微专题10 不等式恒(能)成立问题.docx

微专题10不等式恒(能)成立问题高考定位利用导数解决不等式恒成立或有解问题，是高考的热点之一，以解答题的形式出现，多为压轴题，难度较大.【难点突破】高考真题(2022新高考II卷节选)已知函数yU)=xeGH(1)当=l时,讨论兀O的单调性;当x>0时，危)<1,求。的取值范围.解(1)当a=l时，Xx)=(-l)exR,则/(x)=xe当x<0时，/(x)<0,当X>0时，/(x)>0,故7U)的单调递减区间为(一8,0),单调递增区间为(0,+8).(2)设z(x)=xev-e+1,则Zt(O)=Of又")=(l+ax)e"-ex,设g(x)=(1+&v)e"ev,则8,()=(2+a2x)eaxe,若W，则g'(0)=20T>,因为g(x)为连续不间断函数，故存在xo(O,+),使得Vx(0,次)，总有g'(x)>O,故g(x)在(0,Xo)上单调递增，故g(x)>g(O)=O,故/Z(X)在(0,&)上单调递增，故6(x)>?(O)=0,与题设矛盾.若0<6t,则z(x)=(l+0x)e"眇=erHn(I+g)-er,下证：对任意x>0,总有In(I+x)<x成立.证明：设Sa)=In(I+x)-,1X故S,(x)1I-1=1I<0,1+x1十X故Sa)在(0,+8)上单调递减，故Sa)<s()=o,即ln(l+x)<x成立.由上述不等式有ear+31+如)e<e+r-T=e2r-ev0,故z(x)0总成立，即(x)(0,+8)上单调递减，所以(x)<(O)=O.当0时，有hx)=eax-ex+axeax<-1+0=0,所以MX)在(0,+8)上单调递减，所以A(x)<(O)=O.综上，6F.2样题1(2023焦作模拟改编)已知危)=a1贮+加.若关于X的不等式外)2豕+e'+44在0,+8)上恒成立，求实数。的取值范围.2解不等式兀r)2尹3+e'+4在0,+8)上恒成立，-2、即(工一1把"十加一毅一er-420在0,+8)上恒成立，当X=O时，得一1520,得-亍2令S()=(X-I)ej+OX2gx3aex-4afg'(x)=ex÷(-l)ex+2a-2jraex=(X4)(ex-2x),因为x20,-予所以x>0.设(x)=er-2x,则hf(x)=ex-2,令"(x)<0,得XVln2,令z(x)>O,得x>ln2,所以00=十一2在0,1112)上单调递减,在(In2,+8)上单调递增，所以(x)2(ln2)=e,n2-21n2=2-2ln2>0,即ev-2x>O,所以g<x)>O,所以g(x)在0,+8)上单调递增，所以g(0)=-1520,即-亍样题2(2023武汉调研节选)已知函数;U)=里士(R),若段恒成立，求实数。的取值范围.解因为40e+;一l恒成立，即吟UWeC+一1对x(0,+8)恒成立，即Wxef-xlnx+1对工£(0,+8)恒成立，令w(x)=xev1xlnx÷1,则u,(x)=e',÷xer,-1=(x÷l)er1-J,当x(0,1)时，(x)<0,(x)在(0,1)上单调递减，当x(l,+8)时，()>0,Na)在(1,+8)上单调递增，故当X=I时，Na)取最小值(1)=1,所以Wl,所以实数。的取值范围是(-8,1.样题3已知yU)=(-4)ex-2+6x,(x)=ln-(a+l)x,a>-.(1)求五x)的极值；(2)若存在xl,3,对任意的X2e2,e3,使得不等式g(x2)»xi)成立，求实数a的取值范围.(e3%20.09)解(1)由J(x)=(x-4)ev-X2+6x,得Fa)=e4+(x-4)eA2x+6=-3)ex-2x+6=(x3)e2),令f(X)0f得X3或xln2,当X变化时，/(),yu)的变化如下表：X(-ln2)In2(In2,3)3(3，+8)/()+00+於)单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表可知，当X=In2时，7U)取得极大值,极大值为4n2)=(In2-4)eln2-(ln2)2+61n2=-(ln2)2+81n2-8,当x=3时，人外取得极小值，极小值为13)=(34把332+18=9e3.(2)由知QO在1,3上单调递减,所以当xl,3时，兀Omin=/(3)=9-e3,于是若存在阳1,3,对任意的X2d,e3,使得不等式g3)次x)成立，则InA3+l)x>9e3(>-1)在e?,e?