【正文·精校版】第02章 一元二次函数、方程和不等式章.docx

第2章一元二次函数、方程和不等式模块1不等式与二次函数()内容提要本节包含不等式性质、一元二次不等式、一元二次方程根的分布三部分内容.1.不等式的性质(1)对称性：>bobVa；(2)传递性：a>b且b>c=a>c；(3)可加性：a>b=>a+c>b+c(4)可乘性：a>b且C>O=>ac>be；a>b且CVO=QCVbe；(5)同向可加性：a>b且c>d=Q+c>b+d；(6)同向同正可乘性：a>b>。且C>d>0=>ac>bd；(7)可乘方性：a>b>0=an>bn(nN*),2.二次函数与一元二次方程、不等式的解(以平方项系数Q>0为例)>0J=O<0函数y=ax2+bx+C的图象XZ玉=ZUx方程a/+bx+c=0的实根两个不等实根和%2(%1<X2)两个相等的实根b无】=无2=一五没有实根不等式a/+bx+c>0的解集xX<%或%>X21ixlx-iR不等式a/+bx+c<0的解集xIX1<%<x2003.根据一元二次方程在某间上根的情况求参:(1)若只说有根，没规定根的个数，则考虑参变分离，再对变量一侧求值域，即可得到参数的范围.(2)若规定了根的个数，则常画出二次函数的图象，考虑判别式、对称轴、端点值.类型I：用不等式性质判断不等式是否正确例1下列说法正确的是A.若>b,则ac?>bc2B.若Q>b,Od,则-c>bdC若>匕，c>df则c>bdD.若>b,c>d,则+c>b+d答案：D解析：A项，当C=O时，ac2=bc2,故A项错误；B项，同向不等式可以相加，但不能相减，所以B项不对，下面举个反例，取Q=2,b=1,c=3,d=1,则Qc=-IVb-d=0,故B项错误；C项，同向同正的不等式才可以相乘，条件中没有同正，所以不对，下面举个反例，取Q=1,b=0,c=l»d=-2,则c=-1Vbd=0,故C项错误；D项，根据同向不等式的可加性，由俨可得q+c>匕+d,故D项正确.反思取特值检验不等式只能结合排除法用,若将特值代入不等式不成立，则此选项必定错误：反之，若特值满足不等式，该不等式却不一定恒成立.例如，本题的选项B中，若取=4,b=1,c=0,d=-l,则满足ac>bd,但此不等式不是恒成立的.例2(多选)已知>b>0>c,则下列不等关系正确的是()Ca(C+2)>(C+2)D.ab+c2>ac+be答案：BD解法1：给出了Q>b>O>c,可考虑由此取特值来检验选项，用排除法选答案,取Q=2,b=1,c=2,则2二=日，-=所以色>2,故A项错误；a-c4a2a-ca又(c+2)=b(c+2)=0,所以C项错误，此题为多选题，故选BD.解法2：A项，直接观察不易判断是否正确，可作差比较，Qs，=叱C)Um-C)=卢哈-Ca(Q-C)Q(Q-C)Q因为a>b>O>c,所以baVO,a-c>O,故匕一>0,所以匕>色，故A项Q-Ca(a-c)aa-ca错误；B项b-ca-c_b(b-c')-a(a-c)_b2-bc-a2+ac_(b+a)(b-a)-c(b-a)_(b-a)(b+a-c)、ababababab因为a>b>O>c,所以ab>O,b-a<Q,b+a-c>Of故匕/=Y)V0,abab所以UV等，故B项正确；abC项，此选项即为在a>b两端同乘以了c+2,当CVO时c+2可能为负，若为负，则a(C+2)Vb(c+2),故C项错误；D项，ab+C2(ac+be)=a(b-c)+c(cb)=(bc)(ac),因为Q>b>0>c,所以b-c>Ofa-c>0,故ab+c?一(ac+be)=(b-c)(a-c)>0,所以ab+c?>公+儿，故D项正确.总结(1)判断不等式是否成立这类题，特值法是取巧的办法，而若要推证，则应严格按照内容提要中所列的几条不等式的性质来进行等价变形；(2)当两个数无法直接看出大小时，不妨考虑作差比较.