三角函数求w问题的一类必备解法 .docx

三角函数求W问题的一类必备解法一.基本原理在三角函数f(x)=ASin(皿+图象与性质中，卬对整个图象的性质影响是最大的!毕竟，。可以改变函数/(x)的单调区间，极值个数，零点个数等.因此，对卬的取值范围的考察就是高考的热门考点之一，这部分考题呈现出综合性较强，对学生的逻辑推理，直观想象素养要求较高，比如2016年一卷12题，2019年一卷11题，三卷12题等，2022年甲卷11题等.所以，对卬的取值范围的系统研究有助于学生进一步突破三角压轴！特别地，在这类问题中，尤以下面这类题目出现频率最高，即定区间上知°,再结合函数性质求体的取值范围.具体说来，在这类问题中，我认为最好的处理方法就是换元，通过换元将卬对图象的影响转化为卬对)，=Sin，的某个动区间的影响，这样做的好处就是图象定下来了，是我们最熟悉的正弦函数，处理起来更加直观.下面我们来看一些例子.1.正弦函数y=sinx,xER的性质.(1).定义域：R.(2),值域：sinx-l,lj.(3) .周期性：周期函数，周期是M肛(ZIiUwO),最小正周期为2万.(4) .奇偶性：奇函数，其图象关于原点对称.(5) .单调性:增区间：(-+2,-+2)(Z)22减区间：(-+2,+2)Z)22(6) .对称性：对称轴：X=导k,(ksZ),对称中心：(匕r,0),(ZZ)2.余弦函数y=cosx,XA的性质.(1) .定义域：R.(2) .值域:cosx-1,1(3) .周期性：周期函数，周期是2版,(ZZ1U0),最小正周期为2万(4) .奇偶性：偶函数，其图象关于J轴对称.(5) .单调性：减区间：Qk,+2k),(kGZ)增区间：(+2k兀2兀+2k),(kGZ)(1) .定义域：R.(2) .值域：-A,A2万(3) .周期性：周期函数，周期是丁=.IGl(4) .奇偶性：当O=Qr,攵Z时为奇函数；当O=Qr±MZ时为偶函数.(5) .单调性：当人0时:令一三+2kx+W三+2k,keZ,求解增区间.令三+2Qr3x+q包+2br,女Z,求解减区间.22当一0时：注意单调区间的转化.(6) .对称性：对称轴：令x+=k+%仆cZ),求解对称轴方程，对称轴处取最值.对称中心：令加+0=2乃,伏Z),求解对称中心坐标.5.余弦型函数y=ACOSQr+0),A0,%7?的性质.(1) .定义域：R.(2) .值域：l-A,AJ2r(3) .周期性：周期函数，周期是7=三(4) .奇偶性：当O=Qr,攵Z时为偶函数；当0二Q±至,AZ时为奇函数.(5) .单调性：当0时：令2kJx+冗+2k,keZ,求解减区间.令兀+2kx+2+2k,kgZ,求解增区间.当。0时：注意单调区间的转化.(6) .对称性：对称轴：令x+=k,(keZ),求解对称轴方程，对称轴处取最值.对称中心：令x+=k+g(keZ),求解对称中心坐标.二.典例分析知0求W的问题中，我认为最好的处理方法就是换元，通过换元将W对图象的影响转化为W对y=sin，的某个动区间的影响，这样做的好处就是图象定下来了，是我们最熟悉的正弦函数，处理起来更加直观.下面我们来看一些例子.1 .已知单调性求卬.例L已知卬0,函数f(x)=sin(3r+?)在弓,乃)上单调递减，求卬的取值范围.分析：(1)最大的增，减区间占半周期可求卬的范围；(2)(2,4)是最大减区间的子区间.解析：x(-,)=r=0r+-(-+,r+-),由于卬0,故欲使得f(x)在区24244间(生递减,只需使得丁=5，在(2'+乙,如+色)递减，(理+工,加+生)工(三,至)224424422即可解得.2 .已知最值求卬.例2.函数/(x)=2sin(0x+f(3O),当xO,l上恰好取得5个最大值，则实数”的取值范围为（）92519;T2733;F411）41;T50A.,B.,二-C.-,一;-D.,一【答案】C3,已知对称轴求.例3.已知函数/(X)=Sin(S:+马(&>0)的图象在(0,外上有且仅有两条对称轴，求卬的64 7取值范圉.(*；变式：图象在0,加上有且仅有两条对称轴，求卬的取值范围.4.已知零点求w.例 4.已知 二卜in£x,Sin6xj,Z?=. 1sin x,一2 2,其中。>0,若函数/(x) = G力一g在区间(匹2万)内没有零点,则。的取值范围是(B.C._L 34,8【答案】D5 .求川综合问题例5.(2019全国3卷)设函数/(x)=Siil(<x+)(。>0),已知外“在0,2句有且仅有5个零点，下述四个结论：/(x)在(0,2兀)有且仅有3个极大值点/(力在(0,2兀)有且仅有2个极小值点/71?9Q/(x)在(0,)单调递增。的取值范围是不，记)其中所有正确结论的编号是A.®B.®®C.®®®D.®®®【答案】D解析：当xc0,2划时，+,2+,/(”在0,2划有且仅有5个零点,兀2297T：,52+-<69；f3<酎，故正确，由5;r2+-<6乃，知x+-e-,2+-时，令S时取得极大值，正确；5_55J5222极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，不正确；因此由选项可知只需判断是否正确即可得到答案，当xj,<!