微专题3 凹凸反转.docx

微专题3凹凸反转【知Ii只拓展】1 .凹函数、凸函数的几何特征图象上任意孤段位于所在 弦的上方的函数为凸函数图2图象上任意瓠段位于所在 弦的卜.方的函数为凹函数图12 .凹凸反转很多时候，我们需要证明但不代表就要证明yu)mm>o,因为大多数情况下，Ia)的零点是解不出来的.当然，导函数的零点如果解不出来，可以用设隐零点的方法，但是隐零点也不是万能的方法，如果隐零点法不行可尝试用凹凸反转.如要证明y>o,可把正幻拆分成两个函数g(x),/©),放在不等式的两边，即要证g(x)>%(x),只要证明了g(x)min>%(x)max即可,如图3,这个命题显然更强,注意反过来不一定成立.很明显，g(x)是凹函数，/Z(X)是凸函数，因为这两个函数的凹凸性刚好相反，所以称为凹凸反转.凹凸反转与隐零点都是用来处理导函数零点不可求问题的，两种方法互为补充.凹凸反转关键是如何分离，常见的不等式是由指数函数、对数函数、分式函数和多项式函数构成，当我们构造差值函数不易求出导函数零点时(当然可以考虑用隐零点的方法)，要考虑指、对分离，即指数函数和多项式函数组合与对数函数和多项式函数组合分开，构造两个单峰函数，然后利用导数分别求两个函数的最值并进行比较.当然我们要非常熟练地掌握一些常见的指(对)数函数和多项式组合的函数的图象与最值.3.六大经典超越函数的图象和性质(基本储备知识)(DX与方的组合函数的图象与性质函数J(x)=xexex-)=7-)=图象定义域R(一8,0)U(0,+)R值域T+8)(8,0)Ue,÷co)(-8,；单调性在(一8,1)上单调递减，在(-1,+8)上单调递增在(一8，0),(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增在(-8,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减最值)m>n=K1)=-7V当X>0时，Ax)min=_/(1)=ex)max=D=(2)X与InX的组合函数的图象与性质函数/(x)=JdnX、InXyu)一X朋FX图象定义域(0,+8)(0,+8)(0,1)U(1,+)值域V+8)(-8,(8,O)Ue,+)单调性在(0,在增3上单调递减，+g)上单调递在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减在(0,1),(1,e)上单调递减，在(e,+8)上单调递增最值TWmin=七)=Tx)max=e)=V当>l时，yU)min=(e)=e【类型突破】类型一化为咪In占意型例1已知函数U)=l+m+l)x+lnx,证明：对任意x>0,1÷(1+a)x>J(x).2e2证明把段)代入化简，得V-即证丫>呼>o).2ev2令g)=->o),rll2ex2(X2)贝Ug,(x)=p.当x(0,2)时,g'(x)<O,g(x)单调递减；当x(2,+8)时，g<)>O,g(x)单调递增.，g(x)最小=g(x)做小=g(2)=,g(x)2今当且仅当x=2时取等号.InY令(x)=-(x>O),rITnx贝"h,(x)=F,当x(O,e)时，hf(x)>OtMX)单调递增；当x(e,+),"(x)<O,力。)单调递减，.z(x)最大=%。)坡大=%(e)=3即力(x)W%当且仅当x=e时取等号.1 12e,2ir由于犬，故丁吟立，即原不等式得证.12训练1(2023南昌模拟改编)证明：对一切x(0,+8),InX恒成立.VCX2证明问题等价于证明xlnx>-(x>0).设fix)=XInx(x>0),/(x)=Inx+1,当x(,§时，/(x)<0,段)单调递减；当x(V+8)时，/()>o,/U)单调递增,X21X设机(X)=最一"(X>O)，则机'任)=一3一，当x(o,1)时，Ma)>o,Wa)单调递增，当x(l,+),Ma)<0,Zna)单调递减,所以m(X)max=W(I)=-又等号不同时取到，从而对一切x(0,+),y(x)>m(x)恒成立,X2即JdnX亘成立.12即对一切x(0,÷),InX>晟一嬴恒成立.