微专题1 切割线放缩.docx

微专题1切割线放缩【知识拓展】函数的凸性与切割线放缩：(1)下凸函数：如图1,对于函数/U),若在其图象上任取两点AaI,U),8(x2,五股)，除端点外，线段AB始终在函数yu)的图象的上方，在yu)的图象上任取点CaO,yuo),函数yu)在点C处的切线y=°)-o)+yuo)除切点外，始终在五幻图象的下方，我们称/U)为下凸函数，满足广a)，。的函数yu)为下凸函数.对于下凸函数，可利用切割线进行放缩，7(x)2/(Xo)(XX)+yU),当Xe(X1,X2)时，ZVf(Xl)一f(X2)lKX)W(-)+%).(2)上凸函数：如图2,对于函数7U),若在其图象上任取两点A(Xl,U),8(x2,yU2),除端点外，线段AB始终在函数yu)的图象的下方，在yu)的图象上任取点CaO,Uo),函数yu)在点C处的切线y=°)(-o)+yuo)除切点外，始终在五幻图象的上方，我们称yu)为上凸函数，满足广()wo的函数yu)为上凸函数.对于上凸函数，可利用切割线进行放缩，fix)(xo)(-xo)+/(xo),当Xea1,/2)时，ZVf(Xl)一于(X2).ZV犬X)J-2(-)+%).类型一切线放缩证明不等式例1(2023武汉质检)已知函数yU)=eJf(1)求曲线/U)在x=l处的切线方程；Ox+(2e)Y-1(2)求证：当x>0时，lnx+1.(1)解由题设得Ia)=-2x,.(f(1)=el-2×l=e-2,"I/(1)=e1,所以曲线段)在x=l处的切线方程为厂川)=/(1)(1)，即y=(e-2)x÷1.6xH(2e)X1(2)证明要证当x>0时，>lnx+1,即证er÷(l-e)-n-10,因为月O)=1,且曲线HX)在X=I处的切线方程为y=(e-2M+l.故可猜测：当心>0且XWl时，段)的图象恒在切线y=(e-2)x+l的上方,下面证明：当x>0时，t(x)(e-2)x÷1,设(x)=TU)(e2)Xl(x>O),则x)=ex2-(e2),令F(x)=x),Fx)=CA2,当了£(0,皿2)时，F(x)<0,“单调递减；当(ln2,+),Ff(x)X)t"(x)单调递增，又“(0)=3e>0,"(In2)0,O<ln2<1,“(1)=0，所以存在xo(O,1),使得"(x)=0,所以当x(0,xo)U(l,+8)时,f()>0;当XEa0,1),"(x)<°,故贝功在(O,xo)t(1,+8)上单调递增，在(XO,1)上单调递减，又9(0)=9(1)=0,所以g(x)=ex-f-(e-2)-120(当且仅当X=I时取等号)，,ev÷(2e)X1故；NXa>0).设r(x)=-InXl(x>O),t,(x)=1当x(0,1)时,f(x)<O,«x)单调递减，当(1,+8)时，f()>O,«x)单调递增，所以Za)min=/(I)=O,从而有f(x)=-Inx120即x21nx+l(当且仅当X=I时取等号).“i、e+(2e)x1、所以NXmInx+1,e1H-(26)X1即J21nx+l(当且仅当x=l时等号成立).规律方法切线放缩证明不等式的原理：yu)/切与g(x)或氏v)w/切Wga).训练1已知於)=ex+cos2x+2f+-2.求Tu)在X=O处的切线；(2)求证：Xx)ln(2r+1).(1)解由题意知Fa)=e-2Sinzr+4x+l,则/(0)=2,而大O)=0,所以7U)在X=O处的切线方程为y0=2(-0),即y=2x.(2)证明因为式0)=0,且曲线7U)在x=0处的切线方程为y=2x,故可猜测，兀0的图象恒在切线y=2x的上方，先证7(x)22x,令(x)=J(x)2x=ex+cos2x÷2x2-2,贝Ug'(x)=eA2Sin2x÷4-1,g"(x)=ev-4COS2x÷4>0恒成立，.gr)单调递增，又g，(O)=0,易知g)2g(0)=0,JU)22x(当且仅当X=O时等号成立).再证2xln(2x÷1),令(x)=2-ln(2x+I)(X>一当)，24xh，(X)=22x+=2x+V令Ia)=0,解得X=0.当QO时，,(x)>O,则力(劝在(0,+8)上单调递增；当一;<v时，,(x)<O,则/3在(一/0)上单调递减，所以(%)2/Z(O)=O即2x21n(2x+l)(当且仅当X=O时等号成立)，综上yU)21n(2x+l)(当且仅当X=O时等号成立).类型二切线放缩求参数例2若。