专题07 等差数列与等比数列（考点清单）（原卷版）.docx

专题07等差数列与等比数列（考点清单）目录一、思维导图2二、知识回归3三、典型例题讲与练5考点清单：01判断等差（等比）数列5【考试题型1判断数列是否为等差（等比）数列5考点清单：02证明数列是等差（等比）数列6【考试题型1证明数列是等差（等比）数列6考点清单：03等差（等比）数列的单调性6【考试题型1等差（等比）数列的单调性6考点清单：04求等差（等比）数列中的最大项7【考试题型1求等差（等比）数列中的最大项7考点清单：05等差（等比）数列通项性质7【考试题型U等差数列角标和性质7【考试题型2等比数列角标和性质8考点清单：06等差（等比）数列前项和基本量计算8【考试题型1等差（等比）数列前项和的基本量计算8考点清单：07等差数列前项和性质9【考试题型1】片段和性质9【考试题型2】两个等差数列的比值9考点清单：08等比数列前项和性质10【考试题型1】片段和性质10【考试题型2】奇偶项和性质10考点清单：09%与SzI11【考试题型1已知S”与勺（）的关系，求勺11专题07等差数列一、思维导图二、知识回归知识点Oh等差数列的有关概念一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示.知识点02：等差数列的通项公式首项为公差为d的等差数列/的通项公式为4=q+5-l）d.知识点03：等差数列的四种判断方法和两种证明方法（1）定义法。向一%二d（或者/一=d（2）（d是常数）。是等差数列.（2）等差中项法：2atl=ai+an+Sn2）（et）0见是等差数列.（3）通项公式：a,l=pn+q（PM为常数）U>%是等差数列.（an可以看做关于的一次函数）（4）前项和公式：S.=4+3"（A8为常数）=”是等差数列.（S“可以看做关于的二次函数，但是不含常数项C）提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法知识点04：等差数列的性质/=,”+（一Md若+m=p+q,贝1J4+4=%,+%（特别的，当+机=2，有。“+%=2。P）知识点05：等差数列的前项和公式1、首项为外，末项为。”的等差数列的前项和公式Sfr=幽会R2、首项为q,公差为d的等差数列的前项和公式5“=4+能辿1知识点06：等差数列前项和性质（1）若数列ql是公差为的等差数列，则数列j也是等差数列,且公差为不n2设等差数列勺的公差为d,Sn为其前项和，则黑,S2m_Sm,53w-S2m,S4zn-53w,组成公差为d的等差数列（3）在等差数列4,2中，它们的前项和分别记为S”,7；则£L=六i2n-l（4）若等差数列伍“的项数为2，则52,r=n（an+4用）S偶一S奇二d，S有n若等差数列“的项数为2一1,则S偶=5-1）。“，S奇二，S奇-S偶二”，÷5-=-3偶n-i知识点07：等比数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（4工。）符号语言h=q （或者=q（n 2）（夕为常数,")知识点08：等比数列的判断（证明）1、定义：=q（或者乌-=g（"2）（可判断，可证明）2、等比中项法：验证（特别注意。”工0）（可判断，可证明）3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断）知识点0%等比数列常用性质设数列4是等比数列，S”是其前项和.（I）an=a,nq-m（2）若加+=+4，则%为=%,4,其中孙,p,4N".特别地，若m+"=2p,则勺4=；，其中m,n,pwN*.知识点10：等比数列前项和公式叫q=1若等比数列的首项为,公比为夕，则它的前项和S=4（l-g"）；，q*-q知识点11:等比数列前项和的性质公比为7的等比数列%的前项和为S”，关于5的性质常考的有以下四类：数列黑，Szffj-S,-52m,S.,S3,组成公比为/（g=T）的等比数列当是偶数时，S偶=S奇q；当是奇数时，S奇=+S偶qStIf=Sln+qntSlt=Sn+qnSl三、典型例题讲与练F考点清单：01判断等差（等比）数列【考试题型I判断数列是否为等差（等比）数列【解题方法】定义法【典例U（2022上.陕西榆林.高二校考期中）已知数列叫的通项公式为q,=3x（gj,则数列是（）A.