微专题8 切线与公切线问题.docx

微专题8切线与公切线问题高考定位曲线的切线与公切线问题是高考考查的热点，般单独考查，难度较小，也可与函数的单调性、极值、最值综合考查，难度较大.答案C)解析-=*rz.,ev(x+l)-evlxex由通意可知y="I)?则曲线y=*在点（1,3处的切线斜率攵=）'，=k东所以曲线y=Wf在点（1，1）处的切线方程为厂芸十一1）,即y=%÷*故选C.2 .（2020.全国I卷）函数“¥）=/2?的图象在点（1,五1）处的切线方程为（）A.y=-2x1B.y=-2x+1C.y=2-3D.y=2x÷l答案B解析人1）=1-2=1,切点坐标为（1,-1）,又Fa）=43一6f,所以切线的斜率k=f=4Xl3-6×l2=-2,切线方程为y+l=-2（x1）,即y=-2x+l.3 .（2021新高考I卷）若过点（，与可以作曲线y=的两条切线，贝J（）A.eh<aB.ea<bC.0<a<ebD.0<b<ea答案D解析根据>=e、图象特征，y=e"是下凸函数，又过点(,6)可以作曲线y=ex的两条切线，则点3，6)在曲线y=e'的下方且在X轴的上方，得0<*e".故选D.4 .(2022新高考I卷)若曲线y=(x+4户有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是.答案(-8,-4)U(0,+)解析因为y=+)e所以)'=(x+l)ex.设切点为Aao,(xo+4)exo),O为坐标原点，(xo÷6?)ero依题意得，切线斜率koA=y,x=xo=(xo+a+)et=，AO化简得+ro-0.因为曲线y=(x+)e'有两条过坐标原点的切线，所以关于XO的方程xi+axo-a=O有两个不同的根，所以d=+4>0,解得av4或>0,所以。的取值范围是(一8,4)U(O,+o°).5 .(2022新高考H卷)曲线y=n|用过坐标原点的两条切线的方程为,答案y=exy=ex解析先求当x>0时，曲线y=lnx过原点的切线方程，设切点为(xo,yo),则由y，=:，得切线斜率为，又切线的斜率为?，所以士=舞人U人U人。解得Jo=1,代入y=lnx,得XO=e,所以切线斜率为切线方程为y=.同理可求得当<o时的切线方程为y=一%.综上可知，两条切线方程为y=-x.CC【热点突破】热点一曲线的切线I核心归纳导数的几何意义(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率.(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.(3)切点既在切线上，又在曲线上.例1(1)(2023北京东城区模拟)过坐标原点作曲线y=ex2+1的切线，则切线方程为()AJ=XB.y=2xCj=/VD.>=ex(2)(2023西安模拟)过点(1,2)可作三条直线与曲线7U)=x3-3x+相切，则实数a的取值范围为()A.(l,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)答案(I)A(2)D解析(1)由y=eL2+,可得y=eL2,设切点坐标为(f,ez2+l),可得切线方程为y-(e2+l)=e2(-0,把原点(0,0)代入切线方程，可得0小厂2+i)=e厂2(0一即(Ll)U"=1,解得f=2,所以切线方程为y-(e+l)=e(-2),即y=x.(2)J(x)=X33x÷a,/(x)=3x2-3,设切点为(Xo,x3xo+a)t则切线方程为y(高一3xo+g)=(38-3)(-xo),切线过点(1,2),则2(x-3xo+Q)=(3x-3)(1刈),整理得到。=2君一3而+5,方程有三个不等根.令g(x)=2x3-3f+5,则gq)=6f6x,令g'(x)=O,则x=0或x=l,当x<0或Ql时，gXr)>O,g(x)在(一8,0)和(1,+8)上单调递增；当O<r<l时，g'(x)<0,g(x)单调递减,极大值g(O)=5,极小值g(l)=4,函数)=与>,=28-3x8+5有三个交点，则4<“<5,。