上恒成立,即 a-<ln-9÷e3,在怆2, e?上恒成立,令 h(x)=In x-9+e3X,xe2, e3,x-(l11-9+e3)10-e3-ln贝I+l<z(x)min,hf(x)=2=2因为xe2,e3,所以lnx2,3,10-e3-lnx7-e3,8e3,因为¢3比20.09,所以8-e38-20.09=-12.09<0,所以"(x)<0,所以R(X)单调递减，,RIne3÷e3-96故l(x)min=(e)=£=1-G,于是+l<l-3，得4<一告，又a>1,所以实数。的取值范围是(一1,一摄).规律方法L由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题.(2)分离参数法：将参数分离出来，进而转化为。刁(X)max或V>U)min的形式，通过导数的应用求出7U)的最值，即得参数的范围.2.不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别.训练已知函数4r)=lnx,当彳21时，火工)WaT24,求。的取值范围.解当x21时，令g(x)=xlnx(f-l),得g(l)=O,g,(x)=lnx+12r,令(x)=lnx+1lax,r112ax贝Uh,(x)=-2a=-.若得"(x)>0,则g<x)在1,+8)上单调递增，故g'(x)2g'(l)=l-2>O,所以g(x)在1,+8)上单调递增，所以g(x)2g(l)=O,从而XInXa(f1)20,不符合题意；若a>09令r(x)=O,得R=五.(i)若0<<,则五>1，当XEb归时，,(x)>Ofg。)在1,上单调递增，从而g32g<l)=L2。>0,所以g(x)在1,上单调递增，此时g(x)2g(l)=0,不符合题意；(ii)若心/贝0<1,力(%)WO在1,+8)上恒成立，所以g'(X)在1,+8)上单调递减，(x)(l)=l-20,从而g(x)在1,+8)上单调递减，所以g(x)Wg(l)=O,所以XInX(2-1)WO恒成立.综上所述，。的取值范围是,+8)【精准强化练】一、基本技能练1.已知函数危)=(x2)CA%x2+x(4WR),当x2时，/(x)20恒成立，求。的取值范围.解法一f(x)=(xl)(e-tz),当时，因为x22,所以-l>O,眇一>0,所以Fa)>o,则40在2,+8)上单调递增，y()(2)=0成立.当OVaWe2时，/()20,所以40在2,+8)上单调递增，所以yu)宓2)=0成立.当白>e2时，当Q,Ina)时，/(x)V0；当x(lnm+8)时，/()>0,所以7U)在(2,Ma)上单调递减，在(Inm+8)上单调递增，不恒成立,不符合题意.综上，。的取值范围是(-8,e2.法二当x2时，U)20恒成立，等价于当x22时，(x2)ex-g2+0r20恒成立，即(*一x(-2)e*在2,+8)上恒成立.当x=2时，04W0,此时R.当x>2时，22->09*八(r2)e'2e_a,所以W-j=;怛成立.产一工、n2evr.l2(-1)ex设g()=,则g'(x)=，因为x>2,所以g<x)>O,所以g(x)在(2,+8)上单调递增，所以g(x)>g(2)=e2,所以ae2.综上，。的取值范围是(-8,e2.x+I5G+Z*(A+l)x,R.2.(2023榆林模拟)已知函数段)=-52)n(1)若Q0,求TU)的单调区间；(2)若AZ,且当QI时，/(x)vlnx+l,求女的最大值.解(1次x)的定义域为(0,+8),f(x)(1x)lnx+1$+k+%(&+1)=(1尤)(Inx-k),由f(x)01得A=1或x=e",若匕>0,则Q1,当x(0,l)U(e+8)时，/()<0,当x(l,的时，/(x)>0,故7U)的单调递减区间为(0,1)和(1,+),单调递增区间为(1,M).nx+1(2)因为x>l,所以/(x)<lnx+l等价于A<lnx+二一,aJnX+1令g(x)=lnx+,x>l,则 g3=(In x+-X2In X(LI) 2一 (-l) 2,令力(X)=X2lnx,x>l,则Ia)=I卜0,则6(x)在(1,+8)上单调递增.H为h(3)=1-In3<0,z(4)=2-21n2>0,所以w(3,4),%(Xo)=0,即MXO=Xo2,所以当x(l,XO)时,g,(x)<O,g(x)单调递减,当x(xo,+8)时，gf()>09g(x)单调递增,“，,lnxo÷l所以g(x)min=g(x)=lnXO÷j=XO1(2,3).