类型n：一元二次函数、方程、不等式的关系例3不等式/+3%-40的解集为()A.(8,4)U(1,+)B.(8,-4U1,+)C.(-4,1)D.-4,1答案：B解析：要解一元二次不等式，先解对应的一元二次方程，再画出对应的二次函数的大致图象来看,由/+3%-4=0可得(+4)(x-I)=0,解得：、=-4或1,所以二次函数y=X2+3x-4的大致图象如图，故不等式%2+3%-40的解集为(一8,-4U1,+).反思上面的过程给出了解一元二次不等式的基本原理，熟练后可直接将/+3%-4分解因式,再取解集即可，本节后续题目解析将不再阐释上述原理.变式1若关于X的不等式炉-(m+3)%+3m<O的解集中恰有2个整数，则实数m的取值范围是答案：O,1)U(5,6解析：X2-(n+3)x+3n<0<=(%-3)(x-m)<0,两根UPnl与3的大小不确定，需讨论，当m=3时，-3)(%-m)VO即为(x-3)2V0,无解，不合题意；当m>3时，(-3)(%-)VO的解集为(3,m),如图1,要使解集中有2个整数，应有5Vm6；当mV3时，(X-3)(x-m)VO的解集为(m,3),如图2,要使解集中有2个整数，应有0m<1；综上所述，实数m的取值范围是0,1)U(5,6,!I1!I»X-I!I.,!345册60rn23图1图2变式2若不等式a/+b%+c>0的解集是%I-1<X<4,则不等式/-1)+a(x÷3)+C>0的解花为答案：xI%V-1或%>1解析：由一元二次不等式的解集可推知对应的二次函数的大致图象，以及一元二次方程的根，因为q/+c>0的解集是%I-1<X<4,所以二次函数y=ax2+bx÷C的大致图象如图,1+4=-'(1)从而v,且1和4是方程%2+b+c=o的两根，故八。(TX4=其2)目标不等式中有,b,C三个参数，可由上式将它们统一起来，判断出了VO,故统一成,由(1)可得b=-3,由(2)可得C=-4at代入b(1)+a(x÷3)+c>0可得3(%21)+a(x÷3)4>0,两端同除以-整理得：3x2-x-2>0,所以(3x+2)(X-I)>0,解得：不<-：或%>1.总结一元二次函数、方程、不等式三者是紧密联系的，从一方的条件，可以推知另外两方的结论.类型11L一元二次方程在某区间有实根例4方程/+2%+1=0在（1,2）上有根，则实数的取值范围为答案：（一3,-;）解析：只说有根，没规定有儿个根，考虑参变分离，QX2+2x+1=0=/=一2%一IQa=一等，求出一尊（1,2）上的值域，即为Q的范围，一等=-：-2=一（：+1丫+1,由1<%<2可得：<：<1,所以gvg+lv2,从而3<（+l）V4,故3<一（：+1）+1V所以的取值范围是（一3,反思若一元二次方程在某区间有根，但没说几个根，则考虑参变分离，再对变量一侧求值域即可.类型IV：一元二次方程在某区间有k个实根例5一元二次方程M+5%+4=0有一个正根和一个负根的充要条件是（）A.<0B.>0C.cV2D.>1答案：A解析：已经说了是一元二次方程，Q=O的情况就无需考虑了，只是规定根的正负，判别式+韦（21=25-16a>0达即可，设原方程的两根分别为修，x2,由题意，丫丫_4,解得：a<0.（xlx2-<U变式1若关于的方程/一（+1）%+4加2=0在（0,1）,（1,2）内各有一个实数根，则实数m的取值范围是答案：（°，；）解析：规定了两个区间上根的个数，考虑画二次函数的图象来分析，设f(%)=2-(zn+l)%+4m2,要使原方程在(0,1),(1,2)上各有1根，则f(x)的大致图象应如图，所以(f(0)4m2>0j(l)=4m2m<0,解得：OVmVa(2)=4m2-2m+2>0变式2方程以2-5+2)%+4=0在(1,+8)上有两个不相等的实根，则实数Q的取值范围为答案：(O,6-42)解析：此处规定了给定区