微专题5 洛必达法则.docx
微专题5洛必达法则【知识拓展】洛必达法则0-0若函数儿E)和g(E)满足下列条件:U)=0及g(x)=O;在点a的某去心邻域内，7U)与g(x)可导且U)0;T()m.f(X)f(X)'，；-=A,那么'(、='(、=A.g(X)g(X)g(X)OO(2)=型：若函数4E)和g(x)满足下列条件:/U)=8及g()=8.在点a的某去心邻域内，7U)与g(x)可导且,(x)0;i那¾*注意：高中阶段能使用洛必达法则的题目一般都能使用分类讨论，但分类讨论难度较大，所以可采用分参求最值的方式，一般大题中对使用洛必达法则的赋分可能因标准不同而不同.【类型突破】类型一利用洛必达法则求+型最值例1(2023广州调研改编)已知函数TU)=里+：,如果当x>0且x时,XI1X)>÷?求A的取值范围.解法一(参变量分离、洛必达法则)当Q°且时,加A管+6Inx,1Inxr+->7x÷1XX-I1, 0 . XlnXl 也即“<fTxln X 2xln l X 11 %2记 g()=猾W+1，>o 且 XN1，则 g,(x)=2 (X2+l) Inx+2 (1X2)(1 a2) 22 (x2+l) (l J 一增=(i-) 2Vnx+Tj记 A()=1 x41 X21 -y( 1 / ) 2贝”/=L (1+P=X (1+B 2丸从而加>)在(0, +8)上单调递增，且力(1)=0,因此当 x(0, 1)时,z(x)<O,当 x(l, +8)时，MX)>0,故当 x(0, 1)时,g'(x)<O,当 x(l, +), g'(x)>0, 所以g(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +8)上单调递增.由洛必达法则有g(x)=仔竽+1)=1 + 泮=1 +差爰=0,即当 Xfl 时，g(x)f 0, 即当 x>0 且 XWl 时，g(x)>O. 因为ZVga)恒成立，所以AWO.综上所述，Z的取值范围为(一8, 0.法二(分类讨论、反证法)上 c Inx I由y=干+：(4一1) (f1)X(%1) (x2-1)令 (x)=21n x+(x>0),则 hf(x)=(I) (x2+l) +2x当kW。时,由 h,(x)=k (x2÷ 1) (-1).知,当XWl时，hx)<O.因为R(I)=O,所以当x(0,1)时，MX)>0,当x(l,+8)时,h(x)<09可得(幻>o，(InXli从而当>o且XWI时，yu)IJZzY+j>o,日口CInXk即人XAuT+,当O<Z<1时，由于g(x)=(Z-l)2+l)+2x=(Z-l)x2+2x+Z-1的图象开口向下，且J=44(-1)2>0,对称轴X=所以当x(l,冒力时，/-l)(f+l)+2x>0,故"(x)>0,而"1)=0,故当X£0，y)时，(工)>0,可得，(X)Vo»与题设矛盾.当Z21时，h,(x)>09而入(I)=0,故当x(l,+8)时，2()>0,可得，2(X)<。，与题设矛盾.综上可得，Z的取值范围为(-8,O.规律方法对函数不等式恒成立求参数取值范围时，可采用分类讨论、假设反证法.若采取分离参数的方法，在求分离后函数的最值(值域)时会有些麻烦，如最值、极值在无意义点处，或趋于无穷，此时，利用洛必达法则即可求解.洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.训练1已知函数7(x)=e-l-Q2,当x20时，五x)20恒成立，求实数。的取值范围.解当x=o时，HX)=0,对任意实数4都有段)20;e'1X当QO时，由yu)2o得。W丁一,、“ex-1-设g。)=/-,则 g,(x)=xev-2er+x÷2令h(x)=xev-2e+x÷2(x>0),则z(x)=xer-ev÷1,记(x)=hx),则"CO=冠'>。，川()在(0,+8)上单调递增,"(x)>"(0)=0,.,6(x)在(0,+8)上单调递增，(x)>(O)=O,(x)>0,g(x)在(0,+8)上单调递增.由洛必达法则知ex-1ex-1CA1-P=RF=E=Q故a.综上，实数。的取值范围是(一8,OO类型二利用洛比达法则求荔型最值例2已知函数於)=如一。一JdnX.若当x(0,1)时，4r)20恒成立，求实数。的取值范围.解依题意，or。一XlnX20恒成立，即a(-1)2XInX恒成立，又x1<0,.7怛成立，X1rr令9(x)=7,t(O,1),.X1InX9)=(I)2'令g(x)=x-1lnx,x(0,I),(x)=l-<O,.,g(x)在(0,1)上单调递减，,g(x)>g(D=O,9'。)>0,即9(x)在(O,1)上单调递增.由洛必达法则知1JdnXInXInXXCT=i=T=i=X=C)1X-I%111I1一一2XXB(x)>0,故<0,综上，实数。的取值范围是(-8,0.规律方法对于不常见的类型0.,8。，,88等，利用洛必达法则求极限，一般先通过转换，化成,，三型求极限.训练2(2023潍坊调研改编)已知函数/)=20?+乂若不51,+8)时,恒有於)寸一小求。