专题05 椭圆、双曲线、抛物线（选填）（考点清单）（解析版）.docx

专题05椭圆、双曲线、抛物线（选填）（考点清单）目录一、思维导图2二、知识回归2三、典型例题讲与练5考点清单01:圆锥曲线定义辨析5【考试题型1】椭圆定义辨析5【考试题型2】双曲线定义辨析6【考试题型3】抛物线定义理解8考点清单02：利用定义求动点轨迹9【考试题型H利用椭圆定义求动点轨迹9【考试题型2】利用双曲线定义求动点轨迹11【考试题型3】利用抛物线定义求动点轨迹14考点清单03：圆锥曲线上点到焦点距离（含最值）16【考试题型1椭圆上点到焦点距离问题16【考试题型2】双曲线上点到焦点距离问题17【考试题型3】抛物线上点到焦点距离问题18考点清单04：椭圆、双曲线中的焦点三角形问题19【考试题型H焦点三角形中的周长问题19【考试题型2】焦点三角形中的面积问题21【考试题型3】焦点三角形中的其他问题22考点清单05：圆锥曲线中线段和，差最值问题25【考试题型1椭圆中线段和，差最值问题25【考试题型2】双曲线中线段和，差最值问题27【考试题型3】抛物线中线段和，差最值问题30考点清单06：求椭圆方程32【考试题型1求椭圆方程32考点清单07:求双曲线方程34【考试题型1求共焦点的双曲线方程34【考试题型2】求渐近线36【考试题型3】求共渐近线的双曲线方程37考点清单08:求抛物线方程38【考试题型1求抛物线方程38考点清单09：判断方程为椭圆、双曲线的条件39【考试题型1判断方程为椭圆、双曲线的条件39考点清单10：离心率41【考试题型1】离心率（定值）41【考试题型2】离心率（最值或范围）43一、思维导图二、知识回归知识点OL椭圆的定义1、椭圆的定义:平面内一个动点P到两个定点£、B的距离之和等于常数（IPEl+P舄I=2>f1f2）,这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点（片，K）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（I"Kl）叫作椭圆的焦距.说明：若（|尸6+pf2=f,f2）,P的轨迹为线段KG若（IPK+P7¾<F,F2）,P的轨迹无图形2、定义的集合语言表述集合P=PP6+PK=2>忻可.知识点02：椭圆的标准方程1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点6,F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于FiF2）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.2、集合语言表达式双曲线就是下列点的集合：P=MIIII-1MElI=20,0<2<|丹6|.3、说明若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉，则点M的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于IMGI与IM居I的大小.若IMEIM居I,则IMl-IM6|>0,点M的轨迹是靠近定点F2的那一支；若IMK<M鸟I,则ImI-IM6l>O,点M的轨迹是靠近定点6的那一支.知识点04：双曲线的标准方程a>O,b>Otc2=a2+h2;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.知识点05：抛物线的定义1、抛物线的定义：平面内与一个定点尸和一条定直线/（其中定点尸不在定直线，上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点厂叫做抛物线的焦点，定直线/叫做抛物线的准线.2、抛物线的数学表达式：MM/=d（d为点M到准线/的距离）.