的取值范围为(4,5).规律方法求过某点的切线方程时(不论这个点在不在曲线上，这个点都不一定是切点)，应先设切点的坐标，再根据切点的“一拖三”(切点的横坐标与斜率相关、切点在切线上、切点在曲线上)求切线方程.训练1(1)(2023郑州二模)已知曲线y=xlnx+oeX在点X=I处的切线方程为Zry+b=O,则b=()A.1B.2C.-3D.0(2)(2023南昌模拟)函数於)=/一"在x=l处的切线平行于直线不一)，一1=0,则切线在y轴上的截距为.答案(I)C(2)-2解析由题意可得y=lnx+l-e-v,根据导数的几何意义可知，在点x=l处的切线斜率为1一?=2,解得。=一已所以切点为(1,-1),代入切线方程可得2+l+b=0,解得力=一3.(2)/Fa)=3fc9由题意Jr(I)=3。=1,即4=2,所以人工)=/2x,则y(i)=1故凡¥)在X=1处的切线方程为y(l)=x1,即y=x-29则切线在y轴上的截距为一2.热点二曲线的公切线I核心归纳导数中的公切线问题，重点是导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要考查消元、转化、构造函数、数形结合能力以及数学运算素养.考向1切点相同的公切线问题例2已知曲线於)=/一2加，g(x)=31n-X,若y=(x)与y=g(x)在公共点处的切线相同，则机=()B.lA.-3C.2D.5(2)若存在>0,使得曲线y(x)=6lnX与g(x)=f4X-b在公共点处的切线相同，则Z?的最大值为()abC-LcJ-c6?d3?答案(I)B(2)D解析(1)设曲线«x)=f2机和g(x)=31n-的公共点为(XO,yo),f (Ao) =g (XO), f (Xo) =g,(X0),向一2n=31nxo-xo,解得XO=ZW=L(2)设曲线y=/U)与y=g(x)的公共点为(X0,州)，X2"(x)=子，g,(x)=2-4a,.*.2xo-4=,则需一2vo-3o2=0,解得XO=-a或3，又xo>O,且a>0,则Xo=3a.<Axo)=g(xo),.,.o4tfxo-b=6a2lnxo,b=-3a2-6a1n3a(a>0).设h(a)=b,h!(a)=12(l÷In3d),令"()=0,得a=.当0<<时,f(a)>O;当时，万(。)<。:.b的最大值为人田=5考向2切点不同的公切线问题例3(1)(2023邵阳二模)已知直线/是曲线y=111。-2)+2与)，=3X一1)的公切线,则直线/与X轴的交点坐标为.(2)已知曲线G：y=eA+X,。2：=x2+2x+a(a>0)t若有且只有一条直线同时与C”。2都相切，则=.Mgf3+ln2、答案(I)L，Oj(2)1解析(1)设直线/与曲线y=ln(-2)+2和y=ln(-1)分别相切于AaI,y),3(x2,")两点，分别求导得y=J1y'=±,故/：yIn(xi-2)+2="jjx-x),整理可得y=Jx+ln(x2)+2-ZZ同理得/：y-n(x2-1)(-2),1Xj整理可得y=J-x+n(X2-)-J.因为直线/为两曲线的公切线，C=',Xi-2X2-1,所以JIn(XI2)+2Xlo=ln(x2-1)IXi-23-2 5-2得 解所以直线/的方程为y=2x3M2,aLl3÷ln2令y=0,贝UX=-5一则直线/与X轴的交点坐标为"2，0)(2)设/与Cl相切于P(M印+幻)，与。2相切于点(X2,X2÷2X2÷6?),由Ci：y=e'+x,得y=ev+l,则与Cl相切于点P的切线方程为yev-x=(ev+l)(-Xi),即y=x(l÷e)-xet+ev.由C2：y=-2+2x+a9得/2÷2,则与。2相切于点。的切线方程为y+后一2x2a=(2xz+2)(-X2),即y=x(22x2)+o+5,因为两切线重合，所以1+印=22x2,ev-xev=÷x?,Iex由得X2=-代入得4(1x)ex=4+12er÷elr,化简得e2x6ev+4xev=-14a,可得Xl=0,a=1时等式成立.故=l.