间上根的个数，故考虑画二次函数图象来看，但Q的正负未定，得讨论开口，为了回避讨论，可在方程两端同除以Q,将平方项系数化1,但需先考虑Q=O的情形，当Q=O时，显然不合题意；当Q0时，a/m+2)%+4=0=g%+3=O(I),设/(X)="一管+,要使方程(1)在(1,+8)上有两个不相等的实根，函数f(%)的大致图象应如图，要让;(%)的羯象为如图所示的情形，需从判别式、对称轴、端点值三方面考虑，所以(=”J竺>0(2)q/az(对称轴无=管>1(3),将(2)化简得：2-12+4>0,所以(-6)2>32,!/=1-管+T>0(4)故QV6-4或>6+4,由(4)可得(>0,所以>0,从而(3)可化为+2>2,故QV2,于是OVQV2,综上所述，实数Q的取值范围是(O,6-42).总结若规定了一元二次方程在某区间上根的个数，则可画出二次函数的图象，再考虑判别式、对称轴、端点值，但有时只需考虑其中一两点即可，只要它能使图象成为我们需要的情形.模块2基本不等式第1节基本不等式的常见用法与拼凑技巧()内容提要设q>0,b>0,则?HK,当且仅当=B时取等号.我们把这一不等式叩做基本(均值)不等式，常用它来求一些代数式的最大、最小值，其运用口诀可简记为“一正、二定、三相等1 .一正：,b均为正数；2 .二定：用基本不等式求最值时应满足和为定值或积为定值.但需注意，若和或积不为定值，基本不等式仍然是成立的，只是求不出最值.3 .三相等：必须验证等号能取到，上述定值才是最值.另外，基本不等式还可以推广到n元的形式，设%1，%2,.,今均为正数，则生产1X1X2,n*当且仅当=%2=Xn时取等号例如，当九=3时，可以得到三个正数Xl,X2,也满足出声而为，取等条件是Xl=X2=%3用九元基本不等式求最值的原理，与二元基本不等式类似，此处不再赘述.运用基本不等式求最值的难点在于“凑定值”，本节将归纳几类常见的凑“和定”、“积定”的方法.类型L和定求积的最大值的基本方法例1已知Q>0,b>0,且2+b=l,则b的最大值为答案：i解析：,b均为正数，且已知2与b的和为定值，可直接用均值不等式求积的最大值，由题意，1=2a+b2y2ab,所以b,当且仅当2=b时取等号，结合2+b=1可得此时Q=b=i,所以b的最大值为428变式已知>0,b>0,且4+b=1,则IogzQ+IOgZb的最小值为22答案：4解析：由对数运算性质，log”+Iogib=log()(l),222注意到y=log变为减函数，故只需求Qb的最大值，条件中有和为定值，可用均值不等式求积的2最大值，由题意，1=4+b2ab=4HF,所以bj，当且仅当4=b时取等号，16结合4q+b=1可得此时Q=q,b=所以(b)max=5结合(1)知(IogLa+log坨)=IOgo=4.例2(I)若一6<m<3,则(3-m)(m+6)的最大值是(2)若一3<m<3,则(3-m)(2m+6)的最大值是答案：(1)日；(2)18解析：(l)3-m与m+6的和为定值，发现这一隐藏特征，就可用不等式b(手来求积的最2大值，(3n)(n+6)<(3_.+6)1=2,当且仅当3-m=m+6,即m=-j时取等号，L2J42所以(3-m)(m+6)的最大值是？.4(2)3-m与2m+6的和不再是定值了，但可将后者提公因式2到括号外，凑成和为定值，(3rr)(2m.÷6)=2(3rri)(m+3)2(3-血)+3)=小，当且仅当3n=m+3,即m=0时取等号，所以(3-m)(2n+6)的最大值是18.2反思若条件有和为定值(有时是隐藏的)，则可考虑用不等式Qb(半)来求积的最大值；若没有和为定值，则可尝试凑成和为定值，再用上述不等式求积的最大值.变式已知函数/(九)=|层(6九)，!,外，则/(的最大值是答案：y3解析：/(6一九)可看成九八.