知识点06：抛物线的标准方程准线x=-2x-JL2y=v三、典型例题讲与练I考点:吉单01：圆锥曲线定义辨析【考试题型11椭圆定义辨析【解题方法】椭圆定义【典例1】（2023上内蒙古呼伦贝尔高二校考阶段练习）椭圆工+4=1上任意一点到两焦点的距离之和1116为（）A.25B.8C.211D.4【答案】B【详解】由椭圆方程可得，"=i6,即=4,所以椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为为=8.故选：B.【典例2】（多选）（2023上河北高二校联考期中）己知椭圆C：9+福=1的两个焦点为"，F2,P是C上任意一点，则（）A.PFl+PF2=4B.=221C.P5+2?D.PFPF25【答案】BCD【详解】设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2"2c,因为4<25,所以4=25,从=4,C2=254=21>所以|尸制+归图二2=1（）,=2c=22T,故A错误，B正确；设尸（叼为），K（Or）,o为5,则兴+乌=InlPK=（为+"+宕=（）'o+cf+加一绊，aa.aJ由椭圆定义及基本不等式可知：IPKHP用（啊;也=25,故D正确.即IP止愕,o + 50+5,当=5时取得最大值，故C正确;故选：BCD【专训11】（2023上海南海口高二海口一中校考期中）己知点K,B分别是椭圆A+E=l的左、右焦点，25Io点尸在此椭圆上，则鸟的周长等于（）A.16B.20C.18D.14【答案】A【详解】椭圆=1的长半轴长二5,短半轴长b=4,半焦距C=GTP'=3，由椭圆定义知P6+P玛=2=10,焦距K6=2c=6,所以2£鸟的周长等于IP甲+P5+4BI=I6.故选：A【专训12】（2023上湖南常德高二校联考期中）已知耳，尸2分别是椭圆氏/1=1的左、右焦点，P是椭圆E上一点，若IP制=2,则IPKl=（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【详解】由方程二+=1可知=3,95因为尸是椭圆E上一点,由椭圆定义可知归用+P闾=2=6,所以IPKI=6-1Wl=4.故选：D【考试题型2双曲线定义辨析【解题方法】双曲线定义【典例1】（2023上内蒙古呼伦贝尔高二校考阶段练习）平面内动点尸到两定点£（-2,0）,鸟（2,0）的距离之差为小，若动点尸的轨迹是双曲线，则用的取值范围是（）A.（-4,+）B.（4,E）C.（-4,4）D.（TO）_（0,4）【答案】D【详解】由双曲线的定义可得，同4,且mo,解得机（yo）5o,4）.故选：D.【典例2】（2023上浙江高二校联考期中）若双曲线1632-9），2-144=0上一点用与它的一个焦点的距离为9,则点M与另一个焦点的距离为.【答案】15或3【详解】因为-f=】，所以=3,b=4,c=5,916设点M与另一个焦点的距离为X,则由双曲线的定义得，,-9|=2=6,解得x=15或=3.故答案为：15或3【专训11】(多选)(2023上浙江台州高二校联考期中)已知A(-2,()、8(2,0),则下列命题中正确的是()A.平面内满足IaAHPB1=6的动点P的轨迹为椭圆B.平面内满足IFTP网=4的动点尸的轨迹为双曲线的一支C.平面内满足IBAl=IPBI的动点P的轨迹为抛物线D.平面内满足I网=2PBI的动点P的轨迹为圆【答案】AD【详解】对于选项A,有A(-2,0)、8(2,0),且IEAI+1尸4=6>M=4,由椭圆定义可知选项A正确；对于选项B,有A(-2,0)、B(ZO),且IMTPBl=4=|相,轨迹为射线,不符合双曲线的定义可知选项B错误；对于选项C,仃A(-2,()、8(2,0),ILl网=|尸耳,轨迹为线段A3的垂直平分线，不符合抛物线的定义可知选项C错误；对于选项D,有A(-2,0)、8(2,0),且IM=2|阳,设点P(X,y),则底可。