规律方法求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法.训练2(1)(2023济南调研)已知定义在(0,+8)上的函数式)=-22+zw,g()=-31n-,若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则”的值为()A.2B.5C.lD.0(2)直线/：y=kx+b是曲线"X)=Ina+1)和曲线g(x)=ln(e2)的公切线，则b=()A.2B，2C.ln5D.ln(2e)答案(I)C(2)C解析(1)根据题意，设两曲线y=7(x)与y=g(x)的公共点为(a,b),其中。0,由7U)=-2x2+m,可得/(x)=14x,则切线的斜率为k=f(a)=4af由g(x)=-3In-i3可得g<x)=一嚏一1,3则切线的斜率为k=g,(a)=-9因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同,又由g(l)=-1,即公共点的坐标为(1,-1),将点(1,1)代入兀0=2/+相，可得W=L(2)设直线/与曲线段)=ln(x+1)相切于点A(x,y),直线/与曲线g(x)=ln(e2)相切于点B(X2,y).Vx)=ln(x+l),则)=*p11-c由/Qi)=j11+=%,可得Xl=，则y=y)=ln(x+D=-InM即点a,-nky将点A的坐标代入直线/的方程可得一InA=k丁+仇可得b=%In41,V(x)=ln(e¾=2+lnx,则g'(x)=:,由g'a2)=&,可得X2=S*=g(x2)=2-InK即点B(S2In将点B的坐标代入直线/的方程可得2Ink=k+h=h+1,K：.b=ITnk,联立可得无=2,/?=1In2=ln【精准强化练】一、基本技能练1 .函数yU)=4(D+inx在x=l处的切线方程为()Aj=2x2B.y=2x÷1CJ=-1DJ=X-1答案C解析因为/(x)=2f(l)+lnx+1,所以F(I)=»(1)+1,即/(1)=-1,所以五1)="(1)=-2,所以切线方程为y(2)=(x1),即y=-.2 .(多选)(2023漳州模拟)已知函数火X)=ex,则下列结论正确的是()A.曲线)，=Ax)的切线斜率可以是1B.曲线y=U)的切线斜率可以是一1C.过点(0,1)且与曲线y=(x)相切的直线有且只有1条D.过点(0,0)且与曲线y=U)相切的直线有且只有2条答案AC解析对于A,令/(x)=ex=l,得X=0,所以曲线y=U)的切线斜率可以是1,故A正确；对于B,令/(x)=er=-1,无解，所以曲线y=U)的切线斜率不可以是一1,故B错误；对于C,因为点(0,1)在曲线上，所以点(0,1)是切点，则/(0)=1,所以切线方程为yl=x,即y=x+l,所以过点(0,1)且与曲线)，=AX)相切的直线有且只有1条，故C正确；对于D,因为点(0,0)不在曲线上，所以设切点(K0,evo),则切线方程为yexo=exo(-xo),因为点(0,0)在切线上，所以ev=oe吗解得XO=1,所以过点(0,0)且与曲线)，=Ax)相切的直线有且只有1条，故D错误.3 .(2023丹东质检)若直线)，=2X是曲线，=式9一幻的切线，则。=()B.-1A.eC.lD.e答案B解析设切点坐标为(xo,xo(exo-4),因为y=x(ev-),所以y'=(ev-a)+xex=(÷x)era,所以在切点处的切线的斜率为(1+助)物)一,切线方程为yxo(eto-)=(1÷xo)ea(-o),即y=(l÷o)evd-xero,(l+xo) eAO=2, 加，解得*xo=O,U=-.则IABl的2+a+4 .动直线/分别与直线y=2-.曲线y=%2Inx相交于A,B两点,最小值为()A嚼C.1D.5答案A解析设A是直线y=2x1上任意一点，B是曲线y=/InX上任意一点，当点3处的切线和直线y=2x平行时，这两条平行线间的距离A8的值最小.因为直线y=2x1的斜率等于2,31由y=2×2-nX得=3-令y=2,可得X=I或X=一“舍去)，321厂故此时点B的坐标为(1,5)，IABlmin=0.5 .