDC,得(2)设AC=X,8C=y,在ZXAOC和.BQC中，由正弦定理得,sinNBACsinZADC'sin/BCDsinNBDC彩篝=与在皿中，c"3餐;由/BACD,有sinABAC=2sinZfiCDcosNBCD,所以叵=2*4,整理得：2=x(+l),%22y'7又由 cos Z.ADC = - cos NBDC,1 + 2-x21 + 2-/,整理得： + =6,联立©得，-2x2-7x+I2=0,即(工一3)(犬+4-4)=0.，解得x=3或K=T后,又近-lvxv+l,故.也叵，所以AC=±叵例8（江苏省南通市2023届高三下学期第一次调研测试）在ABC中，ARC的对边分别为a,b,GaCoSB-勿CQSC=（2C-O）COSA.（1）若C=JG。，求cos8的值；（2）若6=LBAC的平分线八。交BC于点。，求A。长度的取值范围.解析：（1）已知优osB-2cosC=（2c-b）cosA,由正弦定理可得SinACoS8-2SinACoSC=（2SinC-SinB）CoSA,.sinAcosB+CosAsinB=2sinAcosC+2cosAsinC,.sin(A+B)=2sin(A÷C),.sinC=2sinB,c=2b,c=y3a,即b=(2)由(1)知C=勿，由b=l,JMe=2.设NEW=，Sarc=-2sin2=-2ADsin+-'ADsin,:.AD=-cos,0,ftc2223I2.,小0,。例9（山东省济南市23届高三上学期期末数学试题）在ABC中，内角A、3、C所对的边分别是“、/八c,sinA+lsin2C 一点COSA 1 + cos 2C（1）若8求O（2）若8书,小,求；的取值范围.|_64Jb解析（D因为>2sin A +1 I - y/2 cos Asin 2Cl + cos2C2 sin Ccos C1 + 2cos2C-12sinCcosC2cos2C因为A、C(0,),cos C0且 加,所以,cos A 2A*：且C,所以,V2sin A + l _ sinCl->2 cos cos C所以，VJsinAcosC+cosC=sinC-VJcosAsinC,则Vsin(A+C)=sinC-cosC,即0sin8 = >2sinf C- 1 >0 ,因为一卜0一卜片且。吗，所以，手且tan兀兀),所以例10(山东省济南市2022.2023学年高三下学期开学考试)已知IABC中，A9BtC所对的边分别为曲b,C9且(+b)(sinA-sin8)=bsinC.(1)证明：A=2B;(2)若=3,b=2,求JlBC的面积.解析：(1)因为(+b)(sinA-sin8)=)sinC,所以(4+0)(-0)=bc,a2-b2=bc9COSB="+c=c.92sinAcosB=sin+sinC»2sinAcosB=sinB+sin(A+B),2ac2asin(A-B)=sinB,所以A-8+8=2E+或A-8-B=2E,ktZ,又ABW(O,),所以八=2小(2)由a2-b2=bc»又=3,b=2,所以C=I由余弦定理可得cos C -ci1 +b2-c2Iab2×3×29，16因为C(0,r),所以SinC=1-cos:C=婴,所以祯的面积HMETX3小冷陪例11(温州市2023届高三一模)记锐角ABC的内角A8,C的对边分别为0,c,已知sin(A-B)_sin(A-C)cosBcosC(1)求证：B=Ci若sinC=l,求?的最大值.解析：(D证明：由题知Sm(A=Sm(AW,所以Sin(A-砌8SC=Sin(A-C)COS氏cosBcosC所以SinACOSBCOSCCoSASin3cosC=sinAcosCssBCoSASinCCOSB,所以COSASin5cosC=CosAsinCcos4因为A为锐角，即CoSA0,所以SinBcosC=SinCcosB,所以tanB=tanC,所以B=C(2)在A8C中，由正弦定理n-='一n，一=，一sinAsinBsin2BsinBa_b2sinBcosBsinB2cosB2sinBcosB.r+r=si112B+4sin2Bcos2B=sin2B+4sin2B(l-sin2B)=5sin2B-4sin4Ba2Zra2D/-11u7122525令SinB=t,t(-,1),.z-+J=5f-4f-=2a2b2-1616当且仅当、时取“="，.痔+第”葛例12(长沙市2023届高三上学期新高考适应性考试)在锐角48C中，角A,B9C所对应的边分别为,b,ct已知SI哈s*3-csinCa+b(1)求角3的值;(2)若“=2,求ABC的周长的取值范围.U，、sin4-sinBsinC解析：(1)f=9由正弦定理得：3a-ca+b由余弦定理得：COSB="+L-"：巫J正,a-bcg、Lj=r，BPa"+c2-b=j3ac，3-ca+b、因为8(0,),所以B=*2_b_c(2)锐角)A8C中，a=2,§=%由正弦定理得：sinAsinC»6sin6,12sinCb=,c=sinAsinA2sin(A+聿sinAGsinA+cosA,sinAb+c=氐inA+c°sA+l=岛CoSA=舟l+Jl+taAsinAtanAtanA=6+J+J+,因为锐角ABC中，B=?,贝!Ae(,T,C=-Af,tanAVtan-A6V2J6k2；解得：Acfy,故tanAG(E+),则后工/苧)'6+高+工+故b+cql+a2,+"cw(3+32+2)所以三角形周长的取值范围是(3+"2+26).