=2瓜二可衰了，化简可得卜一J+y2=,可知选项D正确；故选：AD【专训12】(2023上广西玉林高二校联考阶段练习)M是双曲线9-=1上一点，点6，鸟分别是双曲线左右焦点，若IM用=5,则IMKI=.【答案】9V2v2a2=4(a=2【详解】M是双曲线工-匕=1上一点，所以22,2，所以J412c2=a2+=l6c=4由双曲线定义可知IlwI-1MKII=勿=4,所以IMKI=I或者9,又阿Ni=2,所以I咋|=9,故答案为：9.【考试题型3】抛物线定义理解【解题方法】抛物线定义【典例4(2023上江苏常州高二统考期中)已知抛物线V=4)，的焦点为F,点M在抛物线上,且IMFI=3,则M点到轴的距离为()A.2君B.22C.2D.1【答案】B【详解】由题意得，即|=%+勺3,抛物线d=4y中p=2,所以为=2,所以所求距离为WM=匹=2L故选：B【典例2(2023上黑龙江哈尔滨高二哈师大附中校考期中)己知动点P(x,y)满足5y(x-2)2+(y-l)2=3x+4y-7|,则动点尸的轨迹是()A.直线B.椭圆C.双曲线D.抛物线【答案】D【详解】因为5j(x-2)2+(y-l)2=px+4y-7,得(x-2)2÷(y-l)2=国+?7,即动点P(My)到定点(2,1)的距离与到定直线3x+4y-7=0的距离相等，旦点(2,1)不在直线3x+4y-7=0上，则由抛物线定义知，动点P(,y)的轨迹为抛物线.故选：D.【专训11】(2023上黑龙江高二统考期中)若抛物线V=8”上的点尸到直线x=-2的距离等于6,则点尸到焦点尸的距离IP尸I=()A.3B.4C.5D.6【答案】D【详解】抛物线丁=8x的准线为X=-2,由抛物线的定义知，点尸到焦点F的距离等于其到准线的距离，即|"|=6.故选：D.【专训1-2(2023上辽宁抚顺高二校联考期中)若抛物线丁=2py(p>0)上一点MaM到焦点的距离是2m,则=()3A.；B.1C.2D.-22【答案】B【详解】设焦点为凡则MF=w+=2m,（p>（）即?=勺又点M（Lm）在抛物线上，代入方程可得2刖=1,所以=1.故选：B考占清单02：利用定义求动点轨迹【考试题型I利用椭圆定义求动点轨迹【解题方法】椭圆定义【典例1】（2023上内蒙古赤峰高二校考期中）设p（x,y）,若*2+3+2）2+西+（）2=8,则点P的轨迹方程为.【答案】4+-=11612【详解】，？+（），+2）2+衣2+（）,_2）2=8可以看作是点（乂是到点40,2）和点8（0,-2）的距离和为8,由于8>AB=4,所以产在以AB为焦点的椭圆，且北=8,2c=4,故从=/“2=16-4=12,故椭圆方程为£+=1,1612故答案为：+=11612【典例2】（2023上湖北襄阳高二襄阳市第一中学校考阶段练习）（1）若动圆M与圆耳：。+1尸+丁=9内切,与圆尼：（X-D2+y2=i外切.求动圆圆心M的轨迹C1的方程；若动圆M与圆K：（x+3）2+V=9、圆E：（x-3）2+V=1都外切.求动圆圆心M的轨迹C2的方程.【答案】三+匕=143（2）-=l（xl）【详解】（1）设动圆M的半径为，动圆M与圆片内切，与圆尸2外切,/.MF=3-r,JS=1+r.于是网+网=4忸闾=2,所以动圆圆心M的轨迹是以耳,B为焦点，长轴长为4的椭圆.从而=2,c=l,且焦点在X轴上，所以6=3.故动圆圆心M的轨迹G的方程为9+=1.(2)圆吊的圆心为鸟(一3,0),半径为4=3,圆居的圆心为尼(3,0),半径为4=1,因为寓居|=6与+,则圆玛与圆吊外离,IM居=R+3IIllII设圆M的半径为R,由题意可得M,=R+1，所以，M周TMq=2优周,所以，圆心G的轨迹是以点Ta分别为左右焦点的双曲线的右支,设圆心G的轨迹方程为点-表=*,0,b0),由题意可得力=2,则a=l,6=32一/=8,因此，圆心M的轨迹方程为2-!=().O【专训11】(2023上天津高二天津市瑞景中学校考期中)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点P到两个焦点的距离之和为26,则该椭圆方程为.