以1为首项，1为公比的等比数列B.以3为首项，；为公比的等比数列C,以1为首项，3为公比的等比数列D.以3为首项，3为公比的等比数列【典例2】（多选）（2022上.甘肃白银.高二校考阶段练习）己知等比数列，尸1,。=2,则（）.f1,A.数歹|一是等比数列B.数列'是递增数列%C.数列log?可是等差数列D.数列log2%）是递增数列考点清单：02证明数列是等差（等比）数列【考试题型U证明数列是等差（等比）数列【解题方法】定义法【典例1】（2023上浙江绍兴高二校考期中）已知数列4满足6=2,=2-（!<）,令”=一½an4“T（1）求4，%的值；（2）求证：数列UU是等差数列，并求出数列q的通项公式.【典例2】（2023上全国高三校联考开学考试）已知数列qj满足4=0,且有%2=4+.（1）证明：数列q+2是等比数列；I考点清单:03等差（等比）数列的单调性【考试题型U等差（等比）数列的单调性【解题方法】作差法可讨一。【典例11（2023上福建度门高三福建省原门第二中学校考阶段练习）已知等比数列SJ的前项和为S”,前项积为I,则下列选项判断正确的是（）A.若S222>S22,则数列为是递增数列B.若凰”则数列5“是递增数列C.若数列S是递增数列，则%2%2D.若数列若是递增数列,则20222【典例2】（多选）（2023上高二课时练习）已知等差数列%的公差d>0,则下列四个命题中真命题为A.数列为是递增数列B.数列%是递增数列C.数歹IJ磷是递增数列D.数列an+3nd是递增数列考点清单:04求等差（等比）数列中的最大项【考试题型1求等差（等比）数列中的最大项【解题方法】、【典例1】（2022上江苏盐城高二盐城中学校考期中）己知数列4满足4=21,.=%+2，则子的最小值为.【典例2（2022上江西赣州高三校联考期中）设公比为4的等比数列4的前项和为S”，前项积为7；,且q>l,a2021¾2>1,如二!<0,则下列结论正确的是（）a2O221A.4>1B.S202S2022一1>0C.。022是数歹IJ雹中的最大值D.数歹Ij1无最大值【专训11】（多选）（2023下湖北高二校联考阶段练习）公差为d的等差数列4的前项和为S.，若3<1<22,则下列选项正确的是（）A.J<0B.4<0时，的最小值为2022C.S”有最大值D.S.>0时，的最大值为4043【专训12】（2023山西忻州统考模拟预测）在等比数列4中，若q+%=62,%+%=31,则当的？4取得最大值时，n=.I考点清单:05等差（等比）数列通项性质【考试题型H等差数列角标和性质【解题方法】若+机=+4，则。+4”=册+%（特别的，当"+机=2，有4l+%=24）【典例1】（2023全国模拟预测）已知S是等差数列6的前项和，/+%+%+%=12,则L=（）A. 22B. 33C. 40D. 44【典例2】（2022下.四川成都高一四川省成都市新都一中校联考期中）已知数列qr满足2+=/+4+2（"eN*）,且%+6+%3=2,则cos（%+%）=（）A.一B.-C.ID.B2222【专训1-1（2023上甘肃白银高二校考期中）己知等差数列q满足q=4,%+/=诏+1,则生=.【考试题型2等比数列角标和性质【解题方法】若+m=。+4，则为4=%（特别的，当，+6=2，有4+4.=。；）【典例1】（2023上黑龙江哈尔滨高三哈师大附中校考期中）已知正项等比数列q中，生生022=4,则Iog2a+Iog2tz2+Iog2¾024=（）A.1012B.2024C.2,°,2D.22024【典例2（2023上山东临沂高三统考期中）己知公比不为1的正项等比数列4满足d=,M,（丸GN）41则±+j的最小值为（）mnA.6B.2C.-D"22【专训1-1（2023上河北邢台高二校联考阶段练习）在等比数列J中，若卬37%=27,则廿K）=（）A.33B.3C.±3D.±33I考点清单:06等差（等比）数列前项和基本量计算【考试题型1）等差（等比）数列前项和的基本量计算【解题方法】前项和公式【典例1】（2023上江苏盐城高二江苏省阜宁中学校考期中）设各项均为正数的等差数列%的前项和为S.，若W-a7+g4=3,贝U*=.【典例2】（2024上重庆沙坪坝高三重庆南开中学校考阶段练习）已知数列”的前项和为S”，S3=6.若包是等比数列，且S6=54,求知；（2）若+3=4+2,求S30.