(6-九)，三项和不为定值，可乘系数凑定值，用bc(*：+C)求积的最大值，/=沙M(122九)(广"(：2-2叩=筝当且仅当h=122人即h=4时取等号，所以f(九)max=T反思(1)本题若改为求九瓶的最大值，又怎么做？可将其化为J九2(6一九),再变成Jilh(12-21),就可对九九(12-2九)这部分用QbC(W竺丫来求最大值了；(2)从例2及其变式可以看出，对于和不为定值的两项(或三项)之积，在其中一项上乘个系数使它们的和为定值是常用的凑“和定”的方法.例3(多选)已知IOa=2,10。=5,则下列选项中正确的有()A.ab>-4B.ab-4C.a2+匕2v工2D.a2+b2>-2答案：BD解析：要判断的不等式与,b有关，故应分析它们的关系，可由已知条件解出Q和b来看，10。=2=lg2,IOb=5=b=lg5,所以Q+b=lg2+lg5=lg(2×5)=1,有了和为定值，要判断4、B两个选项，直接用基本不等式即可，因为Q>0,b>0,且Qb,所以1=Q+b>从而Qb<三，故A项错误，B项住确；4选项C、D都与M+匕2有关，前面已经得到了Q+b=,所以配方来看，2+2=(+b)22ab=12ab,由Qb<二可得12ab>12×-=->所以小÷b2>4422故C项错误，D项正确.类型n：积定求和的最小值的基本方法例4(1)已知Q>1,则Q+七的最小值是(2)已知Q>1,则2+三的最小值是(3)已知>l,贝J2q+言的最小值是答案：(1)3；(2)22+2;(3)42+6解析：(1)积不是定值，要求和的最小值，应想办法凑“积定”，分母是a-1,故在前面的上也减1,因为q>1,所以-l>0,故+工=(-l)+工+l2kQ-l)工+l=3,-la-1Na-1当且仅当a-1=时取等号，结合Q>1可得此时a=2,所以a+；的最小值为3.a-1a-1(2)要求和的最小值，应先凑“积定”，分母是故把外面的Q也变成a-1,因为q>1,所以Q1>0,故2a+=2(a1)+222(q1),F2=2V2+2,a1a17a1当且仅当2(al)=T时取等号，结合a>1可得此时a=1+乎，所以2a+-7的最小值是a-12a-122+2.(3)分子不再是常数，可通过拆部分分式，将其化为常数，按前面两道题的方法处理,由题意，2+卫=2+-5=2+4+±=2(-l)+±+622(-lh+6=-l-la-1-lJa-142+6,当且仅当2(q-1)=FT时等号成立，结合q>1可得此时q=+1,所以2a+念的最小值是42+6.反思在求两项之和的最小值时，若这两项之积不是定值，则可以考虑通过变形凑成积为定值，用不等式a+b2来求和的最小值.变式1已知2a-b=2,贝J9°+*的最小值是答案：6解析：要求和的最小值，应寻找积为定值，先看看9%2是否为定值，由题意，9a=32a3-b=32a-b=32,所以9。+或2小。、=2停=6,当且仅当9。=京时等号成立，即3?。=3一。也即2a=b,结合2a匕=2可得此时a=g,b=-1,所以9°+京的最小值是6.变式2已知ad+9x2y2+2y4=4,贝J5+3y2的最小值为答案：4解析：所给等式左侧可分解因式，先分解，由题意，4x4+9x2y2+2y4=(4x2+y2)(x2+2/)=4,上式是积为定值这种结构，但式子较复杂，把这两项换元，将式子化简再看，(2_2a-b:FyL=所以5/+3y2=5,若2+3,竺干=Q+b2VSF=4,当且仅当a=b=2时取等号，此时/="y2=*满足题意，所以5/+3y2的最小值为4.反思有的题目积定隐臧在条件中，需要变形才能发现，上面的变式1、2就是如此.例5已知a,b都是正数，则啜为+白的最小值是2a+3b3a+2b答案：2解析：分母结构较复杂，不易看出如何变形求最值，先将分母换元再看，设后二：；：，因为a,b都是杠数，所以,y也都是正数，且Q=F,b=呼，所以*一+/_=型二+竺空=型-2+-2=+-42-4=2,2a+3b3a+2bxyxyxyyxy当且仅当型=时取等号，此时y=%,也即=b,故袅+Ru的最小值是2.XyJ2a+3b3a+2b反思涉及最值问题，当分母较复杂时.