微专题2 必要性探路.docx

微专题2必要性探路【知识拓展】1 .必要性探路法，是指对一类函数的恒成立问题，可以通过取函数定义域内的某个特殊的值或某几个特殊的值，先得到一个必要条件，初步获得参数的范围，再在该范围内讨论，或去验证其充分条件，进而解决问题的方法.2 .虽然这种必要性探路的方法求出的参数并不一定就是所求的实际范围，但可以限定问题成立的大前提，缩小参数的讨论范围，在一定程度可以减少分类讨论的类别，降低思维难度.【类型突破】类型一取点探路1X例1(2023烟台模拟节选)已知/U)=ln(0r+l)+k21),若兀r)21n2恒成立，1I4求实数。的取值范围.解必要性：对于/21,7U)21n2恒成立，即In(Or+l)+q1-5220在(1,+8)上恒成立.1X令(x)=ln(or+l)+jTj-In2,所以g(l)=ln(+l)M220,解得充分性：当心1时，x÷12、g(x)21r-+R-1(x21).则令=Inr÷-l(rl),所以1),则/?在(1,+8)上单调递增,所以力2(I)=0,所以g(x)20恒成立，综上所述，。的取值范围是1,+).规律方法已知不等式恒成立求参数范围问题，我们可以取定义域内的一个或几个特殊点探路，以缩小参数的取值范围，如取闭区间的端点，指数函数常取0或1,对数函数常取1或e等.训练1已知yU)=0r2-4In(X1),对x2,e+l,於)WI恒成立，求实数。的取值范围.解必要性：因为对x2,e+l,7U)W1恒成立.即r2-41n(-1)10,令=gxl-41n(-1)1,则g(2)=4-10,则<充分性：当<Z时，(x)=0x2-41n(-1)1x2-41n(-1)1,根据InX215证明略)，在x2,e+l±,1'I9、(x-2)(x2+x-18)有x2-41n(-1)-1Wp2-40J-1=4(I)0所以g()wo,即yu)<,故。的取值范围是(一8,类型二极值点探路例2(2023济南模拟)已知函数/)=111(工+1)一加2-1)+1,tz0.(1)当。=1时，求yu)在(0,十8)上的零点个数；(2)若关于X的不等式InG一昌一游2)<一岛。一1)一,在(1,+8)上恒成立，求实数。的取值范围.解当a=时，y(x)=ln(x+l)+l-e2u"当x(0,1)时，yU)=ln(x+l)+l-e2(T)>l-e2(LD>一=o,此时无零点.当xl,+8)时，/()=±-2e2(LD,当Xl,+8)时，/()单调递减，且，(幻</(1)=5-2<0,当xl,+8)时，氏r)单调递减，/(I)=In2+11=In2>0,2)=ln3+l-e2<0,3o(1,2),使J(XO)=0.当。=1时，段)在(0,+8)上有且只有一个零点.(2)必要性：InQ-，一枇2-1)一Me。一1)一，在(1,+8)上恒成立,即InG,一Q-,一1e2-De(-1)在(1,+8)上恒成立，当a=0时，e2LD-02e(%-1)=0,因为>=ln-(X1)0恒成立，则In(X-3(不一今一0,X 1-2 - - 3-2 当a>0时，令机(1)=111'-y¥£)1,x>l,Wa)=3当心为时，”(x)v,Tna)单调递减,当l<x<时,(X)>0,Z(X)单调递增，当a>0时,3-2e- 2则0e(l一?20,即1一如0,得2.综上，。的取值范围为0,2,充分性：当0,2时，In'-'-卜习一16zle2(v-1)e(-1)0,当0,2时,e2cv-e(-l)e2u-2e(-1).令n(y)=e2c-r-2e(-1),x>l,则n,(x)=2e2tv-2e.