【专训11】（2023上辽宁丹东高三凤城市第一中学校考阶段练习）已知在前项和为S”的等比数列“中，95-S则*3=（）4n3八4A.-B.C.D.3293【专训1-2）（2023下江西宜春高一校考期末）己知“为等差数列,前项和为S.，若S4=4S2,%1=2%+l,则q=.I考点清单:07等差数列前项和性质【考试题型D片段和性质【解题方法】设等差数列4的公差为d,s,l为其前项和,则Stu,S2m-Sm,S3m-S2,f,S4zn-f,组成公差为z的等差数列【典例1】（2023上河北邢台高二校联考阶段练习）己知等差数列%的前项和为s“，若率=5,则d3K=S3-【典例2】（2023上江苏盐城高二盐城市伍佑中学校考期末）等差数列%的前?项和为30,前力项和为100,则它的前项和为.【专训11】（2023上甘肃酒泉高三甘肃省酒泉中学校联考阶段练习）已知等差数列q的前项和为S”，且S8=12,S12=15,!JlljS16=.【考试题型2】两个等差数列的比值【解题方法】已知等差数列勺和的前项和分别为S，Tllt则孑=2.Dtt2n-【典例1】（2023下辽宁沈阳高二沈阳二十中校考阶段练习）两个等差数列0,32的前项和分别为s.和（，已知JL=N则?=Tn+3b1【典例2（2023陕西咸阳统考三模）已知等差数列alt,也的前项和分别为S.,Tn,若（2+3电二&则M=（）【专训1-1（2023下湖北高二校联考期中）已知两个等差数列4与4的前（>D项和分别是S0和却"=（4+3）：侣-1）,则养.【专训12】（2022上,福建福州高二校联考期末）已知两个等差数列“和”的前项和分别为S17和7；,Sn2+3a且h=F",则,的值为（）Tn+1I考点清单:08等比数列前项和性质【考试题型U片段和性质【解题方法】设等比数列“的公比为夕，数列鼠，52m,-Sw,-52m,5,“53,”，组成公比为（4-l）的等比数列【典例1】（2023上陕西榆林高三校考阶段练习）已知各项均为实数的等比数列4的前项和为S.，若SlO=1°，S3070,贝JS40=（）A.150B.140C.130D.120【典例2】（2023上江苏盐城高二盐城市第一中学校考期中）已知S0是正项等比数列q的前项和，54=10,则2S2-3S8+S的最小值为.【专训11】（2023上福建龙岩高二校考阶段练习）在等比数列4中，前项和为S“，S5=10,S10=50,则%+%+Go=（）A.22B.210C.640D.2560【考试题型2奇偶项和性质【解题方法】设等比数列4的公比为4,当是偶数时，S偶=S奇,夕；当是奇数时，S奇=q+S偶q【典例1】（2022上海高三专题练习）解答下列各题：（S奇表示奇数项和，SfW表示偶数项和）（1） 4是等比数列，4=1,项数为偶数.S85,S（S=I70,求；（2） 6是等差数列，共项，为奇数，Sn=77,SftJI=33,a,-atl=18t求通项公式.【专训14】(2020上陕西宝鸡高三统考阶段练习)已知等比数列勺中，4=1,q+%+%+=85,生+a2k=42,则&=()A.2B.3C.4D.5【专训1-2(2022高二课时练习)在等比数列%中，若4+生+%=】50,且公比a=2,则数列4的前100项和为.I考点清单:09%与s【考试题型1】已知S”与4()的关系，求巴n = 1n2a.【解题方法】'C一【典例1】(2023上广东广州高三华南师大附中校考阶段练习)已知正项数列%的前项和为Sfj,满足2S"=(q+g)("N)(1)证明：数列,为等差数列；【典例2】(2023上辽宁高三校联考开学考试)已知数列,的前项和为S”，且3Sz,+q,=l.求%的通项公式；【专训11】（2023上山东德州高三统考期中）已知数列6的首项4=1,前项和为S”，且2Sn+3n2=2nan+3.求%的通项公式；【专训12】（2023上河北邢台高三校联考期中）已知数列q的前.项和为S,且S“+勺=3.求,的通项公式；I免费增值服务介绍，组卷网V学科网(https:WWWV网校通合作校还提供学科网高端社群出品的老师请开讲私享直播课等增值服务。扫码关注学科网每日领取免费资源回复"ppt”免费领180套PPT模板回复“天天领券来抢免费下载券V组卷网()是学科网旗下智能题库，拥有小初高全学科超千万精品试题，提供智能组卷、拍照选题、作业、考试测评等服务。扫码关注组卷网解锁更多功能