(2023广州调研)已知曲线y=x+lnX在点(1,1)处的切线与抛物线=2)x+l相切，则。的值为()A.0B.0或8C.8D.l答案C解析由y=x+lnx得/=1+p当X=I时，切线的斜率Z=2,切线方程为y=2(-l)+l=2-l.因为该切线与抛物线相切，所以ajc2+(a+2)x+=2x-有唯一解,即ax2+ax+2=0有唯一解，故tzO, a2Sa=Oi解得=8.6 .(2023渭南模拟)已知直线)，=依+b(R,b>0)是曲线风r)=er与曲线g(x)=Inx+2的公切线，则。+%=()A.e+2B.3C.e+1D.2答案D解析设(f,U)是危)图象上的一点，Fa)=er*所以兀¥)在点(f,U)处的切线方程为y-et=et(x-t)iy=erx÷(lr)ez,令g'(x)=(=U,解得x=e,g(e-z)=l11e,+2=2-/,所以Kr=巴Ir=(I)巴所以/=0或r=l,当/=1时，为y=ex,6=0,不符合题意，舍去,所以r=0,此时可化为yl=l(-0),y=x+,所以a+b=+=2.7 .(2023南京调研)曲线y=2xlnx+3过点(一；，0)的切线方程是()A.2x+y+1=0B.2xy+1=0C.2r+4y+1=0D.2-4y+1=0答案B解析由题意可得点(一3,0)不在曲线y=2xlnx+3上，设切点为(X0,o),因为y=21nx+2,所以所求切线的斜率k=21nxo+2=-1=m7，112xo+1XoI2所以>=2xolnxo+2xo÷lnxo÷1.因为点(XO,yo)是切点，所以yo=2xolnxo+3,所以2xoInxo÷2xo÷lnxo+1=2xolnxo÷3,即2xo+lnXo20.设7U)=2x+ln-2(x>0),显然Tu)在(0,+8)上单调递增，且/1)=0,所以2xo+InXo2=0有唯一解XO=1,则所求切线的斜率k=2,故所求切线方程为y=2x+j=2x+l,即2-y+1=0.8 .(2023烟台检测)已知氏V)是定义在R上的函数，且函数)，=/口+1)-1是奇函数,当Xd时，y(x)=ln(l2x),则曲线y=>U)在x=2处的切线方程是()AJ=X_4B.y=xCj=-2x+2D.y=2x+6答案D解析令g(x)=r+l)T,因为g(x)为奇函数，故g(X)=g(x),故人-x+1)1=於+1)+1,即五一x+D+yu+i)=2,即«x)=2一火2一不).当XEg，耳时，2x£(=；),故人2x)=Inn-2(2-X)=ln(2-3),故当xg,|)时，7(x)=2-ln(2-3).2此时/(x)=一元与，故f(2)=-2.又«2）=2,故所求切线方程为y=2x+6.9 .（2023武汉质检）已知"r）=&E>O）,过点P（m份可作两条直线与丁=人工）相切，则下列结论正确的是（）A.cb<OB.O<ab<C.a2+b2的最大值为2D.ea>b答案B解析设切点为QO,J，xo>°，又/（X）=5，则切线的斜率=Fao）=5，所以切线方程为y5=一3xo）,代入点P（,b）,得一装=一3（。一xo），整理得bxi-2xo+a=O.因为过点P3,与可作两条直线与曲线y=U）相切，所以关于刈的方程有两个不同的正根，rJ=4-4/?>0,2Ccb<,设为加，X2,则<.+X2=K'得上>0,X1X2=>O,4>0，所以0<而<1,故B正确，A错误；对于C,取=&b=2,则层+从=翳2,故C错误;对于D,取。=2，Z?=4,则e"=e?Vel<4=仇故D错误.10.（2023黄山模拟）已知WeA-23,曲线y=（x）在不同的三点（x,应川），（X2,X2）,（X3,五浜）处的切线均平行于X轴，则”的取值范围是（）A.住,+8）B（O,君答案DD(o,引解析因为曲线y=r)在不同的三点(x,4ri),(X2,J(x2)t(孙兀)处的切线均平行于X轴，所以/(X)=WeA-6x2=0有三个不等实根,即7=等有三个不同的解.人6x2n.12x6x2令g。)