1-2XlnL丘一120对任意实数QO都成立，求Z的取值范围.Qx解由e“一Zdn”一日一120,得ZW-21nx9.XeA11÷ev(%1)2x设(x)=-21nx,(x)=p，令"(x)=0,得l+ev(-l)-2x=0,/.ev-2-=0,X-I记3(x)=eJ2-TTP则Ql时，夕单调递增，工-1时，9(x)<0,工=2时，(x)>0.设其根为刈，则刈(1,2),所以(x)的极值点在x=l附近.Qx1因此考虑在x=l处进行切线放缩，而y=一尸在x=l处的切线为y=x+e-2,所以有£x÷e-2,即"(x)2x+e-22In3.、2设力(X)=X21nx+e-2,hx)=i-,可得a(x)在x=2处取最小值，(2)=e-21n2,即e-21n2.£的取值范围为(-8,e-21n2.规律方法利用切线放缩求参数范围：可先分离参数，然后找到所设函数的极值点范围后运用切线放缩.训练2已知函数yu)=e'一弓一I,(1)若直线y=x+为y(x)的切线，求。的值；(2)若对x(0,+8),恒有人功2版，求b的取值范围.解(1)设直线>=x+与曲线«r)相切于点(xo,>),因为了(X)=e'-x,则f(xo)=exoxo=1,解得xo=O,则yo=5)=O,即0+=0,解得=0.(2)因为五0)=0,且曲线应¥)在X=O处的切线方程为y=x.故可猜测/U)的图象恒在切线y=的上方,先证当x(0,+8)时，於)2,即证当x(0,+8)时，ev-y-l0,设(x)=ev-yXl(x>O),则z(x)=e-X1,设P(x)=6(X)=ev-1,则Pa)=er-l,因为Pa)>o在(0,+8)上恒成立，所以1(X)在(0,+8)上单调递增，又因为"(0)=0,所以当x(0,+8)时，"Q>0,所以人(功在(0,+8)上单调递增，所以(x)>(O)=O,所以ev-yX1>0,即ev-y-l>x,由此可得只需X2法即可.解得力WL类型三切线夹的应用例3(2023南京调研)已知函数/)=。-1)Ina+1),曲线)=/5)在点(1,0)处的切线方程为y=履+0.(1)求人,b的值;(2)证明：f(x)k-b若函数g(X)=y(X)+7(7£R)有两个零点XI,X2,证明：1-X21tn)(1)解函数yu)的定义域为(一1,+8),-/(x)=ln(x+l)÷-7,/(I)=In2.所以切线方程为y=ln2(X-1),即Z=In2,b=-n2.(2)证明设h(x)=fi,x)-kx-b=-l)ln(x÷1)xln2÷ln2,2令Fa)=万(x)=In。+1)彳j+I-In2,12则F，(X)=7+(x+l)2>0,所以Fa)单调递增，即厅(X)单调递增.又1(I)=In21+1In2=0,所以当X(-1,1)时,h,(x)<0t函数a(x)单调递减；当x(l,+),(x)>0,函数MX)单调递增，所以(x)min=(1)=0»即(X)20,所以)xln2In2.(3)证明g(x)=/(X)+a(wR)的两个零点Xi,X2,即为7U)=一"的两根，不妨设X1<X2,由题知，曲线y=(x)在(1,0)处的切线方程为y=xln2-ln2,令(x)=xn2In2,即e(x)+m=0,即(Q=-m的根为X2,则M=I一备，由(2)知，fix2)(x2)9.(x2,)=fix2)29(x2),.9(x)单调递增，*X2,X2.设曲线y=U)在(0,0)处的切线方程为y=r(x),了(0)=-1，。)=一羽设方程f(x)+m=0,即«x)=一根的根为“，则Xl'=，小令TU)=TU)一心)，同理由(2)可得T(x)O,即y(x)2r(x),加)23),:t(xf)=J(x)t(x),又r(x)单调递减，.xiy11,.X2-Xl|X2-X1X2,-Xlrin2规律方法1.一般地，给出函数的表达式，证明关于函数零点差的不等式(无等号)，可以考虑切线夹技巧来解决.2.切线夹的本质是把两零点利用切线的零点来放缩不等式.训练3已知函数yU)=+l)(ex-1),若方程y(x)="7有两个实根x1,x2,且x1<x2,证明：X2-xlm (1 -2e)1 e证明如图，设40在(一1,0)处的切线方程为y=力(X),由1(x)=0+2)-1,易得，(x)=(-lJ(x+l),令F(x)=,(x)-/?(x),即Fa)=+1)(1)(；1卜+1),F(x)=(x+2)-,当XW2时，F,(x)=(x÷2)ev-<0,当x>-2时，则Fa)=+2)ex-1单调递增，又F(-1)=O,e所以当XV-I时，Fa)V0,当心>一1时，F(x)>0,所以函数Fa)在区间(一8,一1)上单调递减，在区间(一1,+8)上单调递增,故尸(x)2尸(一1)=0,/i)2(X1),we设h(x)=m的根为x,则x=-l+-,且h(x,)=J(x)h(x)t又函数力(X)单调递减，故五Wj11,又设兀O在(0,0)处的切线方程为夕(X),易得(x)X.