，可尝试换元法，换元后往往更易观察出形式，换元法在基本不等式中非常的重要.变式帘W的最小值是1.j4x2+1答案：2解析：分母较复杂，尝试将分母换元再看能否凑出积为定值，令t=三F,则/=/1,所以萼=IfU=N=Yt+生)32=2,当且仅当t=竺，即t=4时等号成立，结合t=荷彳可得此时X=±同，故室二的最小值是2.4x2+1总结从上面儿道题可以看出，用均值不等式求为正数的两项之和的最小值，找到或凑出积为定值是关键，常见的配凑方法有添项、拆项、换元等.类型m：的代换例6已知+6b=2(>0,b>0),则£的最小值为答案：32解析：要求和的最小值，考虑凑积为定值，把3+?看成仁+§1,其中1=2结合已知的等式，2又可代换成+6b,这样展开就有积整了，因为Q+6b=2(a>0,b>0),所以3+3=C+1=(3+2x1=(g+(Q+6b)x+9(0+6b)=2+呼+,+18=.+,+202y+20=32,当且仅当宁=矍时等号成立，结合Q+6b=2(>0,匕>0)可得Q=/)=i,故：+；的最小值为32.0反思“已知()+()=(),让求*+?的最小值(括号内可为任意正常数)”这类题，都可像本题这样通过“1”的代换，凑成积为值,这是一个基本模型，很多更复杂的题，可通过换元转化成这种模型.变式1已知，y为正实数，且x+2y=%y,则x+2y的最小值是答案：8解析：只要在x+2y=xy的两端同除以%y,就和上一题类似了，因为x+2y=xy,所以(+；=1,要求和的最小值，可用“1”的代换凑积为定值，/12X4yX4yx4yX+2y=(%+2y),1=(x÷2y)(-I)=+2+2H=IF42-1-4=8»yX)yXyXIyx当且仅当土="时取等号，结合工+?=1可得此时=4,y=2,所以+2y的最小值是8.变式2已知,y为正实数，且+y=l,则册+的最小值为答案：74解析：六十，;与上面例6中的2+：结构挺像，故尝试通过换元化为例6的模型来处理，2x+yy+2ab今则由题意，+b=2(x+y)+2=4,于是问题即为在Q+b=4的条件下，求U十/一U工+：的最小值，这是与例6相同的模型，用“1”的代换即可，所以丁J+*=工+：=仁+3.ab2x+yy+2abab/1=G+94×5=G÷9(+×5=H1+;÷÷4)=G+v+5);(2O+r_45)=；,当且仅当2=9时取等号，此时b=2,结合+b=4可得一需代入fxjy;。可/4bb=-(y+2=b3得|“一羡满足题意，所以三1+2的最小值为.ly=-2x+y>24反思遇到分母较复杂、分子为常数的两个分式相加，让求其最小值这类题，可考虑将分母整体换元，看能否转化为例6的模型来处理.例7若0VaV1,则*+占的最小值为答案：2或+3解析：观察发现分母之和为1,故换元后仍可化为例6的模型来处理，设因为OVa<1,所以OV%Vl,0<y<1,且+y=l,故Wd-7=-+-=(-+-ll="q'I-'XyxyJ(三+-)(x+y)=2+-+l=+-+32-+3=22+3,当且仅当空=三时等号XXy/XyXyyxyxy成立，此时=y,结合+y=1可得卜一2企，故(5+=22+3.(y=2-1B-27min变式若;<a<l,则土+岩的最小值为lj4-a4a-i答案：y116a - 4 + 4116解析：分子部分不是常数，但可通过拆项，将其化为常数,1=1=F44=FF41cl4q11Q4q11Q4q11-Q4q1分母和不为定值，但可通过凑系数化为定值，故仍将分母换元，看能否转化为例6的模型,设 > 0, y>0,消去。