的取值范围.解当x(l,+8)时，)>3-,即20r3+xx3-,即o(2+l)X3-,即a>xi-Zr3+1叵成立,4+3«1'"U)=3+1)2>0,9。)在(1,+8)上单调递增，由洛必达法则知xi-32-16x1Sa)=浜斤=7于=瓦=1/.(x)<2>故心.【精准强化练】一、基本技能练1.已知函数加0=-1)一OX23R).(I)若Tu)在X=-I处有极值，求。的值;(2)当QO时，凡r)20,求实数。的取值范围.解(1)*(x)ex-1+Xtx-2ax=(x÷l)ev-2ar-1,«¥)在X=-I处有极值，(-l)=2a-1=0,则Q=5(2)当x>0时，"r)20,即Mex-1)一加20,ex-1ex-1即令力)=T->o),ev(Ll)+1：.hx)=F,令g(x)=e¾r-l)+l(Q),.g'(x)=XeA>0,g(x)在(0,+8)上单调递增，g()>g()=o,z(x)>O,力(X)在(0,+8)上单调递增，e，T1p由洛必达法则知，-=l,l,即实数的取值范围是(一8,1.2.设函数於)=1当QO时，7WWq3'求。的取值范围解(1)若X=0,oR;若x>0,当<0时，若心>一十,贝"i<°,yw品不成立.当时,由危)2p得忘XeX已-叶1X(ev-1)XQx-Qx+1设g(x)=；(口一1)>°),则 g'(x)=e2x-fe-2ex+1xl(ex-1)2令h(x)=e2x-1ex2ex+1,则h,(x)=2e2v2xe-x2ev2eAe(2ev-2-22).再令m(x)=2ex-2-2-29则m,(x)=2e-2-2x=2(ex-1),易得当QO时，”(x)>0,即加(x)在(0,+8)上单调递增,/.711(X)>7W(O)=O,z(x)>O,即力(X)在(0,+8)上单调递增，(x)>(O)=O,g'(x)X),即g(x)在(0,+8)上单调递增，连续两次使用洛必达法则，得XeAXeA+ex_ga)=xe'+eA-1=JVe'+2er'=5'故g(x)>(Q)1Y故当OWaW2,x20时，1恒成立，综上，。的取值范围是o,3.(2023武汉调研)已知函数J(x)=ax2XCosx÷sinx.(1)若。=1,讨论«¥)的单调性；当>0时，7U)4e-2x+sinx,求实数a的取值范围.解(1)当=1时，J(X)=X2-XCosx÷sinx,xR,f(x)=2x+xsinX=X(2+sinx).当x(0,+),/(x)>0;当x(-8,o),Fa)<0,JU)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增.当x>0时，有<x)<xex2x÷sinx恒成立，即x>0时，OX2ver+XCosx2X恒成立，.et÷cos-2令g。)=：，X>0，人(-1)ex-xsin-cosx÷2>g'(%)=p，令(x)=(-)elxsinx-cosx÷2,x>0,“(x)=XeX-XCoSx=x(ex-cosx).Vx>O,：ev>1cosx9/.,(x)>0,9(x)在(O,+8)上单调递增，:9(x)>9(0)=。，:g3>O，.g(x)在(0,+8)上单调递增，:由洛必达法则知er÷cos-2er-sinx=1X11,'g()>l,故实数。的取值范围是(一8,1.二、创新拓展练4.设函数u)=Vpg)=+二(1)求7U)在(1,yu)处的切线方程；求证:对于VX(i,+),y>ga).YQQQ(1)解f(x)=(x+1)2,Hl)=E，/(1)=4*兀0在(1,HI)处的切线方程为y-U(L1),即y=/x+l).(2)证明令人(X)=詈Y京x+l),x>l,xere(x2÷1)ev，/W=(-+l)/3=(I+3'所以Ia)在(1,+8)上单调递增,以XA似D=0,所以力(劝在(1,+8)上单调递增，MX)Az(I)=O,故嘘衿(+DeX1e2再令f(x)=w+D记一一三(i,+°°),lnx÷7-1e(Inx)2-4lnx÷-1),_eX<X)«幻=W(InX)2=4(Inx)2,令m(x)=e(lnr)2-40nx+1一1),x(l,+°o),Ll1(1A2exln-4x÷4则Wa)=2elnx%4q一对=令(X)=2exln-4x+4,x(l,÷o°),则wz(x)=2e(lnx÷1)-4=2elnx÷2e-4>0,则(x)在(1,+8)上单调递增，n()>w(l)=O,m,(x)>0,则Jna)在(1,+8)上单调递增，川(力>.(1)=0,f(x)>O,则*x)在(1,+8)上单调递增.Tf(I)不存在，由洛必达法则，得r-I_(丁一1)'_lnx-(Inx),-1-1,Xr(l)O,Vr(x)>r(l),r(x)>O,综上，对于VX,+),J(XAga).加微ABCYZXT可联系我亲，微信扫一扫可以找到我哦三一扫上面的二维码图案一加我为用我是一个普通的数学老师，很普通的那种！如果觉得资料好，可以联系我，分享你我！如果觉得资料好，推荐更多人受益！如果你觉得资料不好，也可以联系我，告诉我及时改进！如果想认识我，当然可以加我！如果，没有如果了加微对接暗号：123