类型二化为ax吟§型例2已知函数"r)=eAlnX+与一，证明：(x)>l.2e'IV2丫证明要证明於)=eAlnX+1一>1,两边同乘以I，得XInX+/*VVCzY2即证明xlnx>.aX2÷(x)=xlnX,g(x)=晟一由l(x)=lnx+l知，力(X)在(0,§上单调递减，在(土，+8)上单调递增,所以力%1 Y而g'(x)=f知，g(x)在(0,D上单调递增，在(1，+8)上单调递减，所以g(x)g(l)=一5所以有幽尢)2(：)=一=g(l)2g(x),又等号不同时取到，所以有h(x)>g(x)9即y(x)>l得证.21训练2(2023湛江模拟节选)设凡¥)=。2；1,证明：y(x)+x2-x+l>O.37X证明把兀0代入化简得eH2詈+l>0,37r即证ex>-1+-1,当x0时,左边OVeAW1,37右边=-2+-1-1,O37X此时er>-2+g-l恒成立，O37r当x>0时，要证ex>-1,O日rv已(I1137即证/一卜+口+0，ev(IA37令g(x)=I，=-+J+y,rtlex(%1)贝”gf(x)=p，在(O,1)上，g(c)<O,g(x)单调递减；在(1,+8)上，gr()X)9g(x)单调递增.所以g(x)2g(l)=e,又力。)=，+；)+青W青-2。/=誉(当且仅当x=l时等号成立)21由于g(x)2g(l)=e>g2力(x),37r故当x>0时，ex>-2+W-I成立，O21综上，/(x)+2-1>0成立.类型三先放缩、再反转例3已知函数fix)=axnx÷x2,若0<W1,求证：x)<ev-sinx+1.证明：/(x)=adnx+/,所以待证不等式为adnx+x2<ex-sinx+l,由于当x>0时，sinx<xi，只需证x2+axnx<ex-x+1,即证宁号+1.令g()=呼+1，g3=(mx)(0<F),当x(O,e)时，f(x)>Otg(x)单调递增；当x(e,+),gf(x)<O,g(x)单调递减，易得g(x)最大=g(x)仅大=g(e)=?+1+1,ev-x÷1(er+1)(-2)令力。)=-p-，Ia)=p，当x(O,2)时，,(x)<O,MX)单调递减；当x(2,+),h,(x)>O9(x)单调递增，e21易得(x)最小=%(X)机小=h(2)=-.由于中_+1)=_4：故式成立，原不等式得证.规律方法1.先放缩，再利用凹凸反转法证明不等式，实质是证明了强化了的不等式，即证明了原不等式成立的充分条件.2 .常用到的放缩(l)evx+1(当x=0时取到等号)；(2户2ex(当x=l时取到等号)；(3)lnxW-l(当x=l时取到等号)；(4)乎;(当x=e时取到等号)；(5)0<sinx<x<tanx,.,(X-H)(1-inx)，f训练3已知/(%)=-,求证：Xx)<l÷e证明设g(x)=ex-,则(x)=er-1,令g'(x)=0,则X=0,可得g(x)在(一8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，*g(x)=-12g(0)=0,即exx+1,v+1也即当QO时，e>x+l,即kl，所以yU)vl+e-ErHy(X+1)(1-nx),即要证/<l+e2,只需证1-x-xlnx<l+e-2,令f(x)=1xxnx(x>0),则f(x)=In-29当x(0,e-2),f(x)>O,XX)单调递增,当x(e",+8)时，«)<o,心:)单调递减，易得f(x)ma=f(x)根大慎=«e2)=l+e2,所以有1xjdnx<l+e-2,从而有x)<l+e-2.类型四凹凸反转求参数例4(2023福州模拟改编)若evlnx+mx1+(1-er)x÷w0(x>0),求正实数m的取值范围.