时，x+-三/,3：)”,若/(x)在(0号)单1V/JJ1V/J、b、MUA11,i(+2)r_C.12j29-f辽、W调递增，则<9即。<39<co<,故正确.故选D102510三.习题演练1 .设函数/(x)=2sin®x+8)-l®>0),若对于任意实数%/(外在区间?当上至少有2个零点，至多有3个零点，则”的取值范围是()8%匚吟L20、820、”3JL3JL3)L33；【详解】令/(力=。，贝jsin(3+*)=g,令t=x+,则Sinf=g,则问题转化为V=sin在区间14+仍红I上至少有两个，至少有三个t,使得SinP4,求的取值范围._44J2作出y=sin和)，=T的图像，观察交点个数，1、2可知使得"in，=1的最短区间长度为2后最长长度为24+；乃，由题意列不等式的：2乃(,G+ej-2万+"|乃,解得：4<号.故选：B2 .已知函数/(x)=4sin(2s-5)-23>0)在0,句内有且仅有两个零点，则”的取值范围(75175、(7575A-l6,2jB-L6,2JC居MD-n94)【详解】由/(X)=。得sin(2s-$=:，而当XW0,不I,<y>0时，-<2x-<2,又SinJ=Sin=sin塔=L函数/(幻在0,句内有且仅有两个零点，于是得ooOZ2-<,解得看40<：,所以”的取值范围是卷.故选：D3 .已知函数/(x)=Vingeos5+cos?5-J(>0,Xc/?)在0,句内有且仅有三条对称轴，则”的取值范围是()A.2 73,65 133, 6"D.13 8 6,3【详解】/(x) = 6sin5COS3X + COs2 6Ar =sin2x+cos2x=sin2x+22I6当xw0时，25+g,2wr+勺，函数/(x)在0,句内有且仅有三条对称轴，则有OOO2<y+-,),解得Ged),故选：B.622o3上无零点，则”的取值范围是(LMM”)B.圈唱/C.饵卜期D.舄邛,+8)【详解】由题意得-9兀4=工，得OVo1,由x佟当，得222V22 x3. 2 3z,八 3 ( + l)-(ZeZ),解得!一:A3-;(ZeZ),当Z=O时，jo5,当左二1时，一g<o,282当k=l时，无解，因为OVG<1,所以5g或。<og,所以"的取值范围是)Ugq,故选：B5.(2022年全国甲卷)已知)=sin(5+1)区间在(0,万)上恰有三个极值点，两个零点,则。的取值范围是-513、519、(138"|(1319"A.T»BC.D1.36，L36o3JVooJ【详解】设5+g=f,则-,+-),有两个零点可得2%<+3,即:<-又因为有三个极值点，(siny=cosr,所以<+,所以:<,巳综上得232oo138刖4八<coyy9即选C.636.(多选题)已知函数/()=Sin(S+J+SinkUX-菅)+cos3®>0),则下列结论正确的有(A.将函数J=2sins的图象向左平移F个单位长度，总能得到.v=(x)的图象0B.若。=3,则当XG0,y时，的取值范围为口，2C.若Ja)在区间(0,2兀)上恰有3个极大值点，则翌D.若/在区间停总上单调递减，则1。岑【详解】由题可得"X)= Sinx- I+ sin x- +cos<x=sin x-cos x + sin x- cos x + cos x = + sin x + cos x 2222=2sin x+-I 6对于A, y = 2sinox向左平移.个单位长度为v = 2sin1卜+能得到y=")的图象，A错误;=2sin x + -I 6 .对于 B, 0 = 3, Xe 0t, ,则3x + w *,，sin(3x+,)e ,1 ,所以/(x)1,2, B正确;对C,由xt(0,2)可得3台(亲2s + J 由/(x)在区间(0,2兀)上恰有3个极大值点rza9t C J,3(13 191 CFf可得一< 2c + n<w , C正确；Zo ZI。 0.对于D, Xe停割，则5琮传十奈等+ J 因为f(x)单调递减,所以5 , 3 3， + - + 2k126 2 、兀 _,+ - + 23 6 2,keZ,且4喑一三哈即A靖，解得 + 6及9当+段ZeZ,且()V012,当k=0时，Why,当攵=1时，7,8,D错误.故选：BC.7,定义在R上的函数/(32SinmL>0)在区间卜沔内恰有两个零点和一个极值点，则。的取值范围是.【详解】设函数/(x)的最小正周期为丁，由正弦型函数可知：两个零点之间必存在极值点,两个极值点之间必存在零点，则=则丁=杏25,注意到>0,解得6I6J3|创3C,(Hlt.,240<<y6,.x-T'T，则一一+-<x+-<-+-,koo3633633,+-<0由题意可得J2兀6),解得45,故0的取值范围为(4,5.故答案为：(4§.<<y+-I633