=密，贝Uga)=一晟一当x<O或x>2时，g")<O,当Oa<2时，g'(x)>0,所以g(x)在(一8,0)和(2,+8)上单调递减，在(0,2)上单调递增，且g(0)=0,C24g=/，画出函数g(x)的大致图象，如图所示.由图象可得相£ll.(2023南通二模)过点(一1,0)作曲线y=x3-的切线，写出一条切线方程为答案2-y+2=0(答案不唯一)解析y=xi-x,y,=3x1-t设切点坐标为(xo,君一xo),则切线斜率为3o-1,得方程y(高xo)(3xol)(-xo),代入点(一1,0),得2x+3x?-1=0,gP(xo+l)2(2xo-l)=O,解得XO=-1或XO=2,当XO=-I时，切线方程为2xy+2=0;当Xo=T时，切线方程为x+4y+l=0.1312.(2023长沙调研)若曲线G：y=/<0)在点P处的切线与曲线C2：y=(x>0)交于点。，直线产。与y轴交于点凡则=.答案2解析因为点尸在曲线G：y=-%x<0)上，设点尸的坐标为(X0,一5)(xo<°)，即XP=Xo-由>=一嚏付y7，所以曲线Ci在点P处的切线方程为y+-=(-xo),人U人U日n12即y=r=-由3产;消去y整理得x2-2xox3xi=O,解得X=3xo或X=xo.3因为xo<O,且点。在曲线。2：y=-(x>O)±,所以点。的横坐标为XQ=-xo.因为点H在)，轴上，所以点R的横坐标为Xr=O,圻I、/1尸。1仇。一加0所以IPRI一依加一2二、创新拓展练13 .已知曲线y=ex在点(箝，印)处的切线与曲线y=lnx在点(及，Inxz)处的切线相同，则(x+l)3T)=()A.1B.2C.1D.2答案B解析已知曲线y=e"在点(x,印)处的切线方程为y一印=ev(rx),即y=e"i-eXlXl+ex,曲线y=lnx在点(X2,InX2)处的切线方程为ylnx2=(-X2),2即y=-1÷lnXi,由题意得jx2eeXlXl=l÷lnx2,得2=点，1.Xi+1e-eXl=-1+ln2=-l+ln-=-1-,则E=.又X2='所以X2=M所以X21XLlXi ÷1-2Xi+ 1所以(x+1)(x21)2.14 .(2023西北工大附中段测)若函数於)=xT+eS存在两条均过原点的切线,则实数。的取值范围是()A(0,3BG+8)C.(0,e)D.(e,+)答案B解析由题意得f(x)=ax9设切点坐标为(K0,Xo-l+t/e1-),x()1+ae,o则过原点的切线斜率k=1e1t,ev(i整理得=H'xo1存在两条过原点的切线,evoi ,方程=乔7,*T存在两个不等实根,设g(x)=命XH1,则问题等价于直线y=与y=g(x)的图象存在两个不同的交点.rev,又 g'(x)=(x+l)ev1xev1(x+l)2=(x+l)2 当(-8,1)时，g<x)<0,g(x)单调递减;当x(f0)时，(x)<0,g(x)单调递减；当x(0,+8)时，g<)>0,g(x)单调递增. 当x=0时，g(x)取得极小值g(0)=±作出g(x)的大致图象如图所示.若直线y=与y=g(x)的图象存在两个不同的交点，则q(%+ooj.15.(多选)(2023湖北省联考)若存在直线与曲线段)=x3-,g(x)=f-+都相切，则。的值可以是()A.0Bl乎ClogMD等+比答案ABC解析设该直线与7U)相切于点(XI,X?Xl).因为了(X)=3x2-l,所以/(xi)=3?-1,所以该切线方程为y(-xi)=(3t-l)(-xi),即y=(3x?I)X2rf.设该直线与g(x)相切于点(X2,X2«2+«),因为g'(x)=2x,所以g3)=2x2,所以该切线方程为y-(x-a2+a)=2x2(-2),即y=2xvc-jA-a2+a,(3x-1=2x2,所以1_2Xl=_遥_屋+m所以-42+4=x5-2x?=(空厂2x?=xf-2x-rf÷,931令ZZ(X)=干;4-2x3>2+不.*.h,(x)=9x3623x,.当x(-8,-ju(O,1)时，,(x)<0;当x(-;,O)U(1,+8)时，tf()>0;，/2。)