【答案】£+二=169144【详解】由题意，椭圆的两个焦点坐标分别是(0,5),(0,-5),则椭圆的焦立在y轴上，且c=5,又椭圆上一点产到两个焦点的距离之和为26,所以2=26,即4=13,所以从=-c2=44,所以该椭圆方程为£+工=1.169144故答案为：4=1【专训12】(2023全国高三专题练习)已知M(-2,0),P是圆M2-4x+y2-32=0上一动点，线段MF的垂直平分线交NP于点Q,则动点。的轨迹方程为.【答案】+-=195【详解】由题意，可知圆N的标准方程为(x-2y+y2=36,圆心为N(2,),半径为6. 线段M2的垂直平分线交NP于点Q,如图， .IQPI=IQMI,.QM+QN=QP+QNPN=6>iMNi=4t，点。的轨迹是以M,N为焦点的椭圆，.=3,C=2,b=ya2-C2=75» 其轨迹方程为+£=1.95【考试题型2利用双曲线定义求动点轨迹【解题方法】双曲线定义【典例1】(2023全国高三专题练习)在平面直角坐标系中，一动圆C与X轴切于点4(4,0),分别过点”(-5,0),%(5,0)作圆。的切线并交于点尸(点尸不在1轴上)，则点P的轨迹方程为()A.-=l(x>4)169C.工-E=I（X>4或x<-4）169D,二上=1169【答案】A【详解】设尸M,尸N分别与圆C相切于点S,则IPSI=IP71MS=MA,M4=NTf所以IPMlIPNl=IM4-¼=9-1=8,且8<MNI=IO,所以点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支（除去与X轴交点），故点P的轨迹方程为卫-4=1>4）.Io9故选：A【典例2】（2023上福建三明高二统考期末）已知圆G：（x+3y+y2=9,圆C?:（X-3+/=,若动圆E与G，都外切，则圆心石的轨迹方程为.【答案】x2-=l（xl）O【详解】圆GM+3p+y2=9的圆心为G（-3,0）,半径13；圆G：（x-3）2+V=1的圆心为C2（3,0）,半径R=1,由于动圆E与圆G,C,都外切，设动圆E的半径为,则IEGl=r+3,EC2=r+l,所以IEGHEG1=3-1=2VlGGI，所以E点的轨迹是以G,G为焦点的双曲线的右支，设方程为*一京=1（。>0,匕>0）,则a=l,c=3,b=>c?-a2=2j,所以E的轨迹方程为一g=l（l）.故答案为：x2-=l（xl）.O【专训11】（2023上重庆高二重庆巴蜀中学校考期中）已知M（-2,0）,圆C:Y-©+尸=0,动圆P经过“点且与圆C相切，则动圆圆心P的轨迹方程是（）A.x2-=l(xl)B.y-2=l(3)C.x2-=D.-y2=l33【答案】C【详解】圆C:f-zu+/=。，KP(-2)2+=4,圆心为C(2,0),半径r=2,设动圆尸的半径为R,若动圆尸与圆C相内切，则圆C在圆尸内，所以IPM=R,IPCl=R-2,所以伊MlT尸q=2<MC=4,所以动点P是以M(-2,0)、C(2,O)为焦点的双曲线的右支，且=1、c=2,所以="2_2=5所以动圆圆心产的轨迹方程是1=(),若动圆P与圆C相外切，所以忸M=R,IPcI=R+2,所以归qTPM=2<MC=4,所以动点P是以M(-2,0)、C(2,0)为焦点的双曲线的左支，且=1、c=2,所以b=<7?-a2=5所以动圆圆心尸的轨迹方程是f-f=l(x-l),综上可得动圆圆心P的轨迹方程是/-21=I.3故选：C【专训1-2】(2023全国高二课堂例题)如图，在JlBC中，己知A3=4,且三内角A,B,C满足2sinA+sinC=2sinB,建立适当的平面直角坐标系，则顶点C的轨迹方程为.【答案】y-=l(>)【详解】以人4边所在的门线为工轴,/W的垂出平分线为y轴,建立平面仃.