解不等式等价于er(mr2+x+z)W-Inx,令g(x)=er(w2+x+zn),h(x)=xnxfg'(x)=ex(-)(-mx+m-1),令g'(x)=O,解得x=l或x=l5，V>0,1<1.m当o<m时，一o,所以g(x)在(O,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，故g(x)ma=g(l)=e,(2w-F1),欲使不等式恒成立，则g(l)(l)<e1(2n+l)l,e1解得0<n-5-，当m>时，0<15<1,所以g(x)在(0,1),(1,+8)上单调递减，在(15,1)上单调递增，2"Ij而g(l)=>1»存在g(l)>z(l),从而不等式evln÷wx2÷(1er)x+nO不恒成立.e1综上，当0<nW时，不等式怛成立.易错提醒凹凸反转一般用来证明不等式恒成立，若要用来求参数范围必须确保凹凸函数的极值点相同.训练4(1)已知yU)=xeg(x)="(l+当3,若函数_/U)的图象与函数g(x)的图象有两个交点，则实数。的取值范围是()A.(0,eB.(2e,+)C.(e,+o0)D.(8,0)Ue已知函数大力=加入+32贮一元(公>0),若7U)有两个零点，则的取值范围是()A.(0,1)B.(0,1(11-C.T,eD.二，eIeLeJ答案(I)C(2)A解析法一取=e,则yU)=xeg(x)=e(l+亭力，得y11)=g(l)=e,知两函数图象至少有一个交点.由fix)=XP得/(x)=+1)T,当xvi时,/(x)<o,y单调递减，/)vo且火O)=o.当Xf8时，0,当心>一1时，f()>o9y单调递增，当f+8时，y()+.由g(x)=el+-付g(x)=F，当O<<e时，g'(x)>O,g(x)单调递增，当XfO时，g(x)-8,当x>e时，g'(x)<0,g(x)单调递减，且g(x)>O,当X-+8时，g()-0.根据以上信息，画出U)=xeSg(x)=e(l+曲的图象如图所示.因为yu)=g(l)=e,/(l)=g'(l)=2e,所以两曲线在点(1,e)有相同的公切线.由g(x)=al+2阴与y=e(l+2曲图象间的伸缩关系，易知，当>e时，两个函数图象有两个交点.故选C.法二取。=2e,同法一可知两函数图象有两个公共点，故选C.(2次x)有两个零点，等价于aerx+(a-2)ex-=0有两个不同实根，即ae'e+l)=2ev÷x有两个不同实根，等价于方程a(er÷1)=÷2有两个不同实根.等价于函数g)=(ex+l)与函数h(x)=+2的图象有两个公共点.V1Y因为hx)=-r.V所以当XVl时，2,(x)>0,力(X)单调递增；当41时,(x)<O,力(X)单调递减，则(x)max=7(l)=2+,又(O)=2,X当/f+8时，/G)=晟+2-2.另一方面，因为。>0,所以g)=(e'+l)的图象单调递增.根据选项，对。取特殊值，=l,=e,这三个值较为特殊.其中。=1更为特殊简单，此时两个函数的图象均过点(0,2).从简单的情形入手，根据上述信息，画出函数g(x)=eHl与函数z(x)=E+2的图象如图所示.容易证明这两个函数的图象在公共点(0,2)处有相同的切线y=x+2.由图象知两函数的图象分别在公切线的上方和下方，背靠背向上向下凹凸反转.由g(x)=(ex+1)与y=ev+1图象间的伸缩关系可知要使函数g(x)=4(ex+1)与函Y数力(X)=晟+2的图象有两个公共点，则0<“<L故选A.【精准强化练】一、基本技能练1.(2023兰州模拟节选次r)=efHn犬，证明：当五>0时，人幻49+1.证明要证/U)<rex+,只需证exInx<e÷,即exev<lnx+,ex.,1-1e-1令hx=Inx+-U>0),则hf(x)易知力(X)在(,F)上单调递减，在R+s)上单调递增，则z()min=破)=0,所以lnx÷20,ex再令9(x)=exev(x>0),则x)=eev.