令(x)=(x+l)(ev-1)X,/(x)=(x+2)eA2,当XW2时，gf(x)=(x+2)eA2W2<0,当X>一2时，g<x)=+2)e*-2单调递增，又g<0)=0,所以当x<0时，g'(x)<O,当x>0时，g'(x)>O,所以函数g(x)在区间(一8,0)上单调递减，在区间(0,+8)上单调递增,故g(x)2g(0)=0,即+l)(el)2x,故«¥)2夕(工)，则J(X2)(X2)9设3(X)=W的根为由，则X2'=7M,且9(X2')=(X2)29(X2),又函数9(x)单调递增，故X2'2l2,r,(1Iz7ie1w(12e)又x,x,X2-XiX2f-XIr=W-1-1十二I=1÷匚-类型四割线放缩及割线夹例4证明：当OVXVI时，MeSinX-Jdna+l)>er-X1恒成立.证明如图函数y=ex经过A(0,1),3(1,e)的割线方程为y=(el)x+l,易证当x(0,1)时,(el)x÷l>er,故要证x(0,1)时，HeSinX-Jdna+i)>eAX1成立，由于(el)x÷1-1>ex-1,即(e2)x>ex-x1成立，若xesinv-ln(x+l)>(e-2)x,即esnx-n(+l)>e2成立，则原不等式成立.Vez>r÷l,xln(x÷l)<(ln2)x,.esi11ax.jn(x÷1)+2e>sinx+3e(In2)x.由y=sinx的割线如图，由割线放缩可得，sin1-sinOsinx>:X=(Sinl)x,0<x<1,1 U2:-4 2 泞4-9 -sinx+3e(In2)x>(sinI)X-(In2)x÷3-e>p;-(In2)x+3-e=(-In2)x÷3-e,2令g(x)=()ln2)x+3-e,x(0,1),2(x)=-In2<0,x(O,1),g()单调递减，23故g(x)>g(l)=+3-eIn2>-In2>022(e2<8,=lne；<In2),故原不等式恒成立.J口规律方法1.割线放缩关键是根据不等式的特点和需要，找准相关的函数及其割线，才能恰当地割线放缩.2.割线夹本质与切线夹类似.训练4(2023广州质检改编)已知函数7U)=xlnX,若方程正幻=加有2个根相，X2(X2>X1)>求证：X2-x>l+ew.证明(割线夹»(x)=l+lnx,yu)在(0,§上单调递减，在七，+8)上单调递增，又当o4<时，>u)<o,>时，y>o,-<rn<0时，/(x)=m有2个不等的根Xi,x2(x2>x).C当XE(°，时，可证得：/U)<一%，故y=机时，x<-m当XEG，1)时，可证得：故y=机时，X2>l÷(e-l)w,/.x2x1>l+ew.【精准强化练】一、基本技能练1.设函数"r)=x3+*px0,1.求证:(1y)J(x)1x÷x2;33ITT+7,(2)4<(x)2证明1(-)4(1)因为l-+f-3=L(x)1由于x0'1,得一产而,即1x+x2-x3W,1-TX从而得fix)21-x+xl.(2)由于x0,1,得X3WM割线放缩).3-2十3-2(-1) (2x+1)2 (+1)当x=l时恰好等号能同时满足.再结合第问的结论，得到於)2(Lm+,又因为£)=备点33从而得到结论泉U)忘2.已知函数Ax)=4e-+公2,曲线y=(x)在X=I处的切线方程为)，=Zzr+1.(1)求实数。，b的值；(2)QO且XWI时，证明：曲线>=(x)的图象恒在切线y=法+1的上方；(3)证明不等式：4xevl-X3-3-21nx0.(1)解/(x)=4evl+20v,由曲线y=>(x)在x=处的切线方程为y=bx+i知:f(1)=4+2=b,.解得a=1,b=2.U=4+=h+l,(2)证明由题意只需证：当第>0且xl时，4erLi-P>2x+l;设g(x)=4e1-1-2-1,则ga)=4ei2x2,g,(x)=4exl-2i易知g"(x)在(0,+8)单调递增；且g"(l)=2>0,g(0)=52<0，必定存在M)£(0,1),使得g"(xo)=O,4则g0)在(0,次)单调递减，在(加，+8)单调递增，其中/(0)=-2<0,g'(l)=O,即g(x)在(O,1)单调递减，在(1,+8)单调递增,*(x)min(1)0,即当尤>0且Xzz1时，g(x)>0成立；所以当QO且XWI时，曲线y=(x)的图象在切线y=bx+l的上方.