角坐标系，如图所示,则A(-2"),(22,),由正弦定理，得SinA=四，SinB=，SinC=网(K为AABC的外接圆半径).2R2R2R2BC+AB=2AC,即IACHBCI=增=2vAB.由双曲线的定义知，点。的轨迹为双曲线的右支（除去与大轴的交点）.由题意，设所求轨迹方程为5-=l（x>）,*a=fl，c=2>2，*b2=c2-a2=6-故所求轨迹方程为-=1卜>注）.故答案为：y-I.G叫【考试题型3】利用抛物线定义求动点轨迹【解题方法】抛物线定义【典例1】（2023下江西高三校联考阶段练习）设圆。：/+产=4与），轴交于A,B两点（A在8的上方），过B作圆O的切线/,若动点P到A的距离等于P到/的距离，则动点P的轨迹方程为（）A.X2=8yB.X2=16>,C.y2=8xD.y2=6x【答案】A【详解】因为圆0:/+,2=4与y轴交于A,5两点（A在B的上方），所以A（0,2）,3（0,-2）,又因为过5作圆。的切线/,所以切线/的方程为产-2,因为动点P到A的距离等于P到/的距离，所以动点尸的轨迹为抛物线，且其焦点为2）,准线为y=-2,所以产的轨迹方程为“2=8），.故选：A.【典例2】（2023全国高三专题练习）过点F（0,4）且与直线y+4=0相切的动圆圆心的轨迹方程为.【答案】%2=16y【详解】由题意可得,动圆的圆心到直殁y=Y的距离与到点尸（0,4）的距离相等，所以动圆的圆心是以点产(o,4)为焦点，直线V=Y为准线的抛物线，则其方程为=16y.故答案为：=16y【专训11】(2023上高二课时练习)若动圆M与圆C:(x-2+V=I外切，又与直线x+l=0相切，求动圆圆心的轨迹方程.【答案】V=8【详解】设动圆圆心为May),半径为R，由已知可得圆C的圆心为C(2,0),半径r=l因为两圆外切，所以IMq=R+1.又动圆加与已知直线x+l=0相切，所以圆心M到直线x+l=0的距离d=R,所以IMCI=4+1,即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线4+2=0的距离.由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x=-2为准线的抛物线，且，=2,p=4,故动圆圆心M的轨迹方程为y2=Sx.【专训12】(2023,全国高三专题练习)已知点尸(0,2),过点P(02)且与y轴垂直的直线为心4Ll轴,交4于点M直线/垂直平分FM交乙于点M求点M的轨迹方程；【答案】x2=8y【详解】由题意得IRW=IM凶，即动点M到点F(0,2)的距离和到直线产-2的距离相等，所以点M的轨迹是以尸(0,2)为焦点，宜线产-2为准线的抛物线，根据抛物线定义可知点仞的轨迹方程为Y=8y；考卢滔单03：圆锥曲线上点到焦点距离（含最值）【考试题型11椭圆上点到焦点距离问题【解题方法】椭圆定义【典例1】（2023上安徽高二校联考期中）已知椭圆C:+t=l的左焦点为耳，若点P在椭圆C上，则167IPKl的最大值为（）A.1B.5C.7D.一2【答案】c【详解】依题意，=4,b=币,则C=Ja2-从=3,（-3,0）,设P（/w,），所以：IP与I=J（m+3）+2=Jm2+6m+9+n2,又因为：彳j+g"=1，所以：P"=旧小+6机+16,因为：me-4,4,所以当m=4时，归附有最大值：7,故C项正确.故选：C.【典例2】（多选）（2023上安徽亳州高二校考阶段练习）已知椭圆C工+工=1的左焦点为产, 16 7点、P是C上任意一点，则IP目的值可能是（）A.1B.3C.6D.8【答案】ABC【详解】由题意可知=4,c=3,所以-cP尸<+c,gJlPF7.故选:ABC.22【专训11】（2023上新疆和田高二校考期中）已知椭圆方程为二+二=1,点尸为椭圆上一点，且点尸166到椭圆其中一个焦点A距离为3,则IPEI=【答案】52，【详解】由椭圆的方程1+4=1可得：a=4,166由椭圆的定义知：P6+P周=2=8,因为点尸到椭圆其中一个焦点耳距离为3,故IPKl=5故答案为：5【考试题型21双曲线上点到焦点距离问题【解题方法】双曲线定义【典例1】(2023上.