当O<x<l时，"(x)>0,当Ql时，"(x)<0,即9。)在(O,1)上单调递增，在(I,+8)上单调递减,则0(x)max=-i)=O,所以ex-ev0,因为KX)与9。)不同时为0,所以e-ex<lnx+e,故原不等式成立.2.已知函数x)=x2+2-2xe(1)求函数“r)的极值；(2)当x>0时，证明危)-2x+x2+x3<-2elnx.解,.y(x)=x2+2-2xer,.(x)=2x+2-2ev-2xex=(2x+2)(l-er),由f(X)Of得X=-1或X=0.列表讨论，得：X(一8,-1)-1（一1，0）O(O,+)f()O+O於）极小值极大值12 当X=-I时，W=-D=1-2+2×-=-1,VV当=o时，y(x)粒大值=/(0)=0.(2)证明要证明兀r)2x+f+3<-2elnOplnY即证明2e'-f2r汽三(x>0),2elnX令g(x)=2er-X22x(>0),h(x)=(x>0),(x)=2(ev-l),)=2(-1)>0, g，(x)在(0,+8)上单调递增，g3>g<0)=0, g(x)在(0,+8)上单调递增，g()>g(0)=2,2e(1InX)hf(x)=F,可得MX)在(O,e)上递增，在(e,+8)上递减,*h(x)WMe)=2,又g(x)与(x)取最值点不同,：g(x)>z(x)在(0,+8)恒成立,所以当x>0时，J(x)2x+x2÷3<2elnx.3 .设函数/U)=lnx+：JG证明：7U)一2+第>0在(0,+8)上恒成立.证明由题意知，危)一2+x=InX+:一看,设g(x)=Wnx+1,则g<x)=l+lnx,下面证InX+：>看,X即证 xlnx+1>,在(0，§上，g,(x)<O,g(x)单调递减；在e，+8)上，gx)>o,g(x)单调递增.所以ga)eg(3=iT，Y1X设力。)=6，则h,(x)=-r,在(0,1)上，z,(x)>O,力单调递增；在(1,+8)上，,(x)<O,力(X)单调递减，所以z(x)z(l)=vl-：,所以力(X)Vga),即yu)一三+>o在(0,+8)上恒成立.二、创新拓展练4 .(2023南通模拟改编)设函数兀T)=InXeLx,g(x)=a(x21)一：.若/U)<g(x)在(1,+8)恒成立，求实数。的取值范围.e1解由题意得：Inx一装<(x2-1)一:，tz1 e问题等价于a。21)InXt一晟在(1,+8)恒成立，、”1eCAex设Aa)=I密=若记k(x)=ex-ex,则k,(x)=ev-e,当Al时,Zra)>0,ZIa)在(1,+8)上递增，%()>h(l)=0,三Pk(x)>O.若aW0,由于x>l,故a(x21)Inx<0,故f(x)>g(x),即当"r)<g(x)在(1,+8)恒成立时，必有>0.当a>O时，设h(x)=a(x2-)lnx,ri20x2-1贝Uhf(x)=,若总>1,即。<舄时，易得下1，才V，人。)单调递减,x，+L "x)单调递增,故<(1)=O,而七)>。，即存在/=才7>1,使得/U)>g(),故0<<；时，yu)<g(x)不恒成立；若工W1，即时，设S(X)=Q(f-l)-lnX-：+会，53=2改一:+己一点,由于2axx,且k(x)=ex-ex>0,即故_*_1，1.IuI1I1X32x+1X2-2x+1因此s(x)X_;+了_：=->-AAA故Sa)在a,+8)上递增,故Sa)>s(i)=o,即a2时，U)<g(x)在(1,+8)恒成立，综上，当，+8)时，危)<g()在(1,+8)恒成立.力口微ABCYZXT可联系我高中数学交流亲，微信扫一扫可以找到我哦m上面的二维码图案一加我为期我是一个普通的数学老师，很普通的那种！如果觉得资料好，可以联系我，分享你我！如果觉得资料好，推荐更多人受益！如果你觉得资料不好，也可以联系我，告诉我及时改进！如果想认识我，当然可以加我！如果，没有如果了,加微对接暗号：123