故攵的最大值为2.3.(2023辽宁名校联考)已知函数y(x)=jdnx尔+加.(1)求人x)的单调区间；(2)请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择.如果多写按第一个计分.若对任意x(0,1),不等式yu)>一又恒成立，求”的最小整数值；若存在x(l,+°°)»使得不等式yu)<Inx成立，求实数机的取值范围.解(iyU)的定义域为(O,+8),/(X)=Inx+(l-w).令Fa)=0,得x=e"l由/(x)v,解得Oa<即厂】，由Fa)>0,解得x>e厂I所以“r)的单调递减区间为(0,ew1),单调递增区间为(e厂I+).(2)选择:当o<x<时，yu)>X恒成立，即用>：KIn x+xx-1恒成立. xln x+x令g()=' _ 1，X£(0，1)，4 1则 gf(x)=xl -2(-l) 2,令6(x)=-Inx2,x(0,1),Y1则1(%)=一二<0,即力(X)单调递减，而"=一<o,2J=>0,则/心)在G，1)上存在一个零点XO,使得(xo)=xoInXO-2=0,即InXO=X02.当OC时，(x)>O,贝g<x)>0,函数g()单调递增，当xo<x<1时，(x)<O,即g'(x)<0,函数g()单调递减，于是得g(x)有最大值，xolnxo+xoxo(Xo-2)+xog(x)max=g5)=Ll=j依题意有m>xo9又XOR,1),所以相的最小整数值是L选择：不等式Inx,即InX，"(3；)(。，、.tn(X-1)设f(x)=ln-37；,x(l,÷°o),I1依题意，存在x(l,+),使得心)<0,-12znx2+2(1n)x+1而心)F-p=-'+I)?'"i)=°(i)当mWO时，f(x)>O在(1,+8)上恒成立，不满足题意；(ii)当0<mW2时，方程f+2(1m)x+1=0的判别式/=4(1一m)2-4=4帆(加一2)0,即f(x)>O在(1,+8)上恒成立,则KX)在(1,+8)上单调递增，G)>(i)=o,r()>o在(1,+8)上恒成立，不满足题意；(iii)当亦>2时，令"x)=0,不妨令X2>x,则x=m-1-y(m-1)2-1,X2=m1÷(m-1)2-1,由X2>l和XIX2=1得Xl<l,则当X(l,X2)时，f(x)<O,X)在(1,X2)上单调递减，此时f(x)U(l)=0,因此，当加£(2,+8)时，存在o(l,÷OO),使得不等式r(xo)<O成立.综上，实数机的取值范围为(2,+).二、创新拓展练4.(2023青岛模拟)已知J(x)=ln(x+l)-cx.(1)讨论加0的单调性；(2)当x20时，不等式yU)We、一1恒成立，求实数。的取值范围.解(1)由题意得x>1,/a)=，一I1当W0时，/(x)>0,故40在(-1,+8)上单调递增；当a>0时，在区间(一，一1+5)上，>o,在区间(-1+5，+8)上，/()<O,所以7U)在(-1,-1+3上单调递增，在(-1+5，+8)上单调递减.综上，当W0时，段)在(-1,+8)上单调递增；当。>0时，y在(-1,一1+§上单调递增，在(-1+5，+8)上单调递减.(2)由1,可得ln(x+1)r÷1evO,设g(x)=ln(x+l)-or+1eA,g(O)=O,则gf(x)=-aex.设h(x)=g,(x)=j-a-ex,则hf(x)=-(1)2-ev<O,所以g<x)在0,+8)上单调递减，贝|g'a)wg，(o)=一.当时，g'(x)W0,g(x)在0,+8)上单调递减,所以g(x)Wg(0)=0恒成立；当。<0时，g<o)=4>0,因为8口)在0,+8)上单调递减,所以w(0,+8),当(0,Xo)时，g<x)>O,g(x)在(0,刈)上单调递增，所以当x(0,xo),g(x)>g(O)=O,不合题意.综上，实数。的取值范围为O,+).加微ABCYZXT可联系我高中数学交流亲，微信扫一扫可以找到我哦m一扫上面的二维码图案一加我为期我是一个普通的数学老师，很普通的那种！如果觉得资料好，可以联系我，分享你我！如果觉得资料好，推荐更多人受益！如果你觉得资料不好，也可以联系我，告诉我及时改进！如果想认识我，当然可以加我！如果，没有如果了加微对接暗号：123