当x>l时，单调递增，且(今=2e2e=0,故当x(l,号时，w,(x)<0,单调递减，当x(,+8)时，Zfa)>O,(x)单调递增，n(x)(jJ=e-e=0,x>l,4”(x)20.由已知得Q1,In(X；)'一0.式成立，.0,2.规律方法1.已知yu)wo(或yu)2o),找遂外的极大值(或极小值)点探路；2.对于/(X)Wga),找yu)的极大值点，g(x)的极小值点探路.训练2已知0>0,函数4r)=0r2-,g(x)=M尤是否存在实数m使yU)2g(0x)恒成立？若存在，求出实数。的值；若不存在，请说明理由.解必要性：令g(x)=(x)-g(Or)=公2-xInar,x>0,则,(x)=2a-.因为9(十)=°，又9(x)20，则是Sa)的一个极小值点，则dg)=。，解得Q=L充分性：当Cl=1时,(x)=2x=(2r+l)(工一1)X当O<x<l时，d(X)<0,9。)单调递减;当“X时,“(x)>0,9。)单调递增,从而6(x)2矶I)=0,符合题意.综上，可知=l.类型三保号性探路例3已知函数兀O=OdnX一犬，其中R.若7U)在(1,+8)上单调递减，求正数。的取值范围.解必要性：因为於)在(1,+8)上单调递减，所以F(X)=lnx+-5=4(lnx+1-)Wo在(1,+8)内恒成立.令(x)-lnx÷1i,则g(x)=lnx+1flTWO在(1,+8)内恒成立，因为g(D=0,g,(x)=-(a-)xti2,则g<l)W0,即g<l)=l-(-l)W0,则。22.充分性：因为。22,所以。一121,因为x>l,所以KT2工，则(x)=lnx÷1a-,lnx+1x<0,所以/(x)=(lnx+1,)<0.故。的取值范围是2,+).规律方法“保号性”的完整提法是“局部保号性”，它是微积分学中的一个重要概念，有多种叙述形式，我们介绍一种比较容易理解的形式：已知函数yu)在。点连续，且加)>0,则存在。>0,当Lr一冰。时，段)>0(注意它的逆命题是假命题).训练3(2023武汉质检改编)已知函数y(x)=ln(x+1)x5，若当x>1时，«r)W加，求实数。的取值范围.X31解必要性：令g(x)=ln(x+l)x一主一加忘。，g<x)=R-1x220r,g"(x)=-(1)2-2x-2,因为g(0)=0,(0)=0,所以g"(0)<0,则。2一；.充分性：当g时，g(x)=ln+l)-x+'+(一义Jx2,1 3由三阶泰勒公式知Ina+1)yW0(证明过程略)，又(一；一。卜(0,'g)=ln0+l)-3+*1+(一义一。卜W0,即g(x)W0.故实数。的取值范围是一当，+8).【精准强化练】一、基本技能练1 .已知不等式errran(x+a)Ina10恒成立，求实数a的取值范围.解必要性：依题有>O,当X=O时，一ln一Hn20,解得O<Wl.充分性：下面证明OVaWl时，题设不等式恒成立.由evx+1(证明略)易得/x12,只需证明a2-an(-a)-na0.设g(x)=a1xan(x+d)Ina9则0-七)，则g，a)单调递增，令/(x)=0,即(-7=)=0，解得X=54,所以当时，g'(x)<O,g(x)单调递减，当心斗一。时，g'(x)>O,g(x)单调递增,所以g(x)min=年-)="(la2)+(la)lnO,当且仅当a=取等号.所以证得MxHn(x+)-Ina20成立，当且仅当X=O,=l时等号成立.因此(0,1时，不等式e"4q111(x+q)-In120恒成立.2.(2023杭州质检)已知函数J(x)=x(nx+3ax+2)-30r+4.(1)若TU)在1,+8)上单调递减，求实数。的取值范围；(2)若"r)的最大值为6,求实数a的值.