微专题9 导数与不等式的证明.docx

微专题9导数与不等式的证明高考定位导数与不等式的交汇命题是高考的热点和难点，在利用导数证明不等式问题中，常用的方法有构造函数、适当换元、合理放缩、利用最值、有界性、不等式及其性质等.【难点突破】高考真题(2023新高考I卷)已知函数7U)="(er+)-X.(1)讨论外)的单调性;3(2)证明：当a>O时，y(x)>21n+解f(x)=ae-,xR.当O时，/(x)<0,所以函数7U)在(-8,+8)上单调递减；当>O时，令/(x)>O,得第>ln,令/(x)<°,得XVln，所以函数在(-8,In)上单调递减，在(一ln,+8)上单调递增.综上，当时，函数/U)在(一8,十8)上单调递减；当。>0时，函数7U)在(-8,一In4)上单调递减，在(一ln4,+8)上单调递增.(2)证明法一由(1)得当a>0时，函数/U)="(ex+a)-X的最小值为大一Ina)=6(e-ln0÷6f)÷ln=l+ina.31令g(o)=1+/+ina-21na-=q2-in一/,a(0,÷°o),所以g<a)=2a-1,a口S令g(a)>O,得令g<a)<O,得O<tz<2»所以函数g(。)在卜，由上单调递减，在惇，+8)上单调递增，所以函数g(。)的最小值为g惇卜闺2-皿孚-RIn2>0,3所以当>0时，/(x)>21n+成立.法二当a>0时，由(1)得yU)min=A-lna)=l+ln,3故欲证/U)>21n成立，31只需证1+M+ln0>21n4+/,即证/1>ria构造函数u(a)=n。一(al)(>O),El11a贝Uuf(a)=-=-t所以当a>l时，/(a)<0;当O<<l时，uf(d)>09所以函数3)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减,所以u3)W"(l)=0,即InaWa1,故只需证C->a-1,即证6F26t÷Z>0.恒成立,3所以当4>0时，/(x)>2In成立.样题1(2023郑州二模改编)已知函数/)=x2lnx,证明：X-1证明y(x)-1等价于InX-P-20.X-1令g(x)=lnx中",l12Xx2+x-2则gx)=-=3.当x(0,1)时，g'(x)<O,g(x)单调递减；当x(l,+),g'(x)>O,g(x)单调递增.故g(x)2g(D=0,即/BX-L样题2(2023天津模拟改编)已知函数/)=乎一%,(1)若IAX)Wo恒成立，求实数k的取值范围；(2)证明：In+lnHHn(1)解若於)W0恒成立，贝U,、xInx1-Inx设gQ)=T，x三(0,+o0),g'(x)=-，由g'(x)>O,得O<x<et由g'(x)<O,得x>e,所以函数g(x)在(O,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，g0)max=g(e)=±所以kJC(2)证明令左=：,则ywo,即号WL则lnx!x(当且仅当x=e时等号成立)，CCe、LJlIIIIlill因为1吁QIn铲行，In所以InJ+InIHFlnFl(>l).样题3(2023荆州调研改编)已知函数/U)=ln*若x(0,1),求证:7U)<(1+-x2)ev.证明法一TU)=In1Inx,欲证U)<1+-x2ev,只需证X(I-Inx)<(l÷-x3)c,设g(x)=x(l-Inx),则gx)=Inx,当x(0,1)时，g'(x)X),g(x)单调递增,所以g(x)vg(D=l,设6(x)=(l+xx3)ex(0,1),因为x(0,1),所以x>x3,所以1+xx3>l,又1<er<e,所以(x)>1,所以g(x)<l</Ia),即原不等式成立.法二X%)=ln=l-Inx.欲证负力<(1+-X2Jev,E=、tInx1,只需证+x2-<1,D因为x(0,1),所以1lnx>O,ex>e°=l,则只需证1Inx+x2;<1,只需证InXx2÷>0,令f(x)=lnxf+;,x(O,1),1.l11-12x3-1贝"tx)=-2-=-2<-2<0,则f(x)在(O,1)上单调递减，则r(x)>(l)=lnl-l2+l=0,所以ln-f+成立，即原不等式成立.规律方法利用导数证明不等式问题的方法(1)直接构造函数法：证明不等式yu)>g)(或TU)Vga)转化为证明yu)g(x)>。(或/U)-g()V0),进而构造辅助函数z()=U)g()(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论.(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同结构变形，根据相似结构构造辅助函数.训练已知函数y(x)=eA。-ln(x+0).当Wl时,证明：(x)>0.