天津.高二天津市第一百中学校联考期中)双曲线C(a>0,b>0)的一条渐近线过点P(T6),F1,K是。的左右焦点，且IP制=2,若双曲线上一点M满足IM用=|,则IMEI=()A!或22-乂2【答案】BB.2D.【详解】因为K(,0),IP用=2,所以J(T+cp+3=2,所以c=2或0(舍)，又因为双曲线的渐近线过点P(T,6),所以一2二且.所以2=6,v,a-1a所以c=2-=3,所以，acr+b2=c2SSO若M在左支上，IMKI=1>c-=l,符合要求，所以IMEl=IM用+2=1+2=(若“在右支上，IMKl=g<c+=3,不符合要求，Q所以IM周=&故选：B.【典例2(2023上江苏镇江高二统考期中)已知双曲线W-£=1(6>0)的左右两个焦点分别是A、F2,n15焦距为8,点M是双曲线上一点，且IM周二5,则IM周二.【答案】7或3【详解】由已知得。2=>方=5,2=8,.,.m2+15=42解得=w=l,当点M是双曲线左支上一点时，ME11M制=2a=2,则IMEI=7+c=5,当点M是双曲线右支上一点时，I峙ITMEI=2=2,则IM用=3"-=3,Igl=7或3故答案为：7或3.【专训1-1】(2023上陕西西安高二校考期末)已知双曲线的两焦点分别为6、F2,双曲线上一169点P到片的距离为三，则。到月的距离为()3311十331.37A.B.-C.£或万dE或万【答案】A【详解】设双曲线-=l的实半轴长为心半焦距长为JIo9因为双曲线的方程为Io9所以a=4,b=3,c=5,/(-5,0),/(5,0),当点P在双曲线的左支时，P同之+c=9,P闾TPMI=勿=8,17又IWl=万,所以IP周二5，当点P在双曲线的右支时，PC-=l,PK-P61=2=8,解得归用|=3,矛盾，不存在点尸满足条件.故选：A.【考试题型3】抛物线上点到焦点距离问题【解题方法】抛物线定义【典例1】(2023下河南焦作高二统考开学考试)已知点A是抛物线f=2y上的点，点8(0,3),则A8的最小值为()A.5B.2C.3D.2【答案】A【详解】设4机,)，则病=2，则|A8|2=)2+(-3)2=/-4+9=(-2)2+5,所以当=2时，IABI取得最小值召.故选：A【典例2】(2022高二课时练习)求抛物线f=2y上与点"(0,2)距离最近的点的坐标.【答案】卜应).【详解】设抛物线=2y上任意一点PkWx则 IPMI =-2)+3 ,当f=2时，IPMl取最小值.此时，X-±0,y=1»抛物线Y=2y上与点“（0,2）距离最近的点坐标为（土企，1）.【专训1-1】（2021.全国高三专题练习）若点P为抛物线y=2上的动点，尸为抛物线的焦点，则IPQ的最小值为（）A.2B.C.D.一248【答案】D【详解】根据题意，设抛物线y=2x2上点尸到准线的距离为4则有I叩=4抛物线的方程为y=2F,即X2=打，其准线方程为V=故选：D，当点P在抛物线的顶点时，d有最小值2，即IPFlmin=>88考点清单04：椭圆、双曲线中的焦点三角形问题【考试题型H焦点三角形中的周长问题【解题方法】圆锥曲线定义十余弦定理【典例1】（2023全国模拟预测）已知椭圆/+今=1（。>8>0）的上、下焦点分别为6，尸2，短半轴长为近，离心率为直线/交该椭圆于",N两点，且IMVI=2,Z6MN的周长是MN的周长的3倍，则的周长为（）A.6B.5C.7D.9【答案】B【详解】由题意可得匕=近，由离心率为:，得5=jJ=（,得=4,易知ZMN的周长C2二优M+优N+MN,ARMN的周长G=IEMl+1ENI+1MNI,由椭圆的定义得忻M+E"=2a=8,寓N+EN=2=8,则因M+后M+MN+忻M+耳NHMM=，BP4a+4=4Cl,所以C=5,故选：B.【典例2】(2023全国高三专题练习)双曲线。