解(1)必要性：由题意知/(x)=InX+6or+3-3W0在时恒成立，因此必有/(l)=3+3W0,即。/一1.充分性：当。W-I时，由不等式InXWX-I(当且仅当x=l时取等号)，有(x)Inx+3(2x1)+3WX13(2X1)+3-5(1X)W0,此时符合题意.综上，可知(-8,-1,(2)由题意得y11)=6.因为火x)W6,所以1为7U)的一个极大值点.又f()=Inx÷6x÷33。，因此必有/(1)=0,解得。=一1.当。=一1时，由不等式InXWJr-I(当且仅当X=I时取等号)，有J(x)=x(n-3x÷2)÷3x+4x(-13x+2)+3x+4=6-2(-1)26,符合题意.综上，可知。=-1.3.已知函数7U)满足U)=(l)eT-y(0)x+,若yU)2%2+r+Z?,求(+l)Z?的最大值.解对函数於)求导，得/a)=/。把1大0)+无由题意知/(l)=f(l)-,O)+l,则m)=1.又人0)=/(1把一1,因此/(l)=e.U)=e-X+%2./(x)p2+x÷Z>,即ex-(a+)-bOt令g(x)er-(tz÷l)-b.当+l>O时，只需考虑比0情况.由题意知“g(，20"是"g(x)20''的必要条件.由g(f)eo,解得加由均值不等式有/2gi+b22ygi力，即(+l)Z<(当a+l=2b时取等号).存在,b满足(o+l)b=,总有/(x)252+t+b,<a=ye-ltb=2此时g(x)=ex-&彳一手=/(ex义一x一习#/一£+1xy=0,当x=g时取等号.假设a+1=0符合题意，此时3+1)0=0.假设+l<0,此时g(一%1-”<0,不符合题意.e综上，m+i)z?的最大值为了二、创新拓展练4.(2023石家庄调研)已知函数危)=-ln(x+l),g(x)=ex-.(1)求加0的单调区间；若g(x)2U)对任意的x0,+8)恒成立，求实数A的取值范围.1Y解(1小)=1一干=131)，令Fa)=0,得X=0,当x(-,0)时，/(x)<o,yu)单调递减；当x(0,+8)时，/()>0,九0单调递增.所以7U)的单调递减区间为(一1,0),单调递增区间为(0,+8).(2)由题意得ex-1ln(x+1)在x0,十8)上恒成立，令h(x)=ex-1-ln(x÷l),则z(x)20在x0,+8)上恒成立，f()=ex-l-l-j-j则"(0)=0,力(此=。'_(j)2,Aw(O)=I-A:,若/T(O)=I-KO,即上>1时，存在x(0,+8)使得(0,Xo)时,h,(x)<09则在(0,刈)上1(X)单调递减，此时"(x)v(0)=0,则力(功在(0,XO)上单调递减，且X£(0,XO)使MX)VZz(O)=O,则(X)20不恒成立.若力"(0)=l-A20,即ZWl时，由知Tu)=X-Ina+1)的最小值为五0)=0,则h(x)=ex-1Z:xln(x÷l)>er-1x÷ln(x÷l)=e-2-1÷ln(x÷l)(xO).令(x)=ex2-1÷ln(x÷l)(xO),（x）=ev-2+-px+l+-22y（x+l）一2=0（当且仅当X=O时取等号），则夕（无）在0,+8）上单调递增，9（助29（0）=0,即IWl时,6（x）20在0,+8）上恒成立，综上，攵的取值范围是（一8,1.力口微ABCYZXT可联系我高中数学交流亲，微信扫一扫可以找到我哦扫一打上面的二维码图案一加我为期我是一个普通的数学老师，很普通的那种！如果觉得资料好，可以联系我，分享你我！如果觉得资料好，推荐更多人受益！如果你觉得资料不好，也可以联系我，告诉我及时改进！如果想认识我，当然可以加我！如果，没有如果了加微对接暗号：123