证明要证4xeLix33x2InX20,只需证4e",-2-3-0.由(2)知QO时,4eAT-X222x+1.故只需证2x+123+*W即证x2-lnx0,(2x+1) (-1)设3(x)=x2-Inx,则12x2-1,(x)=2x1-=人v易知e(x)在(0,1)单调递减,在(1,+8)单调递增，9(»二9(1)=0;即不等式4xev1-33-21nx20成立.3.(2023青岛模拟改编)已知XIlnxl=X21nx2=,且x1<r2,求证:xzx<2a+1+e2.证明设函数段)=Xlnx(x>0),/(x)=l÷lnx(x>0).设P(X)=1+Inx(x>0),则pXx)=%x>O),当QO时，p,(x)>0,因而/(X)在(0,+8)上单调递增，而当X=I时，/(x)=0,所以当x(,§时，/(x)<0,7U)=jdnx单调递减，当xg,+8)时，/()>0,T(X)=Jdnx单调递增.而>(x)=xlnx=0,解得A=1.取其在x=e-2和x=l处的切线，分别为:g(x)=-xe"和/2：m(x)=x-1,令人(X)=g(x)=Jdnx÷÷e2(x>0),则"(x)=2+lnx,当0<x<e-2时，"()<0,MX)单调递减；当x>e-2时，hf(x)>Of人(X)单调递增.于是力(x)2z(e-2)=o,从而应r)2g(),令(x)=TU)相(X)=Jdnxx-1(x>0),则x)=InX9当O<x<l时，d(x)<0,e(x)单调递减，当Ql时，"(x)>O,9。)单调递增,于是9。)/9(1)=0,从而yu)2m(x),如图.直线y=与直线,函数7U)的图象和直线梃分别交于x',XI,X2,X2,则有：Xl'<X<X2<X2,X2-<X2,-,=(a+)-(-a-e2')=2a+1÷e-2.二、创新拓展练4.(2023-兰州一诊)已知函数J(x)=x,tnx-nnx(nN*).(1)当=1时，求函数)=/伏)的单调区间；当>1时，函数y=(x)的图象与X轴交于P,。两点，且点Q在右侧.若函数y=Hx)在点。处的切线为y=g(x),求证：当Ql时，火x)2g(x);n1若方程段)=f(O<r<-1)有两根小b,求证：-Z?|<nt-yn.(1)解当n=时，y(x)=(-l)lnx,/(x)=lnx+l-当04<1时，lnx<0,l-<0,故/(幻<0,人工)单调递减，当心>1时，lnx>0,故/(x)>0,凡单调递增，综上，函数y=(x)的单调增区间为(1,+),单调减区间为(0,1).证明当n>时，可知函数存在零点1和且蓝>4=1,因此，。点坐标为(上,0)；&f(x)m,1Inx+xni所以/(0=，则KX)在点Q(,0)处的切线方程为/1：令9()=yu)-g),则x)=f(x)g,(x)=rcn1Inx÷xz,1wlnntI«-1当l<x<%时，Ovlnxqln",0<,i<,W-I_“-1,lnx<nnnfnx,iIInX丁In<0,nniLl工Hl7r=“，而一百一，呜nn-ln1<7=0，,(x)<0,9(x)单调递减，同理，当心>/时，讽X)单调递增，_.(x)()=ln-lnn-nni÷h!11i=0,所以当x>l时,於)2g(x).(Sy(I)=I-ZZ,则兀C)在点P(l,y11)处的切线方程为：W(X)=(I-Zi)(X-I),令Za)=%)一加，El117ft炉1+(-1)(X-1).贝Ukf(x)=nxn1Iiu÷z,1一一(1n)=+nxrl1Inx,XX当W(O,1)时，xn<l,x<l9Inx<0,故/(x)<0,当x(l,+8)时，y>i,x>l,lnx>O,故/(x)>0,于是Z(X)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，所以k(x)2岚1)=0,则"r)2m(x),如图，不妨设O<a<l<b,直线y=r与直线/2,函数兀V)的图象和直线/i分别交于a,9a,b,b,i则有af<a<b<b,于是1一例<一切="一"=/+扁L-I一六跖加微ABCYZXT可联系我高中数学交流亲，微信扫一扫可以找到我哦刍上面的二维码图案一加我为期我是一个普通的数学老师，很普通的那种！如果觉得资料好，可以联系我，分享你我！如果觉得资料好，推荐更多人受益！如果你觉得资料不好，也可以联系我，告诉我及时改进！如果想认识我，当然可以加我！如果，没有如果了加微对接暗号：123