可得4x + y = 3,且士 +16a40-l这样又转化成例6的模型了，用“1”的代换即可凑出积为定值,所以16a1 - + 4 - 11 + 41/1 4、 13X3 + 4 = t + y)(4x + y)X3 + 416x=(4 H +k4)÷4 = -( +16%3 x201+ T3×2y 16% 20 28-4=Xy 33_3当且仅当?=詈时取等号，结合M + y = 3可得二*此时Q='满足题意，故（匕+y216_284a-lmjn3反思我们更喜欢分子为常数的结构，若不是，可考虑将其化为常数；另外，若分母复杂，可等试换元.第2节基本不等式的核心运用思想()内容提要用基本不等式求最值的关键是凑定值，有的题目定值较难凑出，本节将梳理一些凑定值的核心思想.1 .消元思想：若给出的等式容易反解出某个变量，则可考虑将其反解出来，代入求最值的目标式,消元后再进行分析.2 .齐次化思想：对于分式型最值问题，若分子分母不齐次，可考虑结合已知条件将分子分母齐次化，齐次化后，通过变形往往可凑出Q，+b2这种积为定值的形式.yX3 .统一结构思想：若所给的等式中已有求最值的部分，则考虑把其余部分也变成求最值的Fl标，统一结构，解出其范围.4 .多次使用基本不等式：若多元代数式的变量间没有等量关系，则可尝试先用一次基本不等式消去一个变量，再对得到的式子用基本不等式，求出最值.类型I：消元思想例1已知>0,b>0,且b=l,贝咤+"+熹的最小值是答案：4解法1：,b的关系式较简单，可反解出一个，代入目标式消元再看，由b=l可得b=L所a以工+JH-=-+4-y2/÷,7=4,当且仅当+L=时取等号，结合Q>0可aba+baa+-/a+-Q+-Naa解得：=l,此时b=l,满足题意，(i+A)=4Iab+bmin解法2：求和的最小值应凑积定，注意到分母为+R所以分子也应有+b,故将前两项通分,由题意，i÷7+A=+=+÷A2l(a+b)=4f当且仅当Q+b=时aba+baba+ba+ba+b+b取等号，结合Qb=I及,b均为正数可得a=匕=1,所以(乙+：+')=4.Hba+bJmin变式(多选)已知Q，b,C均为正实数，且Qb+QC=2,则5+念+&*的值不可能是()A.1B.2C.3D.4答案：ABC解析：应先求出目标式的范围，该式变量多，观察发现由所给等式可反解出b+c,代入目标式消兀，由力+c=2可得b+c=2,代入乙+-4可得工+1I=÷÷»上aab+ca+b+cab+ca+b+ca2+-a式看似复杂，但若提个j就出现积为定值了，2+m+刍=k+Q+3)(-+)A=2a2a+；2qa+%J0Q/+4,取等条件是+q=3,结合q>0可解得：a=2±2,所以0+六+)=4,故aa+-ab+ca+b+cmjn选ABC.反思涉及多个变量，也可以尝试消元，若把本题的b+c整体换成b,就和例1差不多了.例2已知a>0,b>0,i÷7=1，则2+二的最小值为ljaba-1b-2答案：4解析：求最小值关键是凑积定，目标式较复杂，不易看出怎么凑，可利用已知等式反解出儿消2。兀再看，由L+j=1可得匕=-,因为Q>0,b>0,所以Q>1,-÷-÷-2a1"aba-1a-1b-2a-1一2G-1+=+a=ST)+a=l+-÷a=2+-+(a-l)2+a-12a-2(a-l)a-1a-1a-1a-1'z2-(a-1)=4,当且仅当=Q-1时取等号，结合a>1可得此时Q=2,所以7+ya-1a-1a-1b-2的最小值为4.变式已知X>0，y>0,且2y=2,则+3+的最小值为()A.6B.62C.3D.32答案：A解析：由所给等式容易反解出y,代入目标式可消元，但这样得到的式子较复杂，还需化简，经过观察，消-y可一步到位，由一一町=2可得-y=4所以+&+U-=%+:=?+，'xxx-yX2232J/=6,取等条件是£=结合%>0可得=2,代入-y=：可得y=1,满足条件,反思不一定每次都得反解出或y再代入消元，有时结合已知条件和目标式的结构特征，整体代换某一部分也能达到消元的目的.