在(一8,(0,1)上单调递减；在(一；，0),(1,+8)上单调递增；又W=割/I(I)=-I9所以z(x)-1,+8),所以一，+。一1,解得1FWaWl彳让,所以。的取值范围为1-后，A显然正确;口山啦一黄2小一(2+业B中，4>0»所以1JV-专<0,所以B正确;C中，因为0<log27<log222=<r-y,所以C正确;D中，因为争所以D不正确.16.（多选）（2023华中师大附中适考）已知函数兀V）=（IX户一1,数列z满足函数7U）的图象在点（一扇，式一斯）处的切线与X轴交于点（e知+一小一1,0）,且Qi=I,atl0,则下列结论正确的是（）A-Anefln+l=ean-1B.0<4n1C.42022<42023D.0+s+/+。>1yt答案ABD解析"（x）=-xe*函数fix）的图象在点（一。“/一。”）处的切线为y=me"（3+。）+（1+at）an-1,ean1令y=0,解得R=-Z-1+f-,Clne%-12+=,Clnrtefl+=efl11-19故A正确；'.9allean+1=ea11-12（。,+1）1=a,l,.4（e""+11）20,.qi>0,.a,>0.下证数列”单调递减,即证ew+<e,efl-1即证<ean,即证ean1<afei,n,Cln即证（1rt）e111<0,即证理"）v.V（x）=-ev,当QO时，/（x）<0,.RU）在区间（0,+8）上单调递减.Vn>O,0）=0,A""）<°,"+<”,数列斯单调递减,.4"Wi=l,且。2022>。2023,故B正确，C错误;.111.1.1.11_近=/+>+了+而，要证0+2+3+柒>1近,下证dfi>2>只需证】>24>2”-1，、即证a,ean+>d,e7，即证e%1>。或,anananan即证e；-e_7>a=21ne；,号K=VO<1,l<xe,则即证In令g(x)=lnX-f+2x-1则<0,.g(x)在区间(1,e上单调递减，.g(x)<g(l)=O,故D正确.17.已知定义域为R的函数7U)的图象关于>轴对称，且满足式33一犬一元)=0.若曲线>=(x)在点(6,2)处切线的斜率为4,则曲线y=Ax)在点(2022,大2022)处的切线方程为.答案4-y-8086=0解析因为五3x)=/(x),所以五一。-3)=/(x),且人外是R上的偶函数，所以凡r3)=(x),故yu)为周期函数，且周期为3,且/a)=/(x3),故/(x)为周期函数，且周期为3.由已知可得«2022)=672X3+6)=6)=2,f(2022)=/(672X3+6)=/(6)=4,因此，曲线>=%)在点(2022,人2022)处的切线方程为一2=4。-2022),即y=4x8086,即4-y-8086=0.18.(2023福州二模)已知曲线7U)=x3-3x2+6x+2在点P处的切线与在点Q处的切线平行，若点P的纵坐标为1,则点。的纵坐标为.答案11解析法一y(x)=x3-3x2+6x+2,则F(X)32-6x÷6,设P(m,1),Q(nt加)，依题意/(M=/()，所以3n2-6m+6=3n26n+6t则M2=2(zn显然mW“，则m+=2,因为yU)=(x-l)3+3(-l)+6,所以火x)的图象关于点(1,6)中心对称，所以点P与点。关于点(1,6)对称，所以F+1=6,则大)=11,所以点。的纵坐标为IL法二y(x)=x3-3x2+6x+2,则/(x)=3j6x÷6,因为/(x)=3(x-l)2+3>0,所以火X)在R上单调递增，令%33x2÷6x÷2=1,设其根为p,则序一3+6XP=1.因为«r)在点P处的切线与在点。处的切线平行，所以1(X)=Z存在两实根，其中一个为p,设另一个为XQ.即32-6x+6=A的两根为Xp,XQi由韦达定理得XP+x°=2,则X0=2xp,所以7(xq)=a-3+6x0+2=(2-xp)33(2xp)2+6(2-p)+2=-if-6>-12x>+8-3xp+12p-12+126xo+2=一(乃一3+6xp)+10=11,所以点。的纵坐标为11.高中数学交流加群失败，微信扫码加我扫一扫上面的二维码图案，加我为朋更多资源请加联系，期待更多同行交流