证明先证不等式e*2x+1与x12Inx,设(x)=er-X1,则(x)=ev-1=0,得x=0,可得g(x)在(一8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，所以g()=ex-%12g(0)=0,即ex2x+l;设h(x)=-1Inx,由1(X)=1一=0，得X=1,可得a(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，所以(x)=-1lnx(l)=O,即-1lnx.于是，当Wl时，Gxaxa+1x÷-1ln(x÷),注意到以上三个不等号的取等条件分别为x=a9。=1,x+a=,它们无法同时取等，所以当Wl时,exa>n(x+a)t即yu)>o.【精准强化练】一、基本技能练1 .已知函数兀T)=X20r+MX.若函数«r)有两个极值点XI,X2,求证：火x1+x2)v-2÷ln2.证明段)的定义域为(0,+),112x1ax+1付/(x)=2-a-=,由题意得及一0r+l=0的两个不等的实根为,x2,rJ=2-8>0,则Vx+2=J>0,解得>2啦.1X1X2=2,fl2craa故/Ui+x2)=(xi+x2)2(x1+x2)+In(Xl+12)=一,+In/=-1+In2设g()=-+ln(>22),El4I2O2则g'()=-+=H<0,故g()在(26，+8)上单调递减，所以g()vg(2)=-2+ln2.因此Xxi+%2)<-2+ln2.2ex12 .(2023济南质检改编)证明：evlnx+>1.2ev1证明不等式Enx+>l,eLi等价于一二(exInx+2)>1,由常用不等式e'2x+l,得92元e*即一丁21,故只需证exlnx÷2>l,令7U)exlnx÷2(x>0),则/(x)=e(lnx÷l),易得当x(,§时，Ia)V0,(V+8)时，/()>0,故yu)Q)=i'等号不同时取到，故原不等式得证.3 .(2023南昌模拟)已知函数F(x)=ea+111a(a>0)tG(x)=-lnx.若Fa)与Ga)在x=处有相同的切线，求实数。的值；(2)当>Lx>l时，求证：F(x)-G(x)>l.解v=-p(l)=-1.VF,(x)=-eflx,F(1)=-efl,=-l,解得=l.(2)证明由题意得尸(X)-G(X)=efl-v÷Ina+nx9令>/()=即一*+In+lnx(>l),.y=e"r与y=lna在(1,+8)上均单调递增， 加)在(1,+8)上单调递增, /(砂况l)=er+lnx.令(x)=e1x+Inx(x>1),11XeLeV则g,(x)=-e,"x+-=-.令h(x)=1xe1-(x>1),则hf(x)=(-l)e1-v,易知当Ql时，2,(x)>0,.Mx)在(1,+8)上单调递增，(x)>(l)=O,即g'(x)>O, g(x)在(1,+8)上单调递增，,g()>g(l)=l,()>g(I)=L综上，F(x)-G(x)>l.二、创新拓展练4.(2023安阳二模)已知函数次x)=(xl)ev-HnX的最小值为0.(1)求实数。的值；加如20%20%2024(2)证明：©+岩+¥+福+福>缴足2025.X,QxQf解由题意可知/(x)=Xex-：=-(x>0),注意到31)=0,由题意可得了(l)=e-4=0,解得=e.pe当=e时，则f(x)=xev-(>0),人设(x)=x1ex-e(x>0),则”(x)=Xa+2)ex>0对x>0恒成立，则奴)在(0,+8)上单调递增，且9(1)=0,令9(x)>0,则x>l;令9(x)<0,则Oa<1；则40在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，故於)U)=O,故yu)的最小值为0.综上，a=e.(2)证明由(1)可知(x1)CAdnx20,当且仅当x=l时，等号成立，即(xl)eElnx,当且仅当X=I时，等号成立.令X=I+N"),则e>lng+l)=ln(/?+1)In从而有 e>ln 2In 1,3-In 2,3n->ln4In3,>ln(w÷l)-Inn9所以e+乎+乎+>(ln2Inl)+(ln3In2)+(ln4In3)÷÷ln(÷1)-In=ln(+1).? 0%>ln 2 024.-3厂2O22-令=2023,则e+当+争+木!只需证明In2024德In2025,即证嚅等喘等令人=?，1InY贝I/(%)=-0对VQe恒成立，则Zz(X)=乎在(e,+8)上单调递减，故h(2024)>(2025),cn,ln2024In2025EJnlCe2024.所以2024>2025'即rl224>2025n225,妹心鼠瓦J诔J正,202499s故e+2+3Hh2022+20232025ln2025,加微ABCYZXT可联系我我是一个普通的数学老师，很普通的那种！如果觉得资料好，可以联系我，分享你我！如果觉得资料好，推荐更多人受益！如果你觉得资料不好，也可以联系我，告诉我及时改进！如果想认识我，当然可以加我！高中数学交流亲，微信扫一扫可以找到我哦竹一为上面的二维码图安一加我为期如果，没有如果了加微对接暗号：123