总结当由已知等式容易反解出某个变量时，可尝试消元，看之后的式子是否便于处理.但需注意，消元法不是万能的，有些问题消元后反而形式会更复杂，所以得考虑其他方法，例如下面的例3.类型齐次化思想例3已知>0,y>0,且x+2y=l,则OlyI)的最小值为答案：43+8解析：本题若由x+2y=l反解出,并代入消元，可以得到经亚西=啸守,此式较复杂,xy(l-2y)y不好继续推进，而我们发现目标式分子分母次数不统一，故可考虑将1换成+2y,使分子分母齐次化，由题意，(Asy+D=(AA2y)(y+2y)=2+8h+6*=在+型+&2E+&=yyxyyxyjyx43+8,取等条件是其=丝，结合x+2y=l可得x=25-3,y=2-l所以俨+。()的最小值为45+8.变式已知,y为正实数，且+y=2,贝岭+点的最小值为答案：1+y解析：两个分式分子分母都不齐次，可利用常数代换将它们分别齐次化再看，因为+y=2,所以工+工=2+±=也+3=也+2=2+2+二+工+工=+空+£+Xxy2x4xy2x4xy2x4xy22x4y4x24x4y2K=l+,当且仅当y=F时等号成立，结合x+y=2可得此时x=3-ly=3-y4x4y24x4yJJ1,故G+j-)=l+.Myjmin2总结涉及分式的最小值，若分子分母不齐次，可考虑将其齐次化，看能否将出积为定值,上一节的“1”的代换，本质上其实也是齐次化.类型m：统一结构思想例4若,y满足/÷y2=1+yt则/+f的最大值是答案：2解析：所给等式中已有求最值的目标/+*,故想办法将Xy也变成/+V,达到统一结构的目的，由题意，x2+y2=l+xyl+f整理得：x2+y22,当且仅当=y时取等号，结合2+y2=1+%y可得此时X=y=+1,所以2+y2的最大值是?反思(1)不等式/+*2孙可沟通两项的平方和/+y?与它们的乘积孙；(2)若所给等式中已有求最值的结构，则可尝试用不等式将其余部分也变成该结构，从而求出最值.变式1已知>O,b>O,且+2b=72(Ib+4,则+2b的最大值是)()A”3B%3C.3D.4答案：A解析：要求Q+2b的最大值，条件中有q+2b,故若将剩下的2°b也变成+2b,就统一了结构,因为2b=2b»所以+2b=>2<+4+4,化简得：+2b竽，取等条件是Q=2b,结合+2b=2ab+4可得此时=竽，b=圣故(+2b)max=容.变式2已知a>0,b>0,且+b+q=5,则+b的最小值为；最大值答案：1；4解析：所给等式中已有求最值的目标 + b,故想办法将? + ：也化为 +从从而统一结构,÷b + 2 + : = 5 = Q + b + 空=5, a bab因为b )2,所以5 =1 , 1 a+b、, . , a+b ,Q+b+rQ+b+呵=Q+b+3(l),将Q + b看作整体，由上述不等式可求出其范围，为了便于观察，换个元，今t = + 'a + b,则不等式(I)即为5 t+ ; 所以5tt2 + 4,故(t - l)(t 一 4) 0,解得：1 t 4,即1 a + b W 4,取等条件是a = b,代入Q + b + ： +T = 5可求得Q = b = T或a = b = 2,分别对应la+b4的左、右两侧取等的情形，所以(a+b)min=l,(a+b)max=4反思不管所给等式怎样变化，核心都是寻求结构的统一，只要将所给等式化成关于求最值目标的不等式，就能解决问题.例5设a>0,b>0,若a+3b=5,则("I燃+1)的最小值为答案：62解析：本题消元或齐次化都不好处理，仔细观察会发现，若将分子括号打开,会出现a+3b,和已知联系起来，由题意，(“+嘴+°=3岫+缪Kl=畔=3病+W923相.W=6取等条件是3佩=券，结合a+3b=5可得此时：或口二1所以3+1燃+1)的最小值为62.