的渐近线方程为y=±,一个焦点为尸(0,-"),点A(虚,0),点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，以/周长的最小值为.【答案】IO【详解】因为焦点在纵轴上，设该双曲线的方程为5-J=l(a>0,b>0),因为焦点为尸(0,-"),所以C=Jf=W+从,因为双曲线C的渐近线方程为y=±手X,所以£二手(2),由,(2)可解=2,b=j,KP-y=k双曲线的另一个焦点为尸'(,"),则有IPFHPM=为=4nPq=4+PF,PA产周长为：I尸尸+PAl+A同=4+pF+尸Akd=IpFl+PA+7,当尸,RA三点共线时，IWl+1PAl有最小值，最小值为1到=J(Y+(7)2=3,所以孙?周长的最小值为3+7=10,【专训11】(2023上江西高二浮梁县第一中学校联考期中)设椭圆C：4+-=1(>3)的左、右a3焦点为6，F,.若点A0,)在C上，则AARg的周长为()A.4B.6C.8D.10【答案】B【详解】由于点A.)在C上，所以4+1=l,得/=4,=2,k2；a24所以椭圆C：9+=1,则耳(TO),/(l,0).由椭圆的定义,I狗+M=2=4,而忸国=2,所以aAK用的周长为IA制+A闾+恒闾=6.故选：B.【专训1-2】（2023上辽宁葫芦岛高二校联考期中）已知6,乃分别是双曲线Uf-H=I的上、下焦点,94过片的直线/交。于A,B两点,若44的长等于虚轴长的3倍，则玛的周长为.【答案】36【详解】由题意得IABl=32b=12,则IMl+忸6I=IMl+2+忸制+2=IABI+12=24,所以AAB写的周长为IA周+忸&+AB=36故答案为：36.【考试题型2】焦点三角形中的面积问题【解题方法】圆锥曲线定义+正、余弦定理+面积公式+基本不等式【典例1】（2023上重庆沙坪坝高三重庆八中校考期中）设双曲线。:/一£=1的左、右焦点分别为耳,巴,2点M在C的右支上，且NMEE=30。，则的面积为（）A.2B.6C.2石D.4+23【答案】C【详解】由题意得=l,c=J113=L由双曲线定义可得，I肛|MR=2.=2,忻用=2c=2jL由余弦定理得cos/"耳=IM用2+恒用2_眼段2（M6-M用乂IM用+M闾）+122M埒.怩鸟|4阴M用2（M用+ M图） + 12 = J 43- 2,解得 Mg = 2M"-6,又IM用TM图二2,解得IM图二2,g=4,故S鹏=gM用.山用SinNM”鸟=*42GXT=26故选：C【典例2】（2。23全国高三专题练习）已知尸是椭圆9+?=1上的点TK分别是椭圆的左、右焦点TT若NEP6=,则5的面积为【答案】3产是椭圆f=l上的点，|盟+|”|=2=4,忻图=2c=2,【详解】椭圆+$ 43=1 中，/=4,6=3JMc2 =4-3 = 1 r 有 = 2,c = l,在/=；?用中，由余弦定理得：忻用HP周R尸用J2|叫IP周8s=（m+p马）2-3IMlIP周，即4=163IPKIIP闾，得W；IlP闾=4,所以S-M=Jp与IIP用Sin5=布故答案为：W【专训7】（2023上河北石家庄普二校联考期中）设耳，K分别是双曲线一二=1的下、上焦点，P445是该双曲线上的一点，且可?用二5归闾，则/>/谴的面积等于（）A.143B.715C.5岳D.15小【答案】D【详解】由题意可知内图=2"T布=14,IP用TP周=2J=gP周nP用=IOjP图=6,在APFF°中，由余弦定理可知COSZFiPF2=I。；：。；=一；（0</6P鸟VTr）=SinNKpg=旁，所以aPKE的面积等于S=kl0x6立=156.22故选：D【考试题型3】焦点三角形中的其他问题【解题方法】圆锥曲线定义+正、余弦定理+基本不等式【典例1】（2023浙江宁波统考一模）设。为坐标原点，月,人为椭圆UK+f=1的焦点，点尸在C上,42IoH=G,则cos-P6=（）A.-B.0C.ID.至333【答案】C【详解】如下图所示：由余弦定理可知cos/耳PF2zw2+n2-82mn又因为pE+pR=2po,所以(PG+py=Qpo)2,又IOH=6,即可得+ImncosZFxPF2=12,m2+=1();所以可得CoS/EPgm2+z2-8 10-8 12mn 63又m2+/I2=(w+n)2-2mn=6-2mn=lQ,即mn=3；故选：C【典例2（2。23上.河北衡水.高二衡水市第二中学校考阶段练习）已知A，6分别是双曲线U-.7的左、右两个焦点，点M在双曲线的右支上，且IMGI+周=6,则/ME鸟=（）A.30oB.450C.60oD.90°【答案】A【详解】由题意可得忻段二2jiTI=2>,由双曲线的定义得IMFlHMF2=2，而附+M尸）=6,解得IM=4,MF2=22×4×23由余弦定理得COSNM/=场亡阵华1=上网二2M用.F1F2故选：A.= l（>0/>0）的左右【专训11】（2023四川绵阳.绵阳南山中学实验学校校考二模）双曲线C焦点分别为G离心率为"过A斜率为的直线交双曲线于A,B,则3/和人一.【答案】I/0.125O【详解】因为双曲线的离心率为2,则c=2a,因为过入斜率为立，所以tanA66=也，则CoSNA4鸟二',在AF玛中,设IAKl=n,则IA玛=2+,由（2+11y=62+牝2-2m2ccosNAG6,解得?=ga,则IAEl=g0,在43GK中，设8El="，则|8月|=加+，由k2=（2+1+牝2-2（2+"）2cosZA6鸟，解得=4.,则IBKl=6。，则|同例=|8用一|4用=三明在小68中cos458=此裳詈盘答=3ZIAr2IaIHF?Io故答案为：IO2【专训1-2（2023陕西汉中校联考模拟预测）设耳由为椭圆C:,+/2=1的两个焦点，点P在椭圆C上,若p%pR=o,则IPGHP鸟I=.【答案】22【详解】因椭圆方程为。:弓+丁=1,则0=&b=l,c=肝石=2因尸耳=0,则PF±PF2PF+PF=区用2=4c2=16.又由椭圆定义，可得Ip用+|尸段=勿=2正，则（IP制+|尸图）2=归£|2+|"+2|尸制.|牝1=20=网i小.故答案为：2O考占清单05：圆锥曲线中线段和，差最值问题【考试题型1】椭圆中线段和，差最值问题【解题方法】椭圆定义【典例11（2022上山西高二校联考期中）已知尸是椭圆C：+y2=i的左焦点，M是椭圆C上任意一点，Q是圆石:12+丫2_4后一10），+32=0上任意一点，则M211M目的最小值为（）A.-4B.-3C.-2D.-1【答案】C【详解】依题意可知,对于椭圆C,a=3,b=l,c=2近,对于圆E,圆心为七（2&,5）,半径=叵三粤三亘=1,设椭圆C的右焦点为K（2,）,但制=5根据椭圆的定义有IMfj=2TM周二6TM制，根据圆的几何性质有IMQI+1之IM耳IMQl可阴-1,当且仅当Q是线段ME与圆E交点时等号成立，所以|画一|“耳=|昭2卜（6TM周）=|MQl+MFj-6ME+M卜7,其中IMEl+1MNNl郎|=5,当且仅当瓦”,耳三点共且M是线段国与椭圆的交点时等号成立，所以IMaTMH5-7=-2,此时EQ,M,K四点共线，FLQ,M分别是线段EK与圆E、椭圆C的交点.故选：C【典例2】（2022上湖北武汉高二华中师大一附中校考期中）已知椭圆?=1的右焦点F,P是椭圆E上的一个动点，Q点坐标是（L3）,则IPQl+IP尸I的最大值是.【答案】13【详解】由E:±+二=1可知=4,b=币,c=16-7=3设椭圆左焦点F(-3,0),则俨+PFl=IPa+2-Pk8+FlPQI+PP的最大值为13,故答案为：13.【专训1-1(2023上辽宁大连高二大连二十四中校考期中)已知点A(LI),6是椭圆卷+。=1的左焦点，P是椭圆上任意一点.则IMl+|网的取值范围为.【答案】32,52【详解】令尸2是椭圆+=1的右焦点，显然粗(2,0),长半轴长a=2LgA=J(21)2+(0-1)2=应,由