变式已知Q>b,且b=18,则等-1的最小值为答案：11解析：观察已知和目标式发现有b,a-b,2+b2,应寻求三者之间的联系，可配方,由题意,a2+b24(a-b)2+2abY(-b)2+36Y/,、，36«、C/71T36«4_m,>1=i1=iI=(Q-匕)+12(a-b)1=11,取等a-ha-ba-ba-bya-b条件是ab=M，结合Q>b和Qb=I8可得卜=3匚36或卜=3-35所以件竽一a-b=33-3=-3-331a-b1)=11.×min反思例五与变式都是寻求条件与结论(要求的式子)形式上的联系，这种联系因题而异，我们要学会观察、凑形.类型V：多次使用基本不等式例6设"2匕>。，贝嗡怎的最小值是答案：8, b之间没给等量关系，只能通过放缩来消元，注意到分母两项相加可消去从故先处理因为2b( 2b) 2b+a-2b2 a2 UU 4+l 、=7,所以赤而Z04+lg2= tll = 4(2+)4×2解析:分母,=8,取等条件是2b 3 2b且M=专，结合Q > °可得Qj b=i,满足题意，故就的最小值是8总结基本不等式可以多次使用(一般每次使用都会减少未知数)，只要确保取等条件能同时满足即可.第3节不等式的进阶方法()内容提要有的题目用基本不等式比较麻烦，若掌握一些拓展的方法和不等式，则可以快速求解问题，本节涉及的拓展方法和不等式如下：1.柯西不等式：(酒+W),(好+达+星)(1b1+a2b2+anbn)2t当且仅当瓦=(i=1,2,，几)或存在实数入使得%=4瓦。=1,2,n)时等号成立.实际操作时,二维、三维形式的柯西不等式用得较多.(I)二维形式的柯西不等式：(*+y)(%2+龙)(%1%2+为为)2，当且仅当=时等号成立.(2)三维形式的柯西不等式：(*+yf+ZlXxl+凫+)(XiX2+yy2+Z1Z2)2,当且仅当r%2=X1=y=Z1=O或存在实数；I使得=a为时等号成立.,z2=Ml提醒：用柯西不等式求最值的核心在于凑出柯西不等式的形式以及凑定值，在一些带有平方和结构的求最值问题中，使用柯西不等式可以快速调节系数，凑出定值.2 .权方和不等式：设小y均为正数，则Q+当且仅当2=2时取等号,权方和不等式常Xyx+yXy用于速求一些分式和的最值.事实上，权方和不等式有更复杂、更一般化的形式，但高考范畤内上述特定条件下的权方和不等式用得最多，本节的题目也只会用到它，故其它形式此处不再给出.3 .三角换元法：涉及平方和或平方差为常数的求最值问题，可考虑三角换元法.例如，若已知/+y2=r2,则可令代二:鬻，把求最值的式子化为关于。的函数来分析；若已知/-y?=",(VrSl11Cz则可令卜=盘.在高考范畴内，一般平方和的三角换元比较常用，平方差的三角换元用得较Iy=rtan少,类型I：柯西不等式的应用例1已知用+的=5,贝归瓦+4/)2的最大值为答案：55解析：条件中有平方和结构，考虑用柯西不等式，为了产生3瓦+4%,两端同乘以32+42,因为好+状=5,所以125=(32+42)(*+%)(3b1+4)2,故3瓦+4b255,取等条件是g=?，结合状+用=5可得此时瓦=?，。2=普所以(3瓦+4b2)max=55.变式1已知,b,cR,Q+2b+3c=6,则小+4坟+9c2的最小值为答案：12解析：求最值的式子中有平方和结构，考虑用柯西不等式，注意到。2+4接+9。2=小+(2)2+(3c)2,所以凑一个#+12+12,系数就恰为所给等式的结构，因为Q+2b+3c=6,所以+4b2+9c2=i×(12+I2+l2)(a2+4b2+9c2)(1×+1×2b+1×3c)2=12,取等条件是？=F=与，结合Q+2b+3c=6可得此时Q=2,b=1,c=j故(M+4庐+9c2)min=12.变式2设,y,zR,%2